Методика обучения решению уравнений младших школьников с использованием индивидуального подхода

Актуальность исследования

В общеобразовательной школе в последние годы произошли значи-тельные изменения в постановке и содержании учебного процесса. В совре-менных условиях изменилось не только содержание учебного процесса, но и введены новые формы и способы подачи учебной информации, направлен-ные на повышение активности обучения и усиление мыслительной деятель-ности школьников. Фундамент всестороннего развития человека закладыва-ется школой в ходе многообразной учебно-воспитательной работы с учени-ками при их активном участии. Всестороннее развитие означает духовное бо-гатство, нравственную чистоту и физическое совершенство, оно непременно ведет к творческому своеобразию личности, к ее индивидуальной неповто-римости. Социально-экономические преобразования в современном общест-ве диктуют необходимость формирования активной личности, обладающей способностью эффективно и индивидуально решать новые жизненные про-блемы. Сегодня в связи с этим перед школой встает важная задача развития потенциала каждого школьника, что в свою очередь требует совершенство-вания учебного процесса с учетом психологических закономерностей всей системы познавательных процессов.

Любой человек из своих наблюдений знает о существовании больших индивидуально-психологических различий между людьми, которые ярко проявляются в человеческой деятельности. Индивидуальные различия про-являются во всех областях человеческой деятельности в науке, в искусстве, в любой практической деятельности. Эти различия также можно наблюдать и в решении математических задач младших школьников. В сравнительно оди-наковых условиях обучения математике успешность усвоения знаний раз-личными школьниками оказывается далеко не одинаковой.

Возрастные особенности школьников отражают в основном типичное, то есть, что характерно для поведения и деятельности детей определенного возраста, пола, специфику их отношений со сверстниками и взрослыми. Ти-пичным для младших школьников является их относительно ускоренное ду-ховное развитие в процессе игры, общения, обучения, просмотра телевизи-онных видео фильмов, спортивных, музыкальных и кружковых занятий. Де-тей этого возраста отличают также определенность к обучению в школе, от-носительная самостоятельность в действиях и поступках, подражание, по-вышенная эмоциональность при восприятии окружающего мира и устойчи-вый интерес к изобразительной деятельности. У младших школьников ти-пичное преобладает над индивидуальным, однако в сочетании с определен-ными задатками ребенка и особенностями его жизненного опыта содержит в себе элементы неповторимости и своеобразия.

Младший школьный возраст — это возраст интенсивного умственного развития всех детей без исключения. Высокие показатели умственного раз-вития школьников I — IV классов характеризуют не интелектуальную ода-ренность, а норму психического и естественность возрастного развития. Од-нако это типичное для младшего возраста явление обогащает любое другое проявление индивидуальности ребенка.

В связи с вышесказанным нами была определена цель работы: разра-ботать методику обучения решению уравнений младших школьников с ис-пользованием индивидуального подхода.

Объект исследования школьники младших классов.

Предмет исследования — методическая система обучения решению уравнений младших школьников с использованием индивидуального подхо-да.

Актуальность и цель исследования обусловили следующие задачи:

1. Изучить состояние проблемы, опираясь на литературные источники и школьную практику;

2. Дать определение уравнения;

3. Объяснить, что значит решить уравнение;

4. Описать виды уравнений и привести для каждого вида пример;

5. Изучить особенности обучения решению уравнений младшими школьниками;

6. Рассмотреть особенности использования индивидуального подхода в обучении решению уравнений;

5. Определить содержание методической работы по обучению решения уравнений с использованием индивидуального подхода.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: изучение психолого-педагогической, методической литерату-ры по проблеме исследования, программ, учебников, методических пособий по математике для начальной и средней школы; обобщение опыта работы учителей начальных классов; анализ особенностей мышления школьников при обучении математике.

Степень изученности проблемы

Вопросами индивидуального подхода и обучения решению уравнений младших школьников занимались следующие авторы: В. И. Гладких, М. Д. Сонин, И. Э. Унт, Е. С. Рабунский, Н. В. Промоторова, И. Б. Закирова, В.И. За-гвязинский, Е. С. Рабунский, Т. М. Николаева, Л. П. Кныш, B.C. Мерлин, Е. А. Климов, Ю. А. Самарин, Б. А. Байметов, Алексеева Н. А., Виноградова Н. Ф., Гончарова М. А., Ивашова О. А., Истомина Н. Б., Капустина Г. М., Перова М. Н., Славина Л. С., Шмырева Г. В. и др.

Анализ показывает, что специальных исследований именно по пробле-ме индивидуального подхода в решении уравнений недостаточно.

Глава 1. Анализ психолого-педагогической литературы по проблему исследования

1.1. Уравнения и их решения

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называет-ся тождеством; например, соотношение вида (x 1)2 = (x 1)(x 1) выполня-ется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак , который читается «тожде-ственно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в об-щем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями .

Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравне-ния. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.

Корень уравнения, это значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Решить уравнение значит найти все его корни или показать, что их нет.

Различают несколько видов уравнений.

А. Линейное уравнение это алгебраическое уравнение, в которое неиз-вестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведе-ния неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид:

ax= b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами ли-нейных уравнений.

Линейные уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. На-пример, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при све-дении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то резуль-таты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результа-ты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результа-ты будут равны.

Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся ак-сиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего полу-чим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

ao (x)e (n) + a1(x)y (n-1) + …+an-l (x)y' + aa{x)y=r (x), (1)

где ai (x) (i = 0, 1, …, п) и r (х) известные функции, непрерывные при всех допустимых значениях x; у искомая функция аргумента x; y`(n) ее производные по х.

Заметим, что искомая функция и ее производные входят в уравнение (1) в первой степени, поэтому его и называют линейным.

Функция r (х), входящая в линейное уравнение (1), называется правой частью.

Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным (или уравнением без правой части), если r (x) = 0.

Запишем уравнение (1) в другой, форме. Разделим все члены этого уравнения на ao (x) и обозначим новые коэффициенты через

ai (x) = ai (х) / а0(х) (I = 1, …n), а новую правую часть через f (x)= r (х) /а0(х)/

Тогда уравнение (1) запишется в виде

y (n) + a1(x)y (n-1) + + an-1(x)y` + an (x)y = f (x) (2)

а соответствующее ему однородное уравнение в виде

y (n) + a1(x)y (n-1) + + an-1(x)y` + an (x)y = 0 (3)

B. Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c — действительные числа, при-чем a¹0, называют квадратным уравнением. Если a =1, то квадратное урав-нение называют приведенным; если a¹1, — то неприведенным. Числа a, b, c но-сят следующие названия a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член. Корни уравнения ax2+bx+c=0 находят по формуле:

Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравне-ния. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня. Используя обозначение D = b2- 4ac, можно переписать данную формулу в следующем виде: