Оценки скорости сходимости в функциональных предельных теоремах для сумм случайного числа слагаемых и их примененя в задачах массового обслуживания

Предельные теоремы типа принципа инвариантности или так называемые функциональные центральные предельные теоремы являются одной из наиболее содержательных частей современной теории вероятностей. Одной из первых в этом направлении была работа Донскера [50″ ], в которой получен результат эквивалент.

Этот результат свое дальнейшее обобщение на разнораспределенный случай в схеме серий получил в работах Ю. В. Прохорова [25},.

Символ => здесь и всюду далее означает выполнение следующих двух условий:

I) ХЛАЛ =>N/^(40,+€[0,1] присею т. е. конечномерные распределения случайных процессов.

IV" слабо сходятся к конечномерным распределениям винеровского процесса.

2) ный тому, что если последовательность независи гле.

А.В .Скорохода и А. А. Боровкова .

При применении на практике предельных теорем важно знать погрешность, которая возникает при замене точных распределений их асимптотическими аналогами. Для этого надо уметь оценивать скорость сходимости к предельным распределениям. Оценка скорости сходимости обычно весьма сложная задача, требующая привлечения тонких аналитических методов и, как правило, наложения более жестких ограничений на свойства исходных распределений. .

Первая и достаточно точная оценка в принципе инвариантности была получена Ю. В. Прохоровым ?25*1 *.

Эта оценка улучшалась в случае одинаково распределенных величин Розенкранцем [б1~ и Хейде [54^. В 1973 г. А. А. Боровков [ill доказал, что при 2,? Ъ.

С.А.Утев [48^ показал справедливость этого неравенства при.

• Отметим, что во всех перечисленных выше результатах использовался либо метод одного вероятностного пространства Прохорова [251, либо метод Скорохода [.371 • в г, Я. Комлошем, П, Майором и Г. Тушнадь ^59*1 предложен более тонкий метод одного вероятностного пространства, который позволяет оценку (I) в случае последовательности независимых одинаково 1.

I) распределенных величин улучшить:

Ь-2 гп: 7 ^ для некоторого эС > О .

Недавно А. И. Саханенко^29,301 обобщая метод Комлоша—Майора-Тушнадь на случай разнораспределенных величин X- />1 оценку (I) установил для любого и показал, что если для некоторого к>0.

ШМ^рММ^ъч, VI, (2) то.

Предположим, что неотрицательная случайная величина ^ ^ и положительный случайный процесс заданы на том же вероятностном пространстве, где определен случайный процесс С^О. Обозначим («.•».ш^ «.

VI ^ /.

Случайные процессы вида (3) имеют важную роль в ряде при-. кладных задач теории массового обслуживания, теории надежности и математической статистики. 13,19,33^ • В частности, если Му^^ - число восстановлений, то ряд характеристик систем массового обслуживания (с.м.о.) представляются в виде (3). Поэтому изучение процессов вида (3) имеет как теоретический, так и практический интерес.

Условия справедливости принципа инвариантности для процессов вида (3) получены А. А. Боровковым,[131, Д. С. Сильвестровым С.31) и другими авторами [51,52,62″ ] •.

Настоящая диссертационная работы посвящена получению оценок скорости сходимости в принципе инвариантности и в Функциональном законе больших чисел для процессов вида (3) и приложениям этих оценок к предельным теоремам для случайных процессов, задаваемых в некоторых с.м.о.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. АЗДАРОВ Т. А. Исследования по математической теории массового обслуживания. Автореферат докт. диссертации. Ташкент, 1972 ^ 30 с.

2. АЗЛАРОВ Т.А., АТАКУЗИЕВ Д.А., ДЖАМИРЗАЕВ A.A. Схема. суммирования случайных величин с геометрически распределенным случайным индексом. В кн.: Предельные теоремы для случайных процессов. Ташкент, Фан, 1977, 6−21.

3. АЗЛАРОВ Т.А., ДЖАМИРЗАЕВ A.A. Равномерные оценки сходимости к предельному распределению времени жизни дублированного устройства. Изв. АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1971, Jfi 3, 3−8.

4. АЗЛАРОВ Т.А., ТАХИРОВ А. Предельные распределения для одноканальной системы с ограниченным числом мест ожидания. Изв. АН СССР, серия Техническая кибернетика, 1974, A 5, 61 — 67.

5. АЗЛАРОВ Т.А., ТУРСУНОВ Р.Т. О скорости сходимости в принципе инвариантности для случайных сумм в схеме серий. Докл. АН УзССР, 1984, JS 10, 3 5.

6. БИДЛИНГСЛИ П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука, 1977, 352 с.

7. БОРИСОВ И.С. О скорости сходимости распределений функционалов интегрального вида. Теория вероятн. и ее примен., 1976, т.21, Я 2, 293−308.

8. БОРИСОВ И.С. К вопросу о скорости сходимости в принципе инвариантности Донскера-Прохорова. Теория вероятн. и ее примен., 1983, т.28, Л 2, 367 — 371.

9. БОРОВКОВ A.A. Сходимость распределений функционалов от случайных процессов. Успехи мат. наук, 1972, т.27, Я I, 3 — 41.

10. БОРОВКОВ A.A. Замечание о неравенствах для сумм независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1972, т. 17, Jfi 3, 587 — 589.

11. БОРОВКОВ A.A. О скорости сходимости в принципе инвариантности. Теория вероятн. и ее примен., 1973, т.18, № 2, 217 — 234.

12. БОРОВКОВ A.A. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972, 368 с.

13. БОРОВКОВ A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980^ 384 с.

14. БОРОВКОВ A.A. Граничные задачи, принцип инвариантности, большие уклонения. Успехи мат. наук, 1983, т. 38, A4, 227 — 254.

15. БОРОВКОВ A.A. Некоторые предельные теоремы теории массового обслуживания. I, II Теория вероятн. и ее примен., 1964, т. 9, JH 4, 608 — 625- 1965, т. 10, Ш 3, 409 — 437.

16. БОРОВКОВ К.А. 0 скорости сходимости в принципе инвариантности для обобщенных процессов восстановления. Теория вероятн. и ее примен., 1982, т.27, Jf 3, 434 — 442.

17. ВИСКОВ О.В. О времени ожидания в смешанной системе массового обслуживания. Труды Математического институтаим. В. А. Стеклова, т. 71, М.: Наука, 1964, 26 34.

18. ГНЕЩЕНКО Б.В. и другие. Приоритетные системы массового обслуживания. 1973, МГУ, 448 с.

19. ГНВДЕНК0 Б.В., БЕЛЯЕВ Ю.К., СОЛОВЬЕВ А. Д. Математические метода в теории надежности. М.: Наука, 1982. 524 с.

20. ГИХМАН И.И., СКОРОХОД A.B.

Введение

в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977, 568 с.

21. ИСМАМОВ А.И. О распределении периода занятости одной модели массового обслуживания. Докл. АН УзССР, 1970, JS 5, 3−4.

22. КОКС Д., ШИТ В. Теория восстановления. М.: Советское радир, 1967, 300 с.

23. ЛОЭВ М. Теория вероятностей. М.: ИЛ., 1962, 720 с.

24. НАГАЕВ C.B., ФУК Д. Х. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1971, т. 16, Я 4, 660 — 675.

25. ПРОХОРОВ Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. I, Ш 2, 177−238.

26. ПРОХОРОВ Ю. В. Переходные явления в процессах массового обслуживания. Лит. мат. сб., 1963, т. 3, JS I, 199−206.

27. САХАНЕНКО А.И. О скорости сходимости в принципе инвариантности. Докл. АН СССР, т. 219, Ja 5, 1076 — 1078^19 174.

28. САХАНЕНКО А. И. Об оценках скорости сходимости в принципе инвариантности. В кн.: Предельные теоремы теории вероятностей и смежные вопросы. Новосибирск, Наука, 1982, 72−77.

29. САХАНЕНКО А. И. Скорость сходимости в принципе инвариантности для разнораспределенных величин с экспоненциальными моментами. В кн.: Предельные теоремы для сумм случайных величин. Новосибирск: Наука, 1984, 4−50.

30. САХАНЕНКО А. И. Об оценках в принципе инвариантности. Теория вероятн. и ее примен., 1984, т.29, $ 3, 609 — 610.

31. СИЛЬВЕСТРОВ Д. С. Предельные теоремы для сложных случайных Функций. Киев: Вища школа, 1974, 329 с.

32. СИЛЬВЕСТРОВ Д. С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний. М.: Сов. радио, 1980, 272 с.

33. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С., МИРЗАХМЗДОВ М.А., ТУРСУНОВ Г. Т. Асимптотический анализ статистик со случайным объемом выборки. В кн.: Случайные процессы и математическая статистика. Ташкент.: Фан, 1983, 188 — 193.

34. СИЛЬВЕСТРОВ Д.С., ТУРСУНОВ Г. Т. Некоторые предельные теоремы для систем массового обслуживания • Докл. АН УзССР, 1976, В 6, 10 12.

35. СИРАЖДИНОВ С.Х., АЗЛАРОВ Т. А. Предельные теоремы для некоторых характеристик систем • Изв. АН УзССР, серия физ.-мат.наук, 1972, 16 6, 24 — 29.

36. СКОРОХОД A.B. Предельные теоремы для случайных процессов. Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. I, JS 3, 289 — 319.

37. СКОРОХОД A.B. Исследования по теории случайных процессов. Киев: КГУ, 1961, 216 с.

38. СКОРОХОД A.B. Об одном представлении случайных величин. Теория вероятн. и ее примен., 1976, т.21, В 3, 645 — 648.

39. СКОРОХОД A.B., СЛАБОДЕНКК А. П. Предельные теоремы для случайных блужданий. Киев.: Наукова думка, 1970, 304 с.

40. СТАРЦЕВ А. Н. Некоторые результаты, связанные с принципом инвариантности. В кн.: Вероятностные процессы и математическая статистика. Ташкент: Фан: 1978, 146 — 151.41″ ТАКАЧ Л. Комбинаторные методы в теории случайных процессов. М.: Наука, 1971, 264 с.

41. ТУРСУНОВ Г. Т., ТУРСУНОВ Р. Т. Предельные теоремы длянекоторых процессов системы массового обслуживания HS" l с групповыми поступлениями. В кн.: Предельные теоремы для вероятностных распределений. Ташкент: Фан, 1985.

42. ТУРСУНОВ Р. Т. Оценка скорости сходимости в функциональном законе больших чисел для некоторых характеристик систем массового обслуживания ЩбД.. Докл. АН УзССР, 1984, .№ 8,3−4.

43. ТУРСУНОВ Р. Т. Скорость сходимости в предельных теоремах для некоторых систем массового обслуживания. Рукопись Деп. в ВИНИТИ 05.10.84, — 7150−84 Деп, 22 с.

44. ТУРСУНОВ Р. Т. Предельные теоремы для некоторых случайных процессов связанных с системой массового обслуживанияШт • В кн.: Асимптотические задачи для вероятностных распределений. Ташкент: Фан, 1984, 138 — 148.

45. ТУРСУНОВ Р. Т. Об оценке скорости сходимости в функциональной центральной предельной теореме для случайных сумм. Изв. АН УзССР, серия физ.-мат. наук, 1985, № 4.

46. УТЕВ С. А. Замечание о скорости сходимости в принципе инвариантности. Сиб. мат. журн., 1981, т. 22, J8 5, 206−209.

47. Bahr BW von, Esseen C.G. Ihequalities for the r~tk moment of random variables, ~ Ann, Math.Statist., 1965, 1, 2.99−303.

48. Guiasu S. On the asumptotic distribution of the sequences of random variables with random indices. Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, 6, 2018 — 2028.

49. Harrison J.M. The heavy traffic approximation for single server queues in series. «J. Appl. Prob., 1973, v. 10, 3, 613 629.

50. Heyde G.C. On extended rate of convergence results for the invariance principle. Ann. Math. Statist., 1969, v. 40, 6, 2178−2179.

51. Iglehart D.L. Functional limit theorems for the queue GTOri. in light traffic. Adv. Appl. Prob., 1971, 3, 269 — 281.

52. Iglehart D. L, Weak convergence in queueig theory. -adv. Appl, Prob., 1973, 5, 570 594.57″ Iglehart D.I., Whitt W. Multiple channal queues in heavy traffic.1. Adv. Appl. Prob., 1970, 2, 150 — 177.

53. Kennedy D.P. Rates of convergence for queues in heavy traffic. Adv. Appl. Prob., 1972;, v. 4, 2, 357−391.

54. Komlos J., Major P., Tusnady G. An approximation of partial sums of independent RV «s and sample DP. 1t 2. -Z. Wahr. verw. Gebiete, 1975, v. 32* 1, 111 — 133- 1976, v. 34, 1, 33 — 58.

55. Kyprianob E. The virtual waiting time of thequeue in heavy traffie. Adv. Appl. Prob., 197t, 3, 249−268.

56. Rosenkrantz W. A" On rates convergence for the invariance principle. ~ Trans. Amer. Mat. Soc., 19 6T, 129,542 552.

57. Sreehari M. An invariance principle for random partial sums. Sankhya. Indian J. Statist. ser. A", 1968, v. 30, 4, 433 — 442.

58. Sreehari M., Rao P. Rate of convergence in the invariance principle for random sums. Sankhya. Indian.J. Statist., 1−982, ser. Af v. 44, 144 ~ 1−52.

59. Strassen V" The exiatence of probability measures with given marginals. Ann. Math. Statist., 1965, v. 36, 2, 423 — 439.

60. Whitt W. Complements to heavy traffic limit theorems for the Grl&l queue. J. Appl. Prob., 1972, 9, 185−191.

61. Whitt W. Embedded renewal processes in the queue. J. Appl. Prob., 1972, 9, 650 658.