ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

Роль ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π² ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ тСхничСскими ΠΈ тСхнологичСскими ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ЕстСствСнно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Π΅Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствиС Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρƒ зависят ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… эта модСль ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ. МодСли ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΌ гносСологичСский Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€, ΠΎΡ‚ Π½ΠΈΡ… трСбуСтся высокая ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ «Ρ„изичности», ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тСсно связано с ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ области Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ строятся. МодСли Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Роль ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π² ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ тСхничСскими ΠΈ тСхнологичСскими ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

http://

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ Роль ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π² ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ тСхничСскими ΠΈ Ρ‚СхнологичСскими ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

идСнтификация ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Π˜Π½Ρ‚Π΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ управлСния Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π² Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ стСпСни связано с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ управлСния всС Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТными ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ (тСхнологичСскиС процСссы ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, производствСнныС объСдинСния, биологичСскиС ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½ΡΠΊΠΈΠ΅ систСмы, экологичСскиС, экономичСскиС, ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄Ρ€.). Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ этого класса ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ стохастичСскими, Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, нСстационарными, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ²ΡΠ·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ рядом Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… «Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ…» с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΎΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ процСсса управлСния свойств. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ эффСктивных систСм автоматичСского управлСния Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π° Π±Π°Π·Π΅ соврСмСнных Π±Ρ‹ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… машин. ОсобСнно пСрспСктивны для этой Ρ†Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ‚Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ сСрии микропроцСссорных машин.

Π’Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ соврСмСнной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ управлСния являСтся построСниС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° управлСния, Ρ‚. Π΅. формализация закономСрностСй функционирования ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°. На ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ этой ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ структура ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ систСмы управлСния, Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ управлСния, Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ тСхничСскиС срСдства Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ систСмы. Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠ° Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ создании систСмы управлСния, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ закономСрностСй функционирования СстСствСнных ΠΈ ΠΈΡΠΊΡƒΡΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡΠΎΠ². Π­Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ связано с Ρ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌ Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ модСлирования ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ слоТных явлСний ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… областях Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ, Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ, производства.

Одним ΠΈΠ· ΡΡ„Ρ„Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² построСния ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ слоТного ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° являСтся идСнтификация. ПоявлСниС этого Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ управлСния Π΄ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ потрСбностями ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ этому Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ характСризовался интСнсивным Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΌ использованиСм Π΅Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ создании Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСм управлСния. Для построСния ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, основанныС Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ тСория вСроятностСй ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚СматичСская статистика, матСматичСская Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π΄Ρ€.

ПоявлСниС ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ 60-Ρ… Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π±Ρ‹Π»ΠΎ связано с ΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² построСния ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² управлСния. ΠžΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ сдСрТивало процСсс Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ этих ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², построСния систСм прямого Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ управлСния ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² систСм, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π­Π’Πœ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ управлСния. ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² построСния ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ Π΄ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΠ²Π°Π»Π°ΡΡŒ практичСскими потрСбностями Π² ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ систСм управлСния слоТными ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ, ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ смыслС ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ этими ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ обСспСчСно Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ примСнСния Π±Ρ‹ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… машин. Однако ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ оказались Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊ Π²Π½Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ управлСния Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ·-Π·Π° отсутствия ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚СматичСского описания, ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Π¨ΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… областях Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ, Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ, производства прСслСдуСт Π΄Π²Π΅ основныС Ρ†Π΅Π»ΠΈ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… связана со Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ростом возмоТностСй изучСния слоТных явлСний, процСссов, ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ модСлирования, для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° символичСская модСль, Ρ‚. Π΅. формализация, матСматичСскоС описаниС исслСдуСмого явлСния, процСсса ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСской ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ этапом модСлирования.

ЕстСствСнно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Π΅Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствиС Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρƒ зависят ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… эта модСль ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ. МодСли ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΌ гносСологичСский Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€, ΠΎΡ‚ Π½ΠΈΡ… трСбуСтся высокая ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ «Ρ„изичности», ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ тСсно связано с ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ области Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ строятся. МодСли Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ цСлям управлСния; ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ описаниС, ΡƒΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, нСпосрСдствСнно Π½Π΅ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ с «Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎΠΉ» ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ условно, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ с Ρ†Π΅Π»ΡΠΌΠΈ построСния ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС модСль связана с ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡΠΎΠΌ познания, с ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, с ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌ закономСрностСй, присущих ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ явлСниям ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡΠ°ΠΌ. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС модСль ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для обСспСчСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ с ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ функционирования. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ модСль являСтся Π½Π΅ΠΎΡ‚ΡŠΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ систСмы управлСния ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ самого ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΈ ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ° управлСния ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅.

НС ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ нСпосрСдствСнно Π² ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ… управлСния. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ являСтся Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² управлСния. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС для управлСния ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π°Π΄Π°ΠΏΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ систСмы с ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π² Ρ†Π΅ΠΏΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ связи (АБИ). Устройство, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ комплСкса, ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ построСниС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, называСтся ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ осущСствляСтся ΠΏΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ нСпосрСдствСнно с ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° управлСния Π² ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ… Π΅Π³ΠΎ функционирования.

По-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ связано с Π°Π΄Π°ΠΏΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ систСмами, содСрТащими Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ управлСния ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ — АБИ. Π­Ρ‚ΠΈ систСмы Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ΅ΠΌΠΊΠΈΠΉ процСсс Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ характСристик ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡΠ΅ функционирования ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡŽ сСрийных, Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²Ρ‹Ρ… систСм управлСния ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ физичСской ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹.

Π‘ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ этап характСризуСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚ΠΎΠΌ всС Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° явлСний ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡΠΎΠ². ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ процСсс Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ явлСния (процСсса, ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°) с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ описания ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ языка основных закономСрностСй, присущих этому явлСнию.

1.ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ характСристики ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° управлСния Π’ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ свойства ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ описаны Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ здСсь рассмотрСниСм Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ построСния ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ управлСния, Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ описания, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ управлСния, Ρ‚. Π΅. матСматичСскоС описаниС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°.

Под модСлью ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° (матСматичСской модСлью ΠΈΠ»ΠΈ матСматичСским описаниСм ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° управлСния) Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ прСобразования воздСйствия Π½Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ X Π² Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Y (рис. 2).

Рис. 1−2. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, описываСмого Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ f (x).

Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ случаС модСль ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°-ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ зависимости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ скалярными ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ воздСйствия X ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ Y Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

(1)

Π’ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТном случаС ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ модСлью (1) Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚авляСтся Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° рСакция Y Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚вия, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ X (t). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° рСакция Y ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚авляСт собой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π», Ρ‚. Π΅. прСдставляСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ прСобразования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ X (t) Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎ Y ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°-ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (рис. 3)

y=F[x (t)],(2)

Π³Π΄Π΅ F — Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ прСобразования, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ X (t), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Y.

Рис. 3. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, описываСмого Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΎΠΌ F.

Π•Ρ‰Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ являСтся случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅, ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ². ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ прСобразования ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ прСдставляСт собой ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ матСматичСских ΠΈΠ»ΠΈ логичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, ΡƒΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя функциями. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° воздСйствиС прСдставляСт собой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ X (s), Π° Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ — Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Y (t), модСль ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° прСдставляСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ уравнСния (рис. 4)

Рис. 4. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, описываСмого ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ At.

y (t) = A{x (s), t} ΠΈΠ»ΠΈ y (t) = At x (s).(3)

Π’ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ диффСрСнцирования

(4)

ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ интСгрирования

.(5)

Π£ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ. ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ A Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ, Ссли для Π½Π΅Π³ΠΎ выполняСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ супСрпозиции, Ρ‚. Π΅.

(6)

ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… n, c1, …, сn ΠΈ x1(t), …, xn(t).

Из ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… прСдставлСний Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ являСтся прСдставлСниС (3), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ прСдставляСт собой ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ характСристику динамичСского ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°. ΠŸΡ€ΠΈ матСматичСском описании динамичСского ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΊΠ°ΠΊ воздСйствиС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π° Ρ…арактСристики ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° — Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ΄ модСлью ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°-ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»Π° Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ этот ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ описываСтся. Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹Ρ… случаях модСль ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна уравнСниями (2) ΠΈΠ»ΠΈ (1). Π’ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ описаниС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (1) — (3).

Для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Y (t) ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΠ΅ΠΌ X (t) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ:

Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния

;(7)

ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ (вСсовой) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ g (t, s)

;(8)

частотной характСристики Π€ (t, j)

(9)

Π³Π΄Π΅ X (j) — ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа сигнала x (t), Ρ‚. Π΅.

.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Лапласа ΠΎΡ‚ Ρ… Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ X.

Π’ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ большой Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ X, Π° ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΠΌΠΈ-Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ, Π² Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ случайных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ X.

Π­Ρ‚ΠΈ прСдставлСния ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² эквивалСнтны, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… являСтся ΠΈΡΡ‡Π΅Ρ€ΠΏΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ описаниСм динамичСских свойств ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ².

ΠšΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At для стационарных ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… рСакция Y (t) Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° дСйствия возмущСния X (t), зависит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ дСйствия X (t) ΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ эквивалСнтными ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (7) — (9), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡƒΡ‚ Π²ΠΈΠ΄:

описания с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния

;(10)

описания с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

(11)

Π³Π΄Π΅ согласно ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ физичСской рСализуСмости систСмы g ()=0 ΠΏΡ€ΠΈ <0;

описания с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ частотной характСристики

(12)

Частотная характСристика Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ стационарной систСмы связана с Π΅Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π€ (Ρ€); послСдняя ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π° ΠΏΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΠΎΡ‚Π½ΠΎΠΉ характСристикС ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ j Π½Π° Ρ€. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ функция Π€ (Ρ€) связана с Π²Π΅ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ g () ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Лапласа

;(13)

.(14)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ функция ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, описываСмого ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (10), являСтся Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π°

.(15)

Π’ Π΄Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… динамичСских ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… характСристик.

ΠŸΡ€ΠΈ матСматичСском описании ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (1) -(3) прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ X (t) ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ Y (t) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ сигналы ΠΈ, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, сам ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚. Π΅, ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ X (t) ΠΈ Y (t) сущСствуСт однозначная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ичСских случаях часто эти условия Π½Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ся, возмущСния X (t) ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y (t) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ случайными, Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΈΠ»ΠΈ исслСдуСмый процСсс ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ стохастичСскими. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС матСматичСскоС описаниС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ стохастичСским, Ρ‚. Π΅. сигналы X (t) ΠΈ Y (t) Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ случайныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ нСслучайных Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² t ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ случайна.

Π’ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π΅Π·Ρ‹Π½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ случайныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ X ΠΈ Y ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствСнно, матСматичСская модСль, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, даСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ условного матСматичСского оТидания Y ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ X, Ρ‚. Π΅. вмСсто уравнСния. (1) ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ описываСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

(16)

Π³Π΄Π΅ — условноС матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Y ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ…, a f1 — нСслучайный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ прСобразования. НапримСр, для ΡƒΡΠΈΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта, Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ дСйствуСт случайная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° X, ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (16) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄:

;(17)

для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°

;(18)

Π’ (17) ΠΈ (18) коэффициСнты k ΠΈ, Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ся постоянными, нСслучайными Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ.

Для Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… динамичСских ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² вмСсто (3), Ссли Y (t) ΠΈ X (s) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ случайными функциями, модСль ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° прСдставляСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ условного матСматичСского оТидания Y (t) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ всСй совокупности Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ воздСйствия X (s) для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ s Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ Π’, Ρ‚. Π΅. для Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°

;(19)

Π² Π΄ΠΈΡΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠΈ области Π’ Π½Π° n ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚Π΅ΠΉ

. (20)

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° для Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, прСдставлСнной вСсовой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (8) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

(21)

для стационарной Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (11) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

(22)

Π° Π² Π΄ΠΈΡΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ случаС

(23)

Для Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ g (t, s), g () ΠΈ ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π°i ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ нСслучайными.

Для стохастичСских ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ At являСтся случайным, Ρ‚. Π΅. Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, коэффициСнты Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния (7) ΠΈΠ»ΠΈ (10), вСсовыС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ… (8) ΠΈ (11) ΠΈ Ρ‚. Π΄. ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ случайными. НапримСр, Π² ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ Π±Π΅Π·Ρ‹Π½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° коэффициСнты Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ… (17) ΠΈ (18) для стохастичСских ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ случайными.

Из ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΊ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ²: Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° воздСйствиС, ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΈ ΡΡ‚охастичСский, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° воздСйствиС, ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ случайными. ΠŸΡ€ΠΈ этом слСдуСт Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… характСристик X (t), At ΠΈΠ»ΠΈ Y (t) прСдставляСт собой ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, построСниС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ осущСствлСно Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ вСроятностными ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ здСсь Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ постановки Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΡΡ‚атичСской постановки Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, считая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ воздСйствиС (входная пСрСмСнная) X (t) ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΡ (выходная пСрСмСнная) Y (t) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой случайныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ случайныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ связано Π½Π΅ Ρ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ рассмотрСния, Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π° этих ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… случайная ΠΈ ΡΠ°ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся случайным.

Рис. 5. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° процСсса ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, характСристикой ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ являСтся ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ At [см. рис. 5 ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (3)], ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ случайныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π° X (t) ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π° Y (t). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ сводится ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At ΠΏΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ измСрСния Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ случайных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, ставится Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° опрСдСлСния Π½Π΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Аи, Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ At*. НапримСр, ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° коэффициСнтов Π² Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… уравнСниях (7) ΠΈΠ»ΠΈ (10), ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° вСсовой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² (8) ΠΈΠ»ΠΈ (11), частотной характСристики Π² (9) ΠΈΠ»ΠΈ (12) ΠΏΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ X (t) ΠΈ Y (t). ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At* ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ характСристики нСизвСстного ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At. Π Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At* ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At Π² ΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ критСрия, Ρ‚. Π΅. Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ близости случайных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Y*(t) — Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ [Π›. 161]

y*(t)=At*x (s)(24)

ΠΊ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y (t), ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°.

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ вводится функция. которая зависит ΠΎΡ‚ Y (t) ΠΈ Y*(t) ΠΈ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At.

Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ зависит ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ критСрия ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. Ѐункция ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ называСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡŒ. Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ поставлСнной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚СматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ накладываСтся Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°

(25)

ΠΈ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ смыслС понимаСтся Π±Π»ΠΈΠ·ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ At* ΠΊ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ срСдним риском, Π° ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ (25) — ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° срСднСго риска [Π›. 205]. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (25) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ, Ссли ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ матСматичСского оТидания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ случайной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x (s), Ρ‚. Π΅.

.(26)

УсловиС ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (25) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

.(27)

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² управлСния Π² Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ практичСских случаСв ищСтся ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° срСднСго ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ошибки, Ρ‚. Π΅. ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚:

.(28)

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ (26) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для опрСдСлСния ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° срСднСго ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ошибки ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At:

.(1 -29)

Из ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (29) Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ условного матСматичСского оТидания, Ρ‚. Π΅. рСгрСссия Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Y (t) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ X (t), Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π² ΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅ критСрия (28) ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Если ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ описаниСм ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, Ρ‚. Π΅. ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· (29) ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ умноТСния Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ матСматичСского оТидания ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ частям послСднСго равСнства Π΄Π°Π΅Ρ‚:

(30)

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ A*t ищСтся Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ матСматичСского оТидания М ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π΅Π½ с ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ A*t ΠΏΡ€ΠΈ самых ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… прСдполоТСниях. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· (30) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ для опрСдСлСния ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ…, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° срСднСго ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ошибки:

.(31)

Если, Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ общности, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ матСматичСскиС оТидания случайных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π° X (t) ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π° Y (t) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚. Π΅. M{X (t)}=0 ΠΈ M{Y (t)}=0, Ρ‚ΠΎ (31) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записано Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

(32)

ΠΈΠ»ΠΈ вСсовая функция g (t, s) ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° опрСдСляСтся ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:

(33)

Π³Π΄Π΅ Kxx(s, v) — автокоррСляционная функция случайной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ X (t); Kyx(t, v) — взаимная коррСляционная функция случайных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Y (t) ΠΈ X (t); Π’ — ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ наблюдСния.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° вСсовой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° срСднСго ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ошибки ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (32) ΠΈΠ»ΠΈ (33) для ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, описываСмого ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (7).

Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚Π½ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° случайныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y (t) ΠΈ X (t) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ стационарными ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎ связанными, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° опрСдСляСтся ΠΈΠ· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ

(1−34)

Π° Π²Π΅ΡΠΎΠ²Π°Ρ функция (ΠΏΡ€ΠΈ бСсконСчном ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ наблюдСния) ΠΈΠ· ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π’ΠΈΠ½Π΅Ρ€Π° — Π₯ΠΎΠΏΡ„Π°

(35)

МодСль ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС даСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (11). ΠžΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ характСристикой ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° являСтся ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ At, ΡƒΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ случайными функциями Y (t) ΠΈ X (s). По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ измСрСния X (s) ΠΈ Y (t) опрСдСляСтся ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° A*t ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At. ΠŸΡ€ΠΈ этом накладываСтся Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ близости ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ A*t истинному Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ At Π² ΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ критСрия, Ρ‚. Π΅. Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ близости Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ случайной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Y*(t)

(36)

ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Y (t) (рис. 6).

Рис. 6. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°.

Для опрСдСлСния ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° срСднСго ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ошибки Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС функция ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

(37)

Π³Π΄Π΅ вСса i ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… yi(t), (i = 1, 2, …, m).

Для выполнСния условия (36) достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹

(38)

Ρ‚. Π΅. достаточно ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° матСматичСского оТидания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ фиксированных рСализациях случайных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ x1(t), …, xn(t).

ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° срСднСго ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ошибки ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ рСгрСссии рассматриваСмой Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Yi(t) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ всСй совокупности Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… X1(s), …, Xn(s) для всСх Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² s Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ Π’:

.(39)

Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (39) Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΡƒΡŽ Π² ΡΠΌΡ‹ΡΠ»Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° срСднСго ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ошибки ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° At для любого числа Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ΅ всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Если ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ классом Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ Π΄Π»Ρ опрСдСлСния ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ At ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡŽ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° срСднСго ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ошибки ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΠ· (39) систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… автокоррСляционныС ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½Ρ‹Π΅ коррСляционныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ рассматриваСмых ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Для вСсовых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ систСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

(40)

Π³Π΄Π΅ — автокоррСляционныС, Π° ΠΈ — Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½Ρ‹Π΅ коррСляционныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Из (40) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Y (t) ΠΈ X1(s), …, Xn(s) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ стационарными ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎ связанными случайными функциями (см. Π³Π». 3).

РассмотрСнная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ с Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° дСйствуСт вСкторная случайная функция X (s) [X1(s), …, Xi(s), …, Xn(s)], состояниС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° характСризуСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ случайным ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ, Π° Π½Π° Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Y (t) [Y1(t), …, Yj(t), …, Ym(t)].

1. БСсСкСрский Π’. А., Попов Π•. П. ВСория систСм автоматичСского рСгулирования, ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅, исправлСнноС. Москва, ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ «ΠΠ°ΡƒΠΊΠ°», Главная рСдакция Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСской Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹, 2005

2. Π—Π°ΠΉΡ†Π΅Π² Π“. Π€. ВСория автоматичСского управлСния ΠΈ Ρ€Π΅Π³ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.— 2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄., ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π°Π±. ΠΈ Π΄ΠΎΠΏ. КиСв, Π˜Π·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π’Ρ‹Ρ‰Π° школа Π“ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, 2014

3. Ким Π”. П. ВСория автоматичСского управлСния. Π’. 1. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ систСмы. — Πœ.: Π€Π˜Π—ΠœΠΠ’Π›Π˜Π’, 2013. — 288 с. — ISBN 5−9221−0379−2.

4. Ким Π”. П. ВСория автоматичСского управлСния. Π’. 2. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅, Π½Π΅Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅, ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π°Π΄Π°ΠΏΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ систСмы: Π£Ρ‡Π΅Π±. пособиС. — Πœ.: Π€Π˜Π—ΠœΠΠ’Π›Π˜Π’, 2014. — 64 с. — ISBN 5−9221−0534−5.

5. Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ автоматичСского рСгулирования ΠΈ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ/ Под Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π’. А. БСсСкСрского. — M.: Наука, 2013.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ