Управление в биологических и технических системах

ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

И ИХ СОЕДИНЕНИЯ

Цель работы

Изучение временных и частотных характеристик типовых звеньев сис;

тем автоматического регулирования и управления на ЭВМ, влияния обратной

связи на динамические и частотные характеристики систем.

Краткие теоретические сведения

Существует мнение, что при управлении функциями живого организма

математический подход невозможен, поскольку биологические процессы не

поддаются точному математическому описанию. С такой точкой зрения

нельзя согласиться. Конечно, при решении конкретных задач могут возни;

кать те или иные трудности, подчас непреодолимые на сегодняшнем уровне.

Однако в принципе недостаточное знание структуры объекта и трудность

точного математического выражения всех его функций не исключают воз;

можности математического анализа системы управления. С подобного рода

ситуацией теория управления встречается не только при работе с биологиче;

скими объектами. Аналогичные проблемы возникают при разработке слож;

ных систем управления в технике.

Приведем несколько примеров из области моделирования физиологиче;

ских функций и управления ими. В качестве первого примера рассмотрим

модель, основанную на законе Старлинга — энергия сокращения прямо

пропорциональна конечному диастолическому объему:

kg

kV E=. (1.1)

С другой стороны, энергия сокращения равна работе изгнания крови,

определяемой произведением ударного объема на среднее артериальное дав;

ление:

А уд Р V E=. (1.2)

Конечный диастолический объем образуется сложением остаточного

объема

О

V с объемом, поступающим в желудочек во время диастолы

Е

V. Со;

поставляя приведенные формулы, получаем

.

P

) V k (V

V

A

E 0

уд

=

(1.3)

Считаем, что k, V

0, V

E — постоянные параметры. Желудочек во время

диастолы рассматривается как эластичный резервуар, наполняемый под дей;

ствием разности давлений в предсердии P

П

и желудочке P

Ж

. Тогда скорость

наполнения желудочка, т. е. производная от объема V

Е

равна указанной раз;

ности давлений, деленной на гидродинамическое сопротивление клапана R:

.

P

P P

dt

dV

A

Ж П Е

−

=

(1.4)

Давление в предсердии Р П

рассматривается как входная величина, а

ударный объем V

уд — как выходная. Но ,

С

V

Р

E

Ж

= где С — эластичность желу;

дочка. Окончательно получаем для процесса наполнения желудочка следую;

щее дифференциальное уравнение:

.

R

P

RC

V

dt

dV

П E Е = +

(1.5)

Соответствующее характеристическое уравнение будет

R

P

RC

V

pV

*

Е

*

Е *

Е

= +

(1.6)

и передаточная функция

1 Tp

C

P

V

W

*

П

*

Е

= =

(1.7)

где T р = RC.

Так как k, Р А

R и V

— постоянные, полная передаточная функция всего

процесса будет

.

) 1 Tp (P

kC

P

kV

1 Tp

С

V

P

k

W (p)

A A

A

+ +

+ =

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+ = (1.8)

Видно, что модель можно построить из двух параллельных звеньев с переда;

точными функциями: пропорционального с коэффициентом передачи

А

Р

kV

и

инерционного с постоянной времени Т (рис. 1.1).

Рис. 1.1 Модель сердца по Ф. Гродинзу, 1996

Другим примером может служить модель регуляции минутного объема кро;

вотока Q при физической нагрузке. Структурная схема модели приведена на

рис. 1.2.

A

P

KV

() р

A

KC

PT1 +

Вход

Р П

Выход

V

уд

Рис. 1.2. Модель реакции системы кровообращения на физическую

нагрузку

На данном рисунке изображены: кружки — моделируемые физиологиче;

ские показатели: ω - физическая нагрузка; D- кислородный долг тканей; f-

частота пульса; V

уд

— ударный объем; Q — скорость кровотока; R — перифери;

ческое сопротивление; P

а

— артериальное давление; P

эт

— «уставка» артери;

ального давления, вырабатываемая организмом в соответствии с физической

нагрузкой. Прямоугольники — функциональные звенья модели с их переда;

точными функциями, кружок с крестом — сумматор, квадраты с крестом —

мультипликаторы (блоки, осуществляющие умножение).

Минутный объем равен произведению ударного объема на частоту

пульса f. Каждый из множителей регулируется в зависимости от мощности

нагрузки ω. Частота пульса равна

2 1 0

f f f f ∆ + ∆ + = (1.9)

(здесь и далее индекс «0» обозначает соответствующие величины в покое,

т. е. без нагрузки). Изменение частоты пульса

f ∆, связанное с изменением

артериального давления, определяется уравнением

Р а-Р эт

Р эт

1 p Т е

К

р

τ −

1 p Т

К

+ 1 p Т

e

К

p

τ

р К

р К

р К

7 ω

D

V

уд

f

Q

R

Р а

∆f1

∆f2