Основной целью диссертационной работы является доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств, устанавливающих связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. При этом доказательства этих теорем получены с помощью метода разработанного Ж. П. Серром, который удалось перенести в теорию толерантных пространств.
Коротко охарактеризуем предмет диссертационного исследования. В последние десятилетия были разработаны ряд направлений исследований, использующих категорную и алгебро-топологическую технику для изучения дискретных по своей природе объектов, таких как автоматы, дискретные системы управления, вычислительные сети, параллельные вычислительные процессы, формальные лингвистические системы и др. В настоящее время наиболее разработанными являются два направления, идейно и технически близкие друг другу. Первое из этих направлений связано с теорией толерантных пространств и представлено в работах Доукера, Зимана, Мюира, Уорнера, Арбиба, Шрейдера, Небалуева и др. Второе же направление систематически использует теоретико-категорные методы и представлено работами Губо, Гоше, Иенсена, Шил-дса, Хусаинова и др. Оба эти направления представляются весьма перспективными, активно развиваются в России и за рубежом и вызывают интерес специалистов разных направлений. Диссертационная работа развивает первое из указанных выше направлений.
Методы гомологической алгебры в теории отношений первым применил Доукер в работе [41] 1956 года. При этом Доукера интересовали введенные им группы гомологий отношений с точки зрения их приложений к алгебраической топологии. Затем в 1962 году Зиман в работе [48] определил отношения толерантности, которые оказались интересными как с математической, так и с прикладной точек зрения. Зиман в своей работе применил алгебро-топологические методы" для построения математической модели зрительного анализатора. Эта математическоя модель должна была отражать непрерывную и дискретную стороны в работе зрительного анализатора, и учитывать порог чувствительности моделируемого объекта. Решая эти задачи, Зимаи определил толерантное пространство, представляющее собой пару, состояющую из произвольного множества, которое может быть как континуальным, так и дискретным и конечным, и бинарного отношения толерантности, которое должно быть рефлексивным и симметричным, и которое определяется наличием порога чувствительности. Понятно, что толерантные пространства получаются везде, где присутствуют приближенные измерения и вычисления. Такие пространства состоят из множеств, на которых заданы метрики, а пары точек в этих множествах принадлежат отношениям толерантности, если они удалены друг от друга не более, чем на некоторую фиксированную величину, определяемую точностью измерений и вычислений. Введенные Зиманом отношения толерантности стали интерпретироваться как наиболее общая систематическая модель схожести, и интерес к ним проявили специалисты самых разнообразных направления, таких как теория автоматов, дискретные системы управления, математическая лингвистика и др. (см. работы [1], [40], [44]- [47], [37], [38]).
В 1970 году вышла в печати важная работа Зимана и Бьюнемана [3], в которой ряд интересных вопросов, имеющих прикладное значение, были сформулированы как математические задачи гомологической теории толерантных пространств. Однако, решение этих задач тормозилось неразвитостью теории гомологий толерантных пространств и отсутствием сколь-нибудь продвинутого варианта гомотопической теории. Тем не менее, ситуация постепенно менялась. В частности, в серии работ Небалуева С. И. и соавторов (см. библиографию) была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой удалось решить некоторые из задач, сформулированных в работе [3]. Одним из результатов развития гомотопической теории толерантных пространств было построение теории толерантных накрытий, включающей теорию толерантных накрывающих преобразований. Теория толерантных накрытий является перспективной и с точки зрения приложений, т.к. по мнению Зимана и Бьюнемана (см. работу [3]) толерантные накрытия и, более обще, толерантные расслоения являются подходящим инструментом для описания неоднозначности в поведении сложных систем. Следующий этап развития толерантной гомотопической теории связан с построением теории толерантных гомотопических групп и толерантных расслоений (см. [16]', [19], [20], [23]). После этого следующей актуальной темой стало изучение связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. В классической алгебраической топологии этому вопросу посвящены теоремы Пуанкаре и Гуревича. Толерантный аналог теоремы Пуанкаре, об изоморфизме между первой гомологической группой и фактор-группой фундаментальной группы по коммутанту, был доказан Небалуевым С. И. (см. [21]). А толерантные теоремы Гуревича, как это было уже отмечено, являются темой данной диссертации. Не менее важным предметом исследований в диссертационной работе является разработка метода, позволяющего получить доказательства указанных выше теорем, а также и многих других результатов. Этим методом является, приспособленный к теории, толерантных пространств, метод предложенный Ж. П. Серром.
Метод Ж. П. Серра в алгебраической топологии основан на построении расслоения с данной базой расслоения и со стягиваемым пространством расслоения, что позволяет применять специальную спектральную последовательность, которую принято называть спектральной последовательностью Лере-Серра расслоения. Это позволяет решать многие задачи гомотопической теории алгебраическими средствами. Для толерантных пространств спектральная последовательность Лере-Серра толерантного расслоения была построена в работах Кляевой И. А. и Небалуева С. И. (см. [5], [б], [23], [24], [25], [26], [27]). Однако, для применения метода Серра необходимо построение толерантного расслоения со стягиваемым пространством расслоения. В алгебраической топологии таковыми пространствами являются пространства непрерывных путей. В толерантном случае построение таких пространств является технически более сложной задачей. Эти трудности обусловлены тем, что толерантные пути представляют собой конечную последовательность точек, т. е. объект дискретной природы, и это значительно осложняет решение многих задач, и, в частности, стягиваемости. Имеющиеся трудности требуют определенного компромисса между построением толерантного расслоения и удовлетворения свойства толерантной стягиваемости пространства расслоения. Компромисс заключается в том, что на множестве толерантных путей определяется специальным образом отношение толерантности, превращающее его в условно толерантно стягиваемое пространство, определяющее не толерантное расслоение, а лишь квазирасслоение. Тем не менее, в диссертации доказывается, что толерантное квазирасслоение определяет спектральную последовательность аналогичную спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения. Формальные свойства этой спектральной последовательности с помощью толерантной теоремы Пуанкаре позволяют доказать теорему Гуревича о том, что для односвязного толерантного пространства первые нетривиальные толерантные гомотопические и гомологические группы изоморфны. Отметим, что теорему Гуревича можно доказывать разными способами, но способ, основанный на методе Серра, имеет преимущества в том, что он алгебраичен, и поэтому более универсален. Это подтверждается доказательством обобщенной теоремы Гуревича, где метод Серра абсолютно необходим. Обобщенная теорема Гуревича содержит в качестве частного случая теорему Гуревича, но ее формулировка носит более абстрактный и алгебраический характер, что требует соответствующих методов доказательства с одной стороны, а с другой значительно расширяет круг ее приложений.
Основной текст диссертации разделен на четыре главы. В первой главе содержатся необходимые предварительные сведения из гомологической и гомотопической теории толерантных пространств. В первой главе также доказывается ряд утверждений, используемых в других главах. К этим утверждениям относятся предложение 1.1 и предложение 1.2 о тривиальности гомологических и гомотопических групп условно толе-рантно стягиваемых пространств, теорема 1.1 об естественной изоморф-ности функторов толерантных гомотопических групп, используемых в диссертации.
Во второй главе определяются различные толерантные пространства толерантных путей, изучаются их свойства (в частности, свойство условной толерантной стягиваемости) и доказывается важная для основной цели теорема 2.3, утверждающая наличие классического изоморфизма между толерантными гомотопическими группами толерантного пространства и пространства его толерантных петель. Параграф 2.2 этой главы посвящен толератным расслоениям. Здесь формулируется и доказывается критерий толерантного расслоения и приводятся примеры толерантных расслоенных пространств. В заключительном параграфе 4.3 строятся толерантные пространства толерантных путей. Изучается их толерантная стягиваемость. Затем для этих пространств изучается свойство накрывающей гомотопии. При этом доказывается, что условно то-лерантно стягиваемое пространство толерантных путей образует над исходным толерантным пространством квазирасслоение, в том смысле, что накрывающая гомотопия имеет небольшое искажение в начальных условий. Однако, этого будет достаточно для получения результатов, лежащих в основе метода, аналогичного методу Серра в алгебраической топологии.
Третья глава посвящена построению спектральной последовательности толерантного квазирасслоения толерантных путей аналогичной спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения (см.
28]). В первом параграфе доказывается теорема 3.3 об изоморфности групп А-пунктированных толерантных кубических сингулярных гомо-логий и гомологий Зимана на категории линейно связных пунктированных толерантных пространств. Стоит заметить, что теорема 3.3 является обобщением основных результатов работы [26]. При этом доказательство теоремы 3.3 оказалось значительно прозрачнее и проще. Причина такого упрощения заключается в использовании процедуры окаймления толерантных сингулярных кубов вместо процедуры их полного двойного замедления. В контексте теоремы 3.3 процедура окаймления позволила более выгодно использовать специфику толерантных пространств, особенно в формулировке и доказательстве теоремы 3.2. В параграфе 3.2 для п-мерного-пунктированного толерантного сингулярного куба ъи в пространстве квазирасслоения определяются два новых толерантных сингулярных куба: один в базе — Ъ3(т), а другой в слое — Доказывается теоремы 3.4 и 3.5, которые утверждают, что по толерантным сингулярным кубам Ъ8(ги) и $ 8(ъи) можно построить толерантный сингулярный куб ]¥-(иуу), который будет толерантно гомотопен исходному ю. Далее, используя весовую фильтрацию комплекса Г2-пунктированных нормализованных толерантных сингулярных кубов пространства квазирасслоения, строится гомологическая спектральная последовательность. Затем, с помощью доказанных ранее свойств толерантных сингулярных кубов квазирасслоения, вычисляются (с точностью до изоморфизма) первые два члена этой последовательности. В соответствии с уже принятой терминологией (см. [12]) полученную спектральную последовательность, будем называть спектральной последовательностью Лере-Серра толерантного квазирасслоения. Результаты параграфа 3.3 о свойствах спектральной последовательности Лере-Серра имеют ряд важных следствий. В частности, из него следует наличие точной гомологической последовательности, которую принято называть последовательностью Сер-ра (см. [12], гл. 5, § 5.2).
Четвертая глава содержит основные результаты диссертационной работы. В параграфе 4.1 доказывается толерантный аналог теоремы Гуре-вича, в котором утверждается, что первые нетривиальные толерантные гомотопические и гомологические группы линейно связного односвяз-ного толерантного пространства будут изоморфны. При этом строятся гомоморфизмы Гуревича, которые дают, в частности, изоморфизмы в теореме Гуревича. В заключении этого параграфа приводится полезный пример, иллюстрирующий применение теоремы Гуревича для толерантных пространств. В следующем параграфе 4.2 вводятся понятия п-связного толерантного пространства и п-связного толерантного квазирасслоения. Затем доказывается ряд свойств (предложения 4.1 и 4.2), из которых получается теорема 4.3 о существовании п-связного толерантного квазирасслоения для любого линейно связного пространства. Заключительный параграф 4.3 посвящен доказательству обобщенной теоремы Гуревича 4.5, утверждающей, что для линейно связного односвяз-ного толерантного пространства, первые гомотопические группы которого до (п — 1)-й принадлежат Х-ацикличному кольцу абелевых групп, имеем, что его первые гомологические группы до (п — 1)-й также принадлежат-ацикличному кольцу абелевых групп, а гомоморфизмы Гуревича являются %-изоморфизмами до размерности п. В начале данного параграфа дается ряд необходимых определений: класса Серра абелевых групп, кольца абелевых групп, ацикличности классов Серра, X-изоморфности и ЗС-эквивалентности. Отмечается, необходимое для дальнейшего, свойство (см. предложение 4.4). Затем доказывается теорема 4.4 (о ЗС-свойствах толерантных расслоений и квазирасслоений). Из этой основной теоремы мы получаем ряд важных следствий, которые позволяют в результате доказать обобщенную теорему Гуревича 4.5.
В заключении подводятся итоги и отмечается важность, разработанного в диссертации, толерантного аналога метода Серра.
Заключение
.
В диссертационной работе доказательства теорем Гуревича были получены с помощью метода, предложенного известным французским математиком Ж. П. Серром. Метод Серра основан на построении расслоения со стягиваемым пространством расслоения, и применении спектральной последовательности Лере-Серра. Вторая и третья главы диссертации фактически посвящены получению результатов, позволяющих перенести метод Серра в теорию толерантных пространств. Это позволило применить этот метод в заключительной главе 4 для доказательства теорем Гуревича для толерантных пространств. Заметим, что теорему Гуревича 4.2 можно было попытаться доказать, не применяя метод Серра, а используя конструкцию гомоморфизма Гуревича из п. 4.1, гл. 4. Но доказательство обобщенной теоремы Гуревича 4.5, чья формулировка носит значительно более абстрактный и алгебраический характер, необходимо требует применения метода Серра. Другие применения метода Серра в теории толерантных пространств и вычисления, испольующие толерантные теоремы Гуревича, остались за пределами данного диссертационного исследования, имеющего и без того значительный объем и ограниченного рамками темы, указанной в названии диссертации.
