Дробное интегродифференцирование переменного порядка в пространствах обобщенной и переменной гельдеровости

В данной диссертации рассматриваются левосторонние и правосторонние операторы дробного интегрирования.

1а (0 fix) — 1 [ f (t)dt (о I) a b.

I"() f (x).

D<*> f (x) -M+ «W f /W ~ /(*) dt f0 z) r[l — a (®)](® — a)°(*) Г[1 — a (x)] J {x — t) i+"(*)ar' 1 j a b.

D*<-> f (x) =M+ a (a?) I /М ~ / W dt f0 4) b" JK ' Г[1 — a (x)](b — x)°W T[1 — a (x)] J (t — ®)i+"(*) { } X переменного порядка a{x), 0 < а{х) < 1, в обобщённых пространствах Гёльдера Нш^'[а, Ь]) с характеристикой, зависящей от параметра, и в пространствах переменной гёльдеровости Нх^ ([о, 6], р) со степенными весами. В нашем случае характеристика w (t, х), 0 < t < Ъ — а, принадлежит классу типа Зигмунда-Бари-Стечкина по переменной t равномерно по ж, а вес р{х) имеет вид (х — aY или (Ъ — х) и, где fi и v — некоторые действительные числа.

В последнее время сильно возрос интерес к изучению пространств переменного порядка, когда параметры, определяющие пространство, обычно постоянные, могут изменяться от точки к точке. Типичным примером такого пространства является обобщенное пространство Лебега с переменным показателем, определяемое модуляром§- /(х)р^с1х. Другим примером п является пространство Гельдера переменного порядка, определяемое условием а>(/, ^ сЬх^хх Е где локальный модуль непрерывности а-(/, функции / равен эир |/(ж + К) — /(ж)|. Известны и более общие пространства, а именно, обобщенные пространства Гельдера с переменной характеристикой ж), зависящей от х: о-(/, х) ^ сигде мажоранта х) — функция типа модуля непрерывности по переменной? (для каждого х 6 [а, Ь]).

Целью работы является исследование зависимости отображений, осуществляемых дробными интегралами и дробными производными переменного порядка, от локальных значений а (х), Х (х) и при заданных ограничениях на величины /1 и р. Необходимость такого исследования возникает, например, при исследовании дифференциальных свойств функций или при решении некоторых интегральных уравнений первого рода (см., напр., [24]).

В настоящее время проведено большое число исследований по описанию образов и обращению операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах Гёльдера. Так, первый результат в данной области принадлежит Г. Вейлю (см. [47]). Он показал, что периодические функции, удовлетворяющие условию Гёльдера порядка Л, имеют непрерывные дробные производные порядка, а < А. Для непериодических функций подобный результат был получен П. Моптелем в работе [32]. Более точно действие операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования в пространствах Нх было изучено Г. Харди и Д. Литтлвудом в работе [25]. В ней была доказана теорема о действии оператора дробного интегрирования постоянного порядка из пространства Гёльдера Hq в пространство Hq+0l, А + а < 1, с «лучшим» показателем гёльдеровости, а также теорема о действии оператора дробного дифференцирования из пространства Hq, А > а, в пространство Hq~а с &bdquo-худшим" показателем гёльдеровости. Позднее B.C. Рубиным (см. [23]) были получены аналогичные теоремы о действии оператора в пространствах Гёльдера постоянного порядка со степенными весами. Дробные интегралы и дробные производные постоянного порядка в пространствах переменной гельдеровости рассматривались в работах Н. К. Карапетяпца и А. И. Гинзбург [12], [26]. Там же был получен изоморфизм этих пространств, осуществляемый дробным интегралом. Дробные интегралы переменного порядка в пространствах переменной гельдеровости рассматривались в работах Б. Росса и С. Г. Самко [33], С. Г. Самко [42]. Дробное интегродифференцирование на отрезке вещественной оси в пространствах обобщённой гёльдеровости в безвесовом и весовом случаях рассматривались в работах X. М. Мурдаева [17],[18], X. М. Мурда-ева и С. Г. Самко [19] - [21]. Действие операторов дробного интегрирования чисто мнимого порядка в пространствах Гёльдера постоянного порядка на отрезке вещественной оси со степенными весами было изучено в работе Н. К. Карапетянца и Л. Д. Шанкишвили [14]. Дробное интегродифференцирование комплексного порядка в пространствах обобщённой гёльдеровости со степенными весами рассматривалось в работе Н. К. Карапетянца и.

Л.Д. Шанкишвили [29]. Здесь же был получен изоморфизм указанных пространств, осуществляемый дробным интегралом. Многомерные потенциалы и гиперсингулярные интегралы в пространствах переменной, обобщённой и обобщенной переменной гельдеровости рассматривались в работах Б. Г. Ва-кулова [2] - [4], [5] - [8], [45], Б. Г. Вакулова, Н. К. Карапетянца и Л. Д. Шанкишвили [9],[10],[46] и Н. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [11]. Наиболее общие результаты о действии операторов типа потенциала и сответствующих гиперсингулярных операторов в рамках обобщенных пространств с переменными характеристиками были получены в работе Н. Г. Самко, С. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [11], где рассматривались пространства гёльдеровых функций, определенных на однородных пространствах (квазиметрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения).

Ещё одним важным вопросом является регуляризация интегральных уравнений первого рода. В работе С. Г. Самко [43] рассматривается вопрос о регуляризации уравнения Абеля переменного порядка в пространствах Ьр. Там же изучен вопрос об обращении оператора дробного интегрирования переменного порядка в указанных пространствах. К уравнению типа Абеля приводит целый ряд естественно-научных задач (см., например, [15] с. 230). К таким относится задача отыскания закона распределения размеров шаровых частиц, погруженных в непрозрачную среду, по измерениям сегментов, которые получаются при пересечении частиц случайными плоскостями или задача из теории &bdquo-глобулярного скопления" в астрономии (глобулярное скопление представляет собой собрание звезд, расположенных вокруг общего центра сферическими слоями постоянной плотности). В настоящей работе регуляризация интегрального уравнения Абеля переменного порядка проводится в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости.

Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на 6 параграфов. Теоремы (леммы, формулы, замечания). нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая — на номер теоремы (леммы, формулы, замечния) внутри параграфа.

В главе I получены оценки типа Зигмунда для обобщённых модулей непрерывности операторов дробного интегрирования (0.1),(0.2) и операторов дробного дифференцирования (0.3),(0.4). В нашем случае эти оценки носят локальный характер и зависят от точек х 6 [а, 6].

§ 1 носит вспомогательный характер. В нём приведены определения, обозначения, вспомогательные сведения и утверждения. В частности, здесь была доказана следующая.

Лемма 1.1 Пусть — функция типа модуля непрерывности по переменной Ь для каждого х Е [а, Ь] и сио ^ т£ со{р — а, х) > 0. Тогда оператор умножения на функцию д Е Ыр ([а, Ь]) ограничен в 6]) и в Я0″ Н ([а, 6]).

В § 2 получены оценки типа Зигмунда для разностей функций, являющихся дробными интегралами или дробными производными переменного порядка. Из леммы 1.1 следует, что при рассмотрении левостороннего и правостороннего операторов дробного интегрирования (0.1) и (0.2) оценки типа.

Зигмунда достаточно получить для интегралов х хd f (t)dt f f (хt)dt и S def f f (t)dt f J (X — ,).-(.) = J.

1 -a (x) a 0 def f f (t)dt b? Xf (t + x) dt def f f (t)dt f.

— 1-а{х) 0 соответственно. А для левостороннего и правостороннего операторов дробного дифференцирования (0.3) и (0.4) — для множителей х — а) а (ж) (Ъх)а№ во внеинтегральном выражении из (0.3) и (0.4) и для интегралов.

4 ' ] (х-г)1+а (х) ] а 0 ] У (гху+°(*) У *!+"(«) х 0.

Везде в наших рассуждениях считаем, чтоа-(?:г) является функцией типа модуля непрерывности по переменной I для каждого х е [а, Ь], и что а>(?, ж) равномерно по х не зануляется вне начала координат: т£ > 0 при 8 > 0. же [а, 6] ье (6,ь-а).

Основными результатами § 2 являются следующие утверждения: Теорема 2.1 Пусть выполняются условия, а € Lip ([a, b}) и 0 < inf а (ж) ^ sup о-(а-) < 1. (1) хе[а, Ц же [а, 6].

Если / е Яо (-)([ а, 6]), то для функции <�р справедлива следующая оценка типа Зигмунда.

Ь—а м* + Л) — ?>(*)! < с||/||я"Л |Л > 0. (2) Н.

Теорема 2.2 Пусть выполняются условия (1). Если /? Н^[а, Ь]), то для функции ср справедлива следующая оценка типа Зигмунда.

Ь—а ф{х + Л) — ф{х) < с||/||я" Л | Л > 0. (3) г.

Теорема 2.3 Пусть выполняются условия (1). Если /? //^^([а, &]), то для функций д (х) и справедливы следующие оценки h.

4) П в (х + h) — 9(x) ^c\f\H. J uj (t, x) ж + /г) fl+a (x) fl+a{x+h) f-l+a{x+h) dt. (5).

Теорема 2.4 Пусть выполняются условия (1). Если f € #о°(М]) — то для функций д (х) и 9{х) справедливы следующие оценки п я (х + h) — g (x) ^cll/llflw J иj (t, x) и}(t, x—h) j-l+a (x) -f-l+a (x+h) dt,.

6) в (х + h) — §{x) uj (t, x) u (t, x + h) uj (t, x + h) fl+a (x) fl+a (x).

1+a{x+h) dt. (7).

В формулировках теорем 2.1—2.4 постоянная с > 0 не зависит от x, h и /.).

Теоремы 2.1—2.4 доказываются с использованием свойств функций типа модуля непрерывности, а также следующих неравенств: x? ~ Л < Мх — у [mm{x: у}]^1, я > 0, у > 0, р < 1, (8) — у| [max{®, t/}]" «1, ж > 0, у > 0, р ^ 0. (9).

В главе II рассматривается действие дробого интегродифференциро-вания переменного порядка в пространствах обобщённой переменной Гёльдеровости 6]), а также применение полученных результатов к решению некоторых интегральных уравнений первого рода.

В § 3 были получены теоремы о действии операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования в обобщенных пространствах Гёльдера b]) с переменной характеристикой. Для их формулировки нам понадобится следующее.

Определение 1.9. Говорят, что функция иj (t, x) принадлежит по переменной t обобщенному классу Зигмунда-Бари-Стечкина Ф^'.), где 0 ^ 5(х) < ?(x), x G [a, b], если выполняются условия.

1. х) по t непрерывна и почти возрастает на [0, b — а] равномерно по х G [а, 6], и lim cu (t, х) = 0 для каждого х G [а, 6], t—f+о о.

3. Y^Y^^fldt^ccu^x), h где 0 < h < b — а, постоянная с не зависит от h и х Е [а, Ь].

Через Ф5^ мы также обозначаем соответствующий класс, для которого выполняется только условия 1 и 2, а через Ф/3(.) — класс с условиями 1 и 3, так что Ф^ = Ф5^ ПФЖ-).

Обозначим ua (t, х) = ta^uj (t, х), wa (i, х) = х).

Центральными результатами данного параграфа являются следующие утверждения:

Теорема 3.1 Пусть выполнены условия (1), функция u (t, x) является функцией типа модуля непрерывности по t для каждого х Е [а, 6] и Lo (t, x) Е Ф-а{х).Тогда оператор ограниченно действует из пространства &]) в пространство.

Теорема 3.2 Пусть выполнены условия (1) — функции uj (t, x) и являются функциями типа модуля непрерывности по t для каждого х Е [а, Ъ], иj (t, x) Е Фа{х) и cuj{h, х) ^ uj (h, х + К) ^ C2Uj (h, х), h > О, (10) где Ci, C2 > 0 и не зависят от х и h. Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^'[а, Ь}) в пространство Hq 6]).

Теорема 3.3 Пусть выполнены условия (1) — функция w (t, х) является функцией типа модуля непрерывности not для каждого х Е [а, 6], co (t, х) Е.

Ф1-а (а:) и выполняется условие (10). Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^'[а, 6]) в пространство Н^^([а, &]).

Теорема 3−4 Пусть выполнены условия (1), функции ц>{Ь, х) и являются функциями типа модуля непрерывности по? для каждого х Е [а, Ь], ш{1,х) Е и выполняется условие (10). Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^ ([а, Ь}) в пространство Н^а{'[а:Ь]).

Для доказательства теорем 3.1 — 3.4 были использованы оценки типа Зигмунда (2) — (7).

Полученные теоремы о действии можно переформулировать в терминах известных в теории пространств Орлича индексов Матушевской-Орлича для функции ш (Ь, ж), зависящих от параметра х Е [а, Ь]:

1п т (ш, х) — эир *>1.

— ш{Ъ, х).

1.Л->0.

1п.

1п.

М (ш.х) = т£ 4 ' ?>1 Ит.

1п.

1п* Ит.

-«сю.

1п£ ыг.

Сделать это позволяет следующая теорема (см. [11], Следствие 2.11): Теорема 1.1 Пусть выполнены условия.

А ?ЕС (М) и.

ЩЩ [Р (х) — 5(ж)] > 0. х&[а, Ь].

Тогда ш{Ь, х) Е Ф^ - езБЫ[т (и-, х) — ¿-(ж)] > 0, хе[а, ь] ш{Ь, х) Е Ф/}(.) ез8 8ир[М (а-, х) — /3(х)] < 0. хб [а, 6] и) (12).

С учётом (11) и (12), теоремы 3.1 — 3.4 принимают вид:

Теорема 3.5 Пусть выполнены условия (1) — функция си (t, х) является функцией типа модуля непрерывности по t для каждого х 6 [а, 6] и локальный индекс М{си, х) функции си (i, х) удовлетворяет неравенству ess sup[М (со, х) + о-(ж)] < 1. хЕ[а, Ь].

Тогда оператор ограниченно действует из пространства Н^ [а, Ъ]) в пространство Ь]).

Теорема 3.6 Пусть выполнены условия (1) — функции cu (t, x) и^iffi являются функциями типа модуля непрерывности по t для каждого х? [о, 6] и выполнено условие (10). Если локальный индекс т (со:х) функции uj (t, х) удовлетворяет неравенству ess inf[т (ш, х) — а?(я)] > 0, же [а,¿->] то оператор ограниченно действует из пространства Н^[а, Ь]) в пространство 6]).

Теорема 3.7 Пусть выполнены условия (1), функция и (t, x) является функцией типа модуля непрерывности not для каждого х? [а, Ь, выполняется условие (10) и локальный индекс М (ш, ж) функции а-(£, х) удовлетворяет неравенству ess sup[M (u-, х) + а-(ж)] < 1.

Тогда операторограниченно действует из пространства [а, 6]) в пространство Н^'[а, Ь]).

Теорема 3.8 Пусть выполнены условия (1), функции uj{t, x) и являются функциями типа модуля непрерывности по t для каждого х? [а:Ь], выполняется условие (10) и локальный индекс т (и, х) функции io (t, ж) удовлетворяет неравенству ess inf[ra (u-, х) — «(я)] > 0-хе[а, Ь].

Тогда оператор D^P ограниченно действует из пространства Н^'[а, Ь]) в пространство ^([а, 6]).

Обозначим = (—сх>, N), N ^ оо. В § 4 была получена следующая теорема об общем виде произведения сохраняющего пространство 6]):

Теорема 4−1 Пусть выполнены условия:

1. 0 < inf а (х) ^ sup а (х) < 1, а, Ь] х?[а, Ь].

2. аеСг ([а, Ь]),.

3. u{t, х) и^а (х) являются функциями типа модуля непрерывности по переменной t для каждого х G [а, Ь],.

4. u>(t, z) €.

5. wo == inf ш (Ъ — а, х) > 0- х£ [а, Ь].

6. Cu)(h, х) ^ а-(/г, х + К) ^ C2u (h: ж), h > 0, где с, c 0 не зависят от х и h..

И пусть для некоторого N? (6, оо) функция ¿-(ж) есть гладкое финитное продолжение а (х) на Q>n, удовлетворяющее условиям:.

1. О < т ^ a (x) ^ М < 1, для всех х G.

2. aec1{ttN)..

Тогда для всех (р Е Н^ ^([а, 6]) справедливо представление X d:|-} <�р) (х) = [(/ + L) ip] (х) Й ф) + I ф, X — t).

Здесь функция ?) имеет вид ^ «(Я)вифга (*)] / K-rt^-^K-^bi.

1 — - J y^) Ö-У • о.

Равенство — I + L доказывается при помощи известного ранее см. [43], с. 220) аналогичного результата для операторов дробного интегрирования и дробного дифференцирования переменного порядка на всей вещественной оси..