Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Алгоритмы статистического моделирования решений уравнений эллиптического и параболического типа

Диссертация: Алгоритмы статистического моделирования решений уравнений эллиптического и параболического типа
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Третья глава посвящена применению построенных методов статистического моделирования к решению модельных и прикладных задач. В первом параграфе даны результаты вычислений, полученные на основе использования алгоритмов метода Монте-Карло для определения диффузионно обусловленной константы реакции. Далее приведены результаты численных экспериментов по решению задач с граничными условиями… Читать ещё >

Алгоритмы статистического моделирования решений уравнений эллиптического и параболического типа (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Алгоритмы статистического моделирования для решения уравнений эллиптического типа
    • 1. 1. Случайные блуждания внутри области и моделирование марковских цепей
      • 1. 1. 1. Формула Грина и алгоритм блуждания по сферам
      • 1. 1. 2. Оценки метода Монте-Карло для итераций интегральных операторов
    • 1. 2. Эффективные алгоритмы моделирования точки выхода броуновского случайного процесса на границу
    • 1. 3. Методы Монте-Карло на основе моделирования блуждания по сферам в применении к задаче Неймана и смешанной краевой задаче
      • 1. 3. 1. Введение и постановка задачи
      • 1. 3. 2. Соотношение о среднем для граничной точки
      • 1. 3. 3. Решение интегрального уравнения во всей области и алгоритм блуждания по сферам
      • 1. 3. 4. Построение оценки решения.37,
    • 1. 4. Алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения задачи с условиями непрерывности
      • 1. 4. 1. Постановка задачи
      • 1. 4. 2. Интегральное представление решения в граничной точке
      • 1. 4. 3. Алгоритм построения оценки
      • 1. 4. 4. Другие краевые задачи
    • 1. 5. Методы Монте-Карло, основанные на теории потенциала, в применении к решению эллиптических уравнений
      • 1. 5. 1. Марковские цепи блуждания по границе и оценки для решений краевых задач
      • 1. 5. 2. Методы Монте-Карло для решения задач с условиями непрерывности
      • 1. 5. 3. Алгоритмы случайного блуждания по границе для линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана
      • 1. 5. 4. Применение алгоритма случайного блуждания по границе к решению задачи с условиями непрерывности для уравнения Пуассона-Больцмана
  • 2. Алгоритмы статистического моделирования для решения уравнений параболического типа
    • 2. 1. Методы Монте-Карло для решения параболических уравнений
      • 2. 1. 1. Интегральная формулировка задачи
      • 2. 1. 2. Построение оценки для решения задачи Коши
      • 2. 1. 3. Оценка решения краевой задачи
    • 2. 2. Алгоритмы случайного блуждания для решения уравнения конвекции-диффузии
      • 2. 2. 1. Уравнение конвекции-диффузии pi краевая задача
      • 2. 2. 2. Интегральное уравнение для решения задачи Коши
      • 2. 2. 3. Оценка решения задачи Коши
      • 2. 2. 4. Первая краевая задача
      • 2. 2. 5. Оценка решения краевой задачи
    • 2. 3. Алгоритмы статистического моделирования для решения системы параболических уравнений
      • 2. 3. 1. Сопряжённая оценка для вектора решения
      • 2. 3. 2. Прямая оценка
    • 2. 4. Методы Монте-Карло для параболических уравнений с граничной функцией, зависящей от решения
      • 2. 4. 1. Краевая задача и интегральное уравнение для плотности потенциала
      • 2. 4. 2. Алгоритм построения оценки.118'
    • 2. 5. Метод Монте-Карло для решения двумерных уравнений пограничного слоя
      • 2. 5. 1. Построение системы интегральных уравнений
      • 2. 5. 2. Итерационный метод и его сходимость.134'
      • 2. 5. 3. Алгоритм метода Монте-Карло и построение оценки
    • 2. 6. Решение параболических уравнений со случайными параметрами
      • 2. 6. 1. Алгоритмы статистического моделирования для решения параболических уравнений со случайными начальными данными и правой частью
      • 2. 6. 2. Методы Монте-Карло для решения параболического уравнения со случайным коэффициентом
      • 2. 6. 3. Стохастическая задача Коши и вероятностное представление
      • 2. 6. 4. Интегральное представление решения
      • 2. 6. 5. Оценки метода Монте-Карло
    • 2. 7. Метод Монте-Карло для решения уравнения Шрёдингера на основе преобразования Хопфа-Коула
  • 3. Применение разработанных методов к решению модельных и прикладных задач
    • 3. 1. Применение методов Монте-Карло для вычисления физических свойств макромолекул
      • 3. 1. 1. Вычисление диффузионно-обусловленной константы реакции
      • 3. 1. 2. Результаты вычислительных экспериментов
    • 3. 2. Вычислительные эксперименты по решению задач с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную решения
      • 3. 2. 1. Результаты тестовых расчётов по применению блуждания по сферам для решения задачи Неймана и смешанной краевой задачи
    • 3. 3. Численные статистические модели для решения уравнения Пуассона-Больцмана и для вычисления свободной электростатической энергии макромолекул в растворе
      • 3. 3. 1. Внутренняя энергия молекулы
      • 3. 3. 2. Оценка зависимости от концентрации соли
      • 3. 3. 3. Вычислительные эксперименты по определению зависимости от концентрации соли
    • 3. 4. Комплекс программ для решения задач молекулярной электростатики
    • 3. 5. Вычисление электрической ёмкости с использованием алгоритма случайного блуждания по границе
      • 3. 5. 1. Поверхностный потенциал и эргодическая теорема
      • 3. 5. 2. Оценка метода Монте-Карло для электрической ёмкости
      • 3. 5. 3. Вычисление распределения заряда на поверхности
      • 3. 5. 4. Результаты вычислений для единичного куба
    • 3. 6. Алгоритмы статистического моделирования для определения эффективных свойств пористых сред
      • 3. 6. 1. Аналитические формулы для проницаемости
      • 3. 6. 2. Глубина проникновения и прямые вычисления проницаемости
      • 3. 6. 3. Методы Монте-Карло для вычисления проницаемости
      • 3. 6. 4. Калибровка алгоритма
      • 3. 6. 5. Результаты численных экспериментов
    • 3. 7. Решение уравнения конвекции-диффузии
    • 3. 8. Решение системы линеаризованных уравнений
  • Навье-Стокса
    • 3. 9. Решение параболических уравнений со случайными параметрами
  • 4. Дополнение
    • 4. 1. Рандомизированные итерационные методы решения интегральных уравнений Эйлера
      • 4. 1. 1. Постановка задачи
      • 4. 1. 2. Численные методы решения
      • 4. 1. 3. Результаты вычислительных экспериментов

Статистическое моделирование (метод Монте-Карло) как инструмент научного исследования возникло фактически одновременно с зарождением теории вероятностей и использовалось вначале для получения случайных чисел непосредственно из опыта. Стохастичность результатов физических экспериментов с игральными костями, монетами и другими объектами позволяли высказать предположение о случайности изучаемых процессов, а наблюдаемая устойчивость некоторых усреднённых величин давала возможность исследовать статистические свойства полученных результатов и законы, которым подчиняется их поведение. Использование подобного подхода, основанного на непосредственном физическом эксперименте, позволило впоследствии перейти к применению алгоритмов статистического моделирования для решения задач, которые, на первый взгляд, не поддаются вероятностной интерпретации, таких, например, как вычисление числа 7 г [163].

Сильным стимулом к развитию алгоритмов статистического моделирования в современном их виде послужило появление вычислительных машин и возникшая в сороковых годах двадцатого века насущная необходимость решать задачи ядерной физики [272, 204]. Успех в применении методов Монте-Карло к решению этих задач обусловлен был тем, что, во-первых, вероятностная модель достаточно точно описывает взаимодействие излучения с веществом, а во-вторых, компьютерная реализация этой модели приводит к эффективным вычислительным алгоритмам, которые даже на маломощной технике первого поколения позволяли получать необходимые результаты за разумное время. Таким образом, в этом случае одновременно были выполнены два необходимых для практического применения численного метода условия.

Как известно, физические процессы переноса излучения через вещество могут быть описаны в рамках не только вероятностной, но также и других моделей. В частности, на макроуровне используется уравнение переноса, которое может быть записано в дифференциальной, в интегро-дифференциальной либо в интегральной форме.

Подобная ситуация, когда для описания какого-либо феномена применяются различные модели, отличающихся друг от друга масштабами, степенью детализации и, как следствие, используемым математическим аппаратом, является скорее правилом, чем исключением. Естественным требованием, обеспечивающим научную обоснованность и состоятельность моделей в практическом их применении, является Pix согласование. Условие это необходимо должно выполняться также и в отношении вычислительных алгоритмов, создаваемых для решения задач в рамках различных моделей. Таким образом, естественно рассматривать всю совокупность вычислительных методов, как единый набор инструментов для численного исследования различных сторон изучаемого объекта.

В данной работе мы рассматриваем такие природные явления, которые на макроуровне описываются дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического и параболического типа. Одним из таких явлений является, в частности, процесс диффузии. Существуют различные теоретические подходы к изучению этого феномена, и его, как известно, можно описать не только в терминах уравнений в частных производных, но и в рамках теории случайных процессов. Условия согласования в данном случае состоят в том, что макропараметр, удовлетворяющий дифференциальному уравнению, представляется в виде некоторого функционала от случайного процесса. Такие соотношения принято называть вероятностными представлениями.

Заметим, что как дифференциальные уравнения являются следствием некоторых интегральных соотношений (законов сохранения), так и сами макропараметры, удовлетворяющие этим уравнениям, тоже получаются как результат осреднения (интегрирования). Вероятностные представления являются, по сути, тоже интегральными, только интегрирование в них происходит в более сложном пространстве и по более сложной мере. Установление связи между детерминированным и вероятностным подходами к рассмотрению физического процесса диффузии относится ещё к концу девятнадцатогоначалу двадцатого века [224, 105, 140, 218]. Строгая математическая формулировка соотношений между решением дифференциального уравнения и диффузионным (в математическом смысле) процессом стала возможна после внедрения аксиоматического подхода в теорию вероятностей и случайных процессов [276, 277, 278, 190, 29]. Построено множество разнообразных вероятностных представлений [182, 183, 11, 181, 5, 153, 91] в виде континуальных интегралов. Эти представления, в принципе, позволяют получать решения краевых задач для эллиптических и параболических уравнений. К сожалению, методы вычисления таких интегралов весьма трудоёмки и малопригодны для рутинных расчётов [98, 16, 70, 65, 64]. Более продуктивным оказалось применение численных методов, основанных, по сути, на прямом моделировании диффузионных процессов, например, с использованием методов численного решения стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 102, 189, 210, 262, 211]. Метод этот универсален, позволяет решать уравнения с переменными коэффициентами, учитывать влияние различных физических полей, включаемых в модель, и т. д. Аналогичный подход применим и к решению более сложных задач, таких, например, как задача о распространении примеси в стохастических полях скоростей, задача об эффективности захвата аэрозолей [28, 7, 67, 92], различные задачи финансовой математики [177, 158] и т. д. Следует отметить, что при решении задач со случайными параметрами, если нет возможности переформулировать эти задачи соответствующим образом, вычисление случайного решения, его моментов и других вероятностных характеристик наиболее эффективно проводится именно с использованием алгоритмов статистического моделирования.

Близким по духу и сути к методам, использующим вероятностные представления, является простой и естественный подход, основанный на рандомизации конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений. Подход этот восходит к исследованиям начала двадцатого века, а его изложение и результаты применения к построению функции Грина приведены в-[38, 129]. Кажущаяся простота алгоритма, возможность использовать унифицированный подход к решению задач с различными краевыми условиями, вычислять решение одновременно во всех узлах сетки, а также другие положительные свойства метода по-прежнему побуждают исследователей к его использованию [147, 168, 148, 169, 20, 54, 58]. Основная проблема в применении случайного блуждания по решётке заключается в том, что такой алгоритм не только наследует все те трудности, с которыми сталкиваются детерминированные методы конечных разностей, но и добавляет к ним специфические для методов Монте-Карло особенности, в первую очередь — статистическую скорость уменьшения ошибки при увеличении объёма выборки.

Как показала практика, наиболее эффективными с вычислительной точки оказались алгоритмы статистического моделирования, основанные на переформулировке задачи, поставленной для дифференциального уравнения, и переходе к решению интегрального уравнения. По сути, именно такой подход лежал в основе методов Монте-Карло, разработанных для решения задач атомной физики. Впоследствии алгоритмы статистического моделирования переноса излучения продолжали развиваться, расширялся спектр задач, к решению которых они применялись. К настоящему времени именно методы Монте-Карло являются основным инструментом исследования и решения практических задач теории переноса [120, 44, 19, 196, 96, 97, 30]. В процессе решения этих задач были выработаны основные принципы построения монте-карловских оценок для итераций линейных операторов и для решения интегрального уравнения [132]. В дальнейшем теория методов статистического моделирования, основанная на естественной связи между интегральными операторами и марковскими цепями, интенсивно разрабатывалась [90, 21, 22, 47, 207, 50, 95, 23], что, в частности, создало возможность использовать её результаты для построения эффективных оценок метода Монте-Карло для решения параболических и эллиптических уравнений.

Существуют различные приёмы перехода от эллиптического или парабо-лическиого уравнения к формулировке задачи в виде интегрального уравнения второго рода, на основе которого затем могут быть выведены оценки метода Монте-Карло. С этой целью используются фундаментальные решения оператора дифференциального уравнения и различные функции, построенные на их основе (функция Грина, параметрикс, функция Леви и др.). Использование этих функций в сочетании с интегральными формулами Грина лежало в основании исходного конструктивного определения случайного блуждания по сферам [212, 115]. Следует, заметить, однако, что все построения полагались исключительно на интерпретации этих формул в духе теории случайных процессов и вероятностных представлений [182, 183]. Позднее было показано, что интерпретация используемых формул как интегральных уравнений с обобщённым ядром позволяет использовать разработанную теорию построения оценок для итераций интегрального оператора и строить алгоритмы статистического моделирования. Такой подход оказался весьма продуктивным и вплоть до настоящего времени используется в целях конструирования методов Монте-Карло для решения различных эллиптических, параболических уравнений и их систем [17, 18, 21, 22, 67, 48, 24, 209, 50, 52, 51, 117, 53, 4, 116, 3].

Возможен PI другой путь перехода к интегральной формулировке задачи, который также использует информацию о фундаментальных решениях дифференциального оператора. Этот подход основан на применении теории потенциала и приводит к интегральным уравнениям, которым удовлетворяет как плотность потенциала, так и само решение. Идея об использовании такого подхода для построения методов Монте-Карло высказана в [66], а подробно они изложены в [42, 234] (см. также [22]). Во многих случаях ряд Неймана для получающегося интегрального уравнения не является сходящимся. Такая специфика привела к необходимости использовать различные приёмы преобразования ряда, позволяющие как строить оценки решения, так и повышать эффективность алгоритмов за счёт ускорения сходимости [233].

Как показывает практика, возрождение интереса к применению алгоритмов статистического моделирования для вычисления свойств объектов, описываемых параболическими и эллиптическими уравнениями, вызвано необходимостью решать всё более сложные задачи, такие, например, как задача определения макроскопических свойств неупорядоченных сред и тел со сложной геометрической структурой. Как известно, для многих сложных явлений применение вероятностной модели и её непосредственная компьютерная реализация является, по сути, единственно возможным подходом, позволяющим применять численные методы для их исследования. Среди прочих следует упомянуть задачи статистической физики, задачи вычислительной генетики, и вообще задачи моделирования и оптимизации сложных систем [164, 232]. Заметим при этом, что сложность задач может возрастать за счёт изменения всего лишь одного параметра, и, в частности, хорошо известно [20, 21, 131], что при решении систем алгебраических уравнений существует такое пороговое значение размерности, после которого применение метода Монте-Карло становится заведомо более эффективным. Похожая ситуация возникает и как следствие усложнения геометрии расчётной области в приложениях, например, к задачам компьютерной графики, а также, как уже отмечено, в задачах вычисления макроскопических свойств среды и отдельно взятых молекул.

Возвращение к широкому использованию метода Монте-Карло, происходящее в последние годы, обусловлено, в частности, тем, что исследователи стали лучше осознавать, где этот метод эффективен в применении [164]. Кроме того, количество таких задач увеличивается, в частности, потому, что стали применяться более эффективные алгоритмы, а также потому, что практические задачи требуют усложнения модели, её детализации и делают неэффективными традиционные вычислительные методы. Нельзя забывать и про такое неотъемлемое преимущество алгоритмов статистического моделирования, как возможность естественного распараллеливания вычислений, позволяющего наиболее продуктивно использовать постоянно растущие возможности современных компьютеров.

Кроме свойства имманентной параллельности, как уже неоднократно отмечалось (см. например, [22, 67, 20]) методы Монте-Карло обладают и другими привлекательными свойствами. В применении к алгоритмам решения задач, связанных с уравнениями эллиптического и параболического типа, необходимо отметить, в первую очередь, возможность учёта сложных геометрических деталей, оценивания отдельных функционалов и точечных значений без нахождения всего поля решения, а также статистический характер сходимости. Скорость этой сходимости относительно мала, но, в тоже время, позволяет получать достоверные апостериорные оценки погрешности вычисляемого результата.

Подводя итог приведённым выше рассуждениям, сформулируем тему диссертации.

Основными целями данной работы являются

• Построение и обоснование новых алгоритмов статистического моделирования решений задач, описываемых уравнениями эллиптического и параболического типа

• Эффективная компьютерная реализация построенных вычислительных методов

• Применение разработанного программного обеспечения к решению практических задач

В первой главе мы рассматриваем алгоритмы статистического моделирования для решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями эллиптического типа. Вначале даётся общая схема построения алгоритмов, основанных на интегральной формуле Грина и её связи с вероятностным представлением. Определяется марковская цепь блуждания по сферам и её свойства. В параграфе 1.2 описываются эффективные методы моделирования распределения точек выхода винеровского процесса на границу области, основанные на случайном блуждании в подобластях, доказываются свойства построенных с использованием такого алгоритма оценок. В параграфе 1.3 описано построение алгоритма блуждания по сферам для решения задачи Неймана и смешанной краевой задачи. Выводится интегральная формула среднего для значения решения на границе области. Эффективные методы статистического моделирования строятся на основе рандомизации этой формулы. В параграфе 1.4 соотношение о среднем обобщается для значения решения в точке, находящейся на границе раздела областей с различающимися свойствами. Решения различных эллиптических уравнений согласованы друг с другом через условия непрерывности. Строится алгоритм метода Монте-Карло, позволяющий решать поставленную краевую задачу в любой точке пространства и вычислять значения линейных функционалов. В параграфе 1.5 описываются алгоритмы случайного блуждания по границе для решения эллиптических уравнений. Вначале даётся описание общего подхода к построению оценок для решений интегральных уравнений теории потенциала для уравнения Лапласа. В силу того, что в случае задач Неймана и Дирихле ряд Неймана для этих уравнений не сходится, используется метод вычисления решения, основанный на аналитическом продолжении резольвенты. Далее аналогичный подход используется и для построения оценки метода Монте-Карло в случае задачи нахождения решения во всём пространстве с условиями непрерывности, заданными на границе раздела областей с разными коэффициентами диэлектрической проницаемости. Далее строятся алгоритмы случайного блуждания по границе для решения краевых задач для линеаризованного уравнения Пуассона-Больцмана. Вначале рассматриваются задачи Дирихле и Неймана, а затем, на основе специально подобранного представления строится алгоритм, совмещающий случайные блуждания по границе и по сферам внутри области, который позволяет построить оценку решения задачи с условиями непрерывности.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [73, 74, 75, 69, 76, 78, 77, 79, 42, 234, 199, 200, 186, 202, 201, 254, 185, 255, 151, 240, 187, 85, 86, 252, 253, 256]

Вторая глава посвящена разработке и обоснованию алгоритмов статистического моделирования для решений уравнений параболического типа. В первом параграфе рассматривается уравнение общего вида, для решения которого выписывается интегральное представление в виде суммы тепловых потенциалов, ядрами которых является фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Далее показано, что решение и его производные по пространственным переменным удовлетворяют системе интегральных уравнений Вольтерра, что позволяет построить несмещённую оценку метода Монте-Карло для самого решения задачи Коши и его производных. Рассматриваются различные виды оценок: скалярные и векторные, прямая и сопряжённая, локально-векторная. Добавление поверхностных тепловых потенциалов расширяет систему интегральных уравнений, рандомизация которой определяет ветвящуюся марковскую цепь с фазовым пространством, включающим в себя как внутреннюю часть области решения, так и её боковую цилиндрическую поверхность. Использование этой цепи позволяет построить несмещённую оценку решения начально-краевой задачи типа Дирихле. В параграфе 2.2 рассматривается уравнение конвекции-диффузии, выписывается интегральное уравнение Вольтерра, которому удовлетворяет его решение. Строится марковская цепь, согласованная с интегральным уравнением, и определяется оценка решения задачи Коши. Доказывается её несмещённость и конечность дисперсии. По аналогии с предыдущим параграфом на основе моделирования ветвящейся марковской цепи строится оценка метода Монте-Карло для решения первой краевой задачи. Доказывается конечность среднего числа точек цепи и свойства оценки. В параграфе 2.3 линеаризованное уравнение Навье-Стокса рассматривается как система уравнений параболического типа. Использование тепловых потенциалов позволяет выписать систему линейных интегральных уравнений для вектора завихренности. Показано, что при решении задачи Коши ряд Неймана для этой системы сходится. Это позволило построить векторные оценки статистического моделирования для завихренности, удовлетворяющей линеаризованному уравнению Навье-Стокса. В параграфе 2.4 рассматривается первая краевая задача для параболического уравнения, в которой граничная функция зависит от решения внутри области. На основе применения тепловых потенциалов выписываются интегральные уравнения для решения и для плотности поверхностного теплового потенциала. Показана сходимость ряда Неймана, построена оценка решения задачи, показана её несмещённость и конечность её дисперсии. В параграфе 2.5 рассматривается двумерное уравнение Прандтля для завихренности, построено интегральное уравнение, которому удовлетворяет эта функция. Для решения этого уравнения определяется итерационный алгоритм и доказывается его сходимость. На основе рандомизации итерационного процесса построена ветвящаяся марковская цепь и конструктивно определена монте-карловская оценка решения. Параграф 2.6 посвящён рассмотрению задачи Коши для параболического уравнения со случайными параметрами: коэффициенте при линейном члене, правой части и начальными данными. Вначале рассматривается задача со случайными данными. Выписываются интегральные уравнения для решения и для его вторых моментов. Показана сходимость ряда Неймана, определены оценки статистического моделирования и доказаны их свойства. Далее получено интегральное уравнение, которому удовлетворяет решение уравнения со случайным коэффициентом. Определены условия, которым должны удовлетворять случайные параметры для обеспечения сходимости ряда Неймана в различных вероятностных смыслах. Построена оценка решения и доказаны её вероятностные свойства. В параграфе 2.7 описывается алгоритм решения уравнения Шрёдингера, основанный на преобразовании-Хопфа-Коула, переходе к нелинейному уравнению и стохастическом моделировании системы взаимодействующих частиц. Построенный метод Монте-Карло позволяет вычислять собственную функцию и собственное значение дифференциального оператора.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [80, 241, 242, 244, 243, 81, 82, 245, 83, 246, 247, 248, 84, 249, 250, 251]

Третья глава посвящена применению построенных методов статистического моделирования к решению модельных и прикладных задач. В первом параграфе даны результаты вычислений, полученные на основе использования алгоритмов метода Монте-Карло для определения диффузионно обусловленной константы реакции. Далее приведены результаты численных экспериментов по решению задач с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную решения. Прояснены свойства построенных методов. В параграфе 3.3 рассмотрено применение разработанных алгоритмов случайного блуждания к решению задач молекулярной биофизики. Показана эффективность методов статистического моделирования к определению зависимости свойств макромолекул от концентрации солей. Приведены результаты вычислений значений потенциала и свободной электростатической энергии для пептидов, помещённых в солевой водный раствор. В параграфе 3.4 описан комплекс программ, построенный с использованием разработанных алгоритмов и применяющийся для решения задач молекулярной биофизики. В параграфе 3.5 описывается применение методов Монте-Карло к вычислению электростатической ёмкости. Параграф З. б посвящён использованию алгоритмов случайного блуждания для вычисления эффективного коэффициента проницаемости пористой среды со случайными параметрами. С помощью численных экспериментов выявлены условия проявления логнор-мального распределения этого коэффициента. В последующих параграфах даны результаты вычислительных экспериментов по выяснению эффективности алгоритмов, построенных для решения уравнения конвекции-диффузии, системы линеаризованных уравнений Навье-Стокса и параболических уравнения со случайными параметрами.

Результаты главы 3 опубликованы в работах [60, 81, 246, 84, 249, 250, 199,. 186, 202, 201, 254, 185, 240, 187, 86, 256, 273]

В главе 4 приведены результаты исследований, близких к теме диссертации, но выпадающих из общей логики изложения. Описано построение алгоритма метода Монте-Карло и на модельных пррмерах показана возможность его применения к решегопо уравнений газовой динамики (Эйлера). Результаты главы 4 опубликованы в работе [175].

Настоящая работа выполнена в учреждении Российской академии наук, Институте вычислительной математики и математической геофизики (Вычислительном центре) Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск (ИВМ и МГ СО РАН).

Изложенные в ней результаты были представлены и докладывались на следующих конференциях.

VII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1985; Всесоюзная конференция 'Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики', Новосибирск, 1987; Третья республиканская конференция 'Интегральные уравнения в прикладном моделировании', Одесса, 1989; Актуальные проблемы статистического моделирования и его приложения, Ташкент, 1989; VIII всесоюзная конференция 'Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике', Новосибирск, 1991; Международная конференция АМСА-95, Новосибирск, 1995; Математические модели и численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1996; The 2nd St. Petersburg

Workshop on simulation, St. Petersburg, 1996; GAMM Annual Meeting, Regensburg, Germany, 1997; First IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Brussels, Belgium, 1997; 15th IMACS World Congress, Berlin, Germany, 1997; Munchener Stochastik-Tage, Munich, Germany, 1998; SibINPRIM-98, Новосибирск, 1998; The 3rd St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg, 1998; SiblNPRIM-2000, Новосибирск, 2000; Algorithms and Complexity for Continuous Problems, Schloss Dagstuhl, Wadern, Germany, 2000; The 4th St. Petersburg Workshop on Simulation, St. Petersburg, 2001; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2002, Новосибирск, 2002; The International Conference on Computational Science ICCS-2003, St. Petersburg, Russia, 2003; 4th International Conference on 'Large Scale Scientific Computations', Sozopol, Bulgaria, 2003; IVth IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Berlin, Germany, 2003; AMS 2004 Spring Southeastern Section Meeting, Tallahassee, USA, 2004; NATO Advanced Research Workshop: Advances in Air Pollution Modelling for Environmental Security, Borovetz, Bulgaria, 2004; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2004, Новосибирск, 2004; SIAM Conference on Computational Science and Engineering, Orlando, USA, 2005; The 5th IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Tallahassee, USA, 2005; The International Conference on Computational Science ICCS-2005, Atlanta, USA, 2005; 5th International Conference on 'Large Scale Scientific Computations', Sozopol, Bulgaria, 2005; 17th IMACS World Congress, Paris, France, 2005; 7th International Conference on Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods in Scientific Computing, Ulm, Germany, 2006; 6th Conference on Numerical Mathematics and Applications, Borovets, Bulgaria, 2006; Workshop on Quantitative Computational Biophysics, Tallahassee, USA, 2007; Всероссийская конференция по вычислительной математике ICCM-2007, Новосибирск, 2007; The 6th IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, Reading, UK, 2007; Международная конференция 'Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений', посвященная 100-летию со дня рожденрш C.JI. Соболева, Новосибирск, 2008.

Результаты диссертации были представлены на семинаре кафедры статистического моделирования математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета под руководством профессора С. М. Ермакова.

Результаты регулярно, начиная с 1979 pi вплоть до последнего времени, докладывались и обсуждались на семинарах отдела статистического моделирования в физике (СМФ) ИВМ и МГ СО РАН.

Выражаю благодарность pi признательность основателю новосибрфской школы методов Монте-Карло pi многолетнему руководителю отдела СМФ члену-корреспонденту Российской Академии наук Г. А. Михайлову, моему научному руководителю профессору К. К. Сабельфельду, а также всем сотрудникам отдела за поддержку и создание творческой атмосферы.

Большое спасибо руководителям Российского научного центра компании Бейкер Хьюз профессорам Л. А. Табаровскому и С. В. Егереву за поддержку моего стремления завершить работу над диссертацией.

Заключение

Сформулируем основные результаты.

1. Впервые построен класс эффективных алгоритмов статистического моделирования функций, удовлетворяющих уравнению эллиптического типа и граничным условиям, включающими в себя нормальную производную. Разработанные численные методы позволяют достоверно оценивать погрешность построенного решения

2. Разработаны новые алгоритмы статистического моделирования для решений уравнений параболического типа, в том числе и со случайными параметрами

3. На основе эффективной компьютерной реализации разработанных вычислительных методов создан комплекс программ для решения диффузионных и электростатических задач молекулярной биофизики

4. С использованием разработанных алгоритмов и созданного на их основе программного обеспечения получено новое эффективное решение важной практической задачи определения электростатических свойств макромолекул в растворе

Показать весь текст

Список литературы

  1. П. А., Ломтев В. Л. Решение краевых задач методом Монте-Карло в приближении теории переноса излучений // Вопросы атомной науки и техники. — 2006. — С. 44−53.
  2. С. С. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. — Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1993.
  3. А. В. Модификация случайных блужданий для оценки градиента решения эллиптических краевых задач // Вычислительные технологии. — 2008. — Т. 13. — С. 20−26.
  4. А. В., Михайлов Г. А. Вычисление производных от решения стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 2003. — Т. 43, № 10. — С. 1517— 1529.
  5. А. Д. Курс теории случайных процессов. — Москва: Наука, 1975.
  6. В. С. Уравнения математической физики. — 4-е, исправ. изд.— Москва: Наука, 1981.
  7. Л. М. Решение диффузионных задач методом Монте-Карло. — Москва: Наука, 1975.
  8. Н. Э. Некоторые функциональные неравенства и исследование скорости сходимости марковских цепей к границе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1991. — Т. 31, № 7. — С. 1029−1041.
  9. Э. Курс математического анализа. Пер. с. фр. — Москва Ленинград: ГТТИ, 1934. — Т. 3. Часть 2.
  10. Н. М. Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики. — Москва: Гостехиздат, 1953.
  11. Ю. Л. О представимости решений операторных уравнений в виде континуальных интегралов // Доклады АН СССР. — 1960. — Т. 134, № 5, — С. 1013−1016.
  12. Е. О., Сабелъфелъд К. К. Решение смешанной задачи для уравнений параболического и гиперболического типа методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 20, № 5.— С. 677−685.
  13. Е. Б. Марковские процессы. — Москва: Физматгиз, 1963.
  14. Н. Г., Стариков В. Н. Об одной возможности экономии машинного времени при решении задачи Дирихле методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1965. — Т. 5, № 5. — С. 936−938.
  15. А. Д., Соболевский П. И., Янович Л. А. Приближенные методы вычисления континуальных интегралов. — Минск: Наука и техника, 1985.
  16. . С., Михайлов Г. А. О решении задачи Дирихле для уравнения, А и — си — —д моделированием «блужданий по сферам» // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1969. — Т. 9, № 3. — С. 647−654.
  17. . С., Михайлов Р. А. Алгоритмы «блуждания по сферам «для уравнения Аи-си = -д // Доклады АН СССР. — 1973. — Т. 212, № 1. — С. 15−18.
  18. С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. — Москва: Наука, 1975.
  19. С. М. Метод Монте-Карло в вычислительной математике. — Санкт-Петербург: СПбГУ, 2008.
  20. С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование.— Москва: Наука, 1982.
  21. С. М., Некруткин В. В., Сипин А. С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. — Москва: Наука, 1984.
  22. В. М., Кореневский М. Л., Кульчицкий О. Ю. Адаптивные схемы метода Монте-Карло повышенного порядка точности // Доклады Академии наук. — 1999. Т. 367, № 5. — С. 590−593.
  23. Избранные алгоритмы метода Монте-Карло / С. М. Ермаков, А. С. Ра-сулов, М. Т. Бакоев, А. 3. Веселовская. — Ташкент: Издательство Ташкентского госуниверситета, 1992.
  24. А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук. — 1962.-Т. 17.-С. 3−140.
  25. Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — 3-е пере-раб. изд. — Москва: Наука, 1984.
  26. Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. — 5-е исправ. изд. — Ленинград: Физматгиз, 1962.
  27. В. И. Стохастические уравнения глазами физика. — Москва: Физматлит, 2001.
  28. А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. Пер. с нем. // Успехи матем. наук. — 1938. — Т. 5. — С. 5−41.
  29. А. М., Учайкин В. В. Введение в теорию прохождения частиц через вещество. — Москва: Атомиздат, 1978.
  30. Ю. Н. Ветвящийся процесс случайного блуждания по границе для невыпуклых областей // Теория и применения статистического моделирования. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1991. — С. 52−57.
  31. А. А. Об алгоритмах статистического моделирования решения краевых задач эллиптического типа // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. Т. 24, № 10. — С. 1531−1537.
  32. В. Н. Применение аналитического продолжения посредством замены переменной в численном анализе // Труды матем. института АН СССР. 1959. — Т. 53. — С. 145−185.
  33. А. И., Андросенко П. А. Построение методов Монте-Карло для решения краевых задач блужданием по неоднородным областям. — Обнинск: ФЭИ, 1995.
  34. А. И., Андросенко П. А. Решение краевых задач математической физики блужданием по полушарам. — Обнинск: ФЭИ, 1997.
  35. А. Н., Сипин А. С. Универсальный алгоритм расчёта электрических ёмкостей системы проводников методом Монте-Карло // Математическое моделирование. — 2009.— Т. 21, № 3, — С. 41−52.
  36. Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.-Л.: Го-стехиздат, 1951. —Т. 2.
  37. Р., Фридрихе К., Леей Г. О разностных уравнениях математической физики. Пер. с нем. // Успехи матем. наук. — 1941.— Т. 8.— С. 125−160.
  38. О. А. Оценка математического ожидания числа шагов е-сферического процесса // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Часть 2.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. С. 137−144.
  39. О. А. Метод блуждания по шароидам для решения уравнения теплопроводности / / Теория и алгоритмы статистического моделирования. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. — С. 67−77.
  40. О. А., Сабельфельд К. К. Решение многомерных задач теории потенциала алгоритмами блуждания по границе // Численные методы механики сплошной среды. — 1984. — Т. 15, № 1. — С. 77−102.
  41. О. А., Сабельфельд К. К., Симонов Н. А. Алгоритмы случайного блуждания по границе. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.
  42. Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. — 3-е, перераб. изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— Т. VI. Гидродинамика.
  43. Методы Монте-Карло в атмосферной оптике / Г. И. Марчук, Г. А. Михайлов, М. А. Назаралиев и др. — Новосибирск: Наука, 1976.
  44. Г. А. Численное построение случайного поля с заданной спектральной плотностью // Доклады АН СССР. — 1978. — Уо1. 238, по. 4. — Рр. 793−795.
  45. Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. — Москва: Наука, 1987.
  46. Г. А. Новые методы Монте-Карло для решения уравнения Гельмгольца // Доклады Академии наук.— 1992.— Уо1. 326, по. 6.— Рр. 943−947.
  47. Г. А. Рекуррентные формулы и принцип Беллмана в методе Монте-Карло. — Новосибирск, 1993. — 32 с. — (Препринт / ВЦ СО РАН- 1001).
  48. Г. А. Весовые методы Монте-Карло.— Новосибирск: СО РАН, 2000.
  49. Г. А., Бурмистров А. В. Новый метод Монте-Карло для решения стационарного диффузионного уравнения // Сиб. матем. жури. — 2000. Т. 41, № 5. — С. 1098−1105.
  50. Г. А., Бурмистров А. В. Решение стационарного уравнения диффузии методом Монте-Карло с вычислением производных // Доклады Академии наук. — 2000. — Т. 372, № 6. — С. 736−739.
  51. Г. А., Бурмистров А. В. Весовой метод Монте-Карло для оценки производных от решения сопряженного диффузионного уравнения // Доклады Академии Наук. — 2002. — Т. 386, № 1. — С. 18−21.
  52. Г. А., Лукинов В. Л. Решение многомерного разностного бигармонического уравнения методом Монте-Карло // Сиб. матем. оюурн. — 2001. — Т. 42. — С. 1125−1135.
  53. Г. А., Макаров Р. Н. Решение краевых задач второго и третьего рода методом Монте-Карло // Сиб. матем. оюурн. — 1997. — Т. 38, № 3.- С. 603−614.
  54. Г. А., Макаров Р. Н. Решение краевых задач методом блуждания по сферам с отражением от границы // Доклады Академии наук. 1997. — Т. 353, № 6. — С. 720−722.
  55. Г. А., Толстолыткин Д. В. Новый метод Монте-Карло для вычисления ковариационной функции решения общего бигармонического уравнения // Доклады Академии наук.— 1995.— Уо1. 50, по. 2.— Рр. 316−320.
  56. Г. А., Чешкова А. Ф. Решение разностной задачи Дирихле для многомерного уравнения Гельмгольца методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1996. — Т. 38, № 1. — С. 99−106.
  57. . А. О решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом статистических испытаний // Журн. вычисл. матем. и машем. физ. 1967. — Т. 7, № 5. — С. 1178−1187.
  58. В. В., Пригаро(Голяндина) Н. Э. О скорости сходимости к границе некоторых вариантов сферического процесса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1986. — Т. 26, № 4. — С. 626−631.
  59. Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. Пер. с англ. — М.: Мир, 1989.
  60. М. Л. Применение метода контурного интеграла к решению задач для параболических систем второго порядка. — Москва: Наука, 1975.
  61. Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б. С. Елепов, А. А. Кронберг, Г. А. Михайлов, К. К. Сабельфельд. — Новосибирск: Наука, 1980.
  62. К. К. О приближённом вычислении винеровских континуальных интегралов методом Монте-Карло // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.- 1979, — Т. 19, № 1.- С. 29−43.
  63. К. К. Векторные алгоритмы метода Монте-Карло для решения эллиптических уравнений второго порядка и уравнений Ламе // Доклады АН СССР. 1982. — Т. 262, № 5. — С. 1076−1080.
  64. К. К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. — Новосибирск: Наука, 1989.
  65. К. К. Эргодический процесс блуждания по границе для решения задачи робена // Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.- С. 118−123.
  66. К. К., Симонов Н. А. Решение пространственных задач теории упругости в детерминированной и стохастической постановках методом Монте-Карло // Доклады АН СССР. — 1984. — Т. 275, № 4. — С. 802−805.
  67. К. К., Татарский В. И. О приближённом вычислении ви-неровских континуальных интегралов // Доклады АН СССР. — 1978. — Т. 243, № 4.- С. 905−908.
  68. Н. А. Численная реализация алгоритма «блуждания по сферам «для одного класса трёхмерных областей // Численные методы механики сплошной среды. — 1981. — Т. 12, № 6. — С. 90−96.
  69. Н. А. Универсальная программа метода Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа // Алгоритмы и программы. — 1982. — № 6(50). — С. 28−28.
  70. Н. А. Алгоритмы случайного блуждания для решения краевых задач с разбиением на подобласти // Методы и алгоритмы статистического моделирования. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. — С. 48−58.
  71. Н. А. Алгоритмы случайного блуждания по границе для решения некоторых краевых задач. — Новосибирск, 1984. — Препринт / ВЦ СО РАН- 472.
  72. Н. А. Модификация алгоритма блуждания по сферам, удобная в практическом применении // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 24, № 6. — С. 936−938.
  73. Н. А. О рандомизации итерационных процессов решения уравнений первого рода // Теория и приложения статистического моделирования.— Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1985.— С. 31−37.
  74. Н. А. Алгоритмы статистического моделирования для решения элиптических уравнений второго порядка. — Новосибирск, 1986. — Препринт / ВЦ СО РАН- 698.
  75. Н. А. Решение граничного интегрального уравнения для третьей краевой задачи методом Монте-Карло // Методы статистического моделирования. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1986.—С. 53−59.
  76. Н. А. Случайные оценки производных от решения задачи Неймана вблизи границы области // Теория и приложения статистического моделирования. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1988. С. 76−87.
  77. Н. А. Монтекарловская оценка решения системы интегральных уравнений, порожденной уравнениями Прандтля // Труды ВЦ СО РАН. — Новосибирск: Вычислительный центр СО РАН, 1993. — Вычислительная математика. Выпуск 1.— С. 107−112.
  78. Н. А, Стохастические алгоритмы решения первой краевой задачи и задачи Коши для уравнения конвективной диффузии. — Новосибирск, 1995. — 22 с. — Препринт / ВЦ СО РАН- 1053.
  79. Н. А. Стохастические итерационные методы решения уравнений параболического типа // Сиб. матем. эюурн. — 1997. — Т. 38, № 5. — С. 1146−1162.
  80. Н. А. Метод Монте-Карло для уравнения диффузии со случайным коэффициентом поглощения. — Новосибирск, 1998. — 18 с. — Препринт / ИВМ и МГ СО РАН- 1127.
  81. Н. А. Методы Монте-Карло для решения эллиптических уравнений с граничными условиями, включающими в себя нормальную производную // Доклады Академии наук. — 2006.— Т. 410, № 2.— С. 164 167.
  82. Н. А. Алгоритмы случайного блуждания по сферам для решения смешанной краевой задачи и задачи Неймана // Сибирский эюурнал вычислительной математики. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 209−220.
  83. А. С. О решении задачи Неймана методом Монте-Карло // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. — Новосибирск: Вычислительный центр СО АН СССР, 1976.— С. 129−135.
  84. А. С. Процессы блуждания внутри области и их применение к решению краевых задач // А. Н. Тихонов и современная математика. Труды международной конференции, — Москва, 2006.— С. 113−114.
  85. В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1981.— Т. IV, 2.90 9192 93 [94 [9596 97 [98 [99 100 101
  86. И. М. Численные методы Монте-Карло. — Москва: Наука, 1973.
  87. Справочник по теории вероятнотей и математической статистике / В. С. Королюк, Н. И. Портенко, А. В. Скороход, А. Ф. Турбин.— Москва: Наука, 1985.
  88. Е. Н., Дмитриев Е. С. Перенос аэрозольных частиц турбулентными потоками.— Москва: Энергоатомиздат, 1988.
  89. А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.— 4-е изд. — Москва: Наука, 1972.
  90. А. Уравнения с частными производными параболического типа. Пер. с англ. — Москва: Мир, 1968.
  91. А. И. Единичный класс оценок для вычисления по методу Монте-Карло функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода // Журн. вычисл. матем. и матем. физ.— 1970.— Т. 10, № 5.- С. 1269−1280.
  92. А. И. Методы Монте-Карло в ядерной геофизике. — Наука: Новосибирск, 1983.
  93. А. И., Стариков В. Н., Морозов А. А. Алгоритмы Монте-Карло в ядерной геофизике. — Наука: Новосибирск, 1985.
  94. Л. А. Приближённое вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам. — Минск: Наука и техника, 1976.
  95. A Brownian dynamics algorithm for calculating the hydrodynamics friction and the electrostatic capacitance of an arbitrary shaped object / H.-X. Zhou, A. Szabo, J. F. Douglas, J. B. Hubbard // J. Chem. Phys.— 1994. — Vol. 100, no. 5.-Pp. 3821−3826.
  96. All-atom empirical potential for molecular modeling and dynamics studies of protein / J. MacKerell, A. D., D. Bashford, R. L. Bellott et al. // J. Phys. Chem. B. 1998. — Vol. 102. — Pp. 3586−3616.
  97. Anderson C. A. Vorticity boundary conditions and boundary vorticity generation for two-dimensional viscous incompressible flows // J. Comput. Phys. 1989. — Vol. 80. — Pp. 72−97.
  98. Artemiev S. S., Averina T. A. Numerical Analysis of Systems of Ordinary and Stochastic Differential Equations.— Utrecht, The Netherlands: VSP, 1997.
  99. Arya S., Mount D. M. Approximate nearest neighbor queries in fixed dimensions // Proc. 4th ACM-SIAM Sympos. Discrete Algorithms.— 1993. Pp. 271−280.
  100. Atkinson K. E. The numerical solution of Laplace’s equation in three dimensions II // Numerical Treatment of Integral Equations / Ed. by J. Albrecht, L. Collatz. — Basel: Birkhauser, 1980.
  101. Bachelier L. Theorie de la speculation // Ann. Ec. norm. sup. — 1900. — Vol. S. 9, no. T. 17. Pp. 21−86.
  102. Bally V., Talay D. The law of the Euler scheme for stochastic differential equations (I): convergence rate of the distribution function // Probability Theory and Related Fields. — 1996. — Vol. 104, no. 1. — Pp. 43−60.
  103. Barth P., Alber T., Harbury P. B. Accurate, conformation-dependent predictions of solvent effects on protein ionization constants // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2007. — Vol. 104.-Pp. 4898−4903.
  104. Becus G. A. Random generalized solutions to the heat equation // J. of Math. Anal, and Appl. — 1977. — Vol. 90. — Pp. 93−102.
  105. Binding of Ca+2 to Calmodulin and its tryptic fragments: theory and experiment / B. Svensson, B. Jonsson, E. Thulin, C. E. Woodward // Biochemistry. — 1993. — Vol. 32. — Pp. 2828−2834.
  106. Boschitsch A. H., Fenley M. O. Hybrid boundary element and finite difference method for solving the nonlinear Poisson-Boltzmann equation // J. Comput. Chem. — 2004. Vol. 25, no. 7. — P. 935−955.
  107. Boschitsch A. H., Fenley M. O., Zhou H.-X. Fast boundary element method for the linear Poisson-Boltzmann equation // J. Phys. Chem. B. — 2002. — Vol. 106. Pp. 2741−2754.
  108. Bossy M., Talay D. A stochastic particle method for the McKean-Vlasov and the Burgers equation // Math. Comp. — 1997. — Vol. 66. — Pp. 157−192.
  109. Brinkman H. C. Problems of fluid flow through swarms of particles and through macromolecules in solution // Research (London).— 1949.— Vol. 2. — Pp. 190−194.
  110. Brown G. W. Monte Carlo methods // Modern Mathematics for the Engineer / Ed. by E. F. Beckenbach. — New York: McGraw-Hill, 1956. — Pp. 279−303.
  111. Burmistrov A. V. Random walks inside a domain for estimation of the gradient of solutions to elliptic boundary value problems // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2007. — Vol. 22, no. 6.-Pp. 515−530.
  112. Burmistrov A. V., Mikhailov G. A. Estimation of the gradient of the solution of an adjoint diffusion equation by the Monte Carlo method // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 2002. — Vol. 17, no. 4. Pp. 367−380.
  113. Campillo F., Lejay A. A Monte Carlo method without grid for a fractured porous domain model // Monte Carlo methods and applications. — 2002. — Vol. 8, no. 2. Pp. 129−147.
  114. Carmona R., Lacroix J. Spectral theory of Schrodinger operators.— Reading, Mass.: Birkhauser, 1990.
  115. Case K., Zweifel P. Linear Transport Theory. — Boston: Addison-Wesley, 1967.
  116. Chorin A. J. Numerical study of slightly viscous flow // J. Fluid Mech. — 1973. Vol. 57. — Pp. 785−796.
  117. Chorin A. J. Vortex sheet approximation of boundary layers //J. Comput. Phys. 1978. — Vol. 27, no. 3. — Pp. 428−442.
  118. Chow P.-L. On the exact and approximate solutions of a random parabolic equation // SIAM J. Appl. Math. — 1974. — Vol. 27, no. 3. — Pp. 376−397.
  119. Coker D. A., Torquato S. Simulation of diffusion and trapping in digitized heterogeneous media // J. Appl. Phys. — 1995. — Vol. 77. — Pp. 955−964.
  120. Computational Approaches to Biochemical Reactivity / Ed. by G. Naray-Szabo, A. Warshel. — New York: Springer Verlag, 2002.— Vol. 19 of Understanding Chemical Reactivity.
  121. Computational Geometry: Algorithms and Applications / M. de Berg, O. Cheong, M. van Kreveld, M. Overmars. — 3rd revised edition. — SpringerVerlag, 2008.
  122. Connolly M. L. The molecular surface package // J. Molec. Graph. — 1993.-Vol. 11, no. 2.-Pp. 139−141.
  123. Conway R. W. Some tactical problems in digital simulation // Management science. — 1963. — Vol. 10. — Pp. 47−61.
  124. Courant R., Friedrichs K. O., Lewy H. Uber dir partiellen Differenzengleichungen der mathematische Physik / / Mathematische Annalen. 1928. — Vol. 100. — Pp. 32−74.
  125. Cross-property relations and permeability estimation in model porous media / L. M. Schwartz, N. Martys, D. P. Bentz et al. // Phys. Rev. E.~ 1993.- Vol. 48, no. 6).- Pp. 4584−4591.
  126. Curtiss J. H. Monte Carlo methods for the iteration of the linear operators // J. Math. Phys. — 1954. —Vol. 32, no. 4. —Pp. 209−232.
  127. Dagan G. Flow and Transport in Porous Formations. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1989.
  128. Deaconu M., Lejay A. A random walk on rectangles algorithm // Method. Comput. Appl. Probab. — 2006. — Vol. 8.-P. 135−151.
  129. Dreyer W., Kunik M. The maximum entropy principle revisited // Contin. Mech. Thermodyn. — 1998. — Vol. 10, no. 6. — Pp. 331−347.
  130. The effects of ionic strength on protein stability: the cold shock protein family / B. N. Dominy, D. Perl, F. X. Schmid, C. L. Brooks III // J. Mol. Biol. 2002. — Vol. 319. — Pp. 541−554.
  131. Efficient sampling of ion motions in molecular dynamics simulations on DNA: variant Hamiltonian replica exchange method / D. Min, H. Li, G. Li et al. // Chem. Phys. Letters. — 2008.- Vol. 454, — Pp. 391−395.
  132. Elcock A. H., McCammon J. A. Electrostatic contributions to the stability of halophilic proteins // J. Mol. Biol. — 1998. — Vol. 280. —Pp. 731−748.
  133. Electrostatic steering at acetylcholine binding sites / R. H. Meitzer, E. Thompson, K. V. Soman et al. // Biophys. J.— 2006.— Vol. 91, — Pp. 1302−1314.
  134. Electrostatics of nanosystems: application to microtubules and the ribosome / N. A. Baker, D. Sept, S. Joseph et al. // Proc. Natl. Acad. Sei. USA. — 2001. — Vol. 98.-Pp. 10 037−10 041.
  135. Ermak D. L., McCammon J. A. Brownian dynamics with hydrodynamic interactions // J. Chem. Phys. — 1978. — Vol. 69, —Pp. 1352−1360.
  136. Ermakov S. M., Nekrutkin V. V., Sipin A. S. Random processes for classical equations of mathematical physics. — Dodrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1989.
  137. Ermakov S. M., Wagner W. Monte Carlo difference schemes for the wave equation // Monte Carlo Methods and Applications. — 2002. — Vol. 8, no. 1. — Pp. 1−29.
  138. Ettelaie R. Solutions of the linearized Poisson-Boltzmann equation through the use of random walk simulation method // J. Chem. Phys. — 1995. — Vol. 103.-Pp. 3657−3667.
  139. Feller W. An introduction to probability theory and its applications. — New York: Wiley, 1968. Vol. 2.
  140. Fick A. On liquid diffusion // Phil. Mag. 1855. — Vol. 10. — Pp. 30−39.
  141. Fleming C., Mascagni M., Simonov N. An efficient Monte Carlo approach for solving linear problems in bioraolecular electrostatics // Lecture Notes in Computer Science. — 2005. — Vol. 3516. — Pp. 760−765.
  142. Formaneck M. S.} Ma L., Cui Q. Effects of temperature and salt concentration on the structural stability of human lymphotactin: Insights from molecular simulations // J. Am. Chem. Soc. — 2006. — Vol. 128. — Pp. 9506−9517.
  143. Freidlin M. Functional integration and partial differential equations.— Princeton: Princeton University Press, 1985.
  144. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications. — New York: Academic Press, 1976. —Vol. 1.
  145. Ghoniem A. F.} Sherman F. Grid-free simulation of diffusion using random walk methods //J. Comput. Phys. — 1985. — Vol. 61. — Pp. 1−37.
  146. Given J. A., Hubbard J. B., Douglas J. F. A first passage algorithm for the hydrodynamic friction and diffusion-limited reaction rate of macromolecules // J. Chem. Phys. — 1997. — Vol. 106, no. 9.— Pp. 37 613 771.
  147. Glasserman P. Monte Carlo methods in financial engineering.— Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. — Vol. 53 of Stochastic Modelling and Applied Probability.
  148. Golyandina N. Convergence rate for spherical processes with shifted centres // Monte Carlo Methods and Applications. — Vol. 10, no. 3−4.— Pp. 287−296.
  149. Goto E., Shi Y.- Yoshida N. Extrapolated surface charge method for capacity calculation of polygons and polyhedra // J. Comp. Phys. — 1992. — Vol. 100.-Pp. 105−115.
  150. Greenspan D., Silverman E. The calculation of electrostatic capacity by means of a high-speed digital computer // Proc. I.E.E.E.— 1965.— Vol. 53. — P. 1636.
  151. Haji-Sheikh A., Sparrow E. M. The floating random walk and its application to Monte Carlo solutions of heat equations // SI AM J. Appl. Math.— 1966.- Vol. 14, no. 2.- Pp. 570−589.
  152. Hall A. On the experimental determination of Pi // Messenger of Mathematics. 1873. — Vol. 2. — Pp. 113−114.
  153. Hammersley J. M., Handscomb D. C. Monte Carlo methods.— London: Methuen, 1964.
  154. Happel J., Brenner H. Low Reynolds number hydrodynamics. — Dordrecht Boston Lancaster: Martinus Nijhof Publishers, 1986.
  155. Ilennion H., Herve L. Limit theorems for Markov chains and stochastic properties of dynamical systems by quasi-compactness. — Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2001.
  156. Hida T. Brownian motion. — New York: Springer-Verlag, 1979.
  157. Hoshino S., Ichida K. Solution of partial differential equations by a modified random walk // Numerische Mathematik. — 1971.— Vol. 18, no. 1.— Pp. 61−72.
  158. Hunt F. Y., Douglas J. F., Bernal J. Probabilistic computation of Poiseuille flow velocity fields // J. Math. Phys. — 1995, — Vol. 36, no. 5. — Pp. 23 862 401.
  159. Hwang C.-O., Given J. A., Mascagni M. On the rapid estimation of permeability for porous media using Brownian motion paths // Physics of Fluids. 2000. — Vol. 12, no. 7. — Pp. 1699−1709.
  160. Hwang C.-O., Given J. A., Mascagni M. The simulation-tabulation method for classical diffusion Monte Carlo //J. Comp. Phys. — 2001.— Vol. 174, no. 2. — Pp. 925−946.
  161. Hwang C.-O., Mascagni M. Capacitance of the unit cube // Journal of the Korean Physical Society. 2003. — Vol. 41. — Pp. L1-L4.
  162. Hwang C.-O., Mascagni M. Electrical capacitance of the unit cube // Journal of Applied Physics. ~ 2004. — Vol. 95, no. 7. — Pp. 3798−3802.
  163. Im W., Beglov D.} Roux B. Continuum solvation model: Electrostatic forces from numerical solutions to the Poisson-Bolztmann equation // Comp. Phys. Comm.- 1998.-Vol. 111. Pp. 59−75.
  164. Iterative procedure for multidimensional Euler equations / W. Dreyer, M. Kunik, K. Sabelfeld et al. // Monte Carlo Methods and Applications.— 1998. Vol. 4, no. 3. — Pp. 253−271.
  165. Iverson R. B., Le Coz Y. L. A floating random-walk algorithm for extracting electrical capacitance // Mathematics and Computers in Simulation. — 2001.-Vol. 55.-Pp. 59−66.
  166. Jackel P. Monte Carlo Methods in Finance. — New York: John Wiley & sons, 2001.
  167. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. — New York: John Wiley & sons, 1962.
  168. Kac M. On distribution of certain Wiener functionals // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. — Vol. 65. — Pp. 1−13.
  169. Kac M. On some connection between probability theory and differential and integral equations // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. — University of California Press, 1951.-Pp. 189−215.
  170. Kac M. Integration in Function Spaces and Some Its Applications. Lezioni Fermiane. — Pisa: Scuola Normale Superiore, 1980.
  171. Kakutani S. On Brownian motion in N-space // Proc. Imp. Acad. Japan. — 1944. — Vol. 20. — Pp. 649−652.
  172. Kakutani S. Two-dimensional Brownian motion and harmonic function // Proc. Imp. Acad. Japan. — 1944. — Vol. 20. — Pp. 706−714.
  173. Kao Y.-H., Fitch C. A., Garcia-Moreno E. B. Salt effects on ionization equilibria of histidines in myoglobin // Biophys J. — 2000.— Vol. 79.— Pp. 1637−1654.
  174. Karaivanova A., Mascagni M., Simonov N. A. Parallel quasi-random walks on the boundary // Monte Carlo Methods and Applications. — 2004. — Vol. 10, no. 3−4.- Pp. 311−320.
  175. Karaivanova A., Mascagni M., Simonov N. A. Solving BVPs using quasirandom walks on the boundary // Lecture Notes in Computer Science. — 2004. — Vol. 2907. Pp. 162−169.
  176. Karaivanova A., Simonov N. A. Quasi-Monte Carlo methods for investigating electrostatic properties of organic pollutant molecules in solvent // Lecture Notes in Computer Science. — 2006. — Vol. 3743. — Pp. 172−180.
  177. Kirkwood J. G. Theory of solutions of molecules containing widely separated charges with special application to zwitterions //J. Chem. Phys. — 1934. — Vol. 2, no. 7.-Pp. 351−361.
  178. Kloeden P. E., Platen E. Numerical solution of stochastic differential equations. — Springer-Verlag, 1992.
  179. Kolmogorov A. N. Uber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Annalen.— 1931.— Vol. 104. Pp. 415−458.
  180. Kozeny J. Uber Kapillare Leitung des Wassers in Boden // Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch Naturwissenschaftliche Klasse (Abt. IIa). — 1927.— Vol. 136, — Pp. 271 306.
  181. Kunita H. Stochastic Flows and Stochastic Differential Equations. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.
  182. Lanyi J. Salt-dependent properties from extremely halophilic bacteria // Bacteriological Rev. — 1974. — Vol. 38. — Pp. 272−290.
  183. Lattice-Boltzmann and finite-difference simulations for permeability for three-dimensional porous media / C. Manwart, U. Aaltosalmi, A. Koponen et al. // Phys. Rev. E.— 2002. — Vol. 66. — P. 16702(11 pages).
  184. Luty B. A., McCammon J. A., Zhou H.-X. Diffusive reaction rates from Brownian dynamics simulations: Replacing the outer cutoff surface by an analytical treatment // J. Chem. Phys.— 1992.— Vol. 97.— Pp. 56 825 686.
  185. Lux I., Koblinger L. Monte Carlo Particle Transport Methods: Neutron and Photon Calculations. — CRC Press, 1991.
  186. Makarov R. N. Monte Carlo methods for solving boundary value problems of second and third kinds // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. — 1998.-Vol. 13, no. 2.-Pp. 117−132.
  187. M anwart C., Hilf er R. Numerical simulation of creeping flow in reconstruction models of porous media // Physica A. — 2002. — Vol. 314. — Pp. 706−713.
  188. Mascagni M.} Simonov N. A. Monte Carlo method for calculating the electrostatic energy of a molecule // Lecture Notes in Computer Science.—2003. Vol. 2657. — Pp. 63−74.
  189. Mascagni M., Simonov N. A. Monte Carlo methods for calculating some physical properties of large molecules / / SI AM Journal on Scientific Computing. 2004. — Vol. 26, no. 1. — Pp. 339−357.
  190. Mascagni M., Simonov N. A. The random walk on the boundary method-for calculating capacitance // The Journal of Computational Physics. —2004.-Vol. 195, no. 2, — Pp. 465−473.
  191. Maxwell J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism. — 3rd edition. — Oxford University Press, 1892. — Vol. 1. — Pp. 148−154.
  192. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method //J. Amer. Statist. .4ssoc. — 1949. Vol. 44. — Pp. 335−341.
  193. Meyn S. P., Tweedie R. L. Markov chains and stochastic stability.— London: Springer-Verlag, 1993.
  194. Michel J., Verdonk M. L., Essex J. W. Protein-ligand binding affinity predictions by implicit solvent simulations: a tool for lead optimization? // J. Med. Chem. 2006. — Vol. 49. — Pp. 7427−7439.
  195. Mikhailov G. A. Minimization of computational costs of non-analogue Monte Carlo methods. — Singapore: World Scientific, 1991.
  196. Mikhailov G. A. Optimization of weighted Monte Carlo methods. — Berlin New York: Springer-Verlag, 1992.
  197. Mikhailov G. A. New Monte Carlo methods with estimating derivatives.— Utrecht, The Netherlands: VSP, 1995.
  198. Milstein G. N. Numerical Integration of Stochastic Differential Equations. — Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1994.
  199. Milstein G. N., Tretyakov M. V. Simulation of a space-time bounded diffusion // Ann. Appl. Probab. — 1999. — Vol. 9, no. 3. — Pp. 732−779.
  200. Miiller M. E. Some continuous Monte Carlo methods for the Dirichlet problem // Ann. Math. Statistics.— 1956.— Vol. 27, no. 3.— Pp. 569 589.
  201. Northrup S. H., Allison S. A., McCammon J. A. Brownian dynamics simulation of diffusion-influenced bimolecular reactions / J J. Chem. Phys. — 1984. — Vol. 80. — Pp. 1517−1524.
  202. An optimal algorithm for approximate nearest neighbor searching / S. Arya, D. M. Mount, N. S. Netanyahu et al. // J. ACM.— 1998.— Vol. 45.— Pp. 891−923.
  203. Ortiz-Baerga A., Rezaie A. R., Komives E. A. Electrostatic dependence of the thrombin-thromomodulin interaction //J. Mol. Biol. — 2000. — Vol. 296.-Pp. 651−658.
  204. Performance comparision of Generalized Born and Poisson methods in the calculation of electrostatic solvation energies for protein structures-/ M. Feig, A. Onufriev, M. S. Lee et al. // J. Comput. Chem. — 2003, — Vol. 25.— Pp. 265−284.
  205. The permeability of a random medium: Comparison of simulation with theory / A. Cancelliere, C. Chang, E. Foti et al. // Phys. Fluids A. — 1990. — Vol. 2, no. 12. Pp. 2085−2088.
  206. Philibert J. One and a half century of diffusion: Fick, Einstein, before and beyond // Diffusion Fundamentals. — 2006. — Vol. 4. — Pp. 6.1−6.19.
  207. Ponomarev S. Y., Thayer K. M., Beveridge D. L. Ion motions in molecular dynamics simulations on DNA // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2004.— Vol. 101.-Pp. 14 771−14 775.
  208. Prigarin S. M. Spectral Models of Random Fields in Monte Carlo Methods. Utrecht, The Netherlands: VSP, 2001.
  209. Quantitative analysis of experimental and synthetic microstructures for sedimentary rock / B. Biswal, C. Manwart, R. Hilfer et al. // Physica A. — 1999. Vol. 273. — Pp. 452−475.
  210. Rankin K. N., Sulea T., Purisima E. O. On the transferability of hydration-parametrized continuum electrostatics models to solvated binding calculations // J. Comput. Chem. — 2003. — Vol. 24. — Pp. 954−962.
  211. Rayleigh L. On James Bernoulli’s theorem in probabilities // Philos. Mag. — 1899.-Pp. 246−251.
  212. Read F. H. Improved extrapolation technique in the boundary element method to find the capacitances of the unit square and cube // J. Comput. Phys. 1997. — Vol. 133. — Pp. 1−5.
  213. Recent progress in numerical methods for the Poisson-Boltzmann equation in biophysical applications / B. Z. Lu, Y. C. Zhou, M. J. Hoist, J. A. McCammon // Commun. Comput. Phys. — 2008. — Vol. 3, no. 5. — Pp. 973−1009.
  214. Reitan D. K., Higgins T. J. Calculation of the electrical capacitance of a cube // J. Appl. Phys.— 1951. — Vol. 22, — Pp. 223−226.
  215. Rice S. A. Diffusion-limited reactions.— Amsterdam, The Netherlands: Elsevier, 1985. —Vol. 25 of Comprehensive chemical kinetics.
  216. Roberts S. Convergence of a random walk method for the Burgers equation // Math. Comp.— 1989. — Vol. 52, no. 186, — Pp. 647−673.
  217. Rosenblatt M. On a class of Markov processes // Trans. Amer. Math. Soc. — 1951.-Vol. 88.-Pp. 120−135.242
  218. Rubinstein R. Y., Kroese D. P. Simulation and the Monte Carlo Method. — 2 edition. — New York: Wiley, 2008.
  219. Sabelfeld K. K. Monte Carlo methods in boundary value problems. — Berlin Heidelberg — New York: Springer-Verlag, 1991.
  220. Sabelfeld K. K., Simonov N. A. Random Walks on Boundary for solving PDEs. — Utrecht, The Netherlands: VSP, 1994.
  221. Salt enhances calmodulin-target interaction / I. Andre, T. Kesvatera, B. Jonsson, S. Linse // Biophys. J. — 2006. — Vol. 90. — Pp. 2903−2910.
  222. Scheidegger A. E. The Physics of Flow Through Porous Media.— Toronto Buffalo: University of Toronto Press, 1974.
  223. Schwartz L. M., Banavar J. R. Transport properties of disordered continuous systems // Phys. Rev. B. — 1989. — Vol. 39. — Pp. 11 965−11 971.
  224. Sherman A., Mascagni M. A gradient random walk method for two-dimensional reaction-diffusion equations // SIAM J. Sci. Comp. — 1994. — Vol. 15, no. 6. Pp. 1280−1293.
  225. Shoup D., Lipari G., Szabo A. Diffusion-controlled bimolecular reaction rates // Biophysical Journal. — 1981. — Vol. 36. — Pp. 697−714.
  226. Simonov N., Mascagni M. The method of random walk on spheres for solving boundary-value problems from molecular electrostatics // 17th IMACS World Congress, Paris, France, July 11−15, 2005. Proceedings.— 2005. Pp. Tl-I-62−0945. — ISBN 2−915 913−02−1.
  227. Simonov N. A. Monte Carlo solution of the nonlinear integral equation system in the boundary layer theory // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. — 1993. — Vol. 8, no. 3. — Pp. 265 274.
  228. Simonov N. A. Solution of two-dimensional Prandtl equations by the Monte Carlo method // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. — Novosibirsk: Computing Center SB RAS, 1993. — Numerical Analysis. Issue 4.-Pp. 83−102.
  229. Simonov N. A. Boundary value problem and stochastic algorithm for two-dimensional Navier-Stokes equations // Monte Carlo Methods and Applications. — 1995. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 59−70.
  230. Simonov N. A. Stochastic algorithm for solving two-dimensional boundary layer equations // Siberian Journal of Computer Mathematics. — 1995. — Vol. 2, no. l.-Pp. 41−56.
  231. Simonov N. A. Monte Carlo methods for convective diffusion equation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. —1997.-Vol. 12, no. l.-Pp. 67−81.
  232. Simonov N. A. Stochastic computational methods for parabolic equations with random data // IMACS World Congress. Berlin, Germany, August 2429, 1997. Proceedings. Volume 1. Computational Mathematics. — 1997.— Pp. 449−452.
  233. Simonov N. A. Monte Carlo solution to three-dimensional vorticity equation // Mathematics and Computers in Simulation. — 1998. — Vol. 47, no. 2−5. Pp. 455−459.
  234. Simonov N. A. Stochastic iterative method for a system of parabolic equations // Zeit. Angew. Math. Mech.— 1998.— Vol. 78, Suppl.l.-Pp. S185-S188.
  235. Simonov N. A. Monte Carlo solution of a parabolic equation with a random coefficient // Сибирский журнал вычислительной математики. 2001. — Т. 4, № 4. — С. 389−402.
  236. Simonov N. A. Random walks for solving boundary-value problems with flux conditions // Lecture Notes in Computer Science. — 2007.— Vol. 4310.— Pp. 181−188.
  237. Simonov N. A. Walk-on-spheres algorithm for solving boundary-value problems with continuity flux conditions // Monte Carlo and Quasi-Monte
  238. Carlo Methods 2006 / Ed. by A. Keller, S. Heinrich, H. Niederreiter. — Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. — Pp. 633−644.
  239. Simonov N. A., Mascagni M. Random walk algorithms for estimating effective properties of digitized porous media // Monte Carlo Methods and Applications.— 2004. — Vol. 10, no. 3−4. — Pp. 599−608.
  240. Simonov N. A., Mascagni M., Fenley M. O. Monte Carlo-based linear Poisson-Boltzmann approach makes accurate salt-dependent solvation free energy predictions possible // Journal of Chemical Physics. — 2007. — Vol. 127.-P. 185 105 (6 pages).
  241. Smythe W. R. Static and dynamic electricity. — 3rd edition. — New York: McGraw-Hill, 1989.
  242. Sole K., Stockmayer W. H. Kinetics of diffusion-controlled reaction between chemically asymmetric molecules, i. general theory //J. Chem. Phys.— 1971.- Vol. 54.- Pp. 2981−2988.
  243. Stroud A. II., Secrest D. Approximate integration formulas for certain spherical symmetric region // Math. Comp.— 1963. — Vol. 17.— Pp. 105 135.
  244. Swanson J. M. J., Morgan J., McCammon J. A. Limitations of atom-centered dielectric functions in implicit solvent models // J. Phys. Chem. B. 2005. — Vol. 109. — Pp. 14 769−14 772.
  245. Talay D. Simulation and numerical analysis of stochastic differential systems: a review // Probabilistic Methods in Applied Physics / Ed. by P. Kree, W. Wedig.— Heidelberg: Springer-Verlag, 1995.— Vol. 451 of Lecture Notes in Physics. — Pp. 54−96.
  246. Talay D., Tubaro L. Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differential equations // Stochastic Analysis and Applications. — 1990. — Vol. 8, no. 4. — Pp. 94−120.
  247. Tan R., Frankel A. D. Structural variety of arginine-rich RNA-binding peptides // Proc. Natl. Acad. Sci.— 1995. —Vol. 92. — Pp. 5282−5286.
  248. Tanford C., Kirkwood J. G. Theory of protein titration curves: I. General equations for impenetrable spheres // J. Am. Chem. Soc.— 1957.— Vol. 79. Pp. 5333−5347.
  249. Tausch J., White J. Second kind integral formulations of the capacitance problem // Adv. Comput. Math. — 1998. — Vol. 9, no. 1, —Pp. 217−232.
  250. Torquato S. Relationship between permeability and diffusion-controlled trapping constant of porous media // Phys. Rev. Lett. — 1990. — Vol. 64. — Pp. 2644−2646.
  251. Torquato S., Kim I. C. Cross-property relations for momentum and diffusional transport in porous media // J. Appl. Phys. — 1992.— Vol. 72, no. 7.-Pp. 2612−2619.
  252. Torquato S., Kim I. C., Cule D. Effective conductivity, dielectric constant, and diffusion coefficient of digitized composite media via first-passage-time equations // J. Appl Phys. 1999. — Vol. 85.-Pp. 1560−1571.
  253. Traytak S. D., Tachiya M. Diffusion-controlled reaction rate to asymmetric reactants under Coulomb interaction // J. Chem. Phys.— 1995.— Vol. 102. — Pp. 9240−9247.
  254. Ulam S., von Neumann J.} Richtmyer R. D. Statistical methods in neutron diffusion. — Los Alamos National Laboratory, 1947. — Report. LAMS-551.
  255. Vorobjev Y. N., Scheraga H. A. A fast adaptive multigrid boundary element method for macromolecular electrostatic computations in a solvent // J. Comput. Chem. — 1996. — Vol. 18, no. 4. Pp. 569−583.
  256. Wiegel F. W. Fluid Flow Though Porous Macromolecular Systems. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1980.
  257. Wiener N. The average of an analytic functional // Proc. Natl. Acad. Sci. — 1921. Vol. 7, no. 9. — Pp. 253−260.
  258. Wiener N. The average of an analytic functional and the Brownian movement // Proc. Natl. Acad. Sci. — 1921. — Vol. 7, no. 10. — Pp. 294−298.
  259. Wiener N. Differential space // J. Math, and Phys.— 1923.— Vol. 2.— Pp. 131−174.
  260. Zhou H.-X. Boundary element solution of macromolecular electrostatics: interaction energy between two proteins // Biophys. J. — 1993. — Vol. 65. — Pp. 955−963.
  261. Zhou H.-X. Macromolecular electrostatic energy within the nonlinear poisson-boltzmann equation // J. Chem. Phys. — 1994.— Vol. 100, no. 4.— Pp. 3152−3162.
  262. Zhou H.-X. Comparison of three Brownian-dynamics algorithms for calculating rate constants of diffusion-influenced reactions // J. Chem. Phys. 1998. — Vol. 108. — Pp. 8139−8145.
  263. Zhou H.-X. Theory of the diffusion-influenced substrate binding rate to a buried and gated active site //J. Chem. Phys. — 1998. — Vol. 108. — Pp. 8146−8154.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!