Задача 2
Предприятие производит два вида продукции Р1 и Р2, используя три вида ресурса S1, S2,S3. Известны запасы ресурсов, удельные затраты каждого вида ресурса на производство каждого продукта, а также цена единицы произведенной продукции (табл.
1).
Требуется найти такой план выпуска продукции из имеющихся ресурсов, при котором общая стоимость произведенной продукции была бы наибольшей.
Составить математическую модель задачи.
Решить полученную задачу двумя способами: графически и симплекс-методом.
Для данной задачи составить двойственную.
Из последней симплекс-таблицы выписать оптимальные решения обеих задач.
Сделать проверку при помощи критерия оптимальности планов двойственных задач.
Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
Таблица 1.
Ресурсы Затраты ресурсов на единицу продукции Запасы ресурсов Р1 Р2 S1 4 17 68 S2 5 3 45 S3 5 6 30 Цена ед. продукции 3 4
Обозначим через х1, х2 — объемы выпуска каждого вида продукции.
Тогда общая стоимость при заданных ценах, т. е. целевая функция примет вид:
Так как при производстве продукции не может быть использовано ресурсов больше чем их есть в запасе, то при заданных затратах на изготовление продукции можно выразить систему ограничений:
Графическое решение задачи состоит в нахождении области определения целевой функции, заданной системой ограничений, расчете значений целевой функции в точках экстремума и выборе необходимого максимального или минимального значения. Наглядность этого метода решения реализуется только в том случае, если количество переменных не превышает двух.
Прямые ограничивают плоскость ОАВС. Точки наибольшего значения линейной целевой функции на линейно заданной области определения следует искать в угловых точках области.
Координаты точек О, А, С найдены при построении.
Наибольшее значение функции, т. е. наибольшая стоимость продукции, достигается в, соответствующей выпуску продукции ;
Двойственная задача:
Для решения задачи при помощи симплекс таблицы необходимо привести задачи к каноническому виду:
Между переменными прямой и двойственной задачи устанавливается взаимно однозначное соответствие, которое сохраняется до конца решения задачи, причем базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные в двойственной, и наоборот:
При решении прямой задачи симплекс методом, параллельно решается и двойственная.
Её решения содержатся в последней симплекс-таблице
Симплекс-таблица 1.
1 CL 0 3 4 0 0 0 СбL БП B S1 S2 S3 S4 S5 0 X3 68 4 17* 1 0 0 0 X4 45 5 3 0 1 0 0 X5 30 5 6 0 0 1 L 0 -3 -4 0 0 0
Данные для заполнения первой симплекс-таблицы находятся в самой задаче, т. е. в целевой функции и в системе ограничений.
СL — коэффициенты при неизвестных целевой функции.
СбL — коэффициенты при базисных неизвестных целевой функции.
БП — базисные переменные.
В — столбец свободных членов.
S1-S5 — коэффициенты при неизвестных в системе ограничений.
L — индексная строка.
Значения в индексной строке в первой симплекс-таблице находятся по формулам:
— значение целевой функции на данном базисном плане. В данной задаче равное 0.
Необходимо проверить данный допустимый план по критерию оптимальности. Для задачи максимизации необходимо чтобы все значения индексной строки были больше или равны нулю.
В данной задаче — допустимый план не является оптимальным.
Составляется вторая симплекс-таблица, т. е. следующий допустимый план, данные для которого находятся в первой таблице.
Переход к другой симплекс-таблице — переход к другому базису. Для того чтобы определить, какая переменная в базисе какой будет заменена, необходимо произвести расчеты в предыдущей таблице.
В новый базис будет включена переменная, для которой в индексной строке нарушен критерий оптимальности. Так как в данном случае такая переменная не одна, то выбирается большая по абсолютной величине — (-4). Строка, соответствующая данной переменной называется ключевой и заштриховывается. В новый базис войдет Х2.
Для того, чтобы определить какую переменную заменит Х2, вычисляется отношение:
Переменная, соответствующая строке, в которой это отношение минимально будет заменена Х2. Эта строка называется ключевой и заштриховывается. В данной задаче — Х3.
Элемент на пересечении ключевых строки и столбца — ключевой, помечается *.
Таблица 2.
2 CL 0 3 4 0 0 0 СбL БП B S1 S2 S3 S4 S5 4 X2 4 1 0 0 0 X4 33 0 1 0 0 X5 6 0 0 1 L 16 0 0 0
Все элементы ключевого столбца делятся на ключевой элемент. Полученные значения переносятся во вторую таблицу. Значения остальных элементов рассчитываются по правилу перпендикуляра.
В индексной строке — данный план также не является оптимальным.
Для составления третьей симплекс-таблицы необходимо произвести во второй аналогичные вычисления по заданному алгоритму.
Таблица 3.
3 CL 0 3 4 0 0 0 СбL БП B S1 S2 S3 S4 S5 4 X2 0 1 0 0 X4 0 0 1 3 X1 1 0 0 L 0 0 0
В индексной строке все значения — план оптимальный.
Так как среди значений свободных переменных в индексной строке нулевых нет — решение единственное.
Необходимо проверить план по критерию оптимальности и выполнение условий дополнительной нежесткости.
1)
2)
— оптимальный объем выпуска.
— остатки сырья.
— оценки использования сырья.
Дефицитному сырью () соответствуют положительные оценки. Если сырье использовано не полностью, его оценка — 0.
— оценка прибыльности производства.
Заключение
.
Мы рассмотрели проблему потребительского выбора. В начале работы раскрыт вопрос о том, что такое потребительский выбор и почему моделирование его является важным в экономике.
Во второй части работы предложена методика моделирование процесса выбора потребителя — с помощью так называемой функции полезности. Обсуждается проблема того, как именно можно описать предпочтения потребителя.
В следующем параграфе приведен пример использования этой методики — рассмотрена совершенно конкретная ситуация и найдено оптимальное решение в ней.
Далее рассматриваются трудности на пути практического использования описанного метода.
Список литературы
.
1. Вэриан Х. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. М.: ЮНИТИ, 1997.
2. Nicholson W. Microeconomics Theory. Basic Principles and Extensions. 6-th ed. Dryden press, 1995.
3. Gravelle H., Rees R. Microeconomics. 2-nd ed. Longman Group (FE) Ltd, 1992.
4. Varian H. Microeconomics analyses. 3-rd ed. W.W. Norton & Company, 1992.
5. Гальперин В. М., Игнатьев С. М., Моргунов В. И. Микроэкономика. В 2-х томах — С.-Петербург: Экономическая школа, 1994, 1997.
6. Чеканский А. Н., Фролова Н. Л. Микроэкономика-2. Учебное пособие. — М.: ТЕИС, 1999.
7. Хайман Д. Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. В 2-х томах — М.: Финансы и статистика, 1992
