Напомним, что расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.
Если одна из двух данных скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая — параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью (рис. 9).
Если данные скрещивающиеся прямые a и b лежат соответственно в параллельных плоскостях и, то расстояние между прямыми a и b равно расстоянию между плоскостями и. В этом случае длина перпендикуляра CD, опущенного из произвольной точки C плоскости на плоскость, будет равна расстоянию между прямыми a и b (рис. 10).
5. В единичном кубе A… D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и BC (рис. 11).
Здесь учащиеся должны увидеть и обосновать то, что отрезок AB является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым AA1 и BC, и, следовательно, его длина, равная 1, является искомым расстоянием между этими прямыми.
5. В единичном кубе A… D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и: а) CD; б) B1C1; в) C1D1; г) BC1; д) CB1; е) CD1; ж) DC1; з) BD; и) B1D1.
Следующая задача немного труднее.
6. В единичном кубе A… D1 найдите расстояние между прямыми AA1 и BD1 (рис. 12).
Здесь общим перпендикуляром является отрезок EF, соединяющий середины отрезков AA1 и BD1 (рис. 13).
Действительно, пусть O — центр грани ABCD (рис. 14). В четырехугольнике AOFE стороны AE и OF равны и параллельны. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм и, следовательно, стороны EF и AO равны и параллельны.
Прямая AA1 перпендикулярна AO, так как она перпендикулярна плоскости ABC. Прямая BD1 перпендикулярна AO по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, и прямая EF перпендикулярна AA1 и BD1. Значит, отрезок EF является искомым общим перпендикуляром, длина которого равна .
6. В единичном кубе A… D1 найдите расстояние между прямыми: а) AA1 и DB1; б) AB и CA1; в) BC и AC1; г) CD и BD1; д) AD и BD1.
Наиболее трудной из этой серии является следующая задача.
7. В единичном кубе A… D1 найдите расстояние между прямыми AB1 и BC1 (рис. 15).
Расстояние между данными прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями AB1D1 и BDC1 (рис. 16).
Диагональ CA1 перпендикулярна этим плоскостям и делится ими в точках пересечения E и F на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка EF и равно .
7'. В единичном кубе A… D1 найдите расстояние между прямыми: а) BA1 и CB1; б) BA1 и AC; в) BA1 и B1D1; г) BA1 и AD1.
Предлагаемая методика тренировочных задач реализована в пособиях, в которых подробно рассмотрены не только задачи на нахождение расстояний в пространстве, но и задачи на нахождение углов, объемов, площадей поверхностей и др.
Заключение
В нынешнее непростое время, сдавая экзамен на аттестат зрелости по математике, выпускник должен уметь решать задачи не только по алгебре, но и по геометрии.
Решенная на ЕГЭ геометрическая задача — это дополнительные баллы, это новые возможности в выборе учебного заведения. И задача учителя научить каждого ученика решать геометрические задачи.
Еще в самом начале введения ЕГЭ отмечалось, что с геометрическим заданием справились не более 4% участников. Причиной столь низких результатов было объявлено то, что «учащиеся не умеют записать решение задачи с обязательными обоснованиями». Разработчики КИМов приняли непростое, с их точки зрения, решение: снизить требования к уровню обоснованности при записи решений геометрической задачи на экзамене. Но ситуация с тех пор не очень изменилась. Следовательно, достижение высоких результатов на ЕГЭ требует серьёзного отношения и подробной проработки методов решения сложных стереометрических задач, а не снижения требований к оформлению решения.
В последние годы наблюдается некоторое «забвение» геометрии в курсе математики средней школы. Причина отчасти в том, что выполнение заданий по геометрии в ЕГЭ не сильно влияют на получение результата среднего уровня, поэтому при подготовке выпускников этим разделом математики «жертвуют» в пользу алгебры. Но высокие результаты на ЕГЭ требуют серьёзного отношения и подробной проработки сложных и громоздких по решению задач. Здесь нужно показать выпускникам, что даже самую трудную и запутанную задачу вполне реально разбить на элементы, т. е. достаточно простые и привычные планиметрические задачи.
Список литературы
Александров А. Д.,
Вернер А. Л., Рыжик
В. И. Геометрия: Пробный учебник для 9 — 10 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1983. — 336с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Учеб. для 10−11 кл. общеобразоват. учреждений. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др. — М.: Просвещение, 1998. — 207с.
Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения. — М.: МЦНМО, 2006. — 160с.
Калинин А.Ю., Терешин Д. А. Стереометрия 10. Часть 1. — М.: МФТИ, 1996. — 128с.
Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7−11 кл. сред. шк. — М.: Просвещение, 1990. — 384с.
Прасолов В.В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М., Наука, 1999. — 288с.
Смирнов В. А. Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под редакцией И. В. Ященко и А. В. Семенова. — М.: МЦНМО, 2009. — 272с.
Смирнов В.А. ЕГЭ 2011
Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2011. — 64с.
Смирнова И. Методическая консультация. Сечения пространственных фигур. // Математика. — 2008. — № 1.
Смирнова И., Смирнов В. Геометрия на профильном уровне обучения. Сечения пространственных фигур. // Математика. — 2006. — № 23.
Смирнова И.М., Смирнов В. А. Геометрия. 10−11 классы: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни). — М.: Мнемозина, 2009. — 246с.
Смирнова И.М., Смирнов В. А. Геометрия. Объемы и площади поверхностей пространственных фигур. — М.: Экзамен, 2009. — 160с.
Смирнова И.М., Смирнов В. А. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве. — М.: Экзамен, 2009. — 158с.
