Финансовая математика

Задание 1

Правило торговца.

Кредит в Z = 15 000 руб. выдан на N = 10 месяцев под i = 10% годовых. Договор предусматривает погашение двумя промежуточными платежами. Первая выплата в сумме R1 = 600 руб. производится через n1 = 6 месяцев, вторая выплата в сумме R2 = 9 000 руб. — через n2 = 9 месяцев. Найти выплату в конце срока кредита.

Решение.

Продолжительность кредита в долях года равна

T =10/12=5/6.

Тогда долг (кредит с процентами) составит 15 000(1 + 0,1?0,83) = 16 245.

Интервал времени (в долях года) от момента первого платежа до окончания срока кредита

t1 =(10−6) /12=1/3.

Сумма первого платежа с процентами равна

R1=(1+ i t1) = 600(1+0,1· 1/3) =620.

Остаток долга после первого платежа будет равен

Z1 = 16 245−620=15 625.

Интервал времени (в долях года) от момента второго платежа до окончания срока кредита

t2 =(10−9) /12=1/12.

Сумма второго платежа с процентами равна

R2=(1+ i t2) =9000(1+0,1· 1/12) =9075.

Остаток долга будет равен

Z2 = 15 625−9075=6550.

Отсюда следует, что в конце срока кредита погашающий платеж равен

R3= 6550 руб.

Таким образом, заемщиком будет выплачена сумма

R1+ R2+R3= 600+9000+6550=16 150 руб.

При этом его долг кредитору составляет 16 245 руб.

Задание 2

Клиент получил ссуду Р = 200 000 руб. сроком на n = 8 лет под 6% процентов годовых. Погашение кредита производится в конце каждого года равными долями.

Вычислить размер ежегодного платежа и его разбиение на погашение основного долга и погашение процентов. Вычисления по формулам проверить с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ.

Решение.

Клиент должен каждый год выплачивать банку сумму

R=P• i/(1-(1+i) — n) =200 000•0,06/(1-(1+0,06) — 8) =32 207, 19

Этот ответ можно получить, используя таблицу коэффициентов приведения a (i, k),

R=P/(a (6%, 8)) =200 000/6, 20 979=32207, 19

найдем выплаты по процентам и основного долга в конце первого года, т. е. при j = 1, Z0 = P = 200 000:

D1 = i· Z0 = 0,06· 200 000 = 12 000,B1 = R — D1 = 32 207,19 — 12 000 =20 207, 19.

Тогда остаток долга в конце первого года будет равен

Z1 = Z0 — B1 = 200 000 — 20 207,19 = 179 792,81.

В конце второго года, т. е. при j = 2 выплаты по процентам

D2 = i· Z1 = 0,06· 179 792,81? 10 787,57,выплаты основного долга

B2 = R — D2 = 32 207,19 — 10 787,57 = 21 419,62.

Тогда остаток долга в конце второго года будет равен

Z2= Z1 — B2 = 179 792,81 — 21 419,62 = 158 373, 19.

В конце третьего года, т. е. при j = 3 выплаты по процентам

D3= i· Z2 = 0,06· 158 373,19? 9502,39,

выплаты основного долга

B3 = R — D3 =32 207,19 -9502,39= 22 704,8.

Тогда остаток долга в конце третьего года будет равен

Z3 = Z2 — B3 = 158 373,19 — 22 704,8 =135 668,39.

В конце четвертого года, т. е. при j = 4 выплаты по процентам

D4 = i· Z3 = 0,06· 135 668,39 =8140,10,выплаты основного долга

B4 = R — D4 =32 207,19 -8140,10= 24 067,08.

Тогда остаток долга в конце четвертого года будет равен

Z4 = Z3 — B4 = 135 668,39 — 24 067,08 = 111 601,31.

В конце пятого года, т. е. при j = 5 выплаты по процентам

D5 = i· Z4 = 0,06· 111 601,31 =6696,08,выплаты основного долга

B5 = R — D5 =32 207,19 -6696,08= 25 511,11.

Тогда остаток долга в конце пятого года будет равен

Z5 = Z4 — B5 = 111 601,31 — 25 511,11 = 86 090,2.

В конце шестого года, т. е. при j = 6 выплаты по процентам

D6 = i· Z5 = 0,06· 86 090,2 =5165,41,выплаты основного долга

B6 = R — D6 =32 207,19 -5165,41= 27 041,78.

Тогда остаток долга в конце шестого года будет равен

Z6 = Z5 — B6 = 86 090,2 — 27 041,78= 59 048,42.

В конце седьмого года, т. е. при j = 7 выплаты по процентам

D7 = i· Z6 = 0,06· 59 048,42=3542,91,выплаты основного долга

B7 = R — D7 =32 207,19 -3542,91= 28 664,28.

Тогда остаток долга в конце седьмого года будет равен

Z7 = Z6 — B7 = 59 048,42 — 28 664,28= 30 384,14.

В конце восьмого года, т. е. при j = 8 выплаты по процентам

D8 = i· Z7 = 0,06· 30 384,14 =1823,05,выплаты основного долга

B8 = R — D8 =32 207,19 -1823,05= 30 384,14.

Тогда остаток долга в конце восьмого года будет равен

Z8 = Z7 — B8 = 30 384,14 — 30 384,14= 0.

Теперь проверим вычисления с помощью функций ПЛТ, ОСПЛТ, ПРПЛТ

Задание 3

Проект рассчитан на два года и требует инвестиции в I0 = $ 15 000. В конце первого года доход составит R1= $ 7 000, а в конце второго года — R2= $ 12 000.

Найти при заданной ставке приведения i=10%:

1) чистый приведенный доход NPV;

2) чистый наращенный доход NFV;

3) cрок окупаемости без учета и с учетом времени;

4) внутреннюю ставку дохода.

Вычисления по формулам проверить помощью функций ЧПС и ВСД.

Решение.

Из формулы при n = 2, i = 10% найдем чистый приведенный доход n

NPV=? * Rk / (1+i) k-I0

k=1

NPV=7000/1,1+12 000/1,12−15 000=6363,64+9917,36−15 000=1281

или NPV=R1*v (10%, 1) +R2*v (10%, 2) — I0

=7000*0,909 091+12000*0,826 446−15 000=6363,64+9917,36−15 000=1281

Заметим, что величина $ 6363,64 соответствует современной стоимости $ 7 000, а величина инвестиции $ 9 917,36 соответствует современной стоимости $ 12 000.

NFV = (1+i) 2 · NPV = 1,12 · 1281 = 1550,01

Найдем срок окупаемости без учета времени по формуле

R1+R2+…+R [nok] +R [nok] +1=I0,

что приводит к уравнению

7000 + 12000x = 15 000.

Отсюда дробная часть срока окупаемости

x=7000/12 000=0,58

Срок окупаемости равен 1 + x = 1,58.

Срок окупаемости с учетом времени по формуле:

v (i, 1) R1+v (i, 2) R2+…+v (i, [nok]) R [nok] +xv (i, [nok] +1) R [nok] +1=I0

приводит к уравнению

7000/1,1+12 000/1,12x=15 000; 7000*v (10%, 1) +12 000*v (10%, 2) x=15 000;

6363,64+9917,36x=15 000; x=(15 000−6363,64) /9917,36=0,87

Срок окупаемости с учетом времени поступления доходов равен 1,87.

Внутреннюю ставку дохода по определению находим из решения уравнения относительно i.

7000/(1+i) +12 000/(1+i) 2=15 000 или

15 000×2−7000х-12 000=0

где x = 1 + i. Сокращая на 1000, получим квадратное уравнение

15×2 — 7x — 12 = 0.

Положительный корень этого уравнения x1= 1,1577

Отсюда находим, что внутренняя ставка дохода

IRR = x1- 1 = 1,1577 — 1 =0,1577.

Вычисления по формулам проверим в Excel с помощью функций ЧПС и ВСД.

Задание 4

На финансовом рынке может сложиться одна из четырех ситуаций A1, A2, A3, A4.

В условиях полной неопределенности инвестор выбирает из четырех финансовых операций F1, F2, F3, F4. Доходы инвестора определяются матрицей

Определить оптимальный выбор финансовой операции по критериям Вальда и Сэвиджа.

1. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Вальда.

Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т. е. определим наименьшее число в каждой строке матрицы доходов:

a1= 14, a2= 8, a3= 11, a4= 12.

Согласно правилу Вальда, наибольшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 14, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.

2. Оптимальный выбор финансовой операции по критерию Сэвиджа.

Сначала получим из матрицы доходов матрицу рисков. Для этого в каждом столбце матрицы доходов найдем наибольшее число

b1=17, b2=18, b3=18, b4=17.

Вычитая из наибольшего значения столбца все его элементы, получаем столбец матрицы рисков. Следовательно, матрица рисков имеет вид

Q=

Найдем наихудший исход каждой финансовой операции, т. е. определим наибольший риск в каждой строке матрицы рисков:

q1= 4, q2= 9, q3= 7, q4= 6.

Согласно правилу Сэвиджа наименьшее среди найденных чисел определяет оптимальный доход. Следовательно, оптимальный доход равен 4, и он гарантируется выбором финансовой операции F1.