История изучения движения в геометрии

Аналогично даётся представление о телах: они образуются при движении плоскостей.

1.6 Шаль, Клейн и Пуанкаре Дальнейшее развитие теории движений связывают с именем французского математика и историка науки Мишеля Шаля (1793−1880). В 1837 г. он выпускает труд «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». В процессе собственных геометрических исследований Шаль доказывает важнейшую теорему: всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом, всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.

Теории геометрических преобразований, в частности математическая теория движений (перемещений) была важным обогащением, которым геометрия обязана XIX веку. К этому времени назрела необходимость дать классификацию всех существующих геометрических систем. Такую задачу решил немецкий математик Кристиан Феликс Клейн (1849−1925).

В 1872 г., вступая в должность профессора Эрлангенского университета, Клейн прочитал лекцию «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований». Выдвинутая им идея переосмысления всей геометрии на основе теории движений получила название «Эрлангенская программа».

По Клейну, для построения той или иной геометрии нужно задать множество элементов и группу преобразований. Задача геометрии состоит в изучении тех отношений между элементами, которые остаются инвариантными при всех преобразованиях данной группы. Например, геометрия Евклида изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при движении. Иначе говоря, если одна фигура получается из другой движением (такие фигуры называются конгруэнтными), то у этих фигур одинаковые геометрические свойства.

В этом смысле движения составляют основу геометрии, а пять аксиом конгруэнтности выделены самостоятельной группой в системе аксиом современной геометрии.

Позже А. Пуанкаре в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно строить модель геометрии Лобачевского в пространстве.

Коротко модели Клейна и Пуанкаре можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить внутренность круга (пространством — внутренность шара), и геометрия Лобачевского есть учение о тех свойствах фигур внутри круга (шара), которые в случае модели Клейна не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре — при конформных преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные преобразования есть те, которые переводят прямые в прямые, конформные — те, которые сохраняют углы).

1.7 Гильберт и Шур Полную и достаточно строгую систему аксиом, подытожив все предыдущие исследования, предложил немецкий математик Давид Гильберт (1862−1943). Его система из двадцати аксиом, разделённых на пять групп, была впервые опубликована в 1899 году в книге «Основания геометрии».

В 1909 г. немецкий математик Фридрих Шур (1856−1932), следуя идеям Фалеса и Клейна, разработал другую систему аксиом геометрии — основанную на рассмотрении движений. В его системе, в частности, вместо группы аксиом конгруэнтности Гильберта предлагается группа из трёх аксиом движения.2. Псевдоевклидово пространство

Впервые понятие о многомерном пространстве зародилось в связи с механикой ещё у Ж. Лагранжа, когда к трём пространственным координатам х, у, z в качестве четвёртой формально присоединяется время t. Так появляется четырёхмерное «пространство — время», где точка определяется четырьмя координатами х, у, z, t. Каждое событие характеризуется этими четырьмя координатами и, отвлеченно, множество всех событий в мире оказывается четырёхмерным пространством. Этот взгляд получил развитие в геометрической трактовке теории относительности, данной Г. Минковским, а потом в построении А.

Эйнштейном общей теории относительности. В ней он воспользовался четырехмерной римановой (псевдоримановой) Геометрией. Так геометрические теории, развившиеся из обобщения данных пространственного опыта, оказались математическим методом построения более глубокой теории пространства и времени. В свою очередь теория относительности дала мощный толчок развитию общих геометрических теорий. Возникнув из элементарной практики, геометрия через ряд абстракций и обобщений возвращается к естествознанию и практике на более высокой ступени в качестве метода.

С геометрической точки зрения многообразие пространства — времени обычно трактуется в общей теории относительности как неоднородное римановского типа, но с метрикой, определяемой знакопеременной формой, приводимой в бесконечно малой области к виду

dx2 + dy2 + dz2 — c2dt2

(с — скорость света в вакууме). Само пространство, поскольку его можно отделить от времени, оказывается также неоднородным римановым. С современной геометрической точки зрения лучше смотреть на теорию относительности следующим образом. Специальная теория относительности утверждает, что многообразие пространства — времени есть псевдоевклидово пространство, т. е. такое, в котором роль «движений» играют преобразования, сохраняющие квадратичную форму

x2 + y2 + z2 — c2t2

точнее, это есть пространство с группой преобразований, сохраняющих указанную квадратичную форму. От всякой формулы, выражающей физический закон, требуется, чтобы она не менялась при преобразованиях группы этого пространства, которые суть так называемые преобразования Лоренца. Согласно же общей теории относительности, многообразие пространства — времени неоднородно и лишь в каждой «бесконечно малой» области сводится к псевдоевклидову, т. е. оно есть пространство картановского типа. Однако такое понимание стало возможно лишь позже, т.к. само понятие о пространствах такого типа появилось после теории относительности и было развито под её прямым влиянием.

Заключение

Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит к общему принципу определения разных пространств, когда пространством считается множество элементов (точек), в котором задана группа взаимно однозначных преобразований этого множества на себя. «Геометрия» такого пространства состоит в изучении тех свойств фигур, которые сохраняются при преобразованиях из этой группы. Поэтому с точки зрения такой геометрии фигуры можно считать «равными», если одна переходит в другую посредством преобразования из данной группы. Например, евклидова геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, аффинная геометрия — свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, топология — свойства фигур, сохраняющиеся при любых взаимно однозначных и непрерывных преобразованиях.

В эту же схему включаются геометрия Лобачевского, проективная геометрия др. Фактически этот принцип соединяется с введением координат. Пространство определяется как гладкое многообразие, в котором преобразования задаются функциями, связывающими координаты каждой данной точки и той, в которую она переходит (координаты образа точки задаются как функции координат самой точки и параметров, от которых зависит преобразование; например, аффинные преобразования определяются как линейные). Поэтому общим аппаратом разработки таких «геометрий» служит теория непрерывных групп преобразований.

Возможна другая, по существу эквивалентная, точка зрения, согласно которой задаются не преобразования пространства, а преобразования координат в нём, причём изучаются те свойства фигур, которые одинаково выражаются в разных системах координат. Эта точка зрения нашла применение в теории относительности, которая требует одинакового выражения физических законов в разных системах координат, называемых в физике системами отсчёта.

Геометрические теории находят широкое применение в механике и физике, когда совокупность состояний какой-либо системы рассматривается как некоторое пространство. Так, все возможные конфигурации (взаимное расположение элементов) механической системы образуют «конфигурационное пространство»; движение системы изображается движением точки в этом пространстве. Совокупность всех состояний физической системы (в простейшем случае — положения и скорости образующих систему материальных точек, например молекул газа) рассматривается как «фазовое пространство» системы. Эта точка зрения находит, в частности, применение в статистической физике и др.

Список литературы

. К. А. Рыбников «История математики» изд. 2-е, М, 1974 г.

«Хрестоматия по истории математики» под ред. А. П. Юшкевича, М, 1977 г.

Б.В.Болгарский «Очерки по истории математики» изд.

2-е, Минск, «Вышэйшая школа», 1979 г Колмогоров А. Н., Математика, в книге: Большая Советская энциклопедия, 2 изд., т. 26, М., 1954 (

http://www.kolmogorov.info/bse-mathimatic.html)

А.Е.Райк «Очерки по истории математики в древности» изд. 2-е, Саранск, 1977 г.