Решение задачи о наилучшем использовании ресурсов методами линейного программирования

Во многих ситуациях, встречающихся в промышленности, сельском хозяйстве, экономической деятельности и т. п., задача оптимизации плана некоторых экономико-производственных действий может быть записана в виде линейных уравнений и неравенств с линейными же, относительно искомых, определяющих этот план переменных целевым функционалом. К задачам этого же вида сводятся очень многие задачи оптимизации и принятия решений из некоторых других самостоятельных направлений прикладной математики.

Соответственно возникает потребность в математической теории, позволяющей решать такие задачи. Такая теория существует и называется линейным программированием.

Линейное программирование — раздел математического, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования. Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

В связи с развитием техники, ростом промышленного производства и появлением ЭВМ все большую роль начали играть задачи отыскания оптимальных решений в различных сферах человеческой деятельности. Основным инструментом при решении этих задач стало математическое моделирование — формальное описание изучаемого явления и исследование его с помощью математического аппарата.

Сложность математического моделирования состоит в том, чтобы учесть как можно больше факторов по возможности простыми средствами. В силу этого процесс моделирования часто носит итерационный характер. Сначала строится относительно простая модель и проводится ее исследование, которое позволяет понять, какие из существенных свойств изучаемого объекта не улавливаются данной формальной схемой. Затем происходит уточнение, усложнение модели.

В большинстве случаев первым приближением к реальности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, предполагаются линейными. Значительное количество экономических, технических и других процессов достаточно хорошо и полно описывается линейными моделями.

Существует ряд различных методов решения задач линейного программирования. С развитием компьютерной техники и программного обеспечения появилась возможность решения этих задач с помощью прикладных программ, например, средствами табличного редактора Microsoft Excel.