Экспертные методы принятия решений

Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в РТИ так: выводы на основе данных, измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных (другими словами, выводы должны быть инвариантны по отношению к допустимым преобразованиям шкалы). Таким образом, цель теории измерений — борьба с субъективизмом исследователя при приписывании численных значений реальным объектам. Так, расстояния можно измерять в метрах, микронах, милях, парсеках и других единицах измерения. Выбор единиц измерения зависит от исследователя, т. е. субъективен. Статистические выводы могут быть адекватны реальности только тогда, когда они не зависят от того, какую единицу измерения предпочтет исследователь, т. е. когда они инвариантны относительно допустимого преобразования шкалы.

В качестве примера рассмотрим обработку мнений экспертов, измеренных в порядковой шкале. Пусть Y1, Y2,…, Yn — совокупность оценок экспертов, «выставленных» одному объекту экспертизы (например, одному из вариантов стратегического развития фирмы), Z1, Z2,…, Zn — второму (другому варианту такого развития).

Как сравнивать эти совокупности? Самое простое — по средним значениям. А как вычислять средние? Известны различные виды средних величин: среднее арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое. Обобщением нескольких из перечисленных является среднее по Колмогорову. Для чисел X1, X2,…, Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формуле

G{(F (X1)+F (X2)+…F (Xn))/n},

где F — строго монотонная функция, G — функция, обратная к F. Если F (x) = x, то среднее по Колмогорову — это среднее арифметическое, если F (x) = ln x, то среднее геометрическое, если F (x) = 1/x, то среднее гармоническое, и т. д. Медиану и моду нельзя представить в виде средних по Колмогорову.

Напомним, что общее понятие среднего (введенное французским математиком первой половины Х1Х в. академиком О. Коши) таково: средней величиной является любая функция f (X1, X2,…Xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции не меньше, чем минимальное из чисел X1, X2,…Xn, и не больше, чем максимальное из этих чисел. Среднее по Колмогорову — частный случай среднего по Коши. Медиана и мода не являются средними по Колмогорову, но тоже — средние по Коши.

При допустимом преобразовании шкалы значение средней величины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднее больше, а для какой — меньше, не должны меняться (в соответствии с требованием инвариантности выводов, принятом в РТИ). Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы. Пусть f (X1, X2,…, Xn) — среднее по Коши. Пусть

f (Y1, Y2,…, Yn) < f (Z1, Z2,…, Zn). (1)

Тогда для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g из группы допустимых преобразований в соответствующей шкале было справедливо также неравенство

f (g (Y1), g (Y2),…, g (Yn)) < f (g (Z1), g (Z2),…, g (Zn)), (2)

т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности. Причем сформулированное условие должно быть верно для любых двух совокупностей Y1, Y2,…, Yn и Z1, Z2,…, Zn. Согласно РТИ только такими средними можно пользоваться при анализе мнений экспертов.

С помощью математической теории удается описать вид допустимых средних в основных шкалах:

в шкале наименований в качестве среднего годится только мода;

из всех средних по Коши в порядковой шкале в качестве средних можно использовать только члены вариационного ряда (порядковые статистики), в частности, медиану (при нечетном объеме выборки; при четном же объеме следует применять один из двух центральных членов вариационного ряда — как их иногда называют, левую медиану или правую медиану), но не среднее арифметическое, среднее геометрическое и т. д.;

в шкалах интервалов из всех средних по Колмогорову можно применять только среднее арифметическое;

в шкале отношений из всех средних по Колмогорову устойчивыми относительно сравнения являются только степенные средние и среднее геометрическое.

Приведем численный пример, показывающий некорректность использования среднего арифметического f (X1, X2) = (X1+X2)/2 в порядковой шкале. Пусть Y1= 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тогда f (Y1, Y2) = 6, что меньше, чем f (Z1, Z2) = 7. Пусть строго возрастающее преобразование g таково, что g (1) = 1, g (6) = 6, g (8) = 8, g (11) = 99. Тогда f (g (Y1), g (Y2)) = 50, что больше, чем f (g (Z1), g (Z2)) = 7. Как видим, в результате преобразования шкалы упорядоченность средних изменилась.

В настоящее время распространены экспертные, маркетинговые, квалиметрические, социологические и др. опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы объектам, изделиям, технологическим процессам, предприятиям, проектам, заявкам на выполнение научно-исследовательских работ, идеям, проблемам, программам, политикам и т. п., а затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные коллективом опрошенных. Какими формулами пользоваться для вычисления средних величин? Обычно применяют среднее арифметическое. Мы уже более 25 лет знаем, что такой способ некорректен, поскольку баллы обычно измерены в порядковой шкале (см.

выше). Обоснованным является использование медиан в качестве средних баллов. Однако полностью игнорировать средние арифметические нецелесообразно из-за их распространенности. Поэтому целесообразно использовать одновременно оба метода — и метод средних арифметических рангов (баллов), и методов медианных рангов. Такая рекомендация находится в согласии с концепцией устойчивости, рекомендующей использовать различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах. Такие выводы, видимо, соответствуют действительности, в то время как заключения, меняющиеся от метода к методу, зависят от субъективизма исследователя, выбирающего метод.

3. Выбор одного из восьми проектов

Рассмотрим конкретный пример применения только что сформулированного подхода.

Анализировались восемь проектов, предлагаемых для включения в план стратегического развития фирмы, обозначенные следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, Сол, Стеф, К (по фамилиям менеджеров, предложивших их для рассмотрения). Все проекты были направлены 12 экспертам, назначенным Правлением фирмы. В приведенной ниже табл.

1 приведены ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с их представлением о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы

Таблица 1

Ранги 8 проектов по степени привлекательности для включения в план стратегического развития фирмы

№ эксперта Д Л М-К Б Г-Б Сол Стеф К 1 5 3 1 2 8 4 6 7 2 5 4 3 1 8 2 6 7 3 1 7 5 4 8 2 3 6 4 6 4 2,5 2,5 8 1 7 5 5 8 2 4 6 3 5 1 7 6 5 6 4 3 2 1 7 8 7 6 1 2 3 5 4 8 7 8 5 1 3 2 7 4 6 8 9 6 1 3 2 5 4 7 8 10 5 3 2 1 8 4 6 7 11 7 1 3 2 6 4 5 8 12 1 6 5 3 8 4 2 7 Примечание. (ранг 1 — самый лучший проект, который обязательно надо реализовать, ранг 2 — второй по привлекательности проект, …, ранг 8 — наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь).Эксперт № 4 считает, что проекты М-К и Б равноценны, но уступают лишь одному проекту — проекту Сол. Поэтому проекты М-К и Б должны были бы стоять на втором и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл (2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5.

Анализируя результаты работы экспертов, члены Правления фирмы были вынуждены констатировать, что полного согласия между экспертами нет, а потому данные, приведенные в табл.

1, следует подвергнуть более тщательному математическому анализу.

Сначала был применен метод средних арифметических рангов. Для этого прежде всего была подсчитана сумма рангов, присвоенных проектам. Затем эта сумма была разделена на число экспертов, в результате рассчитан средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу). По средним рангам строится итоговая ранжировка, исходя из принципа — чем меньше средний ранг, чем лучше проект. Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта Б, — следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Следующая по величине сумма, равная 3,125, у проекта М-К, — и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и Сол имеют одинаковые суммы (равные 3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл.

4 ниже.

Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что-то же, по средним арифметическим рангам) имеет вид:

Б < М-К < {Л, Сол} < Д < Стеф < Г-Б < К. (3)

Здесь запись типа «А<�Б» означает, что проект, А предшествует проекту Б (т.е. проект, А лучше проекта Б). Поскольку модели Л и Сол получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу они эквивалентны, а потому объединены в группу (в фигурных скобках). В терминологии математической статистики ранжировка (3) имеет одну связь.

Значит, наука сказала свое слово, итог расчетов — ранжировка (1), и на ее основе предстоит принимать решение? Но тут наиболее знакомый с современной эконометрикой член Правления вспомнил то, о чем говорилось в предыдущем разделе. Он вспомнил, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале и что для них неправомерно проводить усреднение методом средних арифметических. Надо использовать метод медиан.

Что это значит? Надо взять ответы экспертов, соответствующие одному из проектов, например, проекту Д. Это ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Затем их надо расположить в порядке неубывания. Получим: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах — шестом и седьмом — стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.

Результаты подобных расчетов представлены в таблице 2.

Таблица 2

Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу медиан для данных, приведенных в табл.

1.

Д Л М-К Б Г-Б Сол Стеф К Сумма рангов 60 39 37,5 31.5 76 39 64 85 Средн. арифм. ранг 5 3,25 3,125 2,625 6,333 3,25 5,333 7,083 Итоговый ранг по средн. арифм. 5 3,5 2 1 7 3,5 6 8 Медианы рангов 5 3 3 2,25 7,5 4 6 7 Итоговый ранг по

медианам 5 2,5 2,5 1 8 4 6 7 Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл. 2. (При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики — как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое упорядочение по методу медиан приведено в последней строке таблицы. Ранжировка по медианам имеет вид:

Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <�Г-Б. (4)

Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т. е. с точки зрения математической статистики ранжировка (4) имеет одну связь.

Сравнение ранжировок (3) и (4) показывает их близость (похожесть). Можно принять, что проекты М-К, Л, Сол упорядочены как М-К < Л < Сол, но из-за погрешностей экспертных оценок в одном методе признаны равноценными проекты Л и Сол (ранжировка (3)), а в другом — проекты М-К и Л (ранжировка (4)). Существенным является только расхождение, касающееся упорядочения проектов К и Г-Б: в ранжировке (3) Г-Б < К, а в ранжировке (4), наоборот, К < Г-Б. Однако эти проекты — наименее привлекательные из восьми рассматриваемых, и при выборе наиболее привлекательных проектов для дальнейшего обсуждения и использования на указанное расхождение можно не обращать внимание.

Рассмотренный пример демонстрирует сходство и различие ранжировок, полученным по методу средних арифметических рангов и по методу медиана, а также пользу от их совместного применения.

Заключение

Анализ экспертных методов принятия решений, проведенный в первой главе данной работы подтвердил, что их использование сводит до минимума отрицательное влияния субъективного элемента на качество принимаемых управленческих решений.

Таким образом, с их помощью может решиться одна из главных задач оптимизации процессов принятия решений в управлении общественным производством.

Анализ основных существующих экспертных методов принятия решений, проведенный во второй главе работы, показал, что эти методы предполагают организацию специальной процедуры получения информации, когда специалисты в области решаемой проблемы (эксперты) используют количественные методы как при организации процедуры экспертной оценки, так и при обработке её результатов.

Для дальнейшего более углубленного рассмотрения проблем экспертных оценок в сфере принятия решений, во второй главе были введены некоторые понятия так называемой репрезентативной теории измерений, служащей основой теории экспертных оценок, прежде всего той ее части, которая связана с анализом заключений экспертов, выраженных в качественном (а не количественном) виде.

Репрезентативная теория измерений является одной из составных частей статистики объектов нечисловой природы. В работе данная теория рассмотрена в связи с проблемой агрегирования мнений экспертов, построения обобщенных показателей и рейтингов.

В третьей главе рассмотрен конкретный пример выбора одного из 8 проектов с помощью экспертных методов принятия решений, на базе репрезентативной теории измерений. Рассмотренный пример демонстрирует сходство и различие ранжировок, полученным по методу средних арифметических рангов и по методу медиана, а также пользу от их совместного применения.

Глущенко В.В., Глущенко И. И. Разработка управленческого решения. Прогнозирование — планирование. Теория проектирования экспертов: Учебник для ВУЗов. — М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

Заичкин Н.И. Экономико-математические модели и методы принятия решений в управлении производством. Уч.пос.-М.:ГУУ, 2000.-107 с.

Карданская Н. Л. Принятие управленческого решения. Учебник для вузов.

М.:ЮНИТИ, 1999.-407 с.

Литвак Б. Г. Управленческие решения. Учебник. — М.: 1998.

Менеджмент. Учебное пособие. — М.: Знание, 1999.

Мескон М.Х., Альберт М., Хедоури Ф. Основы менеджмента / Пер. с англ. — М.: ДЕЛО, 2000.

Науман Э. Принять решение, но как? — М.: Мир, 1987. — 198 с.

Орлов А. И. Принятие решений в стратегическом менеджменте. — Журнал «Современное управление». 2000. No.

9. С.9−29.

Орлов А. И. Современная прикладная статистика. — Ж-л «Заводская лаборатория». 1998. Т. 64. № 3. С.52−60.

Орлов А. И. Теория принятия решений с позиций менеджмента. — Журнал «Современное управление». 2000. No.

8. С.23−42.

Смирнов Э. А. Разработка управленческих решений: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

Фатхутдинов Р. А. Управленческие решения: Учебник. 4-е изд., перераб. и доп. — М.: ИНФРА — М. — 2001.

Хан Д. Планирование и контроль: концепция контроллинга / Пер. с нем. — М.: Финансы и статистика, 1997. — 800 с.

Цыгичко В. Н. Руководителю — о принятии решений. — М.: ИНФРАМ, 1996.

Шмален Г. Основы и проблемы экономики предприятия. — М.: Финансы и статистика, 1996. — 512 с.

Понятие «Догма согласованности» рассмотрено по Науман Э. Принять решение, но как? — М.: Мир, 1987. — 198 с.

Понятие «Догма одномерности» рассмотрено по Науман Э. Принять решение, но как? — М.: Мир, 1987. — 198 с.

Стадии экспертного опроса приведены по Орлову А. И. Теория принятия решений с позиций менеджмента. — Журнал «Современное управление». 2000. No.

8. С.23−42.

Данный пример взят из статьи: Орлов А. И. Принятие решений в стратегическом менеджменте. — Журнал «Современное управление». 2000. No.

9. С.9−29.

m

i = 1