Методические основы обучения решению тригонометрических неравенств

В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т. е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.

Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина школьного курса математики не существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.

Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрию важнейшей из наук.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических неравенств связаны несколько направлений:

1. Решение неравенств;

2. Решение систем неравенств;

3. Доказательство неравенств.

Так же следует заметить, что решение тригонометрических неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т. д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т. д.)

Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Научение умениям может осуществляться тремя путями:

· Проблемное обучение;

· Алгоритмизированное обучение или обучение на полной ориентировочной основе;

· Методика поэтапного формирования умственных действий.

Актуальность исследования: необходимость формирования умений учащихся решать тригонометрические неравенства и недостаточность материалов для организации алгоритмизированного обучения по теме.

Цель исследования: разработать комплекс задач, направленный на формирование у учащихся умений по решению тригонометрических неравенств путем алгоритмизированного обучения.

Объект исследования: процесс обучения математике.

Предмет исследования: приемы и методы решения тригонометрических неравенств. тригонометрия неравенство обучение

Проблема исследования: выявление успешности использования комплекса задач по решению тригонометрических неравенств

Гипотеза исследования: подобранный комплекс задач будет способствовать развитию умений по решению тригонометрических неравенства.

Задачи исследования:

1. Выполнить анализ методической литературы, направленной на формирование умений по решению тригонометрических неравенств

2. Составить комплекс заданий направленный на формирование умений по решению тригонометрических неравенств.

3. Описать этапы апробации подобранного комплекса.

Методы исследования: наблюдение, анализ литературы

Работа состоит из двух глав, введения, заключения и списка литературы. Во введении подчеркнута актуальность изучения проблемы. Первая глава посвящена рассмотрению теоретических основ обучения решению тригонометрических неравенств. Вторая глава посвящена апробации разработанного комплекса задач.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

1.1 Содержание и анализ материала по тригонометрии в действующих школьных учебниках

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики. И этот курс предполагает задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя целенаправленную специальную подготовку.

Анализ школьных учебников по математике в полной степени определяет место тригонометрических неравенств в линии изучения неравенств.

Опытные преподаватели отмечают, что осознание важности изучаемого материала приходит к ученикам не в процессе его изучения, а в процессе его применения при решении других заданий, т. е. тогда когда он становится средством для решения других задач. Рассмотрим содержание материала по тригонометрии изложенного в различных учебниках по математике за курс 10 — 11-ого класса средней школы, с целью его сравнения, анализа и формирования наиболее приемлемой методики внедрения данной темы в школьном курсе математики.

Учебник «Алгебра и начала анализа. 10−11» Башмакова М. И. разбит на 6 глав. Каждая глава открывается списком вопросов и задач. Затем коротко формулируются результаты, которые необходимо достичь после изучения главы. Материал, касающийся темы «Решение тригонометрических неравенств» представлен в главе III «Тригонометрические функции» после изучения глав «Функции и графики» и «Производная и её применение».

Четвёртая глава «Показательная и логарифмическая функции» и пятая глава «Интеграл и его применение» не содержат обращений к области тригонометрии вообще, а в шестой главе «Уравнения и неравенства» встречаются и тригонометрические неравенства.

Обращаясь в главе III к теме «Тригонометрические функции» М. И. Башмаков считает нужным повторить такие темы как: измерение углов; соотношения в треугольнике; вращательное движение; техника вычислений. Далее вводятся: определения и простейшие свойства тригонометрических функций; формулы приведения; значения тригонометрических функций.

Причём, здесь же вводится основное тригонометрическое тождество.

Следующие разделы данной темы «Исследование тригонометрических функций» и «Тождественные преобразования». Лишь после этого в разделе «Решение уравнений и неравенств» вводятся различные виды уравнений и некоторые виды неравенств. И соответственно здесь же отмечены способы и методы их решения.

Учебник Мордковича А. Г. «Алгебра и начала анализа. 10−11» разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначены основные результаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинается с изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия «синус» и «косинус», основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее приводятся свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические уравнения» подробно описывается решение каждого простейшего тригонометрического уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса. В этой же главе раскрыты такие методы решения как: разложение на множители и введение новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие методы решения рассматриваются после изучения третьей главы «Преобразование тригонометрических выражений».

С точки зрения применения учебник А. Г. Мордковича удобен для самостоятельного изучения учащимися, т.к. он содержит сильную теоретическую базу. Изложение теоретического материала ведётся очень подробно. В условиях острой нехватки часов для проведения занятий в классе возрастает значение самостоятельной работы учеников с книгой. Опираясь на учебник, учитель прекрасно разберётся в том, что надо рассказать учащимся на уроке, предложить им запомнить, а что прочесть дома.

Учебник Колмогорова А. Н. «Алгебра и начала анализа 10−11» содержит 6 глав. Схема изучения материала по теме «Решение тригонометрических неравенств» радикально отличается от предыдущих, т.к. сначала рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы тригонометрии. В этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные свойства тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого вводятся понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно» с этим решение простейших тригонометрических неравенств. Автор не называет методов решения тригонометрических уравнений, а описывает алгоритм их решения. Тоже касается и решения тригонометрических неравенств.

Стоит отметить, что учебник содержит достаточно много дидактических материалов, как простых так и более сложных. Это естественно обеспечивает учителю возможность варьировать задания для учащихся.

С точки зрения изложения теоретического материала нельзя сказать, что учебник идеально подходит для самостоятельного изучения.

1.2 Тригонометрические неравенства и методы их решения

При решении тригонометрических неравенств вида, где — одна из тригонометрических функций, удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Основным методом решения тригонометрических неравенств является сведение их к простейшим неравенствам типа sin x? a. Авторы Севрюков П. Ф. и Смоляков А. Н. рассматривают решение данного простейшего тригонометрического неравенства при 0? а? 1 следующим образом: отмечают точки на окружности единичного радиуса, соответствующие аргументу х, которые будут расположены выше оси ОХ или на самой прямой. Из рисунка, приведенного в учебно — методическом пособии, видно, что arcsin a + 2рn? x? р — arcsin a + 2рn, n€Z.

При -1 < а < 0 значения х заполняют дугу единичной окружности, расположенные выше прямой y=a. Из рисунка видно, что эта дуга по длине больше полуокружности, т. е. arcsin a + 2рn? x? р — arcsin a + р (1+2n), n€Z.

Рассмотрим пример: Решите неравенство .

Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на ней точки, для которых ордината превосходит .

Для решением данного неравенства будут. Ясно также, что если некоторое число будет отличаться от какого-нибудь числа из указанного интервала на, то также будет не меньше. Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто добавить. Окончательно, получаем, что решениями исходного неравенства будут все .

Ответ. .

Неравенства вида sin nx? ±a решаются по аналогии, заменой nx через новую переменную z.

Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые и соответственно (на рисунке (1) и (2)), касающиеся тригонометрической окружности.

Легко заметить, что если построить луч с началом в начале координат, составляющий угол с положительным направлением оси абсцисс, то длина отрезка от точки до точки пересечения этого луча с линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот луч с осью абсцисс. Аналогичное наблюдение имеет место и для котангенса.

Решение тригонометрических неравенств графическим методом

Заметим, что если — периодическая функция, то для решения неравенства необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции. Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений, а также всех, отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции .

Рассмотрим решение неравенства ().

Поскольку, то при неравенство решений не имеет. Если, то множество решений неравенства —- множество всех действительных чисел.

Пусть. Функция синус имеет наименьший положительный период, поэтому неравенство можно решить сначала на отрезке длиной, например, на отрезке. Строим графики функций и ().

На отрезке функция синус возрастает, и уравнение, где, имеет один корень. На отрезке функция синус убывает, и уравнение имеет корень. На числовом промежутке график функции расположен выше графика функции. Поэтому для всех из промежутка) неравенство выполняется, если. В силу периодичности функции синус все решения неравенства задаются неравенствами вида: .

Аналогично решаются неравенства, , и т. п.

1.3 Умения, необходимые при решении тригонометрических неравенств

В методической литературе существуют различные трактовки понятия «умения». Например, Петровский А. В. под «умениями» понимает способность использовать имеющиеся данные, знания или понятия, оперировать ими для выявления существенных свойств вещей и успешного решения определенных теоретических или практических задач.

Матюхина М.В. дает следующее определение: «умение — сочетание знаний и навыков, которое обеспечивает успешное выполнение деятельности». Навыки — это автоматизированные способы выполнения действий. Знания — это разновидность субъективных образов в сознании. Понятие — это форма знания, которая отражает единичное и особенное, являющееся одновременно и всеобщим.

Рассмотрим следующее понятие — «формирование умений». Под ним понимается деятельность учителя, связанная с организацией усвоения определенного элемента социального опыта учеником.

Формирование умений — это овладение всей сложной системой операций по выявлению и переработке информации, содержащейся в знаниях и получаемой от предмета, по сопоставлению и соотнесению информации с действиями.

Формирование умений выступает, прежде всего, как продукт все углубляющихся знаний. Умения формируются на основе освоения понятий о различных сторонах и свойствах изучаемых объектов. Главный путь формирования умений — это приучение учащихся видеть различные стороны в объекте, применять к нему разнообразные понятия, формулировать в понятиях многообразные отношения этого объекта. Учащихся надо научить преобразовывать объект с помощью синтеза через анализ. Применяемые преобразования зависят от того, какие отношения и зависимости требуется установить. Схема таких преобразований и есть план решения задачи.

Научение умениям может осуществляться разными путями. Один из них заключается в том, что учащемуся сообщают необходимые знания, затем перед ним ставят задачи на их применение. И учащийся сам ищет решения, обнаруживая путем проб и ошибок соответствующие ориентиры, способы переработки информации и приемы деятельности. Этот путь называют проблемным обучением. Другой путь заключается в том, что учащихся обучают признакам, по которым можно однозначно распознать тип задач и требуемые для ее решения операции. Этот путь называют алгоритмизированным обучением или обучением на полной ориентировочной основе. Наконец, третий путь заключается в том, что учащегося обучают самой психической деятельности, необходимой для применения знаний. В этом случае педагог не только знакомит учащегося с ориентирами отбора признаков и операций, но и организует деятельность учащегося по переработке и использованию полученной информации для решения поставленных задач. Это достигается систематическим проведением учащегося через все этапы деятельности, требующей ориентировки на признаки, которые закреплены в изучаемом понятии. На первом этапе эти ориентиры (существенные признаки) предмета предъявляются ученику в готовом, материализованном виде, в виде схем, символа, предметов, а операции по выделению ориентиров осуществляются в форме предметных действий. На втором этапе ориентиры и предметные операции заменяются речевыми обозначениями и действиями. На третьем этапе отпадают и словесные действия, их заменяют мыслительные операции, которые протекают по все более свернутой схеме. Эту концепцию называют методикой поэтапного формирования умственных действий.

Говоря об умениях решать тригонометрические неравенства, нужно иметь в виду, что эти умения образуют целый комплекс, в который среди прочих входят следующие:

— умения отыскать на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженных в долях числа (, и т. д.) и не выраженных в долях числа (М (2), М (-7), М (6) и т. д.);

— умение изображать числа точкой числовой окружности и надписывать точки (имеется в виду определять все числа, которые соответствуют данной точке);

— умение изображать числа на числовой окружности по значению одной из тригонометрических функций;

— составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности;

— умение провести анализ предложенного уравнения или неравенства с целью получения оснований для отнесения уравнения к одному из известных видов;

— умение осуществить обоснованный выбор приема решения;

— умение решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства и иллюстрировать решение с помощью графика, тригонометрического круга;

— умение применять свойства тригонометрических функций при решении уравнений и неравенств;

— умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, которое, в свою очередь, предполагает умение применять приемы преобразований алгебраических выражений и соответствующие тригонометрические формулы;

— умение решать алгебраические уравнения определенных видов (линейные, квадратные, дробно-рациональные, однородные, сводящиеся к совокупностям алгебраических уравнений указанных видов) и др. 6]

Анализ программ по математике для средней школы, учет целей изучения тригонометрических неравенств, а также обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, приводит к выводу, что указанные умения должны быть усвоены, по крайней мере, на уровне применения «в ситуации по образцу».

1.4 Методические основы формирования умений по решению тригонометрических неравенств

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства, Мордкович А. Г. выделяет 3 этапа:

1. подготовительный;

2. формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;

3.

введение

тригонометрических неравенств других видов.

Цель подготовительного этапа состоит в том, что необходимо сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг или график для решения неравенств, а именно:

— умения решать простейшие неравенства вида sinx > 1, sinx < - 1 ,

cos x > 1, cosx < - 1 с помощью свойств функций синус и косинус;

— умения составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности или для дуг графиков функций;

— умения выполнять различные преобразования тригонометрических выражений.

Реализовать подготовительный этап рекомендуется в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций. Основным средством могут служить задания, предлагаемые учащимся и выполняемые либо под руководством учителя, либо самостоятельно, а так же навыки наработанные при решении тригонометрических уравнений.

Примеры таких заданий приводятся в статье «Методические проблемы изучения тригонометрии в школе»: [7]

1. Отметьте на единичной окружности точку, если

.

2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка, если

равно:

4. Отметьте на тригонометрической окружности точки, если:

5. Приведите выражение к тригонометрическим функциям от аргумента I четверти.

а) б) в)

5. Дана дуга МР. М — середина I — ой четверти, Р — середина II-ой четверти.

Ограничить значение переменной t для: (составить двойное неравенство) а) дуги МР;

б) дуги РМ.

6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:

7. Решите неравенства sin x > 1, sin x < - 1, cos x > 1, cos x < - 1

Обратим внимание на задания 5 и 6. Естественно, именно они лежат в основе решения простейшего тригонометрического неравенства.

Неравенства, характеризующие дугу, автор предлагает составлять в 2 шага. На первом шаге составляем «ядро» записи неравенства (это, собственно говоря, главное к чему следует научить школьников); для заданной дуги МР получим. На втором шаге составляем общую запись:

.

Если же речь идёт о дуге РМ, то при записи «ядра» нужно учесть, что точка А (0) лежит внутри дуги, а потому к началу дуги нам приходиться двигаться по первой отрицательной окружности. Значит, ядро аналитической записи дуги РМ имеет вид, а общая запись имеет вид. ,

При решении задания 7, следует особо обратить внимание на значимость свойств тригонометрических функций.

На этапе формирования умений решать простейшие тригонометрические неравенства предлагаются следующие рекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся. При этом ориентируются на уже имеющиеся у учащихся умения работать с тригонометрической окружностью или графиком, сформированные во время решения простейших тригонометрических уравнений.

Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема решения простейших тригонометрических неравенств можно, обратившись, например, к неравенству вида. Используя знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенное неравенство к виду;, но могут затрудниться в нахождении множества решений полученного неравенства, т.к. только лишь используя свойства функции синус решить его невозможно. Этого затруднения можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга).

Во-вторых, учитель должен обратить внимание учащихся на различные способы выполнения задания, дать соответствующий образец решения неравенства и графическим способом и с помощью тригонометрического круга.

Варианты решения неравенства

1. Решение неравенства с помощью единичной окружности.

1) Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен .

2) Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем. Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

3) Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .

4) Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги. Таким образом неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство. Все решения неравенства могут быть записаны в виде

Необходимо внимательно рассмотреть рисунок и разбраться, почему все решения неравенства могут быть записаны в виде

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что при решении неравенств для функции косинус, прямую проводим параллельно оси ординат.

1. Графический способ решения неравенства.

Строим графики и, учитывая, что

Затем записываем уравнение и его решение, найденное с помощью формул .

(Придавая n значения 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения). Значения являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков и. Очевидно, что всегда на интервале () выполняется неравенство, а на интервале () — неравенство. Нас интересует первый случай, и тогда добавив к концам этого промежутка число, кратное периоду синуса, получим решение неравенства в виде: ;

Подведём итог. Чтобы решить неравенство, надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни и, и записать ответ неравенства в виде: .

В-третьих, факт о множестве корней соответствующего тригонометрического неравенства очень наглядно подтверждается при решении его графическим способом.

Необходимо продемонстрировать учащимся, что виток, который является решением неравенства, повторяется через один и тот же промежуток, равный периоду тригонометрической функции. Так же можно рассмотреть аналогичную иллюстрацию для графика функции синус.

В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание школьников на роль этих приемов при решении тригонометрических неравенств.

Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделяются следующие:

1.22

2.

3.

4.

В-пятых, от учащихся необходимо требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического неравенства с помощью графика или тригонометрического круга. Обязательно следует обратить внимание на ее целесообразность, в особенности на применение круга, так как при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства существуют два замечания.

Во-первых, знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических неравенств, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому неравенству обращение к соответствующему тригонометрическому уравнению совместный поиск (учитель — учащиеся) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие неравенства этого же вида.

Во-вторых, чтобы систематизировать знания учащихся о тригонометрии, рекомендуют специально подобрать такие неравенства решение которых требует различных преобразований, которые могут быть реализованы в процессе его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях.

В качестве таких продуктивных неравенств можно предложить, например, следующие

1.

2.

Для закрепления изученной темы, необходимо учащимся предлагают для самостоятельного решения типовые примеры:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Итак, в теме «Тригонометрические неравенства» предлагается изучать только то, что даст возможность школьникам почувствовать именно специфику тригонометрических неравенств.

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

2.1Комплекс фрагментов уроков по формированию умений решения тригонометрических неравенств

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства

Решим тригонометрическое неравенство .

Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси абсцисс точку. Проведем через нее прямую, параллельную оси ординат. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, косинус которых равен

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие косинус больший, чем. Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Шаг 3. Выберем один из концов отмеченной дуги. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .

Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому. При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги .

Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство. Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции косинус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде .

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства Решим тригонометрическое неравенство .

Шаг 1. Начертим единичную полуокружность. Исключим верхнюю и нижнюю точки, так как они изображают числа, тангенс которых не существует. Отметим на линии тангенсов точку -1 и соединим эту точку с началом координат. Эта прямая пересечет единичную окружность. Точка пересечения изображает числа, тангенс которых равен -1.

Шаг 2. Выделим дугу, для точек которой тангенс больше или равен -1. Один из концов этой дуги уже обозначен числом .

Шаг 3. Второй конец дуги в случае решения неравенств с тангенсом всегда можно обозначить как арктангенс соответствующего числа. В данном случае это арктангенс -1, то есть. Теперь, учитывая, что тангенс периодическая функция с периодом, получаем решения неравенства:

Внимательно рассмотрите рисунок и разберитесь, почему все решения неравенства могут быть записаны в виде

Решим тригонометрическое неравенство

Неравенства такого вида, в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим,, а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство, решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.

Фрагмент урока направленный на формирование умений решать тригонометрические неравенства Решим тригонометрическое неравенство .

Шаг 1. Начертим единичную окружность, отметим на оси ординат точку и проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках. Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен .

Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из них, на которой изображаются числа, имеющие синус больший, чем. Естественно, эта дуга расположена выше проведенной прямой.

Шаг 3. Выберем один из концов отмеченной дуги, например, справа. Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .

Шаг4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, «пройдем» по этой дуге из названного конца к другому против часовой стрелки, учитывая, что числа, которые мы будем проходить, увеличиваются. Запишем число, которое изображается на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги .

Таким образом, мы видим, что неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливо неравенство .

Мы решили неравенство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде .

2.2 Описание апробации

1. Третьей задачей данной курсовой работы является описание этапов апробации эффективности разработанного комплекса задач на формирование умения по решению тригонометрических неравенств.

Ход эксперимента можно разбить на три этапа:

1. Диагностирующий;

2. Обучающий;

3. Диагностирующий.

Диагностирующий этап эксперимента Целью этапа является выявление уровня сформированности основных умений необходимых для решения тригонометрических неравенств.

Для реализации цели, поставленной на данном этапе, необходимо сформулировать следующие задачи:

1. Выявить умение учащихся определять положение точки на единичной окружности, соответствующей данному углу;

2. Установить умение учащихся отмечать угол соответствующий конкретному значению конкретной тригонометрической функции;

3. Проверить умения определять принадлежность угла соответствующей четверти и оперировать с формулами приведения;

4. Вычислять значения тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций некоторых углов (как положительных, так и отрицательных);

Для реализации данных задач возможно использовать методы:

— контрольная работа;

— наблюдение.

Учащимся можно предложить контрольную работу, состоящая из 7 заданий. Задания контрольной работы выбрать в соответствии с умениями, необходимыми для решения тригонометрических неравенств.

Текст самостоятельной работы

1. Отметьте на единичной окружности точку, если

.

2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка, если

равно:

3. Отметьте на тригонометрической окружности точки, если:

4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.

а) б) в) г) д)

5. Дана дуга МР. М — середина I — ой четверти, Р — середина II-ой четверти.

Ограничить значение переменной t для: (составить двойное неравенство)

а) дуги МР;

б) дуги РМ.

6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:

7. Решите неравенства sinx > 1, sinx <-1, cos x > 1, cosx <-1

Результаты диагностирующего эксперимента.

Результаты контрольной работы отразить в таблице в количественном и процентном отношении.

Требуется проанализировать неверные ответы учащихся и выявить причину не усвоения данной темы для дальнейшей работы.

Обучающий эксперимент Целью данного этапа является формирование у учащихся умений решать тригонометрические неравенства.

Для реализации поставленной цели сформулированы следующие задачи:

1. В соответствии с результатами предыдущего этапа внести коррективы в разработанную методику формирования у учащихся решать тригонометрические неравенства, направленную на развитие тригонометрических представлений;

2. Применять данную систему задания на уроках и дополнительных занятиях со слабыми учащимися.

3. Организовать деятельность учащихся на занятиях, направленную на формирование умений решать тригонометрические неравенства.

Для реализации данных задач вероятно появится необходимость проведения дополнительных занятий. Содержание этих занятий должно включить в себя теоретическую и практическую часть.

Диагностирующий эксперимент Целью данного этапа является определение эффективности разработанной методики.

Для реализации данной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Провести контролирующую самостоятельную работу, позволяющую определить уровень сформированности у учащихся умений решать тригонометрические неравенства.

2. Сделать соответствующие выводы об использовании данной методики, её корректировке или полном изменении.

Для решения данных задач была проведена контрольная работа, аналогичная работе, предложенной на подготовительном этапе.

Текст контрольной работы.

1. Отметить на единичной окружности точки P_t, для которых соответствующие значения t удовлетворяют равенству

2. Определить принадлежность угла соответствующей четверти, если б равно .

3. Отметить угол б по значению функции

4. Выполнить задание на преобразование угла к острому а) б)

5. Составить двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности.

R — середина III четверти, К — середина IV четверти. Составить двойное неравенство для дуг КR и RК.

6. Составить двойные неравенства для дуг графика тригонометрической функции

7.

8. Решить тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций cos x<1, sin x>0

9. Решить неравенство

Сравнение результатов тестирования до и после эксперимента позволяет представить их в графической форме (диаграмма, график, таблица и т. д.)

Проанализировать работу с учащимися по формированию осознанного и качественного умения решать тригонометрические неравенства.

Выяснить достигнута ли цель эксперимента и возможность применения методики на занятиях по алгебре и началам анализа в общеобразовательной школе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении курсовой работы были поставлены и решены следующие задачи:

1. Выполнен анализ методической литературы, направленной на формирование умений по решению тригонометрических неравенств.

2. Составлен комплекс заданий на формирование умений по решению тригонометрических неравенств.

3. Описаны этапы апробации подобранного комплекса.

Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, можно сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрических неравенства в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.

Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и методов предложенными авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается линия возможностей изучения различных видов уравнений и неравенств на разных уровнях.

На мой взгляд, комплекс разработанных заданий способствует формированию умений решения тригонометрических неравенств путем алгоритмизированного подхода.

Тригонометрические неравенства занимают достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом.

1. Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа. 10−11:Учебное пособие для 10 — 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 2012. — 335 с.: ил.

2. Водинчар, М.И. и др. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств //Математика в школе. 2009. № 4. С. 73−77.

3. Калинин, А.К. О решении тригонометрических неравенств. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 6, 1991 г.

4. Колмогоров, А.Н. и др. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 — 11 кл. средней школы. М. Просвещение, 2014. — 335 с.: ил.

5. Мордкович, А. Г. Беседы с учителем. М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»:ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005»

6. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10−11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Мнемозина, 2010. — 336с.:ил.

7. Мордкович, А. Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе // Математика в школе. 2012. № 6.

8. Севрюков, П. Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие / П. Ф. Севрюков, А. Н. Смоляков. — М.:Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2010.-352с.