Абсолютная устойчивость систем управления с монотонными по выходу нестационарными нелинейностями

Проблема абсолютной устойчивости нелинейных систем имеет уже полувековую историю. Несмотря на это, она не теряет своей актуальности. Напротив, «в последние годы интерес к этой тематике возрождается поскольку новые задачи робастности и устойчивости неопределенных систем являются по существу перефразировками старых задач об абсолютной устойчивости» [50].

Кратко говоря, изучаемая система состоит из линейного блока, для которого известна передаточная функция, и нелинейного блока, о котором отсутствует детальная информация, но известны некоторые свойства. Требуется найти условия устойчивости системы в терминах передаточной функции (или частотной характеристики) линейного блока.

Многие работы по этой теме рассматривают только случай, когда нелинейный блок не зависит явно от времени. Результаты представляются в терминах либо частотных характеристик либо, как стало «модно» в последние годы, линейных матричных неравенств (ЛМН). Лемма Калмана — Якубовича позволяет во многих случаях преобразовать ЛМН к условиям в частотной форме и обратно. ЛМН можно решить численными методами. Частотные критерии более удобны для графической проверки.

Главная цель настоящей работы состоит в расширении известных результатов па случаи нестационарных нелинейных блоков. Результаты будут представлены в терминах частотных характеристик. Частными случаями рассматриваемой задачи являются системы с периодической зависимостью от времени, а также стационарные системы. Результаты как для стационарных, так и для нестационарных систем доказывются единым методом.

Первая глава носит вводный характер. В ней дается краткий исторический обзор проблемы. Особое внимание уделяется классической частотной теореме Калмана — Якубовича и множителям устойчивости Зэймса — Фалба. После исторического обзора дается современная формулировка задачи. Линейный блок представляется в виде свертки. Нелинейный блок описывается при помощи интегральных квадратичных неравенств в частотной области. Все результаты основаны на квадратичном критерии абсолютной устойчивости В. А. Якубовича.

Во второй главе формулируются и доказываются вспомогательные предложения. Вводятся интегральные квадратичные неравенства во временной области с запаздыванием. Доказывается специальная форма квадратичного критерия для таких систем. Вводится понятие функций класса. Этот класс включает в себя в качестве частного случая периодические по времени функции. Доказывается, что все эти функции удовлетворяют некоторым интегральным квадратичным неравенствам.

В заключительном праграфе второй главы формулируртся и доказывается теорема об устойчивости ограниченных процессов. Она используются в дальнейшем для проверки одного из условий квадратичного критерия — минимальной устойчивости.

Третья глава содержит основные результаты диссертации. Предполагается, что нелинейности удовлетворяют так называемому секторному условию и принадлежат к классу .Ят. Формулируются и доказываются частотные критерии абсолютной устойчовости.

Доказательство проводится единым методом как для стационарных, так и для нестационарных нелинейностей.

В заключительном параграфе третьей плавы рассматриваются методы проверки частотных условий. Дается краткое описание метода линейных матричных неравенств. Большее внимание уделяется графическим методам. Доказывается, что графические критерии, ранее известные только для стационарных систем, применимы с небольшими изменениями к периодическим по времени нелинейным блокам

В четвертой главе рассматриваются периодические по времени системы, необязательно удовлетворяющие секторному условию. Оказывается возможным распространить на периодические по времени нелинейности несколько результатов, известных для стационарных систем. Устанавливаются новые результаты для линейных систем с периодическими коэффициентами, систем с нелинейностями из некоторого параметрического класса и для систем с квазимонотонными нелинейностями (понятие квазимонтонности вводится и объясняется).

I. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.А., Гантмахер, Ф. Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М. 1963.

2. Александров, В.В., Жермоленко, В. Н. Критерй абсолютной устойчивости систем третьего порядка.//ДАН. 1975.Т.222, № 2, С.309−311.

3. Альтшуллер, Д. Множители устойчивости для систем с нестационарными нелинейностями. // Вестн. С-Петерб. Ун-та. 2003. Сер.1. Вып.1 (№ 1). С.3−12.

4. Барабанов, Н. Е. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости в целом стационарных множеств нелинейных систем дифференциальных уравнений с одной монотонной нелинейностью. // Сиб. мат. журн. 1987. T. XXVIII, № 2, С.21−34.

5. Барабанов, Н. Е. Новые критерии абсолютной устойчивости систем управления с одной дифференцируемой нелинейностью. //ДАН СССР. 1987. Т.299, № 2. С. 570−572.

6. Барабанов, Н.Е. О проблеме Калмана. // Сиб. мат. журн. 1988. T. XXIX, № 3, С.3−11.

7. Барабанов, Н. Е. Графоаналитические критерии устойчивости и неустойчивости в большом стационарных множеств дискретных систем. // Сиб. мат. журн. 1989. Т. ХХХ, № 2, С.3−13.

8. Барабанов, Н. Е. Новые частотные критерии абсолютний устойчивости и неустойчивости систем автоматического управления с нестационарной нелинейностью. // Дифф. уравнения. 1989. Т.25, № 4, С.555−563.

9. Барабанов, Н. Е. Метод расширения пространства состояний в теории устойчивости систем автоматического управления. Автореф. докт. дисс. Киев. 1990.

10. Гантмахер, Ф.Р., Якубович, В. А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем. //Труды II Всесоюзного Съезда по Теоретической и Прикладной Мехаиике.М. «Наука». 1965. С. 30−63.

11. Гелиг, А.Х., Леонов, Г. А., Якубович, В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М. 1978., 400 с.

12. Колмогоров, А.Н., Фомин, C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. 1972.496 с.

13. Кореневский, Д. Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев. 1989. 208 с.

14. Красовский, A.A. Справочник по теории автоматического управления. М. 1987.

15. Леонов, Г. А., Буркин, И.М., Шепелявый, А. И. Частотные методы в теории колебаний. В 2-х частях. 4.1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. СПб. 1992. 366 с.

16. Леонов, Г. А., Смирнова, В. Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. СПб. 2000.400 с.

17. Летов, A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М. 1955.

18. Липатов, A.B. Устойчивость непрерывных систем с одной нелинейностью. // ДАН СССР. 1981. Т.260, № 4. С.812−817.

19. Липатов, A.B. Графоаналитический метод проверки устойчивости непрерывной системы с одной монотонной нелинейностью в случае неприменимости критерия A.A. Воронова. / /ДАН СССР. 1982. Т.267, № 5. С. 1069−1072.

20. Липатов, A.B. Устойчивость стационарной системы с одним нелинейным блоком. I. Основные теоремы.//АиТ. 1982. № 6. С.43−53.

21. Липатов, A.B. Устойчивость стацинарной системы с одним нелинейным блоком. II. Геометрический критерий. //АиТ. 1982. № 7. С.34−41.

22. Липатов, A.B. Графические критерии устойчивости непрерывных систем с одной дифференцируемой нелинейностью.//АиТ. 1984. № 3. С.57−65.

23. Липатов, A.B., Садыков, Ф.Р., Соловейчик, Г. Я. Графические методы исследования устойчивости непрерывных систем с одной нелинейностью различных классов. //АиТ. 1985. № 3. С.28−35.

24. Лурье, А.И., Постников, В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем. ПММ. 1944. Т.8, Вып.З.

25. Молчанов, А. П. Методы исследования робастной устойчивости нелинейных нестационарных систем управления. Автореф. докт. дисс. М., 2001.

26. Молчанов, А.П., Пятницкий, Е. С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем. I. // АиТ. 1982. № 1, С. 19−27.

27. Молчанов, А.П., Пятницкий, Е. С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем. II. // АиТ. 1982. № 2, С.17−28.

28. Молчанов, А.П., Пятницкий, Е. С. Абсолютная неустойчивость нелинейных нестационарных систем. III. // АиТ. 1982. № 3, С.29−27.

29. Попов, В. М. Абсолютная устойчивость нелинейных систем автоматического управления. И АиТ. 1962. Т.22. С.961−979.

30. Пятницкий, Е. С. Абсолютная устойчивость нелинейных управляемых систем (вариационный подход). Автореф. докт. дисс. М., 1970.

31. Пятницкий, Е. С. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем второго порядка с одним нелинейным нестационарным элементом. // АиТ. 1971. № 1., С.5−16.

32. Рисс, Ф., Секёфальви-Надь, Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1979. 500 с. (F. Risz, В. Sz.-Nagy. Lecons d’analyse fonctionelle).

33. Скородинский, В. И. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с двумя нелинейными нестационарными элементами. I. // АиТ. 1981. № 9., С.24−29.

34. Скородинский, В. И. Абсолютная устойчивость и абсолютная неустойчивость систем управления с двумя нелинейными нестационарными элементами. II. // АиТ. 1982. № 6., С.87−93.

35. Смирнова, В. Б. Устойчивость некоторых классов систем автоматического регулирования с распределенными параметрами. Автореф. канд. дисс. Ленинград. 1975.

36. Якубович, В. А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования//ДАН. 1962. Т.143, № 6. С.1304−1307.

37. Якубович, В. А, Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. I. Абсолютная устойчивость вынужденных колебаний. // АиТ.1964. Т.25, № 7. С. 1017−1029.

38. Якубович, В. А, Метод матричных неравенств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. II. Абсолютная устойчивость в классе нелинейностей с условием на производную. // АиТ. 1965. Т.26, № 4. С. 1017−1029.

39. Якубович, В. А. Частотные условия абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. // АиТ 1967. Т.28, № 6. С.5−28.

40. Якубович, В. А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. // АиТ 1967. Т.28, № 9. С.59−71.

41. Якубович, В. А. Абсолютная устойчивость импульсных систем с несколькими нелинейными или линейными нестационарными блоками. И. // АиТ 1967. Т.29, № 2. С.81−101.

42. Якубович, В. А. Частотные условия устойчивости решений нелинейных интегральных уравнений автоматического управления. // Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия. 1967, с.109−125.

43. Якубович, В.А. 5-процедура в в нелинейной теории регулирования. // Вести. ЛГУ. 1971. № 1. С.265−289.

44. Якубович, В. А. Методы теории абсолютной устойчивости. // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. / под ред. Р. А. Нелепина. М. 1975., С.75−180.

45. Якубович, В.А. К абстрактной теории абсолютной устойчивости нелинейных систем. // Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия. 1977. № 13. С.99−118.

46. Якубович, В. А. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости. //ДАН. 1998. Т.365, С.608−611.

47. Якубович, В. А. Частотные условия устойчивости нелинейных систем. // Нелинейная теория управления и ее приложения. / под ред. В. М. Матросова, С. Н. Васильева, А. И. Москаленко. М., 2000. С.149−172.

48. Якубович, В.А., Старжинский, В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М. 1972.

49. Altshuller, D.A. Absolute stability criterion for a class of systems with time periodic nonlineari-ties. //Proc. NOLCOS’Ol, 2001.

50. Altshuller, D.A. Zames-Falb multipliers for systems with time periodic nonlinearities. // Proc. ACC2002. P.68−74.

51. Altshuller, D.A. A generalization of frequency domain stability criteria to a wider class of systems. // Proc. CDC2002. P.2657−2662.

52. Barabanov, N.E. The state space extension method in the theory of absolute stability. // ШЕЕ. Trans. Automatic Control. 2000. V.45, № 12. P.2335−2339.

53. Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, E. Balakrishnan, V. Linear matrix inequalities in system and control theory. Philadelphia. 1994. 193 p.

54. Brockett, R.W., Willems, J.C. Frequency domain stability criteria part I. // IEEE Trans. Automatic Control. 1965. V. AC-10, P.255−261.

55. Brockett, R.W., Willems, J.C. Frequency domain stability criteria part II. // IEEE Trans. Automatic Control. 1965. V. AC-10, P.407−413.

56. Cho, Y.S., Narendra, K.S. An off-axis circle criterion for the stability of feedback systems with a monotone nonlinearity. // IEEE Trans. Automatic Control. 1968. Vol. AC-13, № 4. P.413−416.

57. Coddington, E.A., Levinson, N. Theory of ordinary differential equations. New York. 1955.429 P

58. Corduneanu, C. Integral equations and stability of feedback systems. New York. 1973. 238 p.

59. Corduneanu, C. Integral equations and applications. Cambridge. 1991. 366 p.

60. Freedman, M.I., Falb, P.L., Zames, G. A Hilbert space stability theory over locally compact Abelian groups. // SIAM J. Control. 1969. V.7, № 3. P.479−495.

61. Gelig, A. Kh, Churilov, A.N. Stability and oscillations of nonlinear pulse-modulated systems. Boston. 1998. 362 p.

62. Hahn, W. Stability of motion. Berlin, 1966.446p.

63. Halanay, A. Differential equations: stability, oscillations, time lags. New York: Academic Press, 1966. 528p.

64. Halanay, A., Rasvan, V. Stability and stable oscillations in discrete time systems. 2000. Amsterdam. 283p.

65. Hale, J.K. Oscillations in nonlinear systems. New York. 1963. 180p.

66. Hale, J.K. Ordinary differential equations. New York. 1969. 332p.

67. Hobson, E. W. The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier series. New York. 1957. V. I 726p. V. II 780p.

68. Holtzman, J.M. Nonlinear system theory: a functional analysis approach. Englewood Cliffs, 1970. 213 p.

69. Kalman, R.E. Lyapunov functions for the problem of Lur’e in automatic control. // Proc. Nat’l Acad. Sci. 1963. V.49. P.201−205.

70. Khalil. H.K. Nonlinear systems. 2nd ed. Upper Saddle River. 1996. 734p.

71. Lefschetz, S. Stability of nonlinear control systems. New York. 1965. 150p.

72. Lefschetz, S. Differential equations: geometric theory. New York. 1977. 390p.

73. Leonov, G.A., Ponomarenko, D.V., Smirnova, V.B. Frequency-domain methods for nonlinear analysis. Singapore, 1996.498 p.

74. Leonov, G.A., Reitmann, V., Smirnova, V.B. Non-local methods for pendulum-like feedback systems. Stuttgart Leipzig: Teubner. 1992. 242p.

75. Liao Xiao-Xin. Absolute stability of nonlinear control systems. Dordrecht, 1993. 178 p.

76. Miller, R.K. Nonlinear Volterra integral equations. Menlo Park. 1971.468 p.

77. Mingarelli, A.B. Volterra-Stieltjes integral equations and generalized ordinary differential expressions. New York. 1983. 318 p.

78. Narendra, K.S., Cho, Y.S. Stability of feedback systems containing a single odd monotonic non-linearity. // IEEE Trans. Automatic Control. 1967. Vol. AC-12, № 4. P.448−450.

79. Narendra, K.S., Neuman, C.P. Stability of a class of differential equations with a single monotone nonlinearity. // SIAM J. Control. 1966. V.4, P.295−308.

80. Narendra, K.S., Taylor, J.H. Frequency domain criteria for absolute stability. New York, 1973. 246 p.

81. Niculescu, S-I. Delay effects on stability: a robust control approach. Berlin. 2001. 383 p.

82. O’Shea, R.P. A combined frequency-time domain stability criterion for autonomous continuous systems. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966. V. AC-11, № 3, P 477−484.

83. O’Shea, R.P. An improved frequency time domain stability criterion for autonomous continuous systems. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1967. V. AC-11, № 6, P.725−731,.

84. Popov, V.M. Hyperstability of control systems. Berlin, 1973.400 p.

85. Safonov, M.G., Wyetzler, G. Computer-aided analysis renders Popov criterion obsolete. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1987. V. AC-32, № 12, P 1128−1131.

86. Salamon, D. Control and observation of neutral systems. Boston, 1984. 207 p.

87. Siljak, D.D. Nonlinear systems: the parameter analysis and design. New York. 1969. 618p.

88. Sundareshan, M.K., Thathachar, M.A.L. Construction of stability multipliers for non-linear feedback systems // Int. J. Systems Sci. 1974. Vol. 5, № 3. P.277−285.

89. Vidyasagar, M. Nonlinear systems analysis. 2nd ed. Englewood Cliffs. 1993.498p.

90. Willems, J.C., Gruber, M. Comments on «A combined frequency-time stability ctiterion for autonomous continuous systems». // IEEE Trans, on Automatic Control. 1967. V. AC-12, P.217−219.

91. Yakubovich, V.A. Necessity in quadratic criterion for absolute stability. // Int. J. Robust Nonlinear Control. 2000. V.10, P.889−907.

92. Yakubovich, V.A. Popov’s method and its subsequent development. // European. J. Control. 2002. V.8.

93. Zames, G. Functional analysis applied to nonlinear feedback systems. // IEEE Trans. Circuit Theory. 1963. V. CT-10, № 3. P.392−404.

94. Zames, G. On the input-output stability of time-varying nonlinear feedback systems. Part I: Conditions derived using concepts of loop gain, conicity, and positivity. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966. V. AC-11, № 2. P.228−238.

95. Zames, G. On the input-output stability of time-varying nonlinear feedback systems. Part II: Conditions involving circles in the frequency plane and sector nonlincarities. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966 V. AC-11, № 3. P.465−476.

96. Zames, G., Falb, P.L. On the stability of systems with monotone and odd monotone nonlineari-ties. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1967. V. AC-12, P.221−223.

97. Zames, G., Falb, P.L. Stability conditions for systems with monotone and slope-restricted non-linearities. // SIAM J. Control. 1968. V.6, №.1- P.89−108.

98. Zames, G. Kallman, R.R. On spectral mappings, higher order circle criteria, and periodically varying systems. // IEEE Trans, on Automatic Control. 1970. V. AC-15, P.649−652.