Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

КурсоваяПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования

" Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

Курсовая работа Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Зелюткина В.И.

Научный руководитель: профессор, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Монахов В.С.

Гомель 2005

Введение

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса
2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса
3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса
Заключение
Список литературы

Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:

A. Пусть - конечная группа и . Тогда и только тогда в группе все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1) — 2-группа;

2) — группа Фробениуса, ядро которой — минимальная нормальная подгруппа порядка, где — показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) .

1. - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы также принадлежит .

2., то ——свободна.

3. и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа .

4. — разрешимая группа и, то 2-длина группы не превосходит 1.

5. — разрешимая группа и. Если и силовская 2-подгруппа из неабелева, то центр совпадает с центром .

6. — разрешимая группа и. Тогда и только тогда, когда — группа Фробениуса, ядро которой — минимальная нормальная подгруппа порядка, где — показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы .

Лемма 7. и — простая неабелева группа, то .

8. и, то .

9. для .

Во второй — конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1) или, где — 5-группа;

2), где — 3-группа.

C. — разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда бипримарна, и — дисперсивная группа порядка, где .

1. конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

2. — конечная группа и — простое число, делящее порядок. Если в нетзамкнутых подгрупп Шмидта, тонильпотентна.

3. — сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовскойподгруппой и циклической силовскойподгруппой, то .

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

6. группа порядка, где и — простые числа, и не делит, нильпотентна.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

8. — подгруппа примарного индекса конечной группы, то .

9. — группа порядка, где и — простые числа, и. Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда либогруппа, либо группа Шмидта, где — элементарная абелева, или группа кватернионов.

10. — группа порядка, где и — простые числа, и. Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа либогруппа, либо изоморфна и делит .

Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

D. класс замкнут относительно прямых произведений и разрешим. Если в конечной неразрешимой группе нет неединичных нормальныхподгрупп, то изоморфна одной из следующих групп: и — простое число или 9; или и .

1. конечная неразрешимая группа принадлежит, то, где, а и .

2. класс замкнут относительно прямых произведений, и — неразрешимая группа, принадлежащая. Если — минимальная нормальная в подгруппа, то либо, либо — простая неабелева группа, и, где .

3. класс разрешим и — простая неабелева группа из, то:

1), , и или — простое число;

2), и — простое число;

3), , ;

4), или, или соответственно.

В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая

1) — 2-группа;

3) .

Здесь — центр группы , — наибольшая нормальная в подгруппа нечетного порядка. Через обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.

1. - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы также принадлежит осуществляется проверкой.

Отметим, что знакопеременная группа, но не содержится в. Поэтому не является формацией и не является классом Фиттинга.

Через обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа называетсясвободной, если в ней нет подгрупп и таких, что нормальна в и изоморфна .

2., то ——свободна.

. Допустим противное, т. е. предположим, что существует секция, изоморфная. Тогда существует подгруппа индекса 2 в и изоморфна. Так как несверхразрешима, то — несверхразрешимая подгруппа четного в индекса. Противоречие. Лемма доказана.

Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы обозначается через .

3. и не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в элементарная абелева или типа .

Если не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта, см., с. 192. Так как несверхразрешима, то индекс в группе нечетен, и — силовская 2-подгруппа из. Из свойств подгрупп Шмидта следует, что элементарная абелева или типа .

4. — разрешимая группа и, то 2-длина группы не превосходит 1.

следует из леммы 3 и леммы 3.4 из .

5. — разрешимая группа и. Если и силовская 2-подгруппа из неабелева, то центр совпадает с центром .

Если G — 2-группа, то лемма справедлива.

Пусть не 2-группа. По лемме 4 подгруппа нормальна в. Через обозначимхолловскую подгруппу из. Так как имеет четный индекс, то сверхразрешима и. Теперь содержится в центре, а поскольку, то — 2-группа. Группа не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта. Поскольку не 2-нильпотентна, то индекс нечетен и — силовская 2-подгруппа из. Следовательно, содержится в и по лемме 2.2 получаем, что содержится в. Лемма доказана.

Пусть — разрешимая группа, и. Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа нормальна в и является элементарной абелевой подгруппой. Так как — не 2-группа, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта, где — силовская 2-подгруппа из. Подгруппа несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и силовская в. Из свойств групп Шмидта следует, что — минимальная нормальная в подгруппа порядка, и — показатель 2 по модулю, где делит. Поэтому — минимальная нормальная в подгруппа.

Централизатор содержит и нормален в, поэтому и. Значит самоцентрализуема.

Пусть — -холловская подгруппа в. Тогда — максимальная в подгруппа и совпадает со своим нормализатором. Предположим, что существует неединичный элемент в такой, что не содержится в. Так как и содержится в, то и. Пусть. Тогда, а по теореме Машке в существует подгруппа такая, что и допустима относительно, т. е.. Но индекс подгруппы четен поэтому эта подгруппа сверхразрешима и. Теперь централизует всю силовскую подгруппу, противоречие.

Следовательно, содержится в для всех неединичных элементов из и — группа Фробениуса с ядром, см., с. 630.

Пусть — произвольный нечетный делитель порядка группы, и пусть — -холловская подгруппа из. Так как самоцентрализуема, то не 2-нильпотентна и в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта. Поскольку не 2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и — элементарная абелева подгруппа порядка. Из свойств групп Шмидта следует, что — показатель 2 по модулю. Необходимость доказана.

Обратно, пусть — группа Фробениуса, ядро которой — минимальная нормальная в подгруппа порядка где — показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка. Пусть — произвольная подгруппа из. Тогда либо, либо, либо, либо — группа Фробениуса с ядром. Если, то индекс нечетен. Если или, то 2-нильпотентна. Пусть — группа Фробениуса и не содержится в. Поскольку не 2-нильпотентна, то в существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта, где — нормальная в силовская подгруппа порядка, а — циклическаяподгруппа. Так как — элементарная абелева, то из свойств группы Шмидта вытекает, что — показатель 2 по модулю, значит и, т. е.. Лемма доказана полностью.

Следствие. Пусть — разрешимая группа и. Тогда и только тогда, когда каждая подгруппа из четного индекса является 2-подгруппой или группой нечетного порядка.

1. Пусть — элементарная абелева группа порядка. В группе ее автоморфизмов существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа порядка см., с. 187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7. и — простая неабелева группа, то .

Если силовская 2-подгруппа в типа то по теореме из. Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу, где и. Если, то — несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно,. В силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам и .

Рассмотрим. Если не простое, то содержит подгруппу, , четного индекса, которая несверхразрешима. Значит, — простое. Несверхразрешимыми в являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через обозначим разрешимый радикал группы .

8. и, то .

Пусть — минимальная нормальная в подгруппа. Тогда. Если, то индекс в четен и должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому — простая подгруппа и изоморфна или. Теперь нечетен, и — подгруппа из .

Если, то, поэтому .

Пусть , — простое. Так как — циклическая группа порядка, то либо совпадает с, либо G совпадает с. Пусть и — подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм группы централизует, см., с. 317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе группы есть подгруппа индекса 2 в, допустимая относительно. Теперь — - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в и не принадлежит .

9. для .

Пусть — подгруппа четного индекса в группе, где, и пусть — центральная инволюция в. Если, то — подгруппа в четного индекса. Так как, то сверхразрешима, поэтому и сверхразрешима.

Пусть не принадлежит. Тогда. Допустим, что несверхразрешима. Так как — подгруппа из, то из доказательства леммы 7 следует, что изоморфна или. Но теперь силовская 2-подгруппа в элементарная абелева, противоречие.

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6−9. Докажем необходимость. Пусть вначале — разрешимая группа, и. Если — не 2-группа, то легко проверить, что и по лемме 6 группа из пункта 2 теоремы.

Пусть неразрешима. Если, то по лемме 8 теорема верна. Пусть. Если разрешима, то разрешима и группа, противоречие. Следовательно, подгруппа имеет четный индекс в группе. Так как сверхразрешима и, то — 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть — централизатор подгруппы в группе .

Для каждого нечетного простого подгруппа имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому для всех нечетных и индекс в группе четен или равен 1. Если, то в есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит, и содержится в центре .

Если, то — квазипростая группа и не изоморфна. Так как, то по лемме 8 группа изоморфна или. Теперь по теореме из, с. 646 группа изоморфна или .

Пусть — собственная в подгруппа. Тогда имеет нечетный индекс и. Так как — собственная в подгруппа, то из леммы 8 получаем, что изоморфна, a изоморфна. Противоречие. Теорема доказана полностью.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса

Задача С. Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С. С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А. В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

1) или, где — 5-группа;

2), где — 3-группа.

Далее, если, то

и делит. Если, то

группа Шмидта, и Q — элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь — наибольшая нормальная вподгруппа; - подгруппа Фиттинга группы; - циклическая группа порядка .

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа называетсязамкнутой, если в ней силовскаяподгруппа нормальна, инильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовскойподгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

2. — конечная группа и — простое число, делящее порядок. Если в нетзамкнутых подгрупп Шмидта, тонильпотентна.

Если — собственная подгруппа в группе, то удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппанильпотентна. Теперь группа либонильпотентна, либозамкнутая группа Шмидта (см., с. 192). Последнее исключается условием леммы.

3. — сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовскойподгруппой и циклической силовскойподгруппой, то .

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как — главный фактор, то

Определения дисперсивных групп см. в, с. 251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и — наименьшее простое число, делящее порядок. По лемме 3 в группе нетзамкнутых подгрупп Шмидта, поэтомунильпотентна по лемме 2. По индукции нормальноедополнение в дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть — недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа, которая является группой Шмидта. Так как бипримарна, а индекс в группе по условию леммы примарен, то группа либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка, где и — простые числа, и не делит, нильпотентна.

Пусть — рассматриваемая группа. Так как сверхразрешима и, то в имеется нормальная подгруппа порядка. Теперь изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы, которая является циклической порядка. Поскольку не делит, то силовскаяподгруппа из содержится в. Теперь лежит в центре. Факторгруппа нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и .

теоремы B. Пусть — конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта, где — нормальная силовская 2-подгруппа из; подгруппа — циклическая. Поскольку не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т. е., где — простое число. Теперь для силовскойподгруппы из и является холловской подгруппой в .

По теореме 2.1 подгруппа содержит нормальную в группе подгруппу такую, что факторгруппа изоморфна

В факторгруппе по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В и имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса, в связи с чем данная группа также исключается.

Пусть изоморфна. Группа допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно: (см., с.73). Поэтому — 5-группа, изоморфна и имеет порядок 5.

Предположим вначале, что — неабелева группа. Через обозначим центр. По индукции факторгруппа изоморфна

Где

Поскольку — собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь. Подгруппа характеристична в, a нормальна в. Поэтому нормальна в. Из простоты следует, что. Значит,, где. Л Пусть теперь — абелева группа. Так как подгруппа имеет индекс 20 в группе, то — сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому и, т. е. лежит в центре .

Если, то группа квазипроста, и или по, c.646. Но в этом случае. Значит, коммутант — собственная в подгруппа. По индукции

Так как

то. По свойству коммутантов. Следовательно,

Случай рассмотрен полностью.

Пусть изоморфна. Группа допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно:. Поэтому — 5-группа, изоморфна, и имеет порядок 5.

Предположим вначале, что — неабелева группа, и пусть — центр. По индукции фактор-группа изоморфна

Поскольку — собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа характеристична в, а подгруппа нормальна в, поэтому нормальна в. Кроме того,

Следовательно,, где .

Пусть теперь — абелева группа. Так как имеет индекс 40 в группе, то — сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому и нормальная в подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит, и лежит в центре. Теперь

и для инволюции подгруппа нормальна в. Следовательно,

и факторгруппа проста.

Если, то группа квазипроста, и по, с. 646. Но в этом случае .

Пусть коммутант — собственная в подгруппа. По индукции, где изоморфна или, а

Так как

то. По свойству коммутантов, значит,

Так как, то подгруппа изоморфна и не изоморфна .

Осталось рассмотреть случай. Группа допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно:. Поэтому — 3-группа, изоморфна и — циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что — неабелева группа. Через обозначим центр. По индукции факторгруппа изоморфна, где

Поскольку — собственная в подгруппа, то по индукции

Теперь

Подгруппа характеристична, в, а подгруппа нормальна в. Поэтому нормальна в. Из простоты следует, что. Следовательно,, где .

Пусть теперь — абелева группа. Так как подгруппа имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но, где — подгруппа порядка 7, а — 3-группа. Отсюда следует, что нильпотентна и абелева, а поэтому, т. е. лежит в центре .

Если, то группа квазипроста, и по, с. 646. В этом случае .

Значит, коммутант — собственная в подгруппа. По индукции

Где

Так как

По свойству коммутантов. Следовательно,

где .

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть — разрешимая группа порядка, где — различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из сверхразрешима. Предположим, чтонильпотентна. Тогда холловскаяподгруппа нормальна в. Если сверхразрешима, то дисперсивна. Если несверхразрешима, то все собственные подгруппы из имеют в группе непримарные индексы. Поэтому — минимальная несверхразрешимая группа. Теперь дисперсивна, поэтому дисперсивна и .

Если группа содержит нормальную силовскуюподгруппу, то, где — холловскаяподгруппа. Так как дисперсивна, то дисперсивна и. Противоречие.

Пусть теперь группа не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из не нормальна в. Предположим, что. Так как ненильпотентна, то в имеетсязамкнутая подгруппа Шмидта, где — некотораягруппа, и или. Из минимальности по лемме 3 получаем, что несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и, где — примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 подгруппу можно выбрать так, что — холловскаяподгруппа в группе. Если нормальна в, то — нормальная в холловская подгруппа. Так как-либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то — дисперсивна, поэтому дисперсивна и. Противоречие.

Следовательно, не нормальна в и подгруппа ненильпотентна. Так как дисперсивна, то нормальна в. По лемме 2 в группе имеетсязамкнутая подгруппа Шмидта. Но циклическая, поэтому — простое число и по лемме 3 подгруппа сверхразрешима и естьгруппа. Значит,, где — силовскаяподгруппа в, a — силовскаяподгруппа.

Рассмотрим подгруппу. Она дисперсивна. Если нормальна в, то дисперсивна. Противоречие. Значит, нормальна в .

Итак, в группе холловские подгруппы имеют строение: сверхразрешима с циклической силовскойподгруппой; с силовскойподгруппой шмидтовского типа; - подгруппа Шмидта.

В разрешимой группе имеется нормальная подгруппа простого индекса. Пусть. Если бипримарна или примарна, то дисперсивна. Пусть трипримарна. По индукции дисперсивна, а так как в нет нормальных силовских подгрупп, то .

Если и, то нильпотентна как подгруппа группы Шмидта и нормальна в. Если и, то

также нильпотентна, и нормальна в .

Итак, при в имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть. Если, то

нильпотентна и нормальна в. Пусть. Тогда

Теперь нормальна, в. Если, то и нормальна в. Если, то — собственная подгруппа в группе Шмидта. Поэтому нильпотентна, и

т.е. нормальна в. Противоречие.

Осталось рассмотреть случай. Так как нормальна в, и циклическая, то в имеется нормальная подгруппа порядка. Теперь — абелева группа порядка, делящего. и в случае в группе имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от. Но эта ситуация уже рассмотрена. Если, то к фактор-группе применима индукция, по которой дисперсивна. Так как — подгруппа из центра, то и вся группа дисперсивна.

Лемма 7 доказана полностью.

8. — подгруппа примарного индекса конечной группы, то .

Пусть — силовскаяподгруппа группы, содержащаяподгруппу. Так как, то. Теперь для любого элемента, где, , получаем

и — -группа.

Пусть не является силовской в подгруппой и — силовская вподгруппа. Тогда — подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в подгруппы. По условию сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и

т.е. и абелева. Итак, в силовскойподгруппе из все собственные подгруппы абелевы.

Так как ненильпотентна, то в ней имеетсязамкнутая подгруппа Шмидта. Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если, то силовскаяподгруппа в циклическая, а так как, то нормальна в. Противоречие.

Следовательно,

По лемме 8 подгруппа максимальна в .

Если — абелева, то — элементарная абелева группа порядка и — показатель числа по модулю .

Пусть — неабелева группа. Так как сопряжена, то все собственные в подгруппы абелевы, т. е. — группа Миллера-Морено. Если — неабелева группа, порядка и экспоненты, то из свойств групп Шмидта следует, что делит. Так как, то,. Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно, — группа кватернионов порядка 8 и .

Факторгруппа — q-замкнута по лемме 3.2, поэтому в каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку, то из следует, что имеет простой порядок, а так как не входит в, то

есть группа Шмидта.

Так как, то группа ненильпотентна, поэтому в ней существуетзамкнутая подгруппа Шмидта. По лемме 3 подгруппа несверхразрешима, а по условию леммы ее индекс примарен.

Если, то — силовскаяподгруппа группы, и нормальна в по лемме 3.2. Поэтому и — -группа.

Пусть. Тогда — циклическая силовскаяподгруппа группы. Будем считать, что незамкнута, т. е. не является силовской в подгруппой. Для максимальной в подгруппы индекс подгруппы, бипримарен, поэтому сверхразрешима. Так как, то нормальна в и

Таким образом, и группа порядка, .

Теперь факторгруппа обладает нормальной силовскойподгруппой порядка. Итак,, где — силовскаяподгруппа в. Так как нормальна в, а в нет неединичных нормальныхподгрупп, то и изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы порядка. Поэтому — циклическая группа порядка и делит .

теоремы C. Пусть — разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По леммам 5 и 8 группа бипримарна. Пусть, где и — простые числа и. Если — примарная группа, то из лемм 9 и 10 следует, что — дисперсивная группа порядка .

Пусть — бипримарная группа. Так как группа ненильпотентна, то в существуетзамкнутая подгруппа Шмидта. Поскольку, то подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому имеет в примарный индекс. Если, то — циклическая силовскаяподгруппа группы, и группа имеет единичнуюдлину. Поэтомузамкнута, а значитзамкнута и. Для максимальной подгруппы из подгруппа имеет в непримарный индекс, поэтому сверхразрешима, а поскольку, то нормальна в

Иззамкнутости следует, что нормальна в, поскольку — циклическая подгруппа, то нормальна в. Так как не нормальна в, то, и имеет порядок .

Пусть теперь. Тогда — силовскаяподгруппа группы, и группа имеет единичнуюдлину по лемме 3.2. Поэтомузамкнута, а по лемме 8 максимальная подгруппа из содержится в. Так как, то по свойствам групп Шмидта

Первое исключается тем, что недисперсивна. Теперь — -замкнутая группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть. Так как в имеется группа Шмидта, то ненильпотентна, и не является силовской в. Значит, подгруппа имеет в непримарный индекс, и по условию теоремы сверхразрешима. Так как нормальна в, то нормальна в, поэтому содержится в. Следовательно, и в. Теперь из следует, что силовскаяподгруппа в имеет простой порядок.

Итак, в любом случае — дисперсивная группа порядка. Последние два утверждения теоремы 2 вытекают из лемм 9 и 10.

Теорема доказана.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса

Пусть — некоторый класс конечных групп. Через обозначается совокупность минимальных негрупп, а через — множество всех тех конечных групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит. Ясно, что наследственный класс и. В настоящей заметке доказывается следующая

Формации и нильпотентных и сверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс разрешим, а для класса теоремы получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы .

Все обозначения и определения общепринятые, их можно найти в .

1. конечная неразрешимая группа принадлежит, то, где, а и .

Если, то в качестве подгруппы можно выбрать всю группу, а подгруппа будет единичной. Пусть и пусть — собственная в подгруппа, которая является минимальной негруппой. По условию , — простое число. Теперь для силовскойподгруппы из получаем, что. Из неразрешимости следует, что непримарна и .

Пусть минимальная нормальная в подгруппа не принадлежит. Так как, то индекс , — простое число. Теперь неразрешима и является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп: Поскольку замкнут относительно прямых произведений, то не принадлежит и индекс в группе должен быть примарным. Поэтому — простая неабелева группа.

Централизатор нормален в и. Поэтому, а так как индекс непримарен, то .

3. класс разрешим и — простая неабелева группа из, то:

1), , и или — простое число;

2), и — простое число;

3), , ;

4), или, или соответственно.

Здесь и — подгруппы, зафиксированные в лемме 1., , — циклическая, элементарная абелева, диэдральная группы порядка , — симметрическая груша степени 4.

По лемме 1 простая группа, где, а. Опираясь на классификацию конечных простых групп, Гуральник перечислил все простые группы с подгруппой примарного индекса. Учитывая разрешимость подгруппы из этого списка, получаем утверждение нашей леммы.

Теоремы D. Пусть — минимальная нормальная в подгруппа. По лемме 2 подгруппа простая, и

Так как не принадлежит, то существует подгруппа,. Теперь, где, и. Так как разрешима, то по лемме 3 подгруппа изоморфна одной из четырех серий групп.

Пусть и простое число или 9. Предположим, что — собственная в подгруппа. Так как — циклическая группа порядка, то делит. Кроме того, индекс в должен быть примарным, а поскольку

то при простое число должно делить, что невозможно. Для числа и взаимно просты. При группа удовлетворяет условию теоремы. Следовательно, если, то либо, либо, a .

Пусть и — простое число, где. Так как, то индекс в равен и или .

Пусть, где. Поскольку, то подгруппа имеет в непримарный индекс. Поэтому в этом случае .

Поскольку случай рассмотрен при, где, то теорема доказана полностью.

Заключение

В данной курсовой работе изучены три темы:

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса.

Подробно рассмотрены теоремы и леммы, а также их доказательства.

1. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 272 С.

2. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев 1993.С. 195−209.

3. Мазуров В. Д., Сыскин С. А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами. // Матем. заметки. — 1973. — Т.14, N 2. — С.217−222.

4. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких и нильпотентных. // В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника. — 1975. — С.70−100.

5. Старостин А. И. О группах Фробениуса. // Украинский матем. ж. — 1971. — Т.23, N 5. — С.629−639.

6. Huppert В. Endliche Gruppen I. — Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967. — 793 P.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы.

Введение

в их классификацию. — М.: Мир,-1985. — 352 С.

8. Левищенко С. С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // Некоторые вопросы теории групп. — Киев, 1975. — С.173−196.

9. Сидоров А. В. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов // Вопросы алгебры. — Минск. — 19S7. — Вып.3. — С.48−56.

10. Huppert B. Endliche Gruppen.I. — Berlin: Springer, 19 (37. — 795 S.

11. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. — М.: Наука, 1978. — 267 с.

12. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы. — Минск: Наука и техника, 1975. — С.70−100.

13. Левищенко С. С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // В кн.: Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. — С. 197−217.

14. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев. 1993. — С. 195−209.

15. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978, 272 с.

16. Guralnick R. Subgroups of prime power index in a simple group. J. Algebra. 1983. — Vol.81. — P.304−311.

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой