Процедуру (2) с использованием условий (3) называют глобальной интерполяцией. Если же многочлен (2) строится только для отдельных участков отрезка [а, b] (области определения f (х)), т. е. для m интерполяционных узлов, где m < n, то интерполяцию называют локальной.
Матрица системы (3) и ее определитель имеют следующий вид:
— G- (0, (4)
так как узлы выбранной системы точек различны. Следовательно, система (3) имеет единственное решение, т. е. коэффициенты многочлена (2) находятся однозначно.
Заметим, что условие (3) обеспечивает близость f (х) и F (х), по любой технологии ее получения, т. е. в узлах интерполяции f (х) и F (х) совпадают по их значениям.
Если (2) и (3) используются для вычисления значений функции для случая x < x0 и x > xn такое приближение называется экстраполяцией.
Линейная интерполяция состоит в том, что заданные точки таблицы (xi, yi), () соединяются прямыми линиями и исходная функция f (х) приближается на интервале [а, b] к ломаной с вершинами в узлах интерполяции. В общем случае частичные интервалы [xi-1, xi] ([a, b] различны. Для каждого отрезка ломаной можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (xi-1, yi-1) и (xi, yi). В частности, для i-го интервала в виде:
.
Тогда рабочую формулу можно записать:
(5)
где ,
Из графической иллюстрации видно, что для реализации (5) сначала нужно определить интервал, в который попадает значение xT, а затем воспользоваться его границами.
Блок-схема данного алгоритма:
Теоретическая погрешность R (x) = f (x) — F (x) (0 в точках, отличных от узлов.
где М2 = max, х ([xi-1, xi].
В случае, когда речь идет о квадратичной (параболической) интерполяции в качестве интерполяционного многочлена используется квадратный трехчлен на отрезке [xi-1, xi+1] ([а, b] в виде:
(6)
.
Для определения коэффициентов ai, bi, ci составляется система из трех уравнений согласно условиям (3), а именно:
(7)
Алгоритм вычисления аналогичен предыдущему, только вместо соотношений (5) используется соотношение (6) с учетом решения (7). Очевидно, что для xT ([x0, xn] используются три ближайшие точки.
Графическая иллюстрация метода
Теоретическая погрешность вне узлов интерполяции
R (x) = (x — x0) ((x — x1) ((x — x2)
— 6 —
— 6 —
