Наличие различных возмущений, обусловленных шероховатость стенок трубы, изменением значения скорости потока или ее направления, близостью входа в трубу и т. п., можно существенно снижать величину. Критическое значении уменьшается и при неизотермичности потока по сечению трубы из-за возникновения конвективных токов жидкости в направлении, перпендикулярном к оси трубы.
В случае движения жидкости через каналы некруглого сечения при расчете критерия вместо используют эквивалентный диаметр.
5 Распределение скоростей и расход жидкости при установившемся ламинарном потоке
В случае ламинарного движения вязкой жидкости в прямой трубе круглого сечения всю жидкость можно мысленно разбить на ряд кольцевых слоев, соосных с трубой (рис.
2, а).
Рис. 2 — К определению распределения скоростей и расхода жидкости при ламинарном движении
Вследствие действия между слоями сил трения слои будут двигаться с неодинаковыми скоростями. Центральный цилиндрический слой у оси трубы имеет максимальную скорость, но по мере удаления от оси, скорость элементарных кольцевых слоев будет уменьшаться. Непосредственно у стенки жидкость как бы прилипает к стенке, и ее скорость здесь обращается в нуль.
Выделим в потоке жидкости, ламинарно движущемся по труде радиусом (рис.
2, б), цилиндрический слой длиной и радиусом .
Движение слоя происходит под действием разности сил давления и с обеих торцевых сторон цилиндра:
Где — гидростатические давления в сечениях 1−1 и 2−2.
Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внутреннего трения, для которой справедливо выражение:
Где — скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра на расстоянии от оси;
— наружная поверхность цилиндра;
— вязкость жидкости.
Знак минус указывает на убывание скорости с увеличение радиуса (при величина).
При установившемся движении разность сил давления затрачивается на преодоление силы трения, и сумма проекций всех этих сил на ось потока должна быть равна нулю. Вследствие трения движение рассматриваемого цилиндрического слоя тормозится, значит, сила трения, приложенная к его боковой поверхности, направлена противоположно разности и проектируется на ось, направление которой совпадает с направление движения, со знаком минус. Следовательно:
или
Откуда, после сокращения и разделения переменных, получим:
.
Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегрируем это дифференциальное уравнение, учитывая, что радиус в левой части уравнения изменится от до, а переменная скорость в правой части — от до (у стенки, где):
.
Тогда:
или
.
Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, где :
.
Сопоставляя два последних выражения, находим:
.
Полученное уравнение представляет собой закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении.
Для определения расхода жидкости при ламинарном движении рассмотрим элементарное кольцевое сечение (рис.
2, б) с внутренним радиусом и внешним радиусом, площадь которого равна. Объемный расход жидкости через это сечение составляет:
или
.
Интегрируя последнее уравнение, получим общий расход жидкости через трубу:
Подставляя вместо диаметр трубы и обозначая, окончательно находим:
.
Предпоследнее или последнее уравнение, определяющее расход жидкости при ее ламинарном движении по круглой прямой трубе, носит название уравнения Пуазейля.
Соотношение между средней скоростью и максимальной скоростью можно получить, сопоставив значение из уравнений:
и откуда:
Сравнивая, находим:
Таким образом, при ламинарном потоке в трубе средняя скорость жидкости рана половине скорости по оси трубы.
Соответственно параболический закон распределения скоростей по сечению трубы может быть представлен в виде:
.
Этот закон, выведенный теоретически, хорошо подтверждается эпюрами скоростей, полученными опытным путем (рис.
3).
а) ламинарный поток; б) турбулентный поток Рис. 3 — Распределение скоростей при различных режимах движения
Список литературы
Бэтчелор Дж.
Введение
в динамику жидкости. / под ред. Степанова Г. Ю. — М.: Мир, 1973.
Дытнерский Ю. И. Основные процессы и аппараты химической технологии: Пособие по проектированию. — М.: Химия, 1991.
Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. — М.: Химия, 1973.
Коган В.Б., Фридман В. М., Кафаров В. В. Равновесие между жидкостью и паром. — М.: Наук, 1966.
Кочин Н.Е., Кобель И. А. Теоретическая гидромеханика. Часть 1, 2. / под ред. Кобеля И. А. — М., 1963
Плановский А.Н., Рамм В. М., Каган С. З. Процессы и аппараты химической технологии. — М.: Химия, 1968.
