В этом случае парная игра формально задается матрицей, А = (аij), элементы которой аij определяют выигрыш первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю стратегию (i =), а второй —j-ю стратегию (j =). Матрица, А называется матрицей игры, или платежной матрицей.
Существует ряд методов решения матричных игр. Если матрица игры имеет одну из размерностей, равную двум (у одного из игроков имеется только две стратегии), то решение игры может быть получено графически. Известно несколько методов приближенного решения матричной игры, например, метод Брауна. Во многих игровых задачах в сфере экономики неопределенность вызвана не сознательным противодействием противника, а недостаточной осведомленностью об условиях, в которых действуют стороны.
Когда одной из сторон выступает природа, когда неизвестно заранее погода, игры называются — играми с природой. В этих случаях строки матрицы игры соответствуют стратегии игрока, а столбцы — состояниям «природы». В ряде случаев при решении такой игры рассматривают матрицу рисков.
При решении игр с природой используется так же ряд критериев: критерий Сэвиджа, критерий Вальда, критерий Гурвица и др.
При максимальном критерии Вальда оптимальным считается та стратегия лица, принимающего решение, которая обеспечивает максимум минимального выигрыша; применяя этот критерий, ЛПР в большей степени ориентируется на наихудшие условия (этот критерий иногда называют критерием «крайнего пессимизма»).
Критерий минимаксного риска Сэвиджа предполагает, что оптимальной является та стратегия, при которой величина риска в наихудшем случае минимальна.
При использовании критерия «пессимизм — оптимизма» Гурвица ЛПР выбирает некоторый так называемый «коэффициент пессимизма» q; при q = 1 критерий Гурвица приводится к критерию Вальда («крайнего пессимизма»), а при критерию q=0 «крайнего оптимизма».
2.
3. Использование в управлении моделирования систем массового обслуживания
Методы и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания, можно условно разделить на аналитические имитационные.
Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров её функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО. Имитационные методы основаны на моделировании процессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если, невозможно применение аналитических моделей. Далее будем рассматривать аналитические метод моделирования СМО.
В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).
Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т. е. вероятность поступления за время t ровно k требований задается формулой:
Простейший поток обладает тремя основными свойств ординарности, стационарности и отсутствием последствия.
Ординарность потока означает практическую невозможность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков.
Стационарным называется поток, для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени t зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.
Отсутствие последействия означает, что число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того сколько требований поступит в систему за промежуток времени от t до t+t.
Важная характеристика СМО — время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и особенно в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого она имеет вид:
т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой, где — параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе, т. е. величина, обратная среднему времени обслуживания :
Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных СМО с ожиданием, т. е. таких СМО, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.
Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток лини с параметром. Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.
Время обслуживания каждого требования — случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром .
СМО с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен.
Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Отмеченные особенности функционирования этой системы. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (так называемы формулы Эрланга).
Рассмотрим алгоритмы расчета показателей качества функционирования разомкнутой системы массового обслужит с ожиданием.
При изучении таких систем рассчитывают различны показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициент занятости и простоя каналов обслуживания и др.
Введем в рассмотрение параметр. Заметим, что если, то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: — среднее число требований, поступающих за единицу времени, -время обслуживания одним каналом одного требования. Тогда — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступившие требования. Поэтому условие < 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования. Важнейшие характеристики работы СМО:
1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны
2. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находятся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов:
Po где
3. Вероятность того, что в системе находится k требований в случаи, когда их число больше числа обслуживающих каналов:
где
4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты:
5.Среднее время ожидания требованием начала обслуживания в системе:
6.Средняя длина очереди:
7.Среднее число свободных от обслуживания каналов:
8.Коэффициент простоя каналов:
.
9.Среднее число занятых обслуживанием каналов:
10.Коэффициент загрузки каналов:
Перейдем к рассмотрению алгоритмов расчета характеристик функционирования замкнутых СМО. Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т. е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m — число обслуживаемых объектов).
За критерий, характеризующий качество функционирования рассматриваемой системы, выберем отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе — коэффициент простоя обслуживаемого объекта. В качестве другого критерия возьмем отношение среднего числа незанятых обслуживающих каналов к их общему числу — коэффициент простоя обслуживаемого канала.
Первый из названных критериев характеризует потери времени из-за ожидания начала обслуживания; второй показывает полноту загрузки обслуживающей системы.
Очевидно, что очередь может возникнуть, лишь когда число каналов меньше наибольшего числа требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе (n < m).
Приведем последовательность расчетов характерней замкнутых СМО и необходимые формулы.
1. Определим параметр — показатель загрузки системы, т. е. математическое ожидание числа требований поступающих в систему за время, равное средней длительности обслуживания ().
2. Вероятность того, что занято k обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе не превосходит числа обслуживающих каналов системы:
3. Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов:
4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны, определим, используя очевидное условие:
откуда .
Величину Ро можно получить также путем подстановки в равенство значения, в которых Ро вводит сомножителем. Подставляя их, получаем следующее уравнение для определения Ро:
откуда
5.Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди),
или
.
6.Коэффициент простоя обслуживаемого требования (объекта)
.
7. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:
или
8.Среднее число свободных обслуживающих каналов
.
9.Коэффициент простоя обслуживающего канала:
Заключение
Таким образом, в ходе исследования получены следующие результаты:
Математической статистикой называется раздел прикладной математики, изучающий методы сбора, обработки и анализа экспериментальных данных.
Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков. Совокупность из всех объектов, объединенных этими признаками, называется генеральной. Задачей исследования является изучение признаков генеральной совокупности, которые определяются влиянием некоторых случайных факторов. Череда изучаемых массовых явлений как предмета статистики с течением времени возрастает. Предмет статистики (массовое явление любой области) отличается от предметов других наук тремя основными чертами:
1) массовый характер проявления изучаемого явления;
2) преимущественно количественное выражение изучаемых сторон (черт, параметров) массового явления;
3) проявление общей закономерности, свойственной явлению в целом, и наличие случайности в индивидуальных элементах.
В истоках развития математической статистики лежат работы А. Кетле (1796−1874), Ф. Гальтона (1822−1911) и, в особенности, К. Пирсона (1857−1936). В современном развитии определяющую роль сыграли труды Р. Фишера (1890−1962), Ю. Неймана, А. Вальда (1902;1950) и др. Закономерность случайного рассеивания, выражаемая нормальным распределением, получила свое научное обоснование в теоретико-вероятностных исследованиях выдающихся русских математиков П. Л. Чебышева (1821−1894), А. А. Маркова (1856−1922) и А. М. Ляпунова (1857−1918), значительно расширивших результаты классических исследований Я. Бернулли (1654−1705), А. Муавра (1667−1754), П. Лапласа (1749−1827) и С. Пуассона (1781−1840). Статистический или эмпирический подход в теории вероятностей был развит главным образом Р. Э. Фишером и Р.Мизесом. Понятие пространства элементарных событий идет от Р.Мизеса. Это понятие сделало возможным построение строгой математической теории вероятностей на основе теории меры. Аксиоматический подход на современном уровне был разработан А. Н. Колмогоровым.
К статистике, её методам и прежде всего математической статистике, обращаются везде и всюду. Без статистики немыслимо подведение итогов деятельности как отдельно взятых хозяйствующих субъектов, так и целых стран и мировой экономики в целом. В равной мере невозможно принятие научно-обоснованных управленческих решений, невозможна оперативная работа в любой области профессиональной деятельности. С помощью статистических методов можно обосновать и доказать экономические предположения, проверить теоретические гипотезы, восстановить, пополнить и скорректировать существующие оценки, представить изучаемые явления в полном объеме накопленных знаний. Нет другой отрасли современных знаний, которая решала бы эти вопросы более квалифицированно, полно и объективно, чем статистика.
Список литературы
Айвазян С.А., Иванова С. С. Эконометрика. Краткий курс: учеб. пособие / С. А. Айвазян, С. С. Иванова. — М.: Маркет ДС, 2007. — 104 с.
Береславская В.А., Стрельникова Н. М., Хинканина Л. А. Теория статистики: Учебное пособие. — Йошкар-Ола: Мар
ГТУ, 2004. — 136 с.
Бывшев В. А. Эконометрика: учеб. пособие / В. А. Бывшев. — М.: Финансы и статистика, 2008. — 480 с.
Ефимова М.Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики: Учебник. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ИНФРА-М, 2005. — 416 с.
Дуброва Т. А. Прогнозирование социально-экономических процессов. Статистические методы и модели: учеб. пособие / Т. А. Дуброва. — М.: Маркет ДС, 2007. — 192 с.
Методы математической статистики в обработке экономической информации: учеб. пособие / Т. Т. Цымбаленко, А. Н. Баудаков, О. С. Цымбаленко и др.; под ред. проф. Т. Т. Цымбаленко. — М.: Финансы и статистика; Ставрополь: АРГУС, 2007. — 200 с.
Палий И. А. Прикладная статистика: Учебное пособие. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2008. — 224 с.
Рудакова Р.П., Букин Л. Л., Гаврилов В. И. Статистика. 2-е изд. — СПб.: Питер, 2007 — 288 с.: ил.
Салин В.Н., Чурилова Э. Ю. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник. — М.: Финансы и статистика, 2007. — 480 с.: ил.
Статистика: Учеб. пособие / Харченко Л. П., Ионин В. Г., Глинский В. В. и др.; Под ред. канд. экон. наук, проф. В. Г. Ионина.
— 3-е изд., перераб. и доп. — М.: ИНФРА-М, 2008.
— 445 с.
Симчера В. М. Методы многомерного анализа статистических данных: учеб. пособие. — М.: Финансы и статистика, 2008. — 400 с.
Теория статистики: учебник / Шмойлова Р. А., Минашкин В. Г., Садовникова Н. А., Шувалова Е. Б.; под ред. Шмойловой Р. А. — 5-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2007. — 656 с.: ил.
Эконометрика: учеб. / под ред. д-ра экон. наук, проф. В. С. Мхитаряна. — М.: Проспект, 2008. — 384 с.
Эконометрика: учеб. / под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Проспект, 2009. — 288 с.
Экономика и статистика фирм: Учебник / В. Е. Адамов, С. Д. Ильенкова, Т. П. Сиротина, С. А. Смирнов; Под ред. д-ра экон. наук, проф. С. Д. Ильенковой. -3-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 288 с.: ил.
Экономическая статистика: Учебник. — 3-е изд., перераб. и доп. / Под ред. проф. Иванова Ю. Н. — М.: ИНФРА-М, 2007. — 736 с.
