Эффекты второго порядка в задачах растяжения, кручения и изгиба нелинейно-упругих тел

В настоящее время нелинейная теория упругости представляет собой обширную и стремительно развивающуюся область знаний. Опираясь на фундаментальные результаты линейной теории, эта наука стала интенсивно развиваться в середине прошлого века. Интерес исследователей к нелинейным проблемам был вызван несколькими причинами. В первую очередь, следует выделить появление новых материалов, которые обладают ярко выраженными нелинейными свойствами: высокоэластичные резиноподобные материалы, вязкоупругие полимеры. Нелинейная теория упругости получает все большее распространение при описании тканей живых организмов. В настоящее время, именно биомеханика является одним из приоритетных направлений развития нелинейной теории упругости, в области которой имеется огромное количество не рассматриваемых ранее материалов, свойства которых еще предстоит описать. В общем случае, для того, чтобы выяснить характеристики материалов с некоторыми определяющими соотношениями на основе основных экспериментов, требуется создавать модели, способные учитывать их нелинейное поведение. С помощью линейной теории невозможно описать ряд явлений, которые наблюдаются экспериментально и вполне описываются нелинейной теорией: удлинение стержня при кручении, изменение толщины стержня при изгибе и другие.

В то же время, как показывает практика, решение краевых задач нелинейной теории упругости в большинстве случае затруднено, поскольку используемые в них упругие потенциалы представляют собой достаточно сложные выражения, что приводит к необходимости решения существенно нелинейных краевых задач, решение не удается отыскать в аналитическом виде. В таких случаях, в зависимости от целей поставленной задачи, решение может быть проведено численно или найдено асимптотически методом разложений в ряд (A. Signorini, 1930). Некоторое неудобство численных методов заключается в многократном, зачастую длительном по времени выполнения, пересчете выражений при изменении параметров материалов. С другой стороны, в условиях не очень больших деформаций, достаточно близкое приближение к нелинейному решению доставляет учет «эффектов второго порядка», т. е. квадратичных слагаемых относительно градиента перемещения в уравнении состояния упругого тела. Обзор способов учета эффектов второго порядка содержится в докладе Трусделла [91]. Общая теория эффектов второго порядка построена в монографии А. И. Лурье [43], решение некоторых задач приведено в работе Р. Ривлина [81]. В статье [59] рассмотрены эффекты второго порядка при изгибе предварительно изогнутого стержня, в работе [62] обсуждается их влияние на аналитическое решение задачи кручения.

При решении краевых задач нелинейной теории упругости часто удобно применять полуобратный метод. Этот метод был предложен в середине XIX века в работах Сен-Венана [51] и позже обобщался на случай больших деформаций Дж. Адкинсом и А. Грином [10], Л. М. Зубовым [26], А. И. Лурье [43, 44] и другими учеными. Суть метода заключается в построении решений, на которых исходная задача сводится к проблеме с меньшим числом независимых переменных. Его актуальность по-прежнему велика, поскольку непосредственное решение (численное, либо аналитическое) многих нелинейных задач как трехмерных сильно затруднено. При рассмотрении эффектов второго порядка полуобратный метод применяют в комбинации с методом возмущений (разложений в ряд) по некоторым независимым переменным.

Задачи о растяжении, кручении и изгибе упругих тел имеют большое практическое значение, поскольку эти три вида деформации являются основными типами деформирования самых разнообразных элементов конструкций. Испытания на кручение и изгиб используются для построения определяющих соотношений различных материалов в условиях больших деформаций. Кроме того, при разработке многих современных высокопрецизионных устройств необходимо учитывать эффекты физической и геометрической нелинейности с достаточно большой степенью точности. К примеру, при проектировании и калибровке стержневого динамометра требуется учитывать эффект Пойнтинга — удлинение стержня в процессе кручения.

В рамках линейной теории упругости трехмерная задача растяжения, кручения и изгиба призматических тел была решена Сен-Венаном [51] в 1856 г. С тех пор «задача Сен-Венана» обобщалась в разных направлениях: рассматривались анизотропные и неоднородные тела [14], упруго-пластические, вязкоупругие, хрупкоупругие тела, составные стержни, слоистые стержни [2, 88], псевдоцилиндры [55]. При постановке задачи учитывались моментные напряжения [9], температурные напряжения [86] и прочее.

Постановка задачи кручения и задачи плоского изгиба в рамках теории больших деформаций несжимаемых материалов допускает универсальное решение, т. е. решение, не зависящее от конкретного вида нелинейно-упругого потенциала. Этот результат был получен в середине XX века Рив-линым [80]. Позже в работах Дж. Эриксена [64] и Шилда [87] было показано отсутствие такого решения для сжимаемых сред.

Значительный вклад в обобщение задачи Сен-Венана внес Л. М. Зубов. Им была развита общая теория кручения призм [19, 24]. В соавторстве с А. А. Зелениной им разработана пространственная теория чистого изгиба призматического бруса в условиях больших деформаций [14, 15]. В этих публикациях дано обобщение полуобратного метода на случай больших деформаций и сформулирована двумерная нелинейная краевая задача, решение которой точно удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям на боковой поверхности брусапри этом граничные условия на торцах выполняются в интегральном смысле.

Среди задач, связанных с изгибом нелинейно-упругих тел, значительное место занимают задачи изгиба оболочек. Методы нелинейной теории упругости при расчете оболочек описаны в [17, 23], различные задачи изгиба оболочек с подкреплениями решены в [71, 74, 88], в [93] рассматривается изгиб цилиндрических оболочек, в [70] для расчетов применяется метод конечных элементов.

Множество работ посвящено исследованию устойчивости стержней при различных видах нагружения: в [28] рассмотрены некоторые аспекты потери устойчивости прямоугольного бруса при различных видах нагружения, в [29] оценивается влияние кручения на устойчивость цилиндра при растяжении, в [69] изучаются вопросы потери устойчивости круглых труб при изгибе.

Одним из плодотворных методов, используемых в теории деформирования тел цилиндрической формы является метод «однородных решений», т. е. решений, оставляющих боковую поверхность стержня свободной от напряжений. Термин «однородные решения» был введен А. И. Лурье, в его монографии [43] построены явные выражения для однородных решений в функциях Бесселя, с помощью однородных решений И. И. Воровичем [4] были достигнуты значительные результаты в проблеме приведения (перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным задачам), результаты цикла работ Ю. А. Устинова, исследовавшего однородные решения в операторной форме, представлены в монографии [55].

Нелинейные эффекты при деформации упругих тел наблюдались давно. Так, Кулон отмечал уменьшение периода колебаний крутильного маятника под действием растягивающей нагрузки (1784), Вертгейм указывал на изменение объема скручиваемых трубок (1857), а Пойнтинг впервые обратил внимание на удлинение стержня при кручении. В работах [77, 78] Пойнтинг попытался теоретически описать эффект изменения длины стержня, но строгое объяснение стало возможно лишь с развитием нелинейной теории упругости.

Для описания многих нелинейных эффектов вполне достаточно учета слагаемых второго порядка относительно градиента перемещения в уравнении состояния упругого тела. Поэтому именно эффектам второго порядка посвящена настоящая диссертация. Из таких нелинейных эффектов здесь будут рассмотрены эффект Пойнтинга в задаче о кручении нелинейно-упругого стержня и изменение толщины изначально прямого стержня в плоской задаче чистого изгиба.

Содержание работы изложено в двух главах.

Первая глава диссертации посвящена исследованию некоторых аспектов определения эффектов второго порядка в задаче кручения нелинейно-упругого стержня, в частности, изучается влияние способов реализации граничных условий на торцах на величину эффекта Пойнтинга.

В параграфе 1.1. показана актуальность исследования эффектов второго порядка в теории упругости, приведены выражения используемых в диссертации упругих потенциалов. Здесь же описана неоднозначность определения эффекта Пойнтинга в литературе: до сих пор известны две различающиеся между собой формулы для осевого удлинения стержня с произвольным поперечным сечением. Так, в работе А. И. Лурье [43] для учета эффектов второго порядка в задачах о деформации тел различной формы предложен метод разложений в ряд, с помощью которого решена задача о кручении стержня произвольного поперечного сечения торцевыми моментами, и получена формула относительного удлинения в случае материала Мурнагана. Там же отмечено несовпадение, после согласования обозначений, с аналогичной формулой, полученной Ривлиным [81]. Кроме того, в работе [6] указано на несовпадение осевого удлинения цилиндра, приведенного в [43], и решения, полученного на основе полуобратного метода нелинейной теории упругости. Анализ задачи для различных моделей материалов показал разницу в количественном выражении эффекта Пойнтинга при использовании этих двух формул, причем, для некоторых из них, разница может быть существенна, в связи с чем, предложено определить причины расхождения результатов.

В параграфе 1.2. рассмотрены 2 способа определения величины эффекта Пойнтинга.

В пункте 1.2.1. представлена общая теория эффектов второго порядка А. И. Лурье [43] и вывод формулы осевого удлинения в задаче кручения. Достоинство этого подхода состоит, во-первых, в его общности, а во-вторых, в отсутствии необходимости решать дополнительную (по сравнению с линейной теорией упругости) задачу об эффектах второго порядка: зависимости между макро-характеристиками типа осевого удлинения и крутящего момента вычисляются на основе решения лишь линейной задачи. Относительное удлинение стержня находится из построенного усредненного по объему тензора деформации и зависит только от упругих постоянных.

В пункте 1.2.2 рассматривается деформирование сплошного цилиндрического вала равными по величине и противоположными по знаку торцевыми моментами. Боковая поверхность цилиндра свободна от нагружения, а длина до деформации достаточно велика. Уравнения равновесия в объеме тела записываются при отсутствии массовых сил, граничные условия на боковой поверхности выполняются точно, а на торцах — в интегральном смысле. Решение задачи проводится полуобратным методом теории упругости. В случае материала Мурнагана решение краевой задачи находится с точностью до слагаемых второго порядка и совпадает с формулой Ривлина. В случае упрощенного варианта материала Блейтца и Ко решение краевой задачи находится в явном виде и позволяет проводить дальнейший анализ задачи.

В параграфе 1.3. изучаются причины различия подходов и степень их влияния на решение. В пункте 1.3.1. справедливость общих формул теории эффектов второго порядка А. И. Лурье [43] подтверждается решением задачи об одноосном растяжении стержня и сравнением с аналогичным решением полуобратным методом. Получено выражение среднего относительного удлинения, налагаемого на линейное удлинение, совпадающее с приведенным в [43] выражением.

В пункте 1.3.2. с помощью такого аналитического решения задачи о кручении для материала Блейтца и Ко удается установить несовпадение полей напряжений на торцах, которое и является причиной различия результатов. Иными словами, на величину относительного удлинения стержня в целом влияет способ реализации краевых условий на торцах. Для оценки влияния способа задания граничных условий на величину относительного удлинения рассмотрена задача, представляющая собой разность полученных с использованием двух описанных выше подходов линейных краевых задач об эффектах второго порядка. Показано, что в полученной задаче «о разности» граничные условия противоречат условию симметричности тензора напряжений на окружностях, ограничивающих торцы цилиндра, и, следовательно, приводят к несимметричности тензора в некоторой области, охватывающей эти окружности. Установлено, что причиной возникновения несимметричности и разницы в распределении напряжений на торцах является предположение о «мертвом» характере внешней нагрузки, принятое в [43].

Решение задачи «о разности» проведено двумя методами: методом конечных элементов и методом однородных решений. Построено распределение напряжений по торцу и боковой поверхности вала, показано, что продольная деформация и напряжения быстро убывают при удалении от торцов и практически обращаются в нуль на расстоянии, равном диаметру вала. Это означает, что принцип Сен-Венана в смысле отсутствия напряжений в зоне, достаточно далекой от области приложения самоуравновешенной нагрузки, в данной задаче выполняется. Результаты решения обоими методами различаются лишь вблизи торцов (сказывается краевой эффект).

В пункте 1.3.4. определяется зона стержня, удлинение которой пренебрежимо мало и, следовательно, относительное удлинение которой в исходной задаче кручения зависит лишь от интегральных характеристик граничных ус

Ли/ ловий, а не способа их реализации. Рассматрен цилиндр длиной L=L-2b, расположенный на расстоянии 8 от торцов стержня. Расчеты для стержней разной геометрии показали, что зоной, свободной от влияния способа задания граничных условий на торце, будет область стержня, для которой 6/1 >1/6. Полученные результаты означают, что принцип Сен-Венана применим и к интегральным деформационным характеристикам, но не для тела в целом, а для его некоторой части, достаточно удаленной от областей приложения нагрузок.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию плоской задачи чистого изгиба прямого нелинейно-упругого стержня методом разложений в ряд.

В параграфе 2.1. рассматривается постановка задачи о чистом изгибе пространственного призматического тела торцевыми моментами, которая была исследована в работах [13, 15]. Анализируется предложенное там полуобратное представление деформации и показывается, что для решения такой задачи непосредственно использовать метод возмущений невозможно.

В литературе исследования эффектов второго порядка в задаче изгиба призматических тел сводятся к работам типа [59], рассматривающим деформацию предварительно изогнутых тел.

Для упрощения анализа поставленной задачи предлагается рассмотрение плоской задачи изгиба прямого стержня торцевыми моментами. Для удобства принимается цилиндрическая система координат актуальной конфигурации, и вводятся новые обозначения.

В параграфе 2.2. плоская задача чистого изгиба конечного прямого стержня решается полуобратным методом в случае полулинейного материала Джона. Краевые условия отсутствия напряжений на боковой поверхности выполняются точно, а на торцах — в интегральном смысле Сен-Венана. Краевая задача определения неизвестной функции радиуса точки тела в деформированном состоянии Р (х) оказывается линейной для данного материала и позволяет определить ее в явном виде. Полученное решение совпадает с решением задачи об изгибе нелинейно-упругой полосы с использованием комплексных преобразований, приведенным в [44]. Показано, что зависимость Р (х) от кривизны В является сингулярной в точке В = 0, что и делает невозможным прямое применение метода возмущений (разложений в ряд).

Предлагается модифицировать полуобратное соотношение, выделив из функции Р (х) особенность порядка 1/В, представив ее в виде

Р (х) = 1/В + А (х), где /В — расстояние от начала координат до центра тяжести деформированного стержня, а функция А (х) имеет геометрический смысл изменения толщины стержня.

Параграф 2.3. посвящен решению исходной краевой задачи с использованием модифицированного полуобратного представления деформации методом разложений в ряд для трех моделей нелинейно-упругих сред: полулинейный материал (п. 2.3.1.) — «упрощенный» материал Блейтца и Ко (п. 2.3.2.) — материал Мурнагана (п. 2.3.3.).

В ходе решения выявлено несколько особенностей применения метода возмущений при его использовании в задаче изгиба. Одна из них заключается в том, что система краевых условий после линеаризации становится линейно-зависимой, в связи с чем, при решении каждой из задач, соответствующих степеням разложения, остается по одной неопределенной константе. Получено 2 способа нахождения неопределенных констант. Согласно первому способу, константа /-го приближения находится из условия разрешимости краевой задачи для (/+2)-го приближения. Более эффективным оказывается способ отыскания неопределенных констант, который основывается на факте тождественного равенства нулю осевой силы, соответствующей исходному полу обратному соотношению: константу /-го приближения можно определить из условия отсутствия продольной силы при учете в ней слагаемых порядка (/+1). Т. е. необходимо требовать, чтобы в разложении осевой силы по степеням В, коэффициент разложения при В1+х был равен нулю.

С помощью сравнения с аналитическим решением для полулинейного материала и численным решением на основе метода пристрелки для материалов Блейтца и Ко, Мурнагана, установлено довольно точное совпадение решения, найденного полуобратным методом, с решением «второго порядка», в том числе и при довольно больших значениях кривизн. Для материала Мурнагана установлено совпадение полученных аналитически результатов (при специально найденных связях констант материалов с точностью до слагаемых второго порядка) с результатами для материалов Блейтца и Ко, полулинейного материала. Тем самым, подтверждена допустимость применения модифицированного полуобратного представления деформации и в случае других изотропных материалов.

Параграф 2.4. посвящен исследованию количественного и качественного проявления эффектов второго порядка в задаче изгиба.

В п. 2.4.1. строится зависимость изгибающего момента от кривизны. Показано, что нелинейность проявляется лишь в эффектах третьего порядка, в связи с чем, линейная теория дает достаточно близкое приближение изгибающего момента при довольно больших деформациях. Для полулинейного материала указывается на наличие падающего участка диаграммы зависимости момента от кривизны (построенной по аналитическому решению нелинейной задачи) при очень больших значениях кривизн, связанному, видимо, с потерей устойчивости стержнем при изгибе [69].

В п. 2.4.2. исследуется относительное изменение толщины стержня при изгибе. Показано, что при учете в решении лишь линейных слагаемых, изменение толщины отсутствует, что согласуется с линейной теорией. Установлено, что величина относительного изменения толщины для материала Мурнагана полностью определяется константами второго порядка, в связи с чем, ее можно использовать для определения констант Мурнагана. Для всех исследованных в работе материалов стержень становится тоньше при изгибе.

В п. 2.4.3. определены величины смещений нейтральной линии (не меняющей длины при деформации). Показано, что смещение нейтральной линии есть эффект третьего порядка.

В п. 2.4.4. предлагаются аналитические зависимости для экспериментального определения констант материала Мурнагана. Константы второго порядка выражаются через константы линейной тории упругости (v,|j,), измеренные экспериментально значения эффектов второго порядка и прочие известные параметры задач (угол закручивания, угол изгиба, длина стержня, величина внешней нагрузки и т. д.). Для их построения используются полученные в первой главе выражения для эффектов второго порядка при растяжении и кручении стержня, а также величина относительного изменения толщины стержня при изгибе.

В заключении дана сводка основных выводов, полученных в диссертации.

Основные результаты работы докладывались на Международной конференции «Advanced problems in mechanics» (г. Санкт-Петербург (Репино), 2004), на Международной конференции «Математические модели физических процессов» (г. Таганрог, 2004), на III Школе-семинаре «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, 2004), на Международной школе-семинаре «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п. Дюрсо, 2005), на XIV Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 2005), на IX и X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2005, 2006), на научных семинарах по проблемам механики сплошной среды в Ростовском государственном университете.

По теме диссертации опубликованы статьи [33−40, 68]. Работы [37−40, 68] были написаны в соавторстве с М. И. Карякиным, которому принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования. Автору в [37, 38, 40, 68] при решении задачи о кручении принадлежит определение причин расхождения результатов двух подходов к учету эффектов второго порядка, исследование влияния касательных напряжений на торцах на распределение напряжений и удлинение упругого цилиндра методом конечных элементов и однородных решенийпри решении задачи об изгибе [39] - построение схемы решения и ее реализация при использовании модифицированного полуобратного представления, а также численные результаты.

Автор выражает глубокую благодарность М. И. Карякину и JI. М. Зубову за внимание и помощь в работе.

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему.

• Проведено сравнение решения задачи о кручении кругового нелинейно-упругого стержня торцевыми моментами методом последовательных приближений при учете эффектов второго порядка с решением той же задачи полуобратным методом. Установлено, что причиной расхождения двух известных подходов к определению осевого удлинения при кручении является предположение о «мертвом» характере нагрузки в первом из них.

• Показана возможность применения принципа Сен-Венана при изучении некоторых интегральных эффектов второго порядка, например, эффекта Пойнтинга.

• Предложена модификация полуобратного представления деформации плоского чистого изгиба прямого нелинейно-упругого стержня, пригодная для применения метода последовательных приближений. С использованием предложенного представления с точностью до эффектов второго порядка задача об изгибе решена для трех моделей нелиней-но-упругош поведенияподтверждена высокая степень точности линейной теории упругости при вычислении зависимости кривизны от изгибающего моментаполучено аналитическое выражение относительного изменения толщины стержня при изгибе. Предложены аналитические выражения для определения констант второго порядка материала Мурнагана на основе экспериментов на одноосное растяжение, кручение и чистый изгиб стержня.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.