Некоторые вопросы теории разрешимости многоточечных краевых задач и её приложения

К изучению многоточечных краевых задач дифференциальнофункциональных уравнений и их приложений приводят исследования многих вопросов автоматического регулирования, теории колебания, прикладной математики, математической физики, биологии.

Поэтому большой интерес представляет собой поиск новых методов доказательства существования и единственности решения краевых задач, характера зависимости решений от краевых условий .

В работах [1]- [11] исследовались многие краевые задачи указанных выше уравнений разными методами с разными краевыми условиями, в том числе, когда преобразования аргумента зависят не только от времени, но и от самого решения.

В конце концов, эти различные комбинации краевых условий сводились к простейшим видам удобным для практического пользования.

Наша работа состоит из введения и трех глав.

В § 1.1. первой главы мы приводим вспомогательные предложения-леммы, являющиеся обобщениями леммы Гронуолла[12], которыми мы пользуемся в дальнейшем.

§ 1.2. посвящен многоточечной краевой задаче системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Доказательство существования и единственности краевой задачи проводим методом Зейделя[14], перенесенный нами из алгебры в теорию дифференциальных уравнений.

Этим же методом в § 1.3 мы доказываем теоремы существования и единственности решения краевой задачи систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, в виде следствия приводим классы систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющих достаточным условиям основной теоремы.

В § 1.4. показываем, что решения, существование и единственность которых доказываем, непрерывно зависят от краевых условий и параметра.

Оценка решения, установленная в § 1.5., показывает устойчивость по отношению изменения правых частей системы дифференциальных уравнений.

В § 1.6. рассматриваем свойства консервативной (автономной) системы, когда правые части являются обобщённо-однородными функциями.

В § 1.7. приводим примеры, иллюстрирующие теоретический материал предыдущих параграфов.

ГлаваП посвящена исследованию поведения решений систем интегро-дифференциальных и разностных уравнений.

Нам известной литературе до нас рассмотренные нами вопросы не изучались. В главе III мы изучаем многоточечные краевые задачи и конечномерные редукции в бифуркационном анализе экстремалей. Полученные в этой главе результаты являются приложением к тому, что нами изложено в предыдущих параграфах.

Цель данной работы — описание многоточечной краевой задачи систем дифференциально-функциональных уравнений, непрерывной зависимости решений от этих условий, их устойчивости в зависимости от изменения правых частей системы, конечномерной редукции в бифуркационном анализе экстремалей.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.

1. Новые условия существования и единственности многоточечной краевой задачи.

2. Перенос алгебраического метода последовательных приближений на дифференциально-функциональные уравнения.

3. Нерерывная зависимость решений от краевых условий, параметра и их устойчивость от изменения правых частей системы .

4. Некоторые вопросы качественного поведения решений указанных выше систем.

5. Приложения конечномерной редукции в бифуркационном анализе экстремалей к многоточечным краевым задачам.

Методы исследования. В работе использованы качественные методы анализа многоточечных краевых задач, исследовано их структура и поведение. В зависимости от ситуации при анализе ключевой функции рассматриваемой задачи используется либо метод Ляпунова-Шмидта, либо Морса-Ботта.

В настоящей работе излагается подход к обоснованию и развитию схем конечномерной редукции на основе теории многоточечных краевых задач.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в основном носит теоретический характер, но представленные в ней результаты могут быть использованы при решении конкретных дифференциально-функциональных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на V-Международной научной конференции, посвященной 80-летию Дагестанского государственного университета, 26−29сентября 2011 г.- международной конференции «Мухтаровские чтения », «Актуальные проблемы математики и смежные вопросы «, Дагестанский государственный технический университет, Махачкала, 2012 г.- Ставропольская межрегиональная конференция, 2012 г. и др.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в девяти работах. Из собственных публикаций в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Пять работы соответствуют списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы (параграфы) и списка литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации 95 страниц.

1. Д. Ж. Сансоне Обыкновенные дифференциальные уравнения,// Мт, Т1953.

2. В. П. Скрипник. Об одной краевой задаче и некоторых вопросах колеблености решений,//Матем. Сб., т. 55 (97),№ 4,1961, с. 449−472.

3. C.B. Исраилов, Исследование некоторых многоточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями и с сингулярностью,// кандитатская диссертация, Баку, 1964 г.

4. C.B. Исраилов, С. С. Юшаев. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. //Издательский центр «Эльфа», Нальчик, 2004, с. 445.

5. C.B. Исраилов, Метод отображений для исследования обобщенной многоточечной задачи функциональнодифференциальных уравнений, Математическая морфология. //Электронный матем. И медикобиол. Ж .Т.9, вып. 1,2010, с. 1−15.

6. Ю. В. Покорный Вопросы качественной теории краевой задачи Валле-Пуссена, //Дис. Доктора физ-мат. Наук. JI. 1980.

7. С. Б. Норкин Краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом //Ученые записи МГУД81, матем VIII, 1956, с. 59−72.

8. М. В. Келдыш, О методе В. Г. Галеркина решения краевых задач.// Изв. АН СССР, серия мат.6,6, 1942, с.309−330.

9. Г. А. Каменский, Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, //Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом, т. 1,1962, с.47−51.

10. А. Д. Мышкис, Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.// Гостехиздат, 1951.

11. Л. Э. Эльсгольц, Качественные металлы в математическом анализе.// Гостех издат, 1955.

12. А. Р. Эфендиев Две теоремы об устойчивости движения,// Вестник МГУ, 1962, № 3 с.9−14.

13. В. В. Степанов,// Курс дифференциальных уравнений, М., 1958.

14. Р. Г. Алиев, А. Р. Эфендиев. Приложение" метода Зейделя к одной краевой задаче,// Докл. АН АЗССР, 1965,21, № 2, с. З-9.

15. И. С. Березин и Н. П. Жидков,// Методы вычеслений т. П, М., 1960.

16. Г. С. Зайцева. О многоточечной краевой задаче. //ДАН. 1967. Т. 176, № 4, С. 763−765.

17. А. Р. Эфендиев О свойствах одной обобщенно-однородной дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом ФДУ и их приложения .// Меж вуз. Н.- тех. ст, ДГУ вып.5, 2009, с. 116−119.

18. Р. Беллман, К.Кук. Дифференциально-разностные уравнения. М., 1967, с. 96.

19. А. А. Шестаков Об асимптатическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений ,// Уч. записки. ВЗИИЖТ, вып7., M 1961, с.3−102.

20. A. Elbert. Asymptotic behavior of the solutions of differential equationy (t) + tvy (qt) = 0, (0<1),// Periodica Mathematica Hyngarica Vol. 1(3) (1971), pp. 229−241.

21. T.C. Кречетов, Поведение решений одного дифференциального уравнения первого порядка,// диф. уравнения, Т. VII, № 8,1971, с. 1528−1530.

22. В. В. Немынский, В. В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений// М.-Л., 1949.

23. Ф. Р. Гонтмахер, Теория матриц, М., 1967.

24. М. Д. Джасим, А. Р. Эфендиев, Об области влияния особой точки нелинейной системы дифференциальных уравнений специального вида, Вестник ДГУ,// естественные науки, вып. 1, 2012, с. 54−63.

25. В. В. Немыцкий, Некоторые методы исследования в целом характеристик уравнения,// Вестник МГУ, № 5, 1961, с. 25−43.

26. А. Х. Катхим. Краевая задача системы с параметром /А.Х.Катхим, А. Р Эфендиев // Вестник ДГУ -2013;Вып. 1 С. 103−110.

27. А. Х. Катхим. Существование и единственность решения интегро-дифференнциальной системы / А. X. Катхим, А. Р. Эфендиев // Вестник ДГУ-2013;Вып.1 С. 91−102.

28. А. X. Катхим, О краевой задаче дифференциальнофункциональныч уравнений / А. Х. Катхим, А. Р. Эфендиев // Вестник ДГУ. -2012. Вып. 6-С. 93−100.

29. А. X. Катхим, Многоточечные краевые задачи и конечномерные редукции в бифуркационном анализе экстремалей /А.Х. Катхим, Ю. И. Сапронов, Н. С. Уварова, А. Р. Эфендиев // Вестник ДГУ. -2012. Вып. 6-С. 86−92.

30. А. X. Катхим, Законы распределения нулей решений линейного дифференциального уравнения 5-го порядка./ С.А. Аль-Джоуфи, А.Х. Катхим// Вестник ДГУ. -2012. Вып. 1.-е. 79−86.

31. А. Х. Катхим, «Об одной краевой задаче»,/А.Х. Катхим, А. Р. Эфендиев //Материалы V —Международные конференции по ФДУ и их приложениям, Махачкала, 2011 г., с.153−156.

32. А. Х. Катхим Изучение прогибов кирхгофова стержня посредствос редукции Морса-Ботта / Ю. И. Сапронов, К. А. Хуссейн.//Воронежская зимняя математическая школа С.Г.-2012Материалы международной конференции.2012,С 196−201.

33. А. Х. Катхим О знаке функции Грина краевой задачи для дифференциального уравнения пятого порядка / А. Х. Катхим, Салах-Али АльДжоуфи//Материалы Международной конференции по ФДУ и их приложениям, Махачкала, 2011 г., с.153−156.

34. Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов, CJI. Царев Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов// Современная математика. Фундаментальные направления. Том 12 (2004). М., 2004. С.3−140.

35. A.B. Зачепа Трехмодовые бифуркации решений в краевой задаче для симметричного ОДУ честого порядко // Труды матем. факультета. Выпуск 8 (новая серия). Воронеж: изд. «ТЕФА 2001. С.48−55.

36. A.B. Зачепа, Ю. И. Сапронов О бифуркации экстремалей фред-гольмова функционала из вырожденной точки минимума с особенностью 3-мерной сборки// Труды математического факультета, вып. 9 новая серия). Воронеж: ВорГУ, 2005. С.57−71.

37. Ф. А. Белых, A.B. Зачепа, Ю. И. Сапронов Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: В ГУ, 2005. С. 18−33.

38. С. А. Аль-Джоуфи. О вырождении нетривиальных решений многоточечных краевых задач в нетривиальные решения двухточечных задач в случае линейного дифференциального уравнения пятого порядка. // Вестник ДГУ. Вып. 6, 2012, С. 119−126.

39. В. В. Степанов // Курс дифференциальных уравнений, М., 1958.

40. А. Л. Тептин. О знаке функции Грина краевой задачи с периодическими и штурмовскими краевыми условиями. //Вестник Удмуртского университета. Математика. 2008. Вып. 2, С. 150−151.

41. Seidel L «Abhandl. Bayer. Akad. Wiss. //Math.- naturwiss. Kl. 1974, Bd. 11, № 3, s. 81−108. 4.

42. Ю. А. Изюмов, В. И. Сыромятников Фазовые переходы и симметрия //кристаллов. Москва, Наука. 1984. — 247 с.

43. Ю. И. Сапронов, Царев СЛ. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах// Матем. заметки. -2000. Т. 58, № 5. С. 745−754.

44. Е. Л. Николаи К задаче об упругой линии двоякой кривизны// Труды по механике. М.: Гостехиздат. 1955. С.45−277.

45. Е. П. Попов Нелинейные задачи статики тонких стержней. М.ЮГИЗ. 1948. 170 с.

46. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.-472 с.

47. Т. Ю. Сапронова О методе квазиинвариантых подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов// В кн.: топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, ВГУ. -2000 С. 107−124.

48. А. Л. Тептин. О неосцилляции решений и знаке функции Грина. //Дифф. уравнения. 1984. № 6(20), С. 995−1005.

49. В. А. Чуриков. О двухточечной краевой задаче. //Изв. вузов. Математика. 1971. № 9(112), С. 94−106.

50. С. А. Аль-Джоуфи. О нетривиальных решениях многоточечной однородной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения. // Вестник ДГУ. Вып. 1, 2012, С. 87−92.

51. А. Ю. Левин. Неосцилляция решений уравнения х^ + рх (?)х<-/71-) + + .+ рп (0х = 0. //Успехиматем. наук. 1969. Т. 24, № 2, С. 43¹⁶.

52. П. И. Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений (с дополнительными главами анализа). -М, 1981. «Наука».