Единичный отрезок равен AB = 1. Теперь найдем координаты направляющих векторов для наших прямых. Найдем координаты вектора AE. Для этого нам потребуются точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Поскольку точка E — середина отрезка A1B1, ее координаты равны среднему арифметическому координат концов. Заметим, что начало вектора AE совпадает с началом координат, поэтому AE = (0,5; 0; 1).Теперь разберемся с вектором BF. Аналогично, разбираем точки B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), т.к. F — середина отрезка B1C1. Имеем: BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).Итак, направляющие векторы готовы. Косинус угла между прямыми — это косинус угла между направляющими векторами, поэтому имеем:
Ответ: arccos 0,8Задача. В правильной трехгранной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, отмечены точки D и E — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AD и BE.Решение. Введем стандартную систему координат: начало координат в точке A, ось x направим вдоль AB, z — вдоль AA1. Ось y направим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью ABC.
Единичный отрезок равен AB = 1. Найдем координаты направляющих векторов для искомых прямых. Для начала найдем координаты вектора AD. Рассмотрим точки: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), т.к. D — середина отрезка A1B1. Поскольку начало вектора AD совпадает с началом координат, получаем AD = (0,5; 0; 1).Теперь найдем координаты вектора BE. Точка B = (1; 0; 0) считается легко. С точкой E — серединой отрезка C1B1 — чуть сложнее.
Имеем:
Осталось найти косинус угла:
Ответ: arccos 0,7Задача. В правильной шестигранной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, отмечены точки K и L — середины ребер A1B1 и B1C1 соответственно. Найдите угол между прямыми AK и BL.Решение. Введем стандартную для призмы систему координат: начало координат поместим в центр нижнего основания, ось x направим вдоль FC, ось y — через середины отрезков AB и DE, а ось z — вертикально вверх. Единичный отрезок снова равен AB = 1. Выпишем координаты интересующих нас точек:
Точки K и L — середины отрезков A1B1 и B1C1 соответственно, поэтому их координаты находятся через среднее арифметическое. Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AK и BL: Теперь найдем косинус угла:
Ответ: arccos 0,9Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки E и F — середины сторон SB и SC соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF.Решение. Введем стандартную систему координат: начало в точке A, оси x и y направим вдоль AB и AD соответственно, а ось z направим вертикально вверх. Единичный отрезок равен AB = 1. Точки E и F — середины отрезков SB и SC соответственно, поэтому их координаты находятся как среднее арифметическое концов. Выпишем координаты интересующих нас точек: A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0) Зная точки, найдем координаты направляющих векторов AE и BF: Координаты вектора AE совпадают с координатами точки E, поскольку точка A — начало координат. Осталось найти косинус угла:
Четырехугольная пирамида в задаче C2Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек, входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды. И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины — настоящий ад. Есть еще треугольная пирамида (она же — тетраэдр). Для начала вспомним определение:
Определение
Правильная пирамида — это такая пирамида, у которой:
В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т. д.;Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр. В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат. Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше. Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются — просто числа будут другими. Заключение
ЕГЭ — уже не новая форма проверки знаний ученика. Проверяя эти знания, мы довольно часто приходим к неутешительным результатам. Эти результаты не радуют чаще всего не только учителя, но и самого ученика. И это бывает потому, что ученик не владеет знаниями даже на базовом уровне. Значит учить и научить так, чтобы, по возможности, каждый получил «зачет» на экзамене, мы должны всех, кто пришел учиться в зависимости от уровня их знаний и способностей, а также потребностей каждого отдельно взятого ученика. Задача учителя — научить всех сидящих перед ним учеников с учетом их возможностей и способностей. Это очень трудная и ответственная работа для каждого учителя, работающего в выпускном классе.
Список литературы
Единственные реальные варианты заданий для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ — 2007, 2008
Математика/ А. Г. Клово. — М.: Федеральный центр тестирования, 2007, 2008
Математика. Подготовка к ЕГЭ — 2008
Вступительные испытания. Под редакцией Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на Дону: Легион, 2007.В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина. Тестовые задания к основным учебникам. Рабочая тетрадь. 9 класс. -
М. Эксмо, 2008
Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10 кл. общеобразоват.
учреждений: базовый и профил. уровни (С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А.В. Шевкин). — 6-е изд. — М.: Просвещение, 2007
Алгебра и начала анализа: учеб. Для 11 кл. общеобразоват.
учреждений: базовый и профил. уровни (С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А.В. Шевкин). — 6-е изд. — М.: Просвещение, 2007
Математика. ЕГЭ — 2008
Тематические тесты. Часть I (А 1 — А10, В 1 — 3). Под редакцией Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2008
Математика. ЕГЭ — 2008
Тематические тесты. Часть II (В 4 — 11, С 1, С 2). Под редакцией Ф. Ф. Лысенко. — Ростов-на-Дону: Легион, 2008.
