О среднем взаимном уклонении независимых времен пребывания гауссовских случайных процессов

Изучение времен пребывания случайных процессов «одна из важных и принципиальных задач современной теории вероятностей. Ее истоки можно видеть в классической эргодической теории. Многие ее аспекты начали исследоваться сравнительно недавно и вызывают в настоящее время, все возрастающий интерес.

В настоящей работе рассматривается вопрос о том, насколько статистически разнообразными могут быть времена пребывания независимых траекторий измеримого центрированного гауссовского случайного процесса, реализации которого лежат в некотором пространстве • К задаче можно подходить по-разному. В 1978 году В. Н. Судаков С42.1 предложил рассматривать совокупности времен пребывания j^ = P°I «югда траектории { выбираются из расширяющейся системы N —мерных подпространств p^CT * и Доказал, что при фиксированном N в совокупности распределений {Р^} имеется типичное в следуицем смысле: для любого? >о при достаточно большом (зависящем лишь от ?) при каждом N> №(0 можно найти такое распределение Р на прямой, что отклонение Р^ от Р в смысле метрики Канторовича-1^бин~ штейна? e (см. С4] PlOJ Ciflj) меньше? , если ^ выбирать из некоторого множества А6С1"5М 1 с F^ «мера которого относительно нормированной инвариантной меры на iS"*4» 1 больше • Там же было показано, что вместо меры на сфере можно брать гауссов с кую меру в FN с плотностью (М/йзг) ^ * *expl-lfnLl-N/z} (IHILzслед на FN нормы из.

В связи с этим результатом Б. С. Цирельсоном была высказана гипотеза о справедливости более сильного утверкдения: существует такое распределение Р на прямой, что Е^е9Ъ)< ccMI * Частичный ответ на этот вопрос получен ниже (теорема I § 3 гл.1), В 1982 году С. В. Нагаев C8J предложил вместо метрики ае рассматривать более слабую метрику j>0 (см. определение в § 2 гл.1) и, используя аппарат характеристических функций, доказал, что существует такое распределение Р, что Eç-р" (f^, Р)< и, следовательно, для метрики рс справедлива теорема о существовании типичного распределения, аналогичная теореме В.Н.Суда-кова.

1. Витушкин А. Г. Оценка сложности задачи табулирования. «1. Ф1зматгиз, 1959, с. 273. 2. Колмогоров А. Н, Тихомиров В. Н, ^ -энтропия и Sемкостьмножеств в функциональных пространствах, — УМН, 1956, т. ХХУ, 1. М 2, с.3−86.

3. Нагаев В. О распределении линейных функционалов в конечномерных пространствах большой размерности. — Докл. АН СССР, т.263, № 2, с.295−296. 9,' Петров В. В. Суммы независимых случайных величин, — Наука, 1972, с. 414.

4. АН СССР, 1978, т .243, № 6, с. 1402−1405.13, Судаков В. Н, Замечание о сходимости в предельной теореме для распределений случайных функционалов, — Зап.научн.семин.

5. ЛОМИ, 1974, т. 4 1, с. 14−42,16, —^{ЕихтенгольцГ.М.} Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.П. — Наука, 1970, с. 800,.

6. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полна Г. Неравенства. — ИИ., 1948, с. 456,.