Применение производной при решении задач в школьном курсе математики. 
Решение неравенств

Наименьшим значением функции на этом промежутке является f (/4)=0.Следовательно, f (a)0 при 0</2-a</4. Однако неравенство не меняется при заменен a на /2-a. Задача 2 решена. Задача 1.

3. Что больше e или e? Решение. Для решения задачи исследуем вопрос о существовании решений уравнения с двумя неизвестными: ab=ba, a>0, b>0. Исключим тривиальный случай a=b и для определенности будем предполагать, что a0 функция f возрастает, а при x>ef/(x)<0 функция f убывает. Поэтому в точке x=ef принимает свое наибольшее значение (1/e). Так как функция (lnx)/x непрерывна и возрастает на промежутке (0,e], то она на этом промежутке принимает все значения от — до 1/е.Аналогично, на промежутке [e,) функция f принимает все значения из (0,1/e]. Из результатов исследования функции f вытекают следующие утверждения:

1. Если 0<(lnb)/b. Поэтому ab

2. Если 1

3. Если b>a>e, то ab>ba.Таким образом, если (a, b) является решением уравнения ab=ba, то 1e. Более того, при каждом фиксированном значении 1e такое, что ab=baДля ответа на вопрос задачи 3 достаточно положить a=e, b= и воспользоваться утверждением (1). Итак, e > e. Задача 3 решена. Задача 1.

4. Два туриста отправились по одному маршруту. В первый день они прошли одно и то же расстояние. В каждый из следующих дней первый турист увеличивал пройденный путь, по сравнению предыдущим, на одно и то же расстояние, а второй — в одно и то же число раз. Выяснилось, что в n-тый день (n>2) путешествия туристы снова прошли одно и то же расстояние. Доказать, что за n дней первый турист прошел путь больший, чем второй.Решение.Расстояние, пройденное первым туристом за n дней, представляет собой сумму n первых членов арифметической прогрессии, а вторым — сумму n первых членов геометрической прогрессии. Обозначим эти расстояния соответственно Sn и Sn'. Если a — первый член прогрессии, d — разность арифметической прогрессии, q — знаменатель геометрической прогрессии, то Приравнивая n-е члены прогрессий, находим

Тогда, где q>1 (по условию задачи). Задача 4 будет решена, если мы покажем, что, где n>2, q>1 (2)При n=3 имеем, что равносильно очевидному неравенству. Предполагая, что неравенство (2) справедливо при n=k, докажем его для n=k+1. Имеем

Для завершения доказательства достаточно убедиться, то выражение при k>2. Здесь целесообразно обратиться к производной. Пусть Производная положительная при x>1. Поэтому f при x>1 возрастает. Так как f (1)=0 и функция f непрерывна в точке x=1, то f (x)>0 при x>1, т. е. f (q)>0. Итак, Sn>Sn/. Задача 4 решена.

3.2 Использование основных теорем дифференциального исчисления при доказательстве неравенств

ТЕОРЕМА 1 (Ролля).Пусть функция f:[a, b]R удовлетворяет условиям:

1) fC[a, b]; 2) x (a, b) существует f/(x); 3) f (a)=f (b). ТогдаC (a, b): f/(C)=0. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a, b) существует точка С, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс. На практике чаще используется следующее утверждение теоремы Ролля: между любыми двумя нулями дифференцируемой функции существует хотя бы один нуль у производной. ТЕОРЕМА 2 (Лагранжа про среднее значение, или про конечное приращение). Допустим что функция f:[a, b]R удовлетворяет условиям:

1) fC[a, b]; 2) x (a, b) существует f/(x). ТогдаC (a, b): f (b)-f (a)=f/(C)(b-a). Отношение (f (b)-f (a))/(b-a) есть тангенс угла наклона к оси абсцисс секущей, которая проходит через точки (a, f (a)), (b, f (b)). Геометрический смысл теоремы Лагранжа: при выполнении условий 1)-2) теоремы на интервале (a, b) существует точка С, в которой касательная к графику функции в точке (C, f (C)) параллельна секущей. Следствие 1. Пусть функція f:[a, b]R имеет производную f/ на (a, b) іx (a, b) f/(x)=0. Тогда для некоторого L R x (a, b) f (x)=L. Следствие 2.

Функции f:[a, b]R, g:[a, b]R имеют произодныеіf/ и g/ на (a, b) и x (a, b) f/(x)=g/(x). Тогда для некоторого числа L R x (a, b): f (x)=g (x)+L. Следствие 3. Пусть функция f:[a, b]R имеем производную f/ на (a, b) и для некоторого L R x (a, b) f/(x)=L. Тогда для некоторого M R x (a, b): f (x)=Lx+M. ТЕОРЕМА 3 (Коши). Пусть функции f:[a, b]R, g:[a, b]R удовлетворяют условиям: 1) f, gC[a, b]; 2) x (a, b) существуют производныеіf/ и g/; 3) x (a, b) g/(x)0.

ТогдаіC (a, b): (f (b)-f (a))/(g (b)-g (a))=f/(C)/g/©. Теорема Лагранжа — это частный случай теоремы Коши при g (x)=x, x[a, b]. Задача 1.

5. Доказать, что для любых x, y R: sinx — sinyx-y; x, y R: cosx — cosyx-y; x, y R: arctgx — arctgyx-y;x, y [1; +): x — y 0.5x-y.Доказательство этих неравенств аналогичное. Поэтому рассмотрим доказательство первого неравенства. Пусть, например x

6. Доказать, что для любого x R: ex 1+x, причем равенство может быть тогда и только тогда, когда x=0.Пусть сначала x>0. По теореме Лагранжа для функции f (u)=eu, u[0,x], C (0,x): ex — e0 = eC (x-0)>x, так как eC>1 для C>0. Если x<0, то теорему Лагранжа используем для функции f (u)=eu, u[x, 0]. Имеем C (x, 0): e0 — ex = eC (0-x)<�-x, так как -x>0, а eC<1 для C<0. Таким образом, при x0 имеем ex > 1+x.Задача 1.

7. Доказать, что для любого x >0: ex>1+x+(x2/2).Для доказательства неравенства применим теорему Коши к функциямf (u)=eu, g (u)=1+u+(u2/2), u[0,x]. Получим C (0,x): (ex — e0)/(1+x+(x2/2)-1) = eC/(1+c). Учитывая доказанное неравенство, найдем (ex-1)/(x+(x2/2))>1, откуда ex>1+x+(x2/2).Задача 1.

8. Доказать, что для 0 (2/)x.Пусть f (x)=(sinx)/x (0f (/2)=2/, если 0

9. Доказать, что при x>0 выполняется cosx >1-(½)x2. Функция f (x)=cosx -1+(½)x2 равна 0 при x=0. Ее производная, при x>0, f/(x) = -sinx+x>0 (или sinx< x). Т. е., функция f (x) для x0 возрастающая, а при x<0 будет f (x)>f (0)=0, т. е. cosx>1-(½)x2.Отсюда, аналогично при x>0 получим sinx>x-(1/6)x3. Задача 1.

10. Доказать, что при 0 x+(1/3)x3. Для этого достаточно установить, что для указанныхx производная функции tgx-x-(1/3)x3, равна sec2x-1-x2, положительна, т. е. что tg2x — x2>0, а это приводит к известному неравенству tgx>x.Задача 1.

11. Доказать, что при x>0 выполняется lnx x-1.Так как функция f (x)=lnx-x (x>0) имеет производную f/(x)=(1/x)-1 > 0 (при 0< 0 (при x>1), то функция возрастает пока x изменяется на промежутке (0,1], и убывает на промежутке [1;+). Отсюда получаем, что f (1)=-1 будет наибольшим значением функции, так что для x>0 выполняется lnx x-1.

Список литературы

Бугров Я.С., Никольский С. М. Высшая математика (в 3-х томах).Том 2; М.: Дрофа, 2007 г. — 510 с. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике; Харьков: изд-во при Харьковском гос. университете, 1967 г. -

947 с. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление (в 2-х томах). Том 1; M.: Интеграл-пресс, 2005. — 416 c. Фихтенгольц Г. М.

Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х томах). Том 2; М.: Физматлит, 2001 — 810 с. Шипачев В. С. Высшая математика; М.: Высшая школа, 2010. — 480c.