Алгоритмы построения разрешающих процедур в игровых задачах управления

В диссертации рассматриваются задачи теории дифференциальных игр при наличии геометрических ограничений на управления игроков. Предполагается, что первый и второй игроки имеют противоположные интересы.

Теория дифференциальных игр бурно развивается с начала 60-х годов, и это развитие связано с именами отечественных и зарубежных математиков H.H. Красовского, JI.C. Понтрягина, Е. Ф. Мищенко, А. И. Субботина, Б. Н. Пшеничного, Р. Айзекса, В. Флеминга.

Кратко перечислим основные результаты, к которым примыкает диссертационная работа.

H.H. Красовским и его сотрудниками была создана теорий позиционных дифференциальных игр. Основу концепции позиционной дифференциальной игры [42, 88, 129, 131] составляет принцип экс-"^{тремального} прицеливания на стабильные мосты. В теории позиции онных дифференциальных игр был рассмотрен широкий круг задач. Эта теория объединила в себе подходы, направленные на решение целого ряда проблем, включающих в себя как вопросы существования, так и проблемы вычисления решений в дифференциальных играх [3, б, 16, 28, 48, 65, 83, 99]. Так, для решения регулярных задач теории позиционных дифференциальных игр был разработан метод программных конструкций [21, 32, 35, 42, 88, 131]. Конструкции позиционных дифференциальных игр были распространены на конфликтно-управляемые системы с запаздывающим аргументом [48, 49, 64]. А. Г. Ченцовым в ряде работ [ИЗ, 114, 115, 116] был предложен для построения решений дифференциальных игр метод программных итераций. Параллельно с этим развивались попятные процедуры и вычислительные методы решения различных классов позиционных дифференциальных игр, включая и нелинейные дифференциальные игры [8, 9, 10, 22, 23, 24, 29, 102]. Наиболее существенные из этих результатов, полученных H.H. Красовским, А. И. Субботиным и их сотрудниками, представлены в монографии «Позиционные дифференциальные игры», вышедшей в 1974 г. Несколько позже для решения нерегулярных задач теории позиционных дифференциальных игр H.H. Красовским и его учениками разработан метод стохастического программного синтеза [30, 31, 39, 40, 46, 53, 54]. Установлено, что для многих дифференциальных игр функция цены игры может быть вычислена как стохастический программный максимин в некоторой вспомогательной игре управления.

Следует отметить, что в теории позиционных дифференциальных игр с одной стороны активно используются результаты и методы различных математических дисциплин: теории дифференциальных уравнений, теории игр, выпуклого и негладкого анализа (см., например, [3, 10, 16, 17, 85]), а с другой стороны, конструкции, разработанные в рамках этой теории, нашли применение в других разделах математики. Так например, первые результаты, относящиеся к построению обобщенных решений были получены А. И. Субботиным совместно с H.H. Субботиной при изучении основного уравнения теории дифференциальных игр — уравнения Айзекса-Беллмана[84]. Позже они были распространены А. И. Субботиным на уравнения уравнения в частных производных первого порядка типа Гамильтона-Якоби. Им было введено понятие обобщенного (минимаксного) решения уравнения Гамильтона-Якоби, установлены достаточные условия существования и единственности минимаксного решения и доказано его совпадение с вязкостным решением в смысле определения М. Крэндалла-П.Л. Лионса [82].

Основополагающие результаты в теории дифференциальных игр были получены Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками. Л.С. Пон-трягиным для линейных дифференциальных игр были сформулированы и обоснованы эффективные условия завершения игры преследования в форме первого прямого метода[69]. Для решения линейных дифференциальных игр, не укладывающихся в рамки первого прямого метода, Л. С. Понтрягин предложил второй метод, который основан на конструкции альтернированного интеграла [70]. Результаты Л. С. Понтрягина были развиты в работах [1, 19, 56, 57, 58, 59] его учеников и сотрудников. В настоящее время продолжают развиваться вычислительные методы построения решений линейных дифференциальных игр, основу которых составляет конструкция альтернированного интеграла [25].

В исследованиях Б. Н. Пшеничного и его учеников [75, 76, 77] предложены операторные конструкции решения игровых задач наведе

Тематика данной диссертации непосредственно связана с тематикой теории уравнений в частных производных первого порядка. В связи с этим несколько подробнее остановимся на исследованиях, посвященных проблеме построения решений уравнений в частных производных первого порядка. Эту проблему исследовали многие отечественные и зарубежные математики. Важные результаты здесь получены в работах И. М. Гельфанда [13], С. Н. Кружкова [47], H.H. Кузнецова [50], O.A. Олейник [61], А. Н. Тихонова, A.A. Самарского [100] и других. Численным аспектам решения уравнений в частных производных первого порядка посвящены работы таких авторов как С. К. Годунов [14], Е. Hopf [128], P.D. Lax [132]. В последнее время значительное продвижение в конструировании ап-проксимационных схем в рамках теории минимаксных решений достигнуто в работах В. Н. Ушакова, A.M. Тарасьева, A.A. Успенского [90−99],[103, 104, 105, 106, 111, 112, 135, 136] на базе подхода, основу которого составляет построение локально-выпуклых и локально-вогнутых оболочек функций, аппроксимирующих решение, а также вычисление субдифференциалов локально-выпуклых и супердифференциалов локально-вогнутых оболочек этих функций. Как развитие **этого подхода, основанного на локальных овыпуклениях, сформировался подход, представленный в работах [55], основу которого составляет локальная линейная аппроксимация функций, участвующих в построении решения. Этот подход отличает прежде всего простотаотпадает необходимость проводить многократные и сложные процедуры вычисления локально-выпуклых, локально-вогнутых оболочек функций, а также суби супердифференциалов этих функций.

Другое направление по конструированию обобщенных решений развивается в рамках теории вязкостных решений. Важные результаты здесь в последнее время получены в работах [118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 134].

Кратко остановимся на содержании диссертации. Диссертация состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению определяющего в теории позиционных дифференциальных игр свойства стабильности в задаче сближения-уклонения конфликтно-управляемой системы с терм. инальным множеством. В этой главе обсуждаются различные формы представления свойства стабильности в терминах оператора стабильного поглощения. Устанавливаются условия, при которых оператор стабильного поглощения может быть выражен через конечное семейство многозначных отображений. При этих условиях (попятное) построение системы множеств, аппроксимирующей стабильный мост, может быть сведено к построению на каждом шаге попятной процедуры пересечения некоторой конечной системы множеств в фазовом пространстве.

Несколько подробнее опишем результаты, полученные в первой главе.

В § 1 первой главы формулируется постановка задачи сближения-уклонения с целевым множеством M 6 R" на фиксированном промежутке времени для системы dx = f (t, x, u, v), x[to] = x0, X g rn (0.1.1) с геометрическими ограничениями и G Р, v G Q на управления игроков. Кроме того, обсуждается метод решения позиционной задачи сближения-уклонения.

Предполагается, что выполнены условия: <* А. Игра происходит в ограниченной, замкнутой области D переменных (t, x) g [¿-о, Щ х Rn;

B. Вектор-функция f (t, x, u, v) непрерывна по совокупности переменных (t, x, u, v) G D х Р х Q и удовлетворяет условию Липшица по переменной х.

C. Область D и система (0.1.1) таковы, что для любых (¿-*, ж*) G D и измеримых по Лебегу «(•): [?*,$] Р, f (-): [tj=,$] q решение уравнения dx/dt = f (t, ж, u (t), vit)), x[t*] = ж* удовлетворяет включению (t., a-[i]) G D при i G [t*,^].

В § 2 первой главы приводятся различные определения стабильности, в частности, унификационная схема и определение, использующее оператор стабильного поглощения, построенный на основе некоп" торого семейства многозначных отображений {Fф: D —> 2 }, ф G Ф, удовлетворяющее условиям:

А.1. Для любых (t, x, il>) G D х Ф множество х) выпукло, замкнуто и удовлетворяет включению F^ С G.

Здесь G — шар в Rn конечного радиуса с центром в начале координат, такой, что F (t, x) = со{ f (t, x, u, v): и? Р, v Е Q} С G для любых (t, х)? D;

А.2. Для любых (t, x, l)? D х S выполняется о = h{t, x, l);

Здесь hp (l) = max (l, z) — опорная функция множества F, h (t, x, l) = maxuep minveg (/, f (t, ж, м, г>)) — гамильтониан управляемой системы;

А.З. Существует функция и>*(6) (и>*(6) I 0 при 6 I 0) такая, что для любых и (t*, x*) из D, любых ф Е Ф имеет место d (Fi){f)x*), F^(U, x,)) < ш*(f — Ц + \х* - х*\). (0.1.2)

Элементы множества Ф, определяющего семейство многозначных т>т отображений {F'ф: D —> 2 } можно рассматривать как обобщенные управления второго игрока.

В § 3 первой главы предлагается метод свертки унифицированной системы множеств для построения семейств многозначных отображений с конечным числом элементов. Суть этого метода состоит в том, что сначала выделяются участки выпуклости гамильтониана h (t, x, l) системы в пространстве сопряженной переменной /, а затем осуществляется построение пересечений соответствующих полупространств с вектограммой системы. Отметим, что впервые идея разделения пространства сопряженных переменных I применялась при построении решений дифференциальных игр в работах B.C. Пацко и его сотрудников [26]. Можно указать классы дифференциальных игр, для которых удается выделить конечное семейство {рф: d —"¦ 2 } отображений, что значительно упрощает процедуру построения стабильных мостов, делает ее вполне обозримой. Указываются условия, при которых оператор стабильного поглощения может быть выражен через эти семейства многозначных, отображений с конечным числом элементов. Опишем подробнее эти условия и способ построения семейств многозначных отображений

Рассмотрим конечное множество Ф элементов ф и разбиение единичной сферы S для каждого (t, х) Е D на замкнутые подмножества Ьф (1-, х), ф Е Ф, такие, что

В.1. К (Ьф (1,х)) -выпуклое множество;

В.2. — выпуклая по I на К (Ьф^, х)) функция при любых

В.З. Существует функция ш (6), (й (6) | 0 при 6 I 0) такая, что для любых (¿-*, ж*) и из любых ф 6 Ф имеет место й{Ьф (1*, X*), ж*)) < -и>(? — + ||ж* - ж^Ц).

Здесь К (Ьф (г, х)) = {1:1 = А/*, Л > 0,1* 6 Ьф{Ь, х)} -конус, натянутый на множество х). Обозначим П П^аОП^С*,®)

1еь^, х) (0.1.3) :('"/><

Кроме того, предположим, что выполняется условие ^ 0 при любых (¿-, ж,?/>) 6 I) х Ф.

Основной результат первой главы:

Теорема 0.1.1 Семейство отображений: И —> 2ят}, отвечающее множеству Ф и заданное равенством (0.1.3), удовлетворяет условиям АЛ, А.2, А.З.

В § 4 первой главы доказана вспомогательная теорема, используемая при доказательстве основного результата, — теорема об отделимости выпуклых множеств ограниченных третьим множеством. Суть ее состоит в том, что наличие ограничения — третьего множествапозволяет получить дополнительную информацию о структуре некоторых из разделяющих их гиперплоскостей.

В § 5 первой главы в качестве примеров рассматриваются конфликтно-управляемые системы с динамикой с1х/сИ = и + v

О ' о где ж € В. и ж Н и конфликтно-управляемая система с динамикой х/сИ = /(?, — х) + х) и + х) у где х 6 К2. Для этих систем построены конечные семейства многозначных отображений, определяющие оператор стабильного поглощения.

Вторая глава диссертации посвящена вычислению приближенных решений антагонистических дифференциальных игр с терминальной платой. Здесь предложены сеточные' Методы приближенного вычисления функции цены игры для задач размерности п > 2.

Опишем подробнее результаты, полученные во второй главе.

В § 1 второй главы формулируется постановка задачи дифференциальной игры

§ = f (t, X, U, v) = ft, x, u) + f2(t, x, v), ж[*о] = жо, t е [о, tf], uePveQ.

0.1.4) с терминальным функционалом

7 (*(•)) = *(*( U1V) /Q ^

X = 0

Максимальный стабильный мост в задаче сближения с epi, а (hypo, а) для расширенной динамической системы (0.1.6) совпадает с над-графиком (подграфиком) функции цены. Задача построения надгра-фика функции цены обозначается как задача I, задача построения подграфика функции цены обозначается как задача II.

В § 2 второй главы определяются операторы стабильного поглощения, доставляющие решение задачам I и II. В качестве таких операторов выбраны операторы t, x)^Fr (t, x): le R"},. ' t, x)^Ff (t, x): I G Rn}, ^^ построенные в соответствии с правилами

Fr (t, x) = {ye Rn: \y\h (t, x, l)} Ff{t, x) = {у e Rn: \y\ < Щ x), (J, y) < k (t, x, l)} где К (1, х) — функция Липшица гамильтониана. Эти операторы сформированы унификационной схемой [34, 36, 4], при этом унификаци-онная схема имеет некоторые особенности, вызванные сведением исходной дифференциальной игры к игре сближения-уклонения в пространстве большей размерности. В связи с тем, что области достижимости расширенной динамической системы должны иметь топологическую размерность расширенного пространства, возникает необходимость для решения каждой из задач I и II рассматривать совокупности семейств многозначных отображений, зависящие от параметров, а и /3. Унификационные множества я)/€ 5п+1}

I 6 5п+1, строятся как пересечения соответствующих полупространств {У (У, 1) > /)} ({у: (у, 1) < х, рг /)}) с цилиндрами в пространстве К, п+1, ориентированными вдоль оси, отвечающей добавленной переменной. Эти цилиндры и х) подменяют собой вектограмму расширенной управляемой системы в пространстве Кп+1.

В § 3 второй главы на основе построенных совокупностей семейств многозначных отображений определяются разностные операторы стабильного поглощения и операторы шага и указываются некоторые свойства операторов шага, позволяющие перейти непосредственно к численной реализации. Существенными в конструкции разностных операторов стабильного поглощения являются такие важные понятия, как локально-выпуклая оболочка, субдифференциал и супердифференциал функции. Далее с помощью операторов шага определяются функции ад" (•) и ги^(-), отвечающие разбиению отрезка времени. Обосновывается (см теорему 2.3.2), что разностная схема,, индуцируемая разностными операторами, дает результат, близкий к цене игры. При этом указана зависимость скорости сходимости этого результата к функции цены от шага, А разбиения отрезка [¿-о,^] игры.

В § 4 рассмотрена схема приближенного вычисления функции цены игры описываемой дифференциальным уравнением х =/(-?, х, щь) = ,.

10 ж е вл г е М, и е р с^, «е д с ш,~

Р и фвыпуклые многогранники), в основе которой лежат конструкции разностных операторов, предложенные в § 3.

В этой схеме значительное кхесто занимает процедура вычисления локальных овыпуклений сеточной функции/Фактически эта процедура представлена здесь как процедура вычисления выпуклой оболочки некоторого полиэдрального множества. Подробно алгоритм вычисления выпуклой оболочки полиэдрального множества представлен в § 5. В основе алгоритма лежит метод «заворачивания подарка», предложенный Чандом и Капуром [120] в 1970 г.

В § 6 главы II изложен параллельный алгоритм построения функции цены дифференциальной игры на многопроцессорной вычислительной системе МВС-100. При распараллеливании задачи реализована схема «процессорной фермы», в которой один процессор выполняет функции мастера, рассылающего задания остальным процессорам рабочим и собирающего у них результаты счета.

1. Азамов А. О втором методе Понтрягина в линейных дифференциальных играх преследования // Мат. сб. 1982. Т. 118. Вып. 3. С. 422−430.

2. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479с.

3. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр / Под ред. А. И. Субботина и В. С. Пацко. Свердловск: ИММ УрО АН СССР, 1984. 295с.

4. Алексейчик М. И. Дальнейшая формализация основных элементов антагонистической дифференциальной игры // Мат. анализ и его прил./ Ростов.ун.-т. Ростов-на-Дону, 1975. Т.7. С.191−199.

5. Альбрехт Э. Г. О сближении квазилинейных об]ектов в регулярном случае // Диф. уравнения. 1971. Т.7. С.1171−1178.

6. Альбрехт Э. Г. Метод Ляпунова-Пуанкаре в задачах оптимал-ного управления. Дисс. д.-ра физ.-мат.наук. Свердловск: 1986. 280с.

7. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. 400с.

8. Боткин Н. Д. Численное построение сечений множества позиционного поглощения в линейной дифференциальной игре// Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр // УНЦ АН СССР. Свердловск: 1984. С.5−38.

9. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управлениям.: Мир, 544 с.

10. Вахрушев В. А., Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В. Н., Хрипунов А. П. О численном решении задач оптимального управления нелинейными системами. В кн.: 7 Всесоюзный с]езд по теоретической и прикладной механике. Тезисы докладов. Москва. 1991. С. 17.

11. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи мат. наук. 1959. Т.14, вып. 2 (86). С.87−158.

12. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Мат. сб. 1959. Т. 47 (89), N 3. С.271−306.

13. Гурман В. И., Константинов Г. Н. Описание и оценка множеств достижимости управляемых систем // Диф. уравнения. 1987. Т.23, N 3.С.416−423.

14. Гусейнов Х. Г., Субботин А. И., Ушаков В. Н. Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления // Проблемы упр. и теории информации. 1985. Т. 14. N 3. С. 1−14.

15. Гусейнов Х. Г., Субботин А. И., Ушаков В. Н. Производные стабильных мостов в дифференциальной игре сближения. Свердловск. 1985. 62 с. Деп. в ВИНИТИ 29.01.85. N 840−85.

16. Гусейнов Х. Г., Ушаков В. Н. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1988. Т. ЗОЗ, N 4. С.794−796.

17. Гусятников П. Б., Никольский М. С. Об оптимальности времени преследования // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. N 3. С. 518−521

18. Демьянов В. Ф., Рубинов A.M. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление // М.: Наука. 1990. 432 с.

19. Джафаров В. Я., Субботин А. И. Программный максимин и цена позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257. N 6. С. 1305−1309.

20. Зарх М. А. Универсальная стратегия второго игрока в линейной дифференциальной игре // Прикл. матем. и мех. 1990. Т. 54. Вып. 3. С. 395−400.

21. Зарх М. А., Пацко B.C. Построение максимальных стабильных мостов в линейной дифференциальной игре // Синтез оптимального управления в игровых системах / Свердловск. УНЦ АН СССР. 1986. С.46−61.

22. Зарх М. А., Пацко B.C. Стратегия второго игрока в линейной дифференциальной игре // Прик. матем. и мех. 1987. Т.51, вып.2. С. 199−200.

23. Иванов Г. Е., Половинкин Е. С. О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 10. С. 1641−1648

24. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

25. Клейменов А. Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург. «Наука». Уральское отделение. 1993. 184 с.

26. Клейменов А. Ф., Пацко B.C., Ушаков В. Н. Приближенное решение дифференциальных игр в смешанных стратегиях // Труды межд. конф. по стохастической оптимизации. Киев, 1984. Берлин. Шпрингер, 1986. С.669−674.

27. Красовский А. Н. Синтез смешанных стратегий управления. Свердловск: Изд-во Урал, ун.-та, 1988. 151 с.

28. Красовский А. Н., Красовский H.H., Третьяков В. Е. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры // Прикл. матем. и мех. 1981. Т.45, N 4. С.579−586.

29. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений // М.: Наука, 1970, 420 с.

30. Красовский H.H. К задаче преследования в случае линейных однотипных объектов // Прикл. матем. и мех. 1966.T.30, вып.2. С.209−225

31. Красовский H.H. К задаче унификации дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1976. Т.226, N 5. С.1260−1263.

32. Красовский H.H. Минимаксное поглощение в игре сближения // Прикл. матем. и мех. 1971. Т. З, вып.6, С.945−951.

33. Красовский H.H. Построение смешанных стратегий на основе стохастических программ // Прикл. матем. и мех. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 186−192.

34. Красовский H.H. Унификация дифференциальных игр // Игровые задачи управления / Свердловск. 1977. С.32−34.

35. Красовский H.H. Управление динамической системой // М.: Наука, 1985, 520 с.

36. Красовский H.H., Репин Ю. М., Третьяков В. Е. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем.// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1965. N 4. С.3−13.

37. Красовский H.H., Решетова Т. Н. О программном синтезе гарантирующего управления // Проблемы упр. и теории информации. 1988. Т. 17, N 6. С.1−11.

38. Красовский H.H., Субботин А. И. Аппроксимация в дифференциальной игре // Прикл. матем. и мех. 1973. Т.37, вып. 2. С. 197−204.

39. Красовский H.H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974, 456 с.

40. Красовский H.H., Субботин А. И. О структуре дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1970. Т.190, N 3. С.523−526.

41. Красовский H.H., Субботин А. И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх // Докл. АН СССР. 1971. Т.196, N 2. С.278−281.

42. Красовский H.H., Субботин А. И., Ушаков В. Н. Минимаксная дифференциальная игра. Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, N 2. С.277−280.

43. Красовский H.H., Третьяков В. Е. К задаче преследования в случае ограничений на импульсы управляющих сил // Диф. уравнения. 1986. Т.2, N 5. С.587−599.

44. Кружков С. Н. К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядк // Успехи мат. наук. 1965. Т.20, вып.6 (126). С.112−118.

45. Кряжимский A.B., Осипов Ю. С. Дифференциально-разностная игра сближения с функциональным целевым множеством // ПММ. 1973. Т. 37. Вып 1.

46. Кряжимский A.B., Осипов Ю. С. О моделировании управления в линейной динамической системе // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. N 2. С.51−60

47. Кузнецов H.H. О некоторых асимптотических свойствах обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, вып. 2 (86). С.203−209.

48. Ледяев Ю. С., Мищенко Е. Ф. Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр // Труды МИАН СССР. 1988. Т.85. С.147−170.

49. Логинов М. И., Соломатин A.M. Условия регулярности гарантированного результата для квазилинейных конфликтно-управляемых объектов //Тез.докл., Всес. конф. «Управление в механических системах». Львов, 1988.

50. Лукоянов Н. Ю. К задаче конфликтного управления при смешанных ограничениях // Прикл. матем. и мех. 1995. Т. 5. Вып. б, С. 955- 964.

51. Лукоянов Н. Ю. Об одной дифференциальной игре с интегральным критерием качества // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. N 11. С. 1905;1913.

52. Мельникова Н. В., Тарасьев A.M. Градиенты локально линейных оболочек в конечно — разностных операторах для уравнений Гамильтона-Якоби // Прикл. матем. и мех. 1997 Т. 61. N 3. С. 422−431.

53. Мищенко Е. Ф. Задачи преследования и уклонения, от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. N 5. С.3−9.

54. Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С. Задача об убегании одного управляемого объекта от другого // Докл. АН СССР. 1969. Т. 189. N 4. С. 721−723

55. Никольский М. С. Об альтернированном интеграле Л. С. Понтрягина // Мат. сборник. 1981. Т. 158. С.121−124.

56. Никольский М. С. О нижнем альтернированном интеграле Пон-трягина в линейных дифференциальных играх преследования // Мат.сборник. 1985. Т.128, N 1. С.35−49.

57. Овсеевич А. И., Черноусько Ф. Л. Двусторонние оценки областей достижимости управляемых систем // Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46, вып.5. С.737−744.

58. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи // М.: Наука, 1980. 320 с.

59. Пшеничный Б. Н. Структура дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1969. Т.184, N 2. С.285−287.

60. Пшеничный Б. Н., Остапенко В. В. Дифференциальные игры // Киев, Наукова Думка. 1991. 264 с.

61. Пшеничный Б. Н., Сагайдак М. И. О дифференциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика. 1970. N 2. С.54−63.

62. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

63. Соколов В. Н., Турова B.JT. Оптимальное управление маятником в условиях неопределенности помех. М., 1988. 38 с. (Пре-пр./ИПМ АН СССРN 336)

64. Субботин А. И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1980. Т.254. N 2. С.293−297.

65. Субботин А. И. Кусочно-линейная функция цены дифференциальной игры с простыми движениями // Труды МИАН СССР. 1988. Т. 185. С.242−245.

66. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.: Наука, 1991. 288 с.

67. Субботин А. И., Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры // Докл. АН СССР. 1978. Т.243, N 4. С.862−865.

68. Субботин А. И., Субботина H.H. Свойства потенциала дифференциальной игры // Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46, вып.2. С.204−211.

69. Субботин А. И., Тарасьев A.M. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры// Докл. АН СССР. 1985. Т.283, N 3. С.559−564.

70. Субботин А. И., Тарасьев A.M. Свойства стабильности функции цены дифференциальной игры и вязкие решения уравнений Гамильтона-Якоби / / Проблемы управления и теории информации. 1986. Т.15, N 6. С.451−463.

71. Субботин А. И., Тарасьев A.M., Ушаков В. Н. Обобщенные характеристики уравнений Гамильтона-Якоби // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1993. N 1. С.190−197.

72. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1978, 288 с.

73. Субботина H.H. Принцип максимума и субдифференциал функции цены // Проблемы управления и теории информации. 1989. Т. 18, N 3. С.1−10.

74. Тарасьев A.M. О построении функции цены в одной нерегулярной дифференциальной игре с фиксированным моментом окон• чания. Свердловск: 1983, 43 с. Деп. В ВИНИТИ 21.04.83 N 245 583.

75. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В. Н. Аппроксимацион-ные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гмильтона-Якоби // Изв. Акад. Наук., Техн. кибернетика. 1994. N 3. С. 173−185. .

76. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В. Н. Построение разрешающих процедур управления в трехмерной линейной игровой задаче с терминальной платой. Свердловск: 1990. 92 с. Деп. в ВИНИТИ 07.08.90, N 4485-В90.

77. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В. Н. Алгоритмы приближенного построения множества позиционного поглощения в линейной задаче сближения с выпуклой целью // Сборник «Расчет потенциальных и программных управлений», Свердловск, УПИ, 1989, С.22−30.

78. Тарасьев A.M., Ушаков В. Н. О построении стабильных мостов в минимаксной игре сближения-уклонения. Свердловск: 1983. 61 с. Деп. в ВИНИТИ 19.04.83, N 2454−83.

79. Тарасьев A.M., Ушаков В. Н. Построение системы множеств, аппроксимирующей максимальный минимаксно u-стабильны мост // Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр / УНЦ АН СССР. Свердлоск, 1984. С.191−248.

80. Тарасьев A.M., Ушаков В. Н. Алгоритмы построения стабильных мостов в линейной задаче сближения с выпуклой целью // Исследование задач минимаксного управления / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985. С.91−116.

81. Тарасьев A.M., Ушаков В. Н., Хрипунов А. П. Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления // Прикл. матем. и мех. 1987. Т.51, вып.2. С.216:222.

82. Тихонов А. Н., Самарский A.A. О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка // Докл. АН СССР. 1954. Т.99. С.27−30.

83. Третьяков В. Е. Регуляризация одной задачи о преследовании // Диф. уравнения. 1967. Т. З, N 12. С.2108−2121.

84. Турова B. J1. Линейная дифференциальная игра качества // Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1984. С.191−248.

85. Успенский A.A. Алгоритм построения множеств разрешимости в многомерных линейных дифференциальных играх // Проблемы теоретической и прикладной математики. УрО АН СССР. Свердловск, 1989. С. 15.

86. Успенский A.A. Вычислительные процедуры для построения обобщенных решений уравнений Беллмана-Айзкса. Дисс. канд. физ.-мат.наук. Екатеринбург: 1993. 165с.

87. Успенский A.A. Построение множеств разрешимости в линейной дифференциальной игре сближения в трехмерном пространстве // Тез.докл. Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации, Москва, 1988. М.: С. 219.

88. Успенский A.A. Оценка скорости сходимости разностных операторов при решении задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби / Екатеринбург. 1998. Депв ВИНИТИ 06.03.98. N 623-В98. 38 с.

89. Ухоботов В. И. Об одной дифференциальной игре с импульсными управлениями // Тр. Ин-та механики мех.-мат. фак. МГУ.

90. Ухоботов В. И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральными ограничениями // Прикл. матем. и мех. 1977. Т.41, вып.5. С.810−824.

91. Ушаков В. Н. Минимаксная дифференциальная игра сближения-уклонения и условия разрешимости задачи сближения-уклонения // Дифференциальные системы управления / УНЦ АН СССР. Свердловск. 1979. С.191−248.

92. Ушаков В. Н. К теории минимаксных дифференциальных игр. Часть I. Свердловск: 1980, 187 с. Деп. В ВИНИТИ 16.10.80.// N 4425−80.

93. Ушаков В. Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. N 4. С. 29−36.

94. Ушаков В. Н. Процедуры построения стабильных мостов в дифференциальных играх. Дисс. д.-ра физ.-мат.наук. Свердловск: 1991. 308с.

95. Ченцов А. Г. О структуре игровой задачи сближения // Докл. АН СССР. 1975. Т.224, N 6. С.1272−1275.1 «

96. Ченцов А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени // Мат. сборник. 1976. Т.99, N 3, С.394−420.

97. Ченцов А. Г. К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР. 1977. Т.226, N 1. С.73−76.

98. Ченцов А. Г. Цена дифференциальной игры с обобщенной платой // Докл. АН СССР. 1977. Т.237, N 1. С.41−43.

99. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988, 319 с.

100. Bardi M., Falcone M. An Approximation Scheme for Minimax Time Function // SIAM J. Control Optimiz. 1990. Vol. 28. No. 4. P. 950 965

101. Bardi M., Osher S. The nonconvex multi-dimensional Riemann problem for Hamilton-Jacobi equations // SIAM J. Math. Anal. 1991. V. 22, No 2. P. 344−351.

102. Chand D.R., Kapur S.S. An algorithm for convex polytopes, Journal of the ACM. 1970. Vol. 17. No. 1. P. 78−86.

103. Crandall M.G., Lions P.L. Condition d unicite pour les generalisees des eguations Hamilton-Jacobi du 1-er ordre. C.R.Acad. Sri. Paris Ser. A-B, vol. 292, pp. 183−186 (1981)

104. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton-jacobi equations in infinite dimensions. VII. the HJB equation is not always satisfied // J. Funct. Anal. 1994. Vol. 125. No. 1. P. 111−148.

105. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 277. No. 1. P. l-42.

106. Crandall M.G., Lions P.L. Two approximations of solutions of Hamilton-Jacobi equations // Math. Comput. 1984. V. 43. P. 1−19.

107. Fleming W.H. The convergence problem for differentiale games // J. Math. Anal. 1961. Vol. 3, N 1. P.102−116.

108. Friedman A. Existence of Value and of Saddle Points for Differential Games of Pursuit and Evasion // J. Different. Equat. 1971. Vol.9. No.l. P.141−154.

109. Hopf E. Generalised solutions of non-linear equations of first order // J. Math, and Mech. 1965. V.14, No.6. P.951−973.

110. Krasovskii A.N., Krasovskii N.N. Control under Lack of Information. Birkhauser. 1995.

111. Krasovskii N.N., Reshetova T.N. // Problem of Control and Information Theory. 1988. Vol. 17/ No. 6. P. 333−343.

112. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game theoretical control problems. Springer-Verlag. New York. 1986. 517 p.

113. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V.7, No.l. P.159−193.

114. Osher S., Shu C.W. High-order essentially nonoscillatory schemes for Hamilton-Jacobi equations // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V.28. No.4. P.907−922.

115. Souganidis P.E. Approximation schemes for viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations //J. of Different. Equat. 1985. V. 59. P. 1−43.

116. Tarasyev A.M. Approximation Schemes for Constructing Minimax Solutions of Hamilton-Jacobi Equations //J. Appl. Maths. Mechs. 1994. Vol. 58. No. 2. P. 207−221.

117. Taras’ev A.M., Uspenskii A.A., Ushakov V.N. On construction of solvinq procedures in a linear control problem // The Lyapunov functions method and applications. J.C.Baltzer AG, Scientific Publishing Co. IMACS, 1990. P. ll-115.

118. Varaija P., Lin J. Existence of Saddle Points in Differential Games 11 SIAM J. Control. 1969. Vol. 7. No. 1. P. 141−157

119. Ушаков B.H., Григорьева С. В. Достаточные условия выпуклости производных множеств многозначных отображений Ин-т математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1995. — Деп. в ВИНИТИ 09.03.95 N 638-В95

120. Григорьева С. В. Метод свертки унифицированной системы множеств в дифференциальных играх Йн-т математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1995. — Деп. в ВИНИТИ 12.10.95 N 2751-В95

121. Ushakov V.N., Grigor’eva S.V. On a family of maps determining stability in differential games. //The Forth International Workshop «Multiple criteria and game problems under uncertainty»: Abstracts. Moscow 1996. p. 125

122. Григорьева С. В. Построение системы множеств, определяющей стабильность в дифференциальных играх. //" Понтрягин-ские чтения VII": Тезисы докладов школы. — Воронеж, ВГУ, 1996 с.58

123. Ушаков B.H., Григорьева С. В. Конструирование оператора стабильного поглощения в дифференциальных играх Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, N4, с.69−76в

124. С. В. Григорьева, В. Н. Ушаков. Один способ построения систем множеств, определяющих стабильность в дифференциальных играх //Ин-т математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 1997. — Деп. в ВИНИТИ 18.08.1997. 2707-В97. 17с.

125. С. В. Григорьева, А. А. Успенский, В. Н. Ушаков. Сеточный метод построения функции цены игры //Научные школы УГТУ-УПИ. Вып.1. 1997. С. 114−119.

ЛИТЕРАТУРА

109