Предельные теоремы для случайных выпуклых ломаных

Настоящая работа посвящена исследованию асимптотических свойств (в частности, предельной формы) для ансамблей целочисленных выпуклых ломаных относительно некоторых классов вероятностных распределений, порожденных мультипликативными мерами.

Интерес к статистике выпуклых целочисленных многогранников (т.е. с вершинами на целочисленной решетке Xd) был инициирован в статье В. И. Арнольда [1], где в связи с исследованием диаграмм Ньютона был поставлен вопрос об асимптотике числа Nd{A) выпуклых целочисленных многогранников данного объема, А —> оо (с точностью до автоморфизмов решетки Zd). Арнольд получил двусторонние асимптотические оценки для случая d = 2 вида сА1^ ^ Л^Щ ^ С2А1/гъА. Он также предположил, что в d-мерном случае показатель степени в аналогичных оценках имеет вид (d — 1 1). С. Б. Конягин и К. А. Севастьянов [12] доказали эту гипотезу в многомерном случае. Позднее И. Бараньи и Я. Пач [24] улучшили верхнюю оценку Арнольда в случае d — 2, показав, что N2(A) ^ С2А1/3. Наконец, точные по порядку оценки логарифмов в общем случае были получены И. Бараньи и A.M. Вершиком [25].

В плоском случае вопрос Арнольда тесно связан с проблемой перечисления незамкнутых выпуклых ломаных, выходящих из начала координат, с углом наклона звеньев не более 7г/2 и с закрепленным правым концом п = (п1,П2) —> оо. В свою очередь, последняя задача является геометрической формулировкой задачи о строгих разбиениях вектора (721,722) в неупорядоченную сумму (неколлинеарных) векторов с неотрицательными целыми компонентами. Отталкиваясь от этого наблюдения, в 1980;е гг. А. М. Вершик поставил проблему нахождения предельной формы ломаных, по образцу аналогичных задач о разбиениях, диаграммах Юнга и пр. (см. [8]). Здесь «предельная форма» понимается как кривая, в произвольно малой окрестности которой при больших п лежит подавляющее большинство ломаных (после надлежащего масштабного преобразования). С вероятностной точки зрения, существование предельной формы представляет собой функциональный закон больших чисел относительно равномерного распределения вероятностей на ансамбле Сп выпуклых ломаных с концами в точках 0 = (0,0) и n = (ni, ri2).

Проблема предельной формы для выпуклых ломаных была решена в работах A.M. Вершика [5] и И. Бараньи [23]. Именно, было показано, что при масштабном преобразовании решетки (21,1*2) (2*1/711,22/712) предельная форма существует и задается дугой параболы 70 с уравнением.

Попутно была получена точная логарифмическая асимптотика для числа ломаных: в предположении, что п2/п —> с, 0 < с < оо. Доказательства Вершика и Бараньи носили прямой комбинаторно-функциональный и геометрический характер и основывались на изучении соответствующей производящей функции с последующим применением многомерного метода перевала для интеграла Коши либо подходящей тауберовой теоремы.

В статье [5] также поставлен и решен вопрос об асимптотике числа ломаных, лежащих окрестности графика 7 заданной строго выпуклой функции. Очевидно, по отношению к равномерному распределению вероятностей на Сп множество таких аппроксимирующих ломаных является «большим уклонением» (относительно предельной кривой 70) и потому имеет экспоненциально малую вероятность. В указанной работе был выписан соответствующий функционал действия, для которого предельная парабола 70 доставляет единственный максимум в классе графиков гладких строго выпуклых возрастающих функций. Отметим, что принцип больших уклонений для случайных ломаных (относительно равномерного распределения вероятностей) доказан A.M. Вершиком и О. Зейтуни [32]. Результат Вершика об аппроксимирующих ломаных приводит к задаче построения новой меры PJ, относительно которой данная выпуклая л/1 — и + у/щ — 1,.

0.1).

71 —У ОО кривая 7 задает предельную форму ломаных. Эта задача решается в диссертации.

В той же работе Вершик отметил, что представляет интерес анализ асимптотических свойств ломаных относительно иных (отличных от равномерного) распределений вероятностей на £п, и сформулировал гипотезу о возможной универсальности предельной формы. Аналогичная гипотеза была высказана Ю. В. Прохоровым (частное сообщение после доклада автора на семинаре в МИР АН им. В. А. Стеклова в 1998 г.). В настоящей диссертации гипотеза В ершика-Прохорова доказана для одного класса распределений.

Одновременно с работами Вершика и Бараньи, Я. Г. Синай в статье [14] предложил вероятностный подход к исследованию асимптотических свойств выпуклых ломаных, позволяющий не только найти предельную форму, но также получить некоторые важные уточнения результатов Вершика и Бараньи, в частности центральную предельную теорему для флуктуаций относительно предельной кривой 70. Идея Синая состояла в том, чтобы представить распределение вероятностей Рп на множестве Сп ломаных с закрепленным правым концом как условное распределение, индуцированное подходящей вероятностной мерой определенной на множестве всех ломаных Мера Q = Qz (зависящая от двумерного параметра z = (zi, 22)) выбирается мультипликативной, т. е. задается как распределение некоторого случайного поля v — {у{х)}Х?х с независимыми значениями, определенного на пространстве X пар х = (яь^г) вза" имно простых натуральных чисел. Благодаря мультипликативности Qz, условное распределение Рп на Сп оказывается равномерным (и в частности не зависящим от параметров 21,22). Тогда те или иные утверждения о ломаных (например, закон больших чисел) доказываются сначала для Qz, а затем переносятся на случай Рп с помощью подходящей локальной предельной теоремы. При этом параметры 21,22 естественно выбирать из условия, чтобы конец случайной ломаной «в среднем» попадал в заданную точку (ni, П2).

Отметим, что указанный подход по существу хорошо известен в статистической физике и основан на эквивалентности большого канонического и канонического ансамблей. По-видимому, впервые этот метод был применен в задачах квантовой статистики А. Я. Хинчиным [19]. Глубокая связь между асимптотическими комбинаторными проблемами для разбиений и задачами статистической физики обсуждается в серии работ А. М. Вершика (см. [4], [30], [6], [7]).

Аналогичная идея оказывается плодотворной для широкого круга комбинаторных задач (см., например, обзор Р. Арратиа и С. Таваре [22]). Наиболее хорошо разработана теория одномерных разбиений натуральных чисел (в неупорядоченную сумму неотрицательных целых слагаемых). Классическая теория разбиений восходит к Эйлеру и связана с именами Харди, Рамануджана, Радемахера и др. (см. [21]). Проблема предельной формы для разбиений была поставлена и решена А. М. Вершиком на языке соответствующих диаграмм Юнга (см. [30], [б], [7]). Красивые результаты также получены для разбиений с теми или иными ограничениями на тип и число слагаемых [30], [6], [7], [31]. Интересно, что многие классические результаты теории разбиений натуральных чисел могут быть получены сравнительно просто с помощью вероятностных соображений. В частности, нетрудно найти главный член асимптотики для функции Эйлера (числа всех разбиений):

4у/оп который был впервые получен Харди и Рамануджаном с помощью тонкого анализа производящей функции (см. [21]).

Следует отметить, что практическая реализация вероятностного метода требует определенной технической работы, и прежде всего доказательства локальной предельной теоремы. Так, доказательства основных результатов в работе Синая [14] были им лишь намечены. Аналитические трудности достаточно велики уже в одномерном варианте задачи (для разбиений натуральных чисел и соответствующих диаграмм Юнга), и необходимая локальная теорема была доказана относительно недавно в работе A.M. Вершика, Г. А. Фреймана и Ю. В. Якубовича [9].

Остановимся подробнее на структуре и содержании настоящей работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (разбитых на параграфы) и списка литературы. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 статьях автора, список которых приведен в конце диссертации.

1. Арнольд В. И. Статистика целочисленных выпуклых многоугольников. Функц. анализ и его прилож., 1980, т. 14, вып. 2, с. 1−3. Арнольд В. И. Статистика выпуклых целочисленных многоугольников.

2. Бхаттачария Р. Н., Ранго Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982.

3. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. 2-е изд. М.: Наука. Физматлит, 1996.

4. Вершик A.M. Статистическая сумма, связанная с диаграммами Юнга. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1987, т. 164, с. 20−29.

5. Вершик A.M. Предельная форма выпуклых целочисленных ломаных и близкие вопросы. Функц. анализ и его прилож., 1994, т. 28, вып. 1, с. 16−25.

6. Вершик A.M. Статистическая механика комбинаторных разбиений и их предельные конфигурации. Функц. анализ и его прилож., 1996, т. 30, вып. 2, с. 19−39.

7. Вершик A.M. Предельное распределение энергии квантового идеального газа с точки зрения теории разбиений натуральных чисел. Успехи матем. наук, 1997, т. 52, вып. 2, с. 139−146.

8. Вершик A.M., Керов С. В. Асимптотика максимальной и типичной размерности неприводимых представлений симметрической группы. Функц. анализ и его прилож., 1985, т. 19, вып. 1, с. 27−36.

9. Вершик A.M., Фрейман Г. А., Якубович Ю. В. Локальная предельная теорема для случайных разбиений натуральных чисел. Теория веро-ятн. и ее примен., 1999, т. 44, вып. 3, с. 506−525.

10. Гельфонд А. О. Вычеты и их приложения. М.: Наука, 1966.

11. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

12. Конягин С. Б., Севастьянов К. А. Оценка числа вершин выпуклого целочисленного многогранника в терминах его объема. Функц. анализ и его прилож1984, т. 18, вып. 1, с. 13−15.

13. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.1.4. Синай Я. Г. Вероятностный подход к анализу статистики выпуклых ломаных. Функц. анализ и его прилож., 1994, т. 28, вып. 2, с. 41−48.

14. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

15. Титчмарш Е. К. Теория функций. М.: Наука, 1980.

16. Федорюк М. В. Асимптотика, интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

17. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир, 1984.

18. Хинчин А. Я. Математические основания квантовой статистики. M.-JL: Гостехиздат, 1951.

19. Широков П. А., Широков А. П. Аффинная дифференциальная геометрия. М.: Физматгиз, 1959.

20. Эндрюс Дж. Теория разбиений. М.: Мир, 1980.

21. Arratia R., Tavare S. Independent process approximations for random combinatorial structures. Adv. Math., 1994, v. 104, p. 90−154.

22. Barany I. The limit shape of convex lattice polygons. Discrete Comput. Geom., 1995, v. 13, no. 3−4, p. 279−295.

23. Barany I., Pach J. On the number of convex lattice polygons. Combin. Probab. Comput., 1992, v. 1, no. 4, p. 295−302.

24. Barany I., Vershik A.M. On the number of convex lattice polytopes. Geometric and Fund. Anal, 1992, v. 2, no. 4, p. 381−393.

25. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular Variation. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

26. Hardy G.H., Wright E.M. An Introduction to the Theory of Numbers. 4th ed., Oxford: Oxford University Press, 1960.

27. Ivic A. The Riemann Zeta-function. New York: Wiley Interscience, 1985.

28. Niven I., Zuckerman H.S. An Introduction to the Theory of Numbers. New York-London: Wiley, I960.

29. Vershik A.M. Asymptotic combinatorics and algebraic analysis. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Zurich, 1994. Vol. 2. Basel: Birkhauser, 1995. P. 1384−1394.

30. Vershik A., Yakubovich Yu. The limit shape and fluctuations of random partitions of naturals with fixed number of summands. Moscow Math. Journal, 2001, v. 1, no. 3, p. 457−468.

31. Vershik A., Zeitouni 0. Large deviations principle in the geometry of convex lattice polygons. Israel J. Math., 1999, v. 109, p. 13−27.

32. Widder D.V. The Laplace Transform. Princeton: Princeton University Press, 1946.

33. Богачев JI.В., Зарбалиев С. М. Предельные теоремы для одного класса случайных выпуклых ломаных. Успехи матем. наук, 1999, т. 54, вып. 4, с. 155−156.

34. Богачев Л. В., Зарбалиев С. М. Об аппроксимации выпуклых функций случайными ломаными. Доклады Академии наук, 1999, т. 364, № 3, с. 299−302.

35. Богачев Л. В., Зарбалиев С. М. Предельные теоремы для случайных выпуклых ломаных относительно одного класса мультипликативных статистик. Деп. рук., ВИНИТИ, № 2439-В2001. М., 2001, 80 с.

36. Bogachev L.V., Zarbaliev S.M. Limit theorems for random convex polygons. Research Report STAT 03/01, Department of Statistics, University of Leeds. Leeds, 2003, 70 p. http://www.maths.leeds.ac.uk/~bogachev/Papers/leeds6a.pdf.

37. Bogachev L.V., Zarbaliev S.M. Approximation of convex curves by random lattice polygons. Preprint N104003, Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences. Cambridge, 2004, 33 p. http://www.newton.cam.ac.uk/preprints/NI04003.pdf.