Решение систем линейных алгебраических уравнений
Рис. 2. Наложение искомых функций Анализируя полученный результат, можно сказать, что точки пересечения двух графиков попадает на те же самые отрезки изоляции, — отрезки изоляции, что и при решении задачи первым способом. Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение преобразовать к виду:. Затем следует каждую часть уравнения… Читать ещё >
Решение систем линейных алгебраических уравнений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Задание 1
а) Система двух Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001. Поменяйте порядок следования уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.
Решение Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.
Имеем СЛАУ
Ax =b (1)
Предполагая, что aii? 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе — относительно x2,…, n-ое уравнение — относительно xn. В результате получим:
x1=в1 — б12x2 — б13x3 — … — б1nxn
x2=в2 — б21x1 — б23x3 — … — б2nxn
xn=вn — бn1xn — бn3x3 — … — бnn-1xn-1
где вi=bi/aii; бij=aij/aii при i? j; бii=0
Известно начальное приближение: x0=(x01, x02, …, x0n).
Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) — приближение неизвестных x1, x2, …, xn.
Итерационная схема имеет вид:
простой итерация линейный график
xk+11=в1 — ?б1jxkj
xk+12=в2 — б21xk+11 — ?б2jxkj
xk+1i=вi — ?бijxk+11 — ?б2jxkj
Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на AT: ATAx=ATb или Cx=d, (2).
где C=ATA; d=ATb.
Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК).
Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:
1) матрица С — симметрическая;
2) все элементы главной диагонали cij > 0;
3) матрица С — положительно определена.
Умножаем матрицы ATA.
Умножаем матрицы ATb.
Приведем к виду:
x1=0.25−0.45x2
x2=-0.0769−1.38x1
Рис. 1. графики уравнений СЛАУ Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=0.25 — 0 * (-0.45) — 0 * 0=0.25
x2=-0.0769 — 0.25 * (-1.38) — 0 * 0=0.27
x3=0 — 0.25 * 0 — 0.27 * 0=0
N=2
x1=0.25 — 0.27 * (-0.45) — 0 * 0=0.37
x2=-0.0769 — 0.37 * (-1.38) — 0 * 0=0.44
x3=0 — 0.37 * 0 — 0.44 * 0=0
N=3
x1=0.25 — 0.44 * (-0.45) — 0 * 0=0.45
x2=-0.0769 — 0.45 * (-1.38) — 0 * 0=0.54
x3=0 — 0.45 * 0 — 0.54 * 0=0
Остальные расчеты сведем в таблицу.
Таблица
N | x1 | x2 | e1 | e2 | |
0.25 | 0.27 | 0.25 | 0.27 | ||
0.37 | 0.44 | 0.12 | 0.17 | ||
0.45 | 0.54 | 0.0755 | 0.1 | ||
0.49 | 0.61 | 0.047 | 0.0651 | ||
0.52 | 0.65 | 0.0293 | 0.0406 | ||
0.54 | 0.67 | 0.0183 | 0.0253 | ||
0.55 | 0.69 | 0.0114 | 0.0158 | ||
0.56 | 0.7 | 0.709 | 0.982 | ||
0.56 | 0.7 | 0.442 | 0.612 | ||
0.57 | 0.71 | 0.275 | 0.381 | ||
0.57 | 0.71 | 0.171 | 0.237 | ||
0.57 | 0.71 | 0.107 | 0.148 | ||
0.57 | 0.71 | 0.666 | 0.922 | ||
б) Система четырех Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с четырьмя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001.
Решение Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций. Имеем СЛАУ
A x =b (1)
Предполагая, что aii? 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе — относительно x2,…, n-ое уравнение — относительно xn. В результате получим:
x1=в1 — б12x2 — б13x3 — … — б1nxn
x2=в2 — б21x1 — б23x3 — … — б2nxn
xn=вn — бn1xn — бn3x3 — … — бnn-1xn-1
где вi=bi/aii; бij=aij/aii при i? j; бii=0
Известно начальное приближение: x0=(x01, x02, …, x0n).
Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) — приближение неизвестных x1, x2, …, xn. Итерационная схема имеет вид:
xk+11=в1 — ?б1jxkj
xk+12=в2 — б21xk+11 — ?б2jxkj
xk+1i=вi — ?бijxk+11 — ?б2jxkj
Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на AT: ATAx=ATb или Cx=d, (2).
где C=ATA; d=ATb.
Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК). Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:
1) матрица С — симметрическая;
2) все элементы главной диагонали cij > 0;
3) матрица С — положительно определена.
Умножаем матрицы ATA.
Умножаем матрицы ATb.
Приведем к виду:
x1=0.93+0.6x2+0.74x3+0.69x4
x2=0.73+0.45x1+0.51x3-0.0727x4
x3=0.53+0.66x1+0.6x2+0.36x4
x4=-0.18+0.74x1-0.1x2+0.44x3
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=0.93 — 0 * 0.6 — 0 * 0.74 — 0 * 0.69=0.93
x2=0.73 — 0.93 * 0.45 — 0 * 0.51 — 0 * (-0.0727)=0.31
x3=0.53 — 0.93 * 0.66 — 0.31 * 0.6 — 0 * 0.36=-0.26
x4=-0.18 — 0.93 * 0.74 — 0.31 * (-0.1) — (-0.26) * 0.44=-0.72
N=2
x1=0.93 — 0.31 * 0.6 — (-0.26) * 0.74 — (-0.72) * 0.69=1.44
x2=0.73 — 1.44 * 0.45 — (-0.26) * 0.51 — (-0.72) * (-0.0727)=0.15
x3=0.53 — 1.44 * 0.66 — 0.15 * 0.6 — (-0.72) * 0.36=-0.25
x1=0.93 — 0.15 * 0.6 — (-0.25) * 0.74 — (-1.13) * 0.69=1.8
x4=-0.18 — 1.8 * 0.74 — (-0.046) * (-0.1) — (-0.22) * 0.44=-1.43
Таблица
N | x1 | x2 | x3 | x4 | e1 | e2 | e3 | e4 | |
0.93 | 0.31 | — 0.26 | — 0.72 | 0.93 | 0.31 | 0.26 | 0.72 | ||
1.44 | 0.15 | — 0.25 | — 1.13 | 0.51 | — 0.15 | — 0.0147 | 0.4 | ||
1.8 | — 0.046 | — 0.22 | — 1.43 | 0.36 | — 0.11 | — 0.0285 | 0.3 | ||
2.1 | — 0.22 | — 0.21 | — 1.67 | 0.3 | 0.17 | — 0.0115 | 0.25 | ||
2.37 | — 0.37 | — 0.21 | — 1.89 | 0.27 | 0.15 | — 0.441 | 0.21 | ||
2.6 | — 0.49 | — 0.21 | — 2.07 | 0.23 | 0.12 | 0.419 | 0.18 | ||
2.81 | — 0.59 | — 0.22 | — 2.23 | 0.2 | 0.1 | 0.551 | 0.16 | ||
2.98 | — 0.68 | — 0.22 | — 2.37 | 0.18 | 0.0887 | 0.548 | 0.14 | ||
3.13 | — 0.76 | — 0.23 | — 2.49 | 0.15 | 0.0762 | 0.499 | 0.12 | ||
3.26 | — 0.82 | — 0.23 | — 2.59 | 0.13 | 0.0655 | 0.439 | 0.1 | ||
3.38 | — 0.88 | — 0.24 | — 2.68 | 0.11 | 0.0564 | 0.382 | 0.0879 | ||
3.47 | — 0.93 | — 0.24 | — 2.75 | 0.0971 | 0.0486 | 0.0033 | 0.0758 | ||
3.56 | — 0.97 | — 0.24 | — 2.82 | 0.0837 | 0.0419 | 0.285 | 0.0653 | ||
3.63 | — 1 | — 0.24 | — 2.88 | 0.0721 | 0.0361 | 0.245 | 0.0562 | ||
3.69 | — 1.04 | — 0.25 | — 2.92 | 0.0621 | 0.0311 | 0.211 | 0.0485 | ||
3.75 | — 1.06 | — 0.25 | — 2.97 | 0.0535 | 0.0268 | 0.182 | 0.0417 | ||
3.79 | — 1.09 | — 0.25 | — 3 | 0.0461 | 0.0231 | 0.157 | 0.036 | ||
3.83 | — 1.11 | — 0.25 | — 3.03 | 0.0397 | 0.0199 | 0.135 | 0.031 | ||
Задание 2
Отделить корни уравнения f (x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методом бисекций, Ньютона или простых интерций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.
Строим график функции
Таблица
x | y | |
— 15 | — 3563 | |
— 14 | — 2920 | |
— 13 | — 2361 | |
— 12 | — 1880 | |
— 11 | — 1471 | |
— 10 | — 1128 | |
— 9 | — 845 | |
— 8 | — 616 | |
— 7 | — 435 | |
— 6 | — 296 | |
— 5 | — 193 | |
— 4 | — 120 | |
— 3 | — 71 | |
— 2 | — 40 | |
— 1 | — 21 | |
— 8 | ||
Рис. 1. График функции Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет один корень — это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [0,5;1] - отрезок изоляции.
Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение преобразовать к виду:. Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.
Таблица
x | y1 | y2 | |
— 15 | — 3375 | ||
— 14 | — 2744 | ||
— 13 | — 2197 | ||
— 12 | — 1728 | ||
— 11 | — 1331 | ||
— 10 | — 1000 | ||
— 9 | — 729 | ||
— 8 | — 512 | ||
— 7 | — 343 | ||
— 6 | — 216 | ||
— 5 | — 125 | ||
— 4 | — 64 | ||
— 3 | — 27 | ||
— 2 | — 8 | ||
— 1 | — 1 | ||
— 4 | |||
— 16 | |||
— 28 | |||
— 40 | |||
— 52 | |||
— 64 | |||
— 76 | |||
— 88 | |||
— 100 | |||
— 112 | |||
— 124 | |||
— 136 | |||
— 148 | |||
— 160 | |||
— 172 | |||
Рис. 2. Наложение искомых функций Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок изоляции [0,5;1], что и при решении задачи первым способом.
Сделаем крупнее масштаб.
Рис. 3. Увеличенный масштаб При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.
Метод бисекции (метод половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке. Разделим отрезок пополам точкой. Если, то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке, либо на отрезке. Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока, где — точность.
Таким, образом х=0,644
Строим график функции
Таблица
x | y | |
— 15 | — 0,99 118 | |
— 14 | — 0,98 438 | |
— 13 | — 0,97 253 | |
— 12 | — 0,95 215 | |
— 11 | — 0,91 748 | |
— 10 | — 0,85 938 | |
— 9 | — 0,76 367 | |
— 8 | — 0,60 938 | |
— 7 | — 0,36 719 | |
— 6 | ||
— 5 | 0,53 125 | |
— 4 | 1,25 | |
— 3 | 2,125 | |
— 2 | ||
— 1 | 3,5 | |
— 1 | ||
Рис. 1. График функции Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет три кореня — это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать несколько отрезков, содержащий данный корень: [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] - отрезки изоляции.
Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение преобразовать к виду:. Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.
Таблица
x | y1 | y2 | |
— 15 | 3,05176E-05 | 0,346 | |
— 14 | 6,10352E-05 | 0,3 906 | |
— 13 | 0,12 207 | 0,4 444 | |
— 12 | 0,244 141 | 0,5 102 | |
— 11 | 0,488 281 | 0,5 917 | |
— 10 | 0,976 563 | 0,6 944 | |
— 9 | 0,1 953 125 | 0,8 264 | |
— 8 | 0,390 625 | 0,01 | |
— 7 | 0,78 125 | 0,12 346 | |
— 6 | 0,15 625 | 0,15 625 | |
— 5 | 0,3 125 | 0,20 408 | |
— 4 | 0,0625 | 0,27 778 | |
— 3 | 0,125 | 0,04 | |
— 2 | 0,25 | 0,0625 | |
— 1 | 0,5 | 0,111 111 | |
0,25 | |||
0,25 | |||
0,111 111 | |||
0,0625 | |||
0,04 | |||
0,27 778 | |||
0,20 408 | |||
0,15 625 | |||
0,12 346 | |||
0,01 | |||
0,8 264 | |||
0,6 944 | |||
0,5 917 | |||
Рис. 2. Наложение искомых функций Анализируя полученный результат, можно сказать, что точки пересечения двух графиков попадает на те же самые отрезки изоляции [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] - отрезки изоляции, что и при решении задачи первым способом.
Сделаем крупнее масштаб.
Рис. 3. Увеличенный масштаб При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.
Метод бисекции (метод половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке. Разделим отрезок пополам точкой. Если, то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке, либо на отрезке. Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока, где — точность.
Таким, образом х=-6
Задание 3
а) Используя обобщенные формулы трапеций и Симпсона вычислить определенные интегралы с заданной точностью. Проверку достижения требуемой точности проводить по правилу Рунге.
Решение Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 4−5-6. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей.
И шаг, естественно, тоже известен:
В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):
Таблица
i | |||||||
xi | |||||||
f (xi) | 1.809 | 1.689 | 1.607 | 1.546 | 1.5 | ||
В результате:
После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков.
Для n= 10 формула трапеций приобретает следующий вид:
Вычислим шаг разбиения:
Результаты расчётов сведём в таблицу:
Таблица
i | |||||||
xi | 4.5 | 5.5 | 6.5 | ||||
f (xi) | 1.891 | 1.809 | 1.743 | 1.689 | 1.645 | ||
i | |||||||
xi | 7.5 | 8.5 | |||||
f (xi) | 1.607 | 1.575 | 1.546 | 1.522 | 1.5 | ||
В результате:
Теперь рассчитаем, на сколько улучшился результат:
Полученная оценка погрешности меньше, чем требуемая точность.
Ответ:
б) Используя обобщенную формулу Симпсона составить таблицу значений функции, заданной в виде интеграла с переменным верхним пределом.
Решение Если функция у = f (x) интегрируема на отрезке, то функция Ф (х) непрерывна на этом отрезке.
Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т. е.
Сначала отрезок интегрирования разбивается на 8 отрезков. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 8 частей.
И шаг, естественно, тоже известен:
В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):
Таблица
i | ||||||||||
xi | ||||||||||
f (xi) | ||||||||||
Представим таблицу в следующем виде.
Таблица
i | ||||||||||
xi | 0,3925 | 0,785 | 1,1775 | 1,57 | 1,9625 | 2,355 | 2,7475 | 3,14 | ||
f (xi) | 0,5 706 | 0,0116 | 0,18 | 3,09E-07 | 6,3E-11 | 1,6E-15 | 5,5E-21 | 2,4E-27 | ||
В результате:
Ответ:
Задание 4
а) Найти приближенное решение задачи Коши методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка на заданном отрезке с шагом h=0.1 (или h=0.01).
Решение Сделаем преобразования:
Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:
Расчетные формулы метода Рунге — Кутта 4 порядка:
Таблица
x | y1 | y2 | |
1,1 | 1,2210 | 1,2221 | |
1,2 | 1,4923 | 1,4977 | |
1,3 | 1,8482 | 1,8432 | |
1,4 | 2,2466 | 2,2783 | |
1,5 | 2,7680 | 2,8274 | |
1,6 | 3,4176 | 3,5201 | |
1,7 | 4,2257 | 4,3927 | |
1,8 | 5,2288 | 5,4894 | |
1,9 | 6,4704 | 6,8643 | |
8,0032 | 8,5834 | ||
Видно, что самым точным является метод Рунге — Кутта — 8,5834
б) Найти приближенное решение задачи Коши или методом Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка на отрезке [0;1] с шагом h=0.1 (или h=0.01).
Решение Решим задачу модифицированным методом Эйлера и Рунге — Кутта с шагом h=0.1.
Введем функцию:
Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:
Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:
Расчетные формулы метода Рунге — Кутта 4 порядка:
Таблица. Модифицированный метод Эйлера
x | yсv | zcv | y | z | yтеор | zтеор | y-yтеор | |
0,1 | 4,98 | — 0,2 | 4,98 | — 0,18 | 4,975 | — 0,1462 | 0,16 315 | |
0,2 | 4,78 157 | — 0,2974 | 4,78 977 | — 0,2699 | 4,7796 | — 0,2461 | 0,15 115 | |
0,3 | 4,58 314 | — 0,3948 | 4,59 954 | — 0,3598 | 4,5842 | — 0,346 | 0,11 915 | |
0,4 | 4,38 471 | — 0,4922 | 4,40 931 | — 0,4497 | 4,3888 | — 0,4459 | 0,8 715 | |
0,5 | 4,18 628 | — 0,5896 | 4,21 908 | — 0,5396 | 4,1934 | — 0,5458 | 0,5 515 | |
0,6 | 3,98 785 | — 0,687 | 4,2 885 | — 0,6295 | 3,998 | — 0,6457 | 0,2 315 | |
0,7 | 3,78 942 | — 0,7844 | 3,83 862 | — 0,7194 | 3,8026 | — 0,7456 | — 0,89 | |
0,8 | 3,59 099 | — 0,8818 | 3,64 839 | — 0,8093 | 3,6072 | — 0,8455 | — 0,409 | |
0,9 | 3,39 256 | — 0,9792 | 3,45 816 | — 0,8992 | 3,4118 | — 0,9454 | — 0,729 | |
3,19 413 | — 1,0766 | 3,26 793 | — 0,9891 | 3,2164 | — 1,0453 | — 0,1 049 | ||
Таблица. Схема Рунге — Кутта:
x | y | z | k1 | l1 | k2 | l2 | k3 | l3 | k4 | l4 | |
— 1 | — 0,1 | — 0,7 | — 0,07 | — 0,75 | — 0,15 | — 0,468 | |||||
0,1 | 4,98 | — 0,18 | — 0,18 | — 0,6713 | — 0,1188 | — 0,3422 | — 0,1681 | — 0,4626 | — 0,2374 | — 0,1934 | |
0,2 | 4,78 977 | — 0,2699 | — 0,2699 | — 0,3425 | — 0,1375 | 0,1 564 | — 0,2662 | — 0,1752 | — 0,3249 | 0,0812 | |
0,3 | 4,59 954 | — 0,3598 | — 0,3598 | — 0,0138 | — 0,1563 | 0,37 346 | — 0,3643 | 0,1122 | — 0,4123 | 0,3558 | |
0,4 | 4,40 931 | — 0,4497 | — 0,4497 | 0,31 496 | — 0,175 | 0,73 128 | — 0,4624 | 0,3996 | — 0,4997 | 0,6304 | |
0,5 | 4,21 908 | — 0,5396 | — 0,5396 | 0,6437 | — 0,1938 | 1,0891 | — 0,5605 | 0,687 | — 0,5872 | 0,905 | |
0,6 | 4,2 885 | — 0,6295 | — 0,6295 | 0,97 244 | — 0,2126 | 1,44 692 | — 0,6586 | 0,9744 | — 0,6746 | 1,1796 | |
0,7 | 3,83 862 | — 0,7194 | — 0,7194 | 1,30 118 | — 0,2313 | 1,80 474 | — 0,7567 | 1,2618 | — 0,762 | 1,4542 | |
0,8 | 3,64 839 | — 0,8093 | — 0,8093 | 1,62 992 | — 0,2501 | 2,16 256 | — 0,8548 | 1,5492 | — 0,8494 | 1,7288 | |
0,9 | 3,45 816 | — 0,8992 | — 0,8992 | 1,95 866 | — 0,2688 | 2,52 038 | — 0,9529 | 1,8366 | — 0,9369 | 2,0034 | |
3,26 793 | — 0,9891 | — 0,9891 | 2,2874 | — 0,2876 | 2,8782 | — 1,051 | 2,124 | — 1,0243 | 2,278 | ||