Задачи

Например, для 1 ограничения:

T2 ≥ T1 + 10 — tV, T1=0,

T2 + tV ≥ 10 — выделено цветом, остальные ограничения строятся аналогично.

Таблица. Запись ограничений (1) — (11) в упорядоченном виде Найти

T2 T3 T4 T5 T6 T7 tV tQ tG tE tC tA tD tB tH tF V ↔ T2 +tV ≥ 10 Q ↔ -T2 +T3 +tQ ≥ 16 G ↔ +T3 +tG ≥ 23 ↔ -T5 +T7 ≥ 0 E ↔ -T2 T4 +tE ≥ 20 C ↔ -T2 T6 +tC ≥ 30 A ↔ -T4 T6 +tA ≥ 10 D ↔ -T6 T7 +tD ≥ 10 B ↔ -T3 T7 +tB ≥ 30 H ↔ -T3 T5 +tH ≥ 30 F ↔ -T4 T7 +tF ≥ 20

Проведем упорядочивание записи переменных, отражающих ускорения работ, согласно полученной последовательности.

Целевой функцией задачи расчета критического срока будет минимизация срока наступления конечного события № 7, т. е.

Z = T7 (min.

При нормальном режиме выполнения работ значение 10 переменных: tA, tВ, tС, tD, tE, tF, tG, tH, tQ, tV нужно взять равным нулю.

Исходная задача для расчета критического срока при нормальном режиме выполнения работ Найти T2 T3 T4 T5 T6 T7 V ↔ T2 ≥ 10 Q ↔ -T2 +T3 ≥ 16 G ↔ +T3 ≥ 23 ↔ -T5 +T7 ≥ 0 E ↔ -T2 T4 ≥ 20 C ↔ -T2 T6 ≥ 30 A ↔ -T4 T6 ≥ 10 D ↔ -T6 T7 ≥ 10 B ↔ -T3 T7 ≥ 30 H ↔ -T3 T5 ≥ 30 F ↔ -T4 T7 ≥ 20 Решим задачу с помощью Excel.

В итоге в целевой ячейке S24 вычислен критический срок сетевого графика. Он составляет 56 дней. В ходе проведенных исследований установлено, что в диапазоне ячеек B3: G3 всегда вычисляются поздние сроки наступления событий соответственно номерам, т. е. T2=10, T3=26, T4=36, T5=56, T6=46, T7=56.

При глубоком и всестороннем анализе сетевого проекта необходимо выявлять все текущие критические работы и складывающиеся из них критические пути. Это предлагается делать в ходе интерактивной работы с отчетами по устойчивости, которые предоставляют решение двойственной задачи.

В первых трех столбцах таблицы под названием «Ограничения» по каждой работе указано время, вычисленное как разность между поздним сроком окончания и поздним сроком начала этой работы. Это время может сравниваться со временем выполнения работы в нормальном режиме, указанном в столбце под названием «Ограничения. Правая часть».

В столбце под названием «Теневая цена» для подобной задачи всегда будут получаться единицы и нули, причем единицы будут указывать на текущие критические работы, составляющие критический путь. В данном случае отчет выявил критический путь V, Q, B.

Если не считать фиктивную работу, то при нормальном режиме выполнения всего будет 6 критических работ. Увеличение продолжительности критической работы на единицу при последующем запуске исходной задачи проявит в соответствующем отчете по устойчивости критический путь, проходящий через эту работу. Разумеется разные критические работы могут таким образом выводить на один и тот же критический путь. Однако проверка всех критических работ на критические пути, через них проходящие, гарантирует полное выявление различных критических путей.

4.2 Расчет временных характеристик.

Ранние сроки:

1 — 0.

2 — 10.

3 — max (10+16; 23) = 26.

4 — 10+20=30.

5 — 26+30=56.

6 — max (30+10; 10+30)= 40.

7 — max (26+30; 56+0; 40+10; 30+20)= 56.

Поздние сроки:

7 — 56.

6 — 56−10=46

5 — 56.

4 — min (46−10; 56−20) = 36.

3 — min (56−30; 56−30) = 26.

2 — min (26−16; 36−20; 46−30) = 10.

1 — min (26−23; 10−10) = 0.

Продолжительность критического пути = 56 дней.

Критические пути: V-Q-B и V-Q-H, соответственно, работы, их составляющие, тоже критические. При этом стоимость строительства павильона в нормальном режиме выполнения работ составит

30,1+96,6+102,9+29,4+63+67,2+155,4+239,4+81,9+84=949,9 у.е.

4.3 Ускоряем проект на 4 дня (56−4 = 52 дня).

Для этого ограничение по всему сроку изменяем с 56 на 52 дня (ячейка S23).

Смотрим изменения в количествах дней ускорений (H3-R3).

Ускоряем работу Q на 3 дня, работы В и Н на 1 день, стоимость ускорения = 51,1 у.е.

Стоимость работ увеличивается на 51,1 у.е.

Общая стоимость работ = 949,9 + 51,1 = 1001 у.е.

Задание 5 (15 баллов).

Компания «Компьютерные сети» имеет отчет за каждый квартал с 2012 по 2014 годы о количестве клиентов, прекративших платить за ее услуги. На протяжении последних трех лет компания проводит ряд мероприятий для усиления своих конкурентных преимуществ на рынке услуг Интернет-провайдеров. Она желает спрогнозировать результаты проведенных мероприятий на основе данных своего отчета, приведенных в следующей таблице.

ЯнварьАпрельИюль — Октябрь — Год Март Июнь Сентябрь Декабрь 2012 197 193 177 182 2013 191 193 169 180 2014 187 179 167 175

Требования к заданию:

Создайте уравнение тренда, вычисленного методом наименьших квадратов, для количества клиентов, прекративших оплату за период с 2012 по 2014 год. Построив диаграмму, сделайте вывод об эффективности мероприятий (5 баллов).

Вычислите индексы сезонности, используя метод скользящих средних. Определите ожидаемое количество клиентов, которые прекратят оплату в первом квартале 2015 года, используя индексы сезонности и уравнение тренда (7 баллов).

Используя надстройку Excel «Анализ данных» и функции Excel, решить данную задачу анализа временных рядов и сравнить полученные результаты с ручными расчетами (3 балла).

Решение

5.1 Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу.

1 197 1 38 809 197 2 191 4 36 481 382 3 187 9 34 969 561 4 193 16 37 249 772 5 193 25 37 249 965 6 179 36 32 041 1074 7 177 49 31 329 1239 8 169 64 28 561 1352 9 167 81 27 889 1503 10 182 100 33 124 1820 11 180 121 32 400 1980 12 175 144 30 625 2100 сумма 2190 650 400 726 13 945

Для наших данных система уравнений имеет вид Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:, .

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии): .

В целом наблюдаем убывающую тенденцию количества клиентов, что говорит об эффективности мероприятий, об этом говорит отрицательное значение коэффициента .

Строим диаграмму.

В 2012 году количество неплательщиков снизилось. Значительно снизилось количество неплательщиков в 2014 году. Таким образом, наблюдается эффективность мероприятий.

5.2 Индекс сезонности рассчитывается:

где — средний месячный уровень показателя за три года, — среднемесячное за все годы значение показателя.

Расчет индекса сезонности по данной формуле не учитывает наличие тренда.

Рассчитанные значения индекса сезонности сравниваются со значением 100%. Если индекс сезонности превышает 100% — это свидетельствует о влиянии сезонного фактора в сторону увеличения уровней динамического ряда.

Если индекс сезонности меньше 100% — то сезонный фактор вызывает снижение уровней динамического ряда.

Определим наличие сезонных колебаний для динамического ряда.

Квартал

Год 2012 2013 2014 ∆сез ∆отн,% Iсез, % 1 197 191 187 191,67 9,17 5,02 105,02 2 193 193 179 188,33 5,83 3,20 103,20 3 177 169 167 171 -11,50 -6,30 93,70 4 182 180 175 179 -3,50 -1,92 98,08 общее среднее за все время 179,83 Для 1 квартала .

Наибольший процент неплательщиков приходится на 1 квартал, наименьший — на 3.

Прогнозируем количество «прекративших платить» на 1 квартал 2015 года.

Для этого используем уравнение регрессии с параметром 13 квартал.

человек.

5.3 Используем надстройку Анализ данных.

Как видно, результат по уравнению тренда не отличается.

Задание 6 (20 баллов).

Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 900 т. р. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых или вложить их в дело со 100%-ным возвратом суммы, но под 9% годовых. Из прошлого опыта банкиру известно, что 4% таких клиентов ссуду не возвращают. Но опыт может устареть и банку нужно решить вопрос, проверять ли кредитоспособность клиента перед тем, как выдавать заем.

Каждая проверка кредитоспособности обходится банку в 10 тыс. р. Следовательно, перед банком встают две проблемы: первая — проводить проверку или нет, вторая — выдавать после этого заем или нет. Для оценки эффективности такой проверки выбираются 1000 человек, которые были проверены, и которым впоследствии выдавались ссуды. Рекомендации после проверки кредитоспособности и состоявшийся возврат ссуды сравниваются в следующей таблице.

Рекомендации после проверки Фактический возврат ссуды Всего Клиент ссуду вернул Клиент ссуду не вернул Давать ссуду 731 19 750 Не давать ссуду 106 144 250 Всего 837 163 1000

Требования к заданию:

Какое решение нужно принять банку? Составьте дерево решений (decision tree) для того, чтобы количественно обосновать решение, принятое банком (10 баллов).

Используя надстройку Excel «Treeplan», автоматизировать данную задачу принятия решений в условиях риска и сравнить полученные результаты с ручными расчетами (10 баллов).

Решение

6.1 Строим дерево решений.

Выгоднее положится не давать деньги банкиру.

6.2 Используем надстройку.

Список литературы

Савиных В. Н. Математическое моделирование производственного и финансового менеджмента. Москва. Кнорус. 2009, 2011.

Количественные методы. Колледж менеджмента Южной Африки (МАНКОСА). Учебник по программе MBA. 2007.

Левин Дэвид М, Стефан Дэвид, Кребиль Тимоти С., Беренсон Марк Л. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Office Excel, 4-е издание. Москва. Издательский дом «Вильямс», 2005.

Мур Джеффри, Уэдерфорд Лари, и др. Экономическое моделирование в Microsoft Excel, 6-е издание. Москва. Издательский дом «Вильямс», 2005.

Winston W.L. Microsoft Excel Data Analysis and Business Modeling. Moscow: Russian version, 2005. (Textbooks for MBA programs).

Zaitsev M.G., Varyukhin S, E. Methods to optimize the management and decision making. Examples, problems, cases. -Moscow: Delo, 2008. (Textbooks for MBA programs).

Kosorukov O.A. Methods of quantitative analysis in business. — Moscow: INFRA-M, 2005. (Textbooks for MBA programs).

G

V

C

E

Q

7=4

A

F

B

H

D

D

D

H

H

F

B

F

A

Q

E

C

A

V

G

Q

E

C

V

G

B

D (10)

H (30)

F (20)

A (10)

Q (16)

E (20)

V (10)

G (23)

B (30)

C (30)

D (10)

H (30)

F (20)

A (10)

Q (16)

E (20)

V (10)

G (23)

B (30)

C (30)

(0)