Основы математической статистики

Среди основных научных результатов этого научного направления необходимо отметить применение интервальных статистик для регрессионного анализа, нетривиальное интервальное решение задач при планировании технических и математических экспериментов, введение понятий интервальной неопределенности, формализованное сравнение интервальных альтернатив.

В настоящее время сформировалось новое альтернативное направление в изучении статистики интервальных данных, которое позволит в ближайшее будущее перевернуть представление об интервальной математике и интервальных статистических методах. Это направление изучает активное применение асимптотических методов интервального статистического анализа при огромных объемах случайных выборок, которые приводят к незначительным инструментальным погрешностям. Это новое направление абсолютно противоречит классическому представлению о математической статистике и ее методах. При таком асимптотическом подходе рассматриваются прежде всего выборки с чрезвычайно большими объемами, а затем происходит сужение и исследование выборок до малых объемов, при этом оценивается численное значение инструментальной погрешности.

Асимптотические методы интервальной статистики позволили сформировать общую схему интервального исследования исходных интервальных данных. В общей схеме расчета вводится новое терминологическое понятие определение нотны. Под этим термином понимается максимально возможное отклонение расчетной интервальной статистики, которое обусловлено самой интервальностью исходных данных. понятие нотны обуславливает рациональность выбора объема выборки. Нотна используется для оценки статистических характеристик: математического ожидания, дисперсии, коэффициента вариации, параметров случайных распределений, а также оценки числовых характеристик сложных статистик, при проверке гипотез о параметрах нормального распределения случайных величин. Для проверки гипотез в условиях асимптотического подхода к интервальным статистикам могут применятся все многообразие существующих критериев оценки и методов доказательства адекватности гипотез, в том числе с помощью критерия Стьюдента, а также гипотезы однородности с помощью критерия Смирнова.

Асимптотические методы позволили подойти к рассмотрению интервальных статистических данных при проведении различных видов статистического анализа. Известны работы по асимптотическому подходу в интервальных статистиках в условиях проведения регрессионного, дискриминантного и кластерного анализов.

Описываемый подход позволил исследовать влияние погрешностей измерений и наблюдений на свойства прикладных алгоритмов регрессионного анализа, а также предложить методы определения нотн, которые в свою очередь однозначно определят рациональный объемов выборок. Этот подход позволит подойти на новом концептуальном уровне к вычислению и обоснованию понятия многомерных и асимптотических нотн, а так же обосновать необходимые теоремы и утверждения. Применение математического аппарата вычисления нотн позволило приступить к разработке интервального дискриминантного анализа, с этой целью, выявлено влияние интервальности данных на введенный показатель качество кластеризации.

В области асимптотической статистики интервальных данных российская наука не имеет конкурентов. в настоящее время большое внимание уделяется программной реализации новейших методов асимптотической интервальной статистики, наряду с использованием классического математического аппарата статистики. Это позволяет получить новые обоснованные численные оценки погрешности у результатов наблюдений.

6. Статистика объектов нечисловой природы В настоящее время сформировалась классификация прикладных методов математической статистики. Согласно общепризнанной классификации в настоящее время можно выделить 4 основные направления или фундаментальных раздела прикладной математической статистики. Среди этих направлений необходимо выделить:

Статистику (числовых) случайных величин;

Многомерный статистический анализ;

Статистика временных рядов и случайных процессов;

Статистика объектов нечисловой природы.

В современной математической статистике названы широко представлены названные направления. В технической литературе по математической статистике принято считать указанные направления классической математической статистикой, которая базируется на применении традиционного математического аппарата. Эти направления считаются хорошо изученными, начиная с начала прошлого века.

Четвертое из указанных направлений, недавно сформировано и в настоящее время широко исследуется специалистами всего мира. Обычно для обозначения этого направления используется другой терминологический аппарат, чаще всего это направление называют статистикой нечисловых данных или нечисловой статистикой.

Нечисловая статистика по праву признана математическим аппаратом 21 века. На современном этапе нечисловая статистика и динамика ее развития становится основным фундаментальным направлением, которое содержит теоретические выводы и практические методики.

Фундаментальным понятием в нечисловой статистике является абсолютно новый объект «выборка». В классической математической статистке под понятием выборки обычно понимается совокупность независимых одинаково распределенных случайных элементов. Фундаментальная традиционная математическая статистика однозначно определяет в качестве элемента выборки-числа в одномерном статистическом анализе. В случае многомерноного статистического анализа используется не один элемент выборки, а числовой вектор элементов выборки. В отличии от фундаментальных традиционных теорий в нечисловой статистике в качестве элементов выборки, используется объекты нечисловой природы, характерной чертой этих элементов выборки, является невозможность проведения над ними числовых операций. В качестве примеров объектов нечисловой природы можно выделить следующие:

значения качественных признаков;

ранжировки каких-либо абстрактных объектов или элементов нечисловых множеств, обладающих смысловым содержанием

некоторые онтологии или классификации, кластеры или другие абстрактные объекты;

бинарные отношения, описывающие отношения на множестве каких-либо объектов;

элементы нечисловых обычных или нечетких множеств

слова и другие элементы синтаксического анализа;

вектора, координаты которых — совокупность значений разнотипных признаков, например, результат составления статистического отчета о научно-технической деятельности (т.н. форма № 1-наука) или заполненная компьютеризированная история болезни, в которой часть признаков носит качественный характер, а часть — количественный;

Интервальные данные также можно рассматривать как пример объектов нечисловой природы, а именно, как частный случай нечетких множеств.

Подведем итоги и наметим перспективы развития методов прикладной статистики. В настоящем «Заключении» обсуждаются тенденции развития статистических методов, выделяются пять основных «точек роста». В связи с внедрением современных методов прикладной статистики обосновывается полезность понятия «высокие статистические технологии». Рассматриваются технологии использования компьютеров в прикладной статистике. Обсуждаются основные нерешенные проблемы прикладной статистики.

Теория статистики: Учебник. — 3-е изд., перераб. / Под ред. Р. А. Шмойловой. — М.: Финансы и статистика, 1999.

Ефимова М.Р. и др. Общая теория статистики. — М.: ИНФРА-М, 1996.

Венецкий И. Г. Основы теории вероятностей и математической статистики. — М.: Статистика, 1968. — 360 с.

Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: Наука, 1978. — 618 с.

Айвазян С.А., Анализ данных, прикладная статистика и построение общей теории автоматической классификации// Методы анализа данных/ Пер. с фр. — М.: Финансы и статистика, 1985.

Теория статистики. Под редакцией профессора Шмойловой: М. Финансы и статистика.

1998.

Леман Э. Проверка статистических гипотез. — М.: Наука, 1979. — 408 с.

Теория статистики: Учебник. — 3-е изд., перераб. / Под ред. Р. А. Шмойловой. — М.: Финансы и статистика, 1999.

Ефимова М.Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики. — М.: ИНФРА-М, 1996.

Леман Э. Проверка статистических гипотез. — М.: Наука, 1979. — 408 с

Айвазян С.А., Анализ данных, прикладная статистика и построение общей теории автоматической классификации// Методы анализа данных/ Пер. с фр. — М.: Финансы и статистика, 1985

Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: Наука, 1978. — 618 с

Венецкий И.Г., Кильдишев Г. С. Основы теории вероятностей и математической статистики. — М.: Статистика, 1968. — 360 с.

Теория статистики. Под редакцией профессора Шмойловой: М. Финансы и статистика.