Последовательное различение гипотез для броуновского движения с разладкой и фрактального броуновского движения

Диссертация посвящена вопросам последовательного различения гипотез для моделей броуновского движения с «разладкой» и фрактального броуновского движения. Также в диссертации получено представление фрактального броуновского движения в виде линейного функционала от бесконечномерного диффузионного процесса, что представляет самостоятельный интерес и за рамками рассматриваемых задач.

В отличие от классических областей математической статистики, где объём выборки устанавливается заранее, в последовательном анализе объём выборки не фиксирован, а определяется в процессе анализа статистических данных, получаемых последовательно. В некоторых случаях это позволяет сделать заключение гораздо раньше, чем это было бы возможно при использовании классических методов. Начало данному направлению было положено в работах А. Вальда [80] в связи с изучением вопросов контроля качества продукции. Впоследствии методы статистического последовательного анализа нашли широкое применение в медицине [6, 21, 31], эпидемиологии [40, 66, 72], финансовой инженерии [2, 12], задачах обнаружения «атак» в компьютерных сетях [36, 71] и других областях.

Как и в других разделах математической статистики, отдельный класс составляют байесовские постановки, в которых предполагается, что неизвестные параметры не фиксированы, а являются случайными величинами. Двумя фундаментальными задачами статистического последовательного анализа являются задача о различении гипотез и задача о разладке.

Задача о различении гипотез относится к вопросу о том, как по наблюдениям за случайным процессом определить его вероятностные характеристики. Предполагается априори известным, что вероятностный закон распределения данного процесса принадлежит некоторому семейству. Задача состоит в том, как по наблюдениям определить точный вид данного закона. Поскольку продолжительность наблюдений заранее не фиксирована, то от исследователя требуется не только вынести как можно более правильное суждения об истинном законе распределения наблюдаемого процесса, но и сделать это за кратчайшее время.

Фундаментальным результатом в данной области является последовательный критерий отношения правдоподобия, предложенный А. Валь-дом и предназначенный для проверки двух простых гипотез. А. Вальд и Дж. Волфовиц [70] продемонстрировали преимущества данного критерия на задаче различения двух простых гипотез для случая, когда наблюдению подлежит последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. А именно, ими было показано, что при справедливости каждой из двух гипотез он обладает наименьшим средним временем наблюдения среди всех последовательных критериев с такими же вероятностями ошибочных решений.

В. С. Михалевичем [45] и А. Н. Ширяевым [102] было получено решение байесовской задачи последовательного различения двух простых гипотез о величине сноса броуновского движения в предположении, что ц является независимой от X случайной величиной, принимающей два значения /II и Ц2−1 Ими был рассмотрен критерий, состоящий в минимизации суммы штрафа за неправильно принятое решение о величине сноса и платы за длительность наблюдений:

ГЇ т4).

Ет + аР (/х = Дь (1 = 2) + 6Р (/і = ??2, (і = 1) где а>0иЬ>0 — фиксированные константы, т = т (ш) является моментом остановки относительно естественной фильтрации = сг (Х5, я ^ ?) процесса X, а функция (і = <1{ш) является і^-измеримой случайной величиной, показывающей какая из гипотез о величине сноса (Н: ?1 = Ц или Н2 '¦ ¡-л = ??2) принимается. Из построенного решения следовало, что в вариационной постановке критерий Вальда также является оптимальным [102].

1 Подразумевается, что процесс X и случайная величина /и задан на некотором вероятностном пространстве.

В случае, когда истинное значение параметра не совпадает ни с одной из гипотез, в методе А. Вальда время наблюдения может оказываться достаточно большим. В связи с этим Дж. Кифером и JI. Вейсом был предложен критерий [35], состоящий в минимизации максимального (при всевозможных значениях параметра) среднего время наблюдения при ограничении на вероятность ошибочного решения.

Вопрос об оптимальности данного критерия исследовался многими авторами в различных предположениях на рассматриваемую модель. В частности, Т. В. Андерсоном [1], Р. Бекхофером [8], Т. JI. Лаем [38], Г. Лорде-ном [42], A.A. Новиковым, В. П. Драгалиным [95], И. В. Павловым [96] (см. также работы [73, 85]).

Наиболее известным примером байесовской задачи различения сложных гипотез является рассмотренная Г. Черновым [14] задача определения знака сноса /х броуновского движения по последовательным наблюдениям, где ?1 предполагалась гауссовской случайной величиной с известными параметрами, а штраф за принятие неправильного решения в критерии был выбран пропорциональным абсолютному значению ц: inf r, d).

Er + k? l{d sgn/i) где с > 0, к > 0 — фиксированные константы, с? принимает значения +1 и —1, соответствующие принятию гипотез Н+: ?1 > 0 и: ?1 ^ О (полагается, что sgnO = — 1).

Впоследствии Г. Чернов и Дж. Брейквелл [11,15,16] исследовали асимптотически оптимальные правила для данного критерия и рассмотрели дискретный аналог данной задачи. В работе [84] оптимальные границы остановки характеризуются как решение некоторого интегрального уравнения, что позволяет найти их численно.

Более подробный обзор известных результатов, связанных с последовательным различением гипотез, можно найти в работе [37].

Задача о разладке относится к вопросу о наилучшем определении момента смены вероятностных характеристик некоторого случайного процесса. Предполагается априори известным, что вид закона распределения наблюдаемого процесса может измениться в некоторый (случайный) момент времени. На практике данное изменение может соответствовать поломке оборудования, что вызывает резкий рост доли брака в выпуске продукции, или же, например, соответствовать резкому изменению ожиданий инвесторов на рынке, что приводит к изменению тренда финансового актива. Как и в задаче о различении гипотез, требуется найти не только наиболее точное решение, но и сделать это за кратчайшее время. Хорошие критерии должны обладать как небольшим средним запаздыванием, так и малой вероятностью «ложной тревоги». В данном случае потребность использования последовательных методов становится очевидной в силу самой природы задачи.

Первые результаты в этом направлении были получены У. Шьюар-том [64]. Предложенный им метод основывался на том, что при изменении характеристик, среднее арифметическое наблюдений должно сильно изменить своё значение. Однако данный метод оказался малоэффективным в случае, когда характеристики меняются не очень существенно.

Это стимулировало развитие более точных техник, направленных на преодоление данного недостатка. Одним из наиболее известных является метод кумулятивных сумм (или, более кратко, СиБиМ), предложенный Э. Пэйджем [53]. Позднее А. Н. Ширяевым [100] и С. Робертсом [63] независимо друг от друга был предложен метод, основанный на статистике, называемой сейчас статистикой Ширяева-Робертса.

Под задачей о разладке броуновского движения обычно понимают модель, в которой у броуновского движения в некоторый ненаблюдаемый момент времени в снос меняется с нуля на известное значение /?:2.

А. Н. Ширяевым [101] была рассмотрена байесовская постановка (в предположении, что 0 является экспоненциально распределённой случайной ве.

2Подразумевается, что процесс задан на вероятностном пространстве мера Рб обозначает распределение X в предположении, что моментом разладки является 9, а Р°° отвечает случаю отсутствия разладки (в = оо). личиной) с критерием, состоящим в минимизации суммы штрафов за «ложную тревогу» и запаздывание при принятии решения: т£.

Р (г < в) + сЕ (т — в) где инфимум берётся по всем моментам остановки относительно естественной фильтрации с Ег < сю. Было показано, что оптимальное правило представляет собой момент первого достижения процессом апостериорных вероятностей 7Гг = Р (0 <? | некоторого порога: т* = Щг =.

Как отмечалось ранее, хорошие решающие правила должны как можно реже поднимать ложную тревогу в случае отсутствия разладки. Поэтому интерес представляет класс моментов остановки.

Жт = {т-. Е°°т ^ Г}, для которых среднее время Е°°т до подачи (ложной) тревоги оказывается не меньше некоторой фиксированной величины Т.

Известно, что для модели разладки броуновского движения статистика Ширяева-Робертса 'ф является оптимальной в обобщённой байесовской постановке (т. е. в предположении, что 9 распределён «равномерно на положительной полупрямой действительной оси»): оо г оо ш£ / Ев (т — в)+(1 В, е^т Jo т&^т, а СиБиМ-статистика 7 оптимальна в смысле критерия Л ордена [9, 41,104]: Ы эир еээ вир Ев [(г — 9)+ I е>0 и смысл которого состоит в том, чтобы минимизировать максимальное запаздывание «по всем траекториям ы? П» и по всем возможным моментам разладки 9⁰. При этом оптимальными моментами остановки являются г- = тф ^ 0: фг = В}, т7* = > 0: ъ = С}, соответственно, где В>0иС>0 — некоторые константы, а статистики ф — {фь)^о и 7 = (7г)^о в данной модели принимают вид.

Сравнение методов Ширяева-Робертса и СиБИМ может быть найдено в работе М. Поллака и Д. Сигмунда [60].

Большой обзор имеющихся в настоящее время результатов по разладке можно найти в [65] и книге [61].

С точки зрения приложений важную роль играют постановки, в которых кроме определения момента разладки также требуется принять одну из гипотез о значении новых характеристик. Связано это с тем, что довольно часто исследователь не знает как именно изменится поведение процесса, и, в лучшем случае, может сделать некоторые предположения.

Наиболее популярным подходом к исследованию данных задач является использование правил, обобщающих обычную статистику СШиМ. Впервые данный подход был использован Г. Барнардом [7] для модели с двусторонними альтернативами. Позднее аналоги данного метода рассматривались многими авторами для более общих моделей [20, 28, 41]. В частности, А. Тартаковский [99] исследовал оптимальность метода А^-СиБиМ (состоящем из комбинации N одномерных правил СШИМ) для задачи с несколькими альтернативами.

М. Байбелем [10] были предложены критерии для двух байесовских постановок, первая из которых является обобщением тестов X. Р. Лерхе [39] для определения наличия сноса у броуновского движения, а вторая — обобщением процесса апостериорных вероятностей из постановки А. Н. Ширя.

Результаты первых двух глав диссертации дополняют имеющиеся результаты по задаче о «двусторонней разладке» броуновского движения, т. е. для модели, в которой предполагается, что появляющийся снос может при.

7 г = шах — где ева [101]. нять одно из двух значений: < 0 или /І2 > 0:

Bt при t < 9,.

Xt = < jjL^t — 9) + Bt при t ^ 9, ¡-л = /?і, ?2(t — 9) + Bt при t ^ 9, fi =.

Величина падения процесса определяется как разница между текущим максимумом и значением процесса, а величина роста — как разница между его значением и текущим минимумом. В первой главе исследуются моменты первого достижения данными характеристиками некоторого уровня для модели броуновского движения со сносом, а также их минимум 7аь = та Л &-ъС одной стороны, рассматриваемые моменты остановки представляют собой класс 2-CUSUM решающих правил, возникающих в задачах о разладке (чтобы получить общий класс правил, нужно рассматривать моменты та и аь для броуновского движения с разной величиной сноса). С другой стороны, данные величины играют важную роль в финансовой математике [67], поскольку их можно рассматривать как статистическую меру риска инвестирования в качестве альтернативы стандартным мерам риска, таким как вероятность возврата, V@R, Sharp ratio и т. д. Основные полученные результаты связаны с вычислением преобразований Лапласа для рассматриваемых моментов.

Во второй главе исследуется байесовская постановка задачи о «двусторонней разладке» для броуновского движения со сносом. В качестве функции риска рассматривается сумма штрафов за запаздывание при принятии решения, за ложную тревогу и за неверно принятое решение о величине сноса. Таким образом, данный критерий объединяет в себе две классические байесовские постановки из последовательного анализа [102].

Отметим, что эффективность того или иного критерия в «непрерывном времени» обычно проверяется в первую очередь для броуновского движения со сносом. С одной стороны, это объясняется тем, что данный процесс является предельным случаем для многих моделей с дискретными наблюдениями. С другой стороны, для броуновского движения оптимальные правила во многих ситуациях имеют простую структуру, и могут быть впоследствии обобщены на другие марковские модели, такие как пуассо-новский процесс [19, 58, 81] и одномерные диффузии [23, 24].

Однако в последние два десятилетия различными исследователями отмечалось, что в теории телекоммуникаций [50], финансовых приложениях [3, 4] и некоторых других важных областях наблюдаемые данные обладают свойством сильной зависимости от прошлого и самоподобия.

В случае непрерывного времени простейшим примером процесса с данными свойствами является фрактальное броуновское движение Вн, где величина Н е (0,1) обозначает параметр самоподобия Харста. Процесс Вн определяется как выходящий из нуля гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией.

Щз, г) = (г2Я + з2Н *|2Я), о.

Чем больше Н, тем более гладкими оказываются траектории. В случае Н = ½ процесс.

Вн совпадает со стандартным броуновским движением.

Впервые данный процесс был рассмотрен А. Н. Колмогоровым [88] в 1940 г. при исследовании вопросов моделирования турбулентности [89]. Большую популярность.

Вн получил в связи с исследованиями Б. Ман-дельброта [44] по фракталам и, в частности, после работы [43], в которой фрактальное броуновское движение было построено в виде интеграла по винеровскому процессу на всей действительной прямой:

В? = ся [ [(* - з)1~х/2 — (-*).

Н-½ где Ся является некоторой нормирующий константой. Отметим, что именно у Б. Мандельброта и Дж. ван Несса [43] процесс Вн получил свое название (в своих работах А. Н. Колмогоров называл Вн «винеровской спиралью»).

Характерными свойствами Вн являются гауссовость, самоподобие и стационарность приращений. При Н > ½ приращения процесса положительно коррелированы, а при Н < ½ — отрицательно. В дополнение к этому, при Н > ½ процесс Вн обладает свойством сильной зависимости от прошлого: {Вп+~ ^п) ~ 00 • ДрУгие свойства могут быть найдены в монографии [46].

У. Четиным, А. А. Новиковым и А. Н. Ширяевым [13] была рассмотрена задача последовательного оценивания величины сноса /1 фрактального броуновского движения в предположении гауссовости ¡-л. Ими было показано, что оптимальный момент остановки является детерминистическим, когда функция штрафа является квадратичной или дельта-функцией.

В третьей главе изучаются задачи различения гипотез о величине сноса фрактального броуновского движения по результатам последовательных наблюдений. Доказывается, что задачи подобного типа могут быть сведены к задачам об оптимальной остановке для стандартного броуновского движения, для решения которых можно использовать хорошо разработанные методы из общей теории [57, 69]. В данном случае оптимальный момент времени оказывается случайным.

Отметим, что при Н Ф ½ процесс Вн не является ни марковским процессом, ни семимартингалом [46], поэтому хорошо разработанный аналитический аппарат оказывается неприменимым непосредственно к данному процессу (в частности, для Вн при Н ф ½ перестаёт быть верным тождество Вальда).

В четвёртой главе показано, что, несмотря на это, Вн можно представить как линейный функционал от бесконечномерного диффузионного процесса типа Орнштейна-Уленбека. В качестве применения данного результата доказывается неравенство, связывающее среднее значение остановленного процесса Вн и среднее время наблюдения т (для моментов остановки г). В случае Н < ½ данное неравенство является новым результатом и дополняет доказанные А. А. Новиковым и Э. Валкейлой [52] аналоги неравенств Буркхолдера-Ганди-Дэвиса с (р, Н) ЕтрН < ЕтахВ? р < С (р, Н) ЕтрН, Н Е (½, 1), с (р, Н) ЕтрН ^ Етах В^Р, Н Е (0,½), где с (р, Н) и С (р, Н) — некоторые универсальные константы.

1. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и приложения.

1. Anderson T. W. A modification of the sequential probability ratio test to reduce the sample size // The Annals of Mathematical Statistics. — 1960. — Vol. 31, no. 1. — Pp. 165−197.

2. Andreou E., Ghysels E. Detecting multiple breaks in financial market volatility dynamics // Journal of Applied Econometrics. — 2002. — Vol. 17, no. 5. Pp. 579−600.

3. Anh V. V., Inoue A. Financial markets with memory I: Dynamic models. // Stochastic Analysis and Applications. — 2005. — Vol. 23, No 2. Pp. 275−300.

4. Anh V., Inoue A., Kasahara Y. Financial markets with memory II: Innovation processes and expected utility maximization. // Stochastic Analysis and Applications. — 2005. — Vol. 23, No 2. Pp. 301−328.

5. Appell P. Sur lequation d2z/dx2 — dz/dy = 0 et la theorie de la chaleur // J. Math. Pures Appl, 8. 1892. — Pp. 187−216.

6. Barlow J. S., Creutzfeldt O. D., Michael D., Houchin J., Epelbaum H. Automatic adaptive segmentation of clinical EEGs // Electroencephalography and Clinical Neurophysiology. — 1981. — Vol. 51, No. 5 Pp. 512−525.

7. Barnard G.A. Control charts and stochastic processes // Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 1959. — Vol. 11 — Pp. 239−271.

8. Bechhofer R. A note on the limiting relative efficiency of the Wald sequential probability ratio test // Journal of the American Statistical Association. 1960. — Vol. 55, no. 292. — Pp. 660−663.

9. Beibel M. A note on Ritov’s Bayes approach to the minimax property of the CUSUM procedure // Annals of Statistics. — 1996. — Vol. 24, no. 4, — Pp. 1804−1812.

10. Beibel M. Sequential change-point detection in continuous time when the post-change drift is unknown // Bernoulli — 1997. — Vol. 3, no. 4, — Pp. 457−478.

11. Break/well J., Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution II (large t) // The Annals of Mathematical Statistics. — 1964. Vol. 35. Pp. 162−173.

12. Chen J., Gupta A. K. Testing and locating variance changepoints with application to stock prices // Journal of the American Statistical Association. 1997. — Vol. 92, no. 438, — Pp. 739−747.

13. Qetin V., A. Novikov A. A., Shiryaev A. N. Bayesian sequential estimation of a drift of fractional Brownian motion //to appear in Sequential Analysis.- 2013. Vol. 32, No 3. — P. 288−296.

14. Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution // Fourth Berkeley Symposium. — 1961. — Vol. 1. — Pp. 79−91.

15. Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution IV (discrete case) // The Annals of Mathematical Statistics. — 1964. — Vol. 36. Pp. 55−68.

16. Chernoff H. Sequential tests for the mean of a Normal distribution III (small t) // The Annals of Mathematical Statistics. — 1965. — Vol. 36. — Pp. 28−54.

17. Chemy A., Dupire, B. On certain distributions associated with the range of martingales //In Optimality and Risk-Modern Trends in Mathematical Finance. — Springer Berlin Heidelberg, 2010 — Pp. 29−38.

18. Da Prato, G., Zabczyk, J. Stochastic equations in infinite dimensions 11 — Cambridge University Press, 2008.

19. Davis M. H. A. A note on the Poisson disorder problem // Mathematical control theory: proceedings of a conference, Zakopane, January 1974. — Vol. 1. 1976. — P. 65.

20. Dragalin V. P. The design and analysis of 2-CUSUM procedure. // Communications in Statistics Simulation and Computation. — 1997. — Vol. 26, No 1. Pp. 67−81.

21. Frisen M. Evaluations of methods for statistical surveillance // Statistics in Medicine. 1992. — Vol. 11, no. 11, — Pp. 1489−1502.

22. Gapeev P. V., Peskir G. The Wiener disorder problem with finite horizon // Stochastic processes and their applications. — 2006. — Vol. 116, no. 12. Pp. 1770−1791.

23. Gapeev P. V., Shiryaev A. N. On the sequential testing problem for some diffusion processes // Stochastics An International Journal of Probability and Stochastic Processes. — 2011. — Vol. 83, no. 4−6. — Pp. 519−535.

24. Gapeev P. V., Shiryaev A. N. Bayesian quickest detection problems for some diffusion processes // Advances in Applied Probability. — 2012. — Vol. 45, no. 1. Pp. 164−185.

25. Ghomrasni R., Peskir G. Local time-space calculus and extensions of Ito’s formula // Stochastic analysis and applications — Pp. 177−192. Birkhauser Basel, 2003.

26. Graver sen S. E., Peskir G. Maximal inequalities for the Ornstein-Uhlenbeck process // Proceedings of the American Mathematical Society, 2000 Pp. 3035−3041.

27. Hadjiliadis O., Moustakides V. Optimal and asymptotically optimal CUSUM rules for change point detection in the Brownian motion model with multiple alternatives // Теория вероятностей и ее применения. — 2005. Т. 50, № 1. — С. 131−144.

28. Hadjiliadis О. Change-point detection of two-sided alternatives in the Brownian motion model and its connection to the gambler’s ruin problem with relative wealth perception. // PhD Thesis with Distinction. — Columbia University, 2005.

29. Hadjiliadis O., del-Valle G. H., Stamos I. A comparison of 2-CUSUM stopping rules for quickest detection of two-sided alternatives in a Brownianmotion model // Sequential Analysis. — 2009. — Vol. 28, no. 1, — Pp. 92 114.

30. Hadjiliadis 0., Vecer J. Drawdowns preceding rallies in the Brownian motion model // Quantitative Finance — 2006. — Vol. 6, no. 5.— Pp. 403 409.

31. Hillson E. M., Reeves J. H.- Mcmillan C. A. A statistical signalling model for use in surveillance of adverse drug reaction data // Journal of Applied Statistics 1998. — Vol. 25, no. 1 — Pp. 23−40.

32. Jacod J., Shiryaev A. Limit Theorems for Stochastic Processes. — 2nd edition. — Springer, 2002.

33. Jost C. Transformation formulas for fractional Brownian motion // Stochastic Processes and their applications — 2006. — Vol. 116, no. 10.— Pp. 1341−1357.

34. Kallenberg O. Foundations of modern probability. — Springer, 2002.

35. Kiefer J., Weiss L. Some properties of generalized sequential probability ratio tests // The Annals of Mathematical Statistics. — 1957. — Vol. 28, no. 1. Pp. 57−74.

36. Kim H., Rozovskii B. L., Tartakovsky A. G. A nonparametric multichart CUSUM test for rapid detection of DOS attacks in computer networks // International Journal of Computing and Information Sciences. — 2004. — Vol. 2, no. 3, — Pp. 149−158.

37. Lai T. L. Sequential analysis: some classical problems and new challenges // Statistica Sinica. — 2001. — Vol. 11, no. 2, — Pp. 303−350.

38. Lai T. L. Optimal stopping and sequential tests which minimize the maximum expected sample size // The Annals of Statistics. — 1973. — Vol. 1, no. 4. Pp. 659−673.

39. Lerche H. R. The shape of Bayes tests of power one. // The Annals of Statistics. 1986. — Vol. 14, No 3. Pp. 1030−1048.

40. Levin B., Kline J. The CUSUM test of homogeneity with an application in spontaneous abortion epidemiology. // Statistics in Medicine. — 1985. Vol. 4, No 4. Pp. 469−488.

41. Lorden G. Procedures for reacting to a change in distribution // Annals of Mathematical Statistics. 1971. — Pp. 1908;1971.

42. Lorden G. 2-SPRT's and the modified Kiefer-Weiss problem of minimizing an expected sample size // The Annals of Statistics. — 1976. — Vol. 4, no. 2. Pp. 281−291.

43. Mandelbrot B. B., van Ness J. W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications // SI AM review — 1968. — Vol. 10, no. 4, — Pp. 422−437.

44. Mandelbrot B. Fractals and scaling in finance: Discontinuity and concentration. // Springer Verlag, 1997.

45. Mikhalevich V. S. A Bayes test of two hypotheses concerning the mean of a normal process (Ukrainian) // Visnik Kiiv. Univ. — 1958. — No. 1. — Pp. 254−264.

46. Mishura Yu. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and related processes // Lecture Notes in Math., 1929 — Springer, Berlin, 2008.

47. Molchan G. Gaussian processes with spectra which are asymptotically equivalent to a power of A // Theory of Probability and Its Applications.- 1969. Vol. 14, no. 3. — Pp. 530−532.

48. Molchan G. M., Golosov J. I. Gaussian stationary processes with asymptotic power spectrum // Soviet. Math. Dokl. — 1969. — Vol. 10, — Pp. 134−137.

49. Muravlev A. A. On the Laplace transform of characteristics connected with drawdowns and rallies of a Brownian motion with drift. // Theory of probability and its applications. — 2011. — Vol. 55, № 3. Pp. 548−549.

50. Norros I. On the use of the fractional Brownian motion in the theory of connectionless networks. // Selected Areas in Communications, IEEE Journal on. 1995. — Vol. 13, No 6. Pp. 953−962.

51. Norros I., Valkeila E., and Virtamo J. An elementary approach to a Girsanov formula and other analytical results on fractional Brownian motions // Bernoulli 1999. — Vol. 5, no. 4, — Pp. 571−587.

52. Novikov A., Valkeila. E. On some maximal inequalities for fractional Brownian motions // Statistics & probability letters — 1999. — Vol. 1, no. 4, — Pp. 47−54.

53. Page E. S. Continuous inspection schemes // Biometrika. — 1954. — Vol. 41. Pp. 100−114.

54. Pedersen J. L., Peskir G. Solving non-linear optimal stopping problems by the method of time-change // Stochastic analysis and applications — 2000. Vol. 5, no. 18. Pp. 811−835.

55. Peskir G. On the American option problem // Mathematical Finance. — 2005. Vol. 15, no. 1. — Pp. 169−181.

56. Peskir G. On the fundamental solution of the Kolmogorov-Shiryaev equation // Lecture Notes in Math., Pp. 535−546 — Springer Berlin Heidelberg, 2006.

57. Peskir G., Shiryaev A. Optimal stopping and free-boundary problems. — Birkhauser Basel, 2006.

58. Peskir G., Shiryaev A. N. Solving the Poisson disorder problem // Advances in Finance and Stochastics. — 2002. — Pp. 295−312.

59. Peskir D. A change-of-variable formula with local time on surfaces // In Seminaire de Probabilites XL — Springer Berlin Heidelberg, 2007.— Pp. 70−96.

60. Pollak M., Siegmund D. A diffusion process and its applications to detecting a change in the drift of Brownian motion // Biometrika. — 1985. Vol. 72, no. 2, — Pp. 267−280.

61. Poor H. V., Hadjiliadis O. Quickest Detection. — Cambridge University Press, 2009.

62. Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. — 3rd edition. — Springer, 2004.64.