I. Актуальность проблемы. Высокие темпы дальнейшего развития нефтяной и газовой промышленности в нашей стране предъявляют новые требования к усовершенствованию научных основ разработки нефтяных и газовых месторождений.
В связи с интенсификацией добычи нефти и газа, расширением имеющихся и созданием новых подземных хранилищ природного газа (ПХГ), введением в эксплуатацию разведанных нефтегазоносных месторождений, а также широким применением методов воздействия на продуктивные пласты исключительно важный теоретический и практический интерес приобретает исследование фильтрации нефти, газа и воды в пористой среде с учетом реальных геолого-промысловых данных, свойств фильтрующихся жидкостей и газа, физико-химических явлений и технологических условий. Для практически приемлемых и реализуемых количественных прогнозов фильтрационного потока геологическое строение пласта должно быть представлено в виде расчетной схемы, отражающей основные его свойства. К числу главных факторов можно отнести слоистость пластов и необходимость рассмотрения фильтрационного потока в целом для всего месторождения с учетом перетоков между слагающими пластами.
Методы проектирования и анализа разработки нефтяных и газовых месторождений могут быть усовершенствованы как путем использования стохастических и адаптационных моделей, так и усложнением детерминированных. Усложнение последних — проблема очень сложная и связана с многослойностью пластов, уточнением математической модели их взаимодействия, учетом нелинейности законов фильтрации, произвольностью области течения и др.
Детерминированные модели, применяемые в теории фильтрации, непрерывно улучшаются и уточняются. В ряде случаев появляются новые модели. Как правило, уточнение моделей приводит к усложнению задачи и применению приближенных методов, погрешность которых в некоторых случаях может превзойти эффек. т, вносимый уточнением. А это, в свою очередь, требует разработки универсальных и эффективно реализуемых на ЭВМ численных алгоритмов, позволяющих вести расчет при более общих предположениях.
Современная методология проектирования разработки газовых и нефтяных залежей немыслима без широкого использования электронной вычислительной техники. Она многократно расширяет творческие возможности инженера, высвобождает его время для решения сложных творческих задач. Поэтому создание методик, алгоритмов и программ расчетов на ЭВМ для прогнозирования показателей разработки газовых и нефтяных месторождений и ПХГ является основой дальнейшего развития теории их проектирования и разработки.
Следовательно, проведение гидрогазодинамических исследований нелинейной фильтрации жидкости и газа в многослойных пористых средах, связанное с решением перечисленных проблем, является важной и актуальной задачей.
2. Обзор литературы. При обсуждении работ по теме диссертационной работы будем придерживаться следующей классификации задач теории фильтрации:
— исследование линейных и нелинейных задач движения однородной жидкости и газа в системе взаимоизолированных пластов при газовом и упругом режимах фильтрации;
— исследование линейных и нелинейных задач теории фильтрации однородной жидкости и газа во взаимосвязанных пластах при газовом и упругом режимах фильтрации;
— б.
— исследование линейных задач фильтрации однородной аномальной жидкости б многослойных пористых средах;
— исследование нелинейных задач взаимного вытеснения жидкостей в многослойных пористых средах;
— исследование нелинейных задач двухфазной фильтрации сжимаемых жидкостей в многослойных пористых средах.
Для описания движения жидкостей и газов в пористых средах предложены различные законы фильтрации, в частности:
— линейный закон Дарси о.
С = - v (p+#k).
— закон с начальным градиентом давления [l73].
I).
Г =.
— мо.
J6.
I7P1.
VP при при.
1УР/ > J> 17Л.
2).
— полигональный закон [169,184].
J =. с А.
JC >
С*.
VP.
VP lvp I VP I.
3) 4.
— закон Хеега [337] /t ^s-i-vp.
— гиперболический закон [169,184^.
VP.
VP w /с it =.
VP.
WPI.
5).
— закон, рекомендованный М. Г. Алишаевым и Г. Г. Вахитовым [20−22] ffJ VP ^ l7Pl*J* > fj*, С б) О при VP)<*j5.
— 7.
— двучленный закон [l67,168].
— VP = tftf — (7).
— обобщенный закон Дареи [З9б] j (8).
— закон фильтрации, предложенный С. А. Христиановичем [340] где & и — скорость и модуль скорости фильтрации соответственноIVPI — модуль градиента давления- / и i* - коэффициенты динамической вязкости соответственно при больших и малых градиентах давления- 0<�р — значение начального градиента давления- ^ и ^ -коэффициенты фазовой проницаемости и проницаемости пористой средыJ) — плотность- ^ - некоторый характерный коэффициент- ^ - ускорение силы тяжестиh — расстояние от рассматриваемой точки среды • до некоторой фиксированной поверхности*ф (Щ — заданная функция,.
После появления фундаментальных работ по теории фильтрации жидкости и газа пористой среды Л. С. Лейбензона [142−144] и М. Маскета [l62,I63,394−396] началось интенсивное формирование нового раздела технической гидромеханики, посвященного теории движения газа и газированной жидкости в пористой среде, какими являются нефтяные и газовые коллекторы. Исследования Л. С. Лейбензона послужили основой для ряда работ П. Я. Кочиной, Б. Б. Лапука, И. А. Чарного, В.Н.Щел-качева и др. Они внесли значительный вклад в развитие отечественной науки по подземной гидрогазодинамик.е.
Большое число исследований по теории фильтрации выполнялось в пределах перечисленных законов (1)-(9) при различных режимах фильтрации. Результаты этих исследований отражены в многочисленных научных статьях, монографиях и обзорных работах. В частности, сюда можно отнести ряд книг и монографий следующих авторов: М.Т.Абасо-ва [1−4], Ф. Б. Абуталиева [7-ю], М. Г. Алишаева [20−22], Г. И.Барен-блатта [з8−4о], В. Я. Булыгина [53−5б], Г. Г. Вахитова [60], Н.Н.Ве-ригина [6l], Н. К. Гиринского [67,68], М. А. Гусейнзаде [77−80,Збб],.
B.Л.Данилова [82−88], К. Н. Дзкалилова [i], В. М. Ентова [47,91−94], Ю. П. Желтова [95], С. Н. Закирова [96−99], А. Н. Коновалова [lI6-I2l], Ю. П. Коротаева [126−128], А. К. Курбанова [135−137], Б. Б. Лапука [l39-I4l], И. И. Ляшко [I48-I50], В. М. Максимова [153,154], Е.М.Мин-ского [167,168], А. Х. Мирзаджанзаде [169−175], Ю. М. Молоковича [179−184], Ф. М. Мухаметзянова [187,188], А. Н. Мятиева [247−249], Н. Н. Непримерова [250], Р. И. Нигматулина [254,255], В. Н. Николаевского [256,257], П.Я.Полубариновой-Кочиной [277−279], В.Г.Пирмамедо-ва [272−274], Х. А. Рахматулина [278], М. Д. Розенберга [292], В. М. Рыжика [293,294], Г. С. Салехова [353], В. В. Скворцова [314], Ф.А.Тре-бина [141,322], Г. Г. Тумашева [72,32l], В. М. Филинова [326−328],.
C.А.Христиановича [340], И. А. Чарного [342−34б], А. Н. Чекалина [347,348], А. Я. Чилапа [351,352], В. Д. Чугунова [350,353], М. И. Швидлера [354,355], П. Т. Шмыгля [364,365], В. Н. Щелкачева [366−369].
По сравнению с раздельной совместная эксплуатация нескольких пластов одной скважиной при всей сложности регулирования отбора газа по отдельным пластам имеет преимущество, заключающееся в значительном сокращении числа скважин. Поэтому при проектировании разработки многопластовых месторождений целесообразно рассматривать варианты их совместной эксплуатации.
Вопросы гидродинамических исследований совместной фильтрации газа и жидкости в многопластовых системах явились объектом ряда работ. Однако вопросы совместной разработки системы пластов рассматриваются в большинстве из них применительно к одной укрупненной центральной скважине.
Результаты исследований, выполненные в этом направлении, обобщены обзором работ в оригинальных книгах Ю.П.Коротаева[126−128] и П. Т. Шмыгля [364,365], где рассматриваются гидродинамические методы исследования скважин при стационарных и нестационарных режимах фильтрации, вопросы вскрытия многопластовых газовых (газоконденсатных) месторождений и регулирование разработки многопластового газового (газоконденсатного) месторождения при различных режимах фильтрации. Также необходимо отметить работы Р. М. Миклина [l65,I66], в которых анализируется совместная работа нескольких газоносных пластов при различных глубинах спуска насос-но-компрессорных труб (НКТ) и различных направлениях потока газа в зоне фильтра ствола скважины.
В большинстве работ, связанных с задачами разработки системы взаимоизолированных многопластовых месторождений жидкости и газа, принимаются математические постановки задач с учетом некоторых особенностей в призабойной зоне. Например, уравнение притока к забою берется в виде двучленной формулы сопротивления, взаимосвязь между пластами (через скважины) учитывается по формуле Адамова, вместо уравнения движения (уравнения Лейбензона) используется уравнение материального баланса и т. д. Расчеты для определения основных показателей разработки по этой методике в настоящее время применяются при составлении проекта разработки многопластовых месторождений газа.
Однако систематическое изучение процессов фильтрации в общей гидродинамической постановке практически отсутствует. Одномерные фильтрационные расчеты в строгой постановке в пределах упругого и газового режимов фильтрации без учета влияния местного сопротивления внутри скважины выполнены в работах Э. Б. Абуталиева [ll-15], К. Бекбаева [12], С. А. Кэюмовой [П, П2]. В них рассматриваются вопросы расчетов и исследований совместной и совместно-раздельной разработки пластовых систем. Взаимодействие пластов обусловлено их совместной разработкой в режиме заданных суммарных дебитов на скважинах.
Аналитическое решение рассматриваемых краевых задач получено сведением расчета искомых локальных дебитов пластов в особых точках к системам интегральных уравнений Вольтерра второго рода. В отдельных случаях получены их точные решения.
Для численных решений краевых задач применяются конечно-разностные методы с итерацией. Автором настоящей диссертационной работы также проводились исследования в указанном направлении. Результаты этих исследований опубликованы в работах f194−203J и обобщены в монографиях [225,230], где учитывается влияние местного сопротивления при проведении фильтрационных расчетов.
Анализ перечисленных работ показал, что отсутствуют работы, выполненные в двумерной постановке задач фильтрации жидкости и газа в системе взаимоизолированных пластов.
Исследование задач фильтрации в многослойных взаимосвязанных пластах за рубежом и в СССР в основном начались после появления работ А. Н. Мятиева [247−249] и Н. К. Гиринского [67,68]. Основываясь на ряде допущений, они вывели систему дифференциальных уравнений течения грунтовых вод во взаимосвязанных пластах. Допущения, положенные в основу так называемой гидравлической теории Мятиева-Гиринского, следующие:
1) границами раздела продуктивных пластов служат слабопроницаемые uponластки;
2) давление в каждом из продуктивных слоев может быть осредне-но по высоте этого слоя;
3) переток пропорционален разности давлений;
4) различие проницаемостей продуктивных и слабопроницаемых слоев столь велико, что поток в слабопроницаемых слоях считается вертикальным;
5) запас упругой энергии жидкости в слабопроницаемых слоях мал и им можно пренебречь.
В последующем появилось большое количество работ, посвященных исследованию течений подземных вод в многослойных пластах и выполненных согласно схеме Мятиева-Гиринского. Основные результаты в этом направлении отражены в монографиях П.Я.Полубариновой-Кочиной [277−279] и в издании «Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917;1967)» [285].
Применительно к нефтегазовой подземной гидромеханике задача о взаимодействии пластов впервые изучена В. Н. Щелкачевым и М.А.Гу-сейнзаде [366]. В этой работе дана более совершенная модель по сравнению с ранней моделью Мятиева-Гиринского. Учитывается изменение давления по мощности в продуктивных слоях, т. е. устраняется допущение 2.
М.А.Гусейнзаде Г77−80,366] обобщил задачи, связанные с учетом проницаемости кровли и подошвы пласта.
В рамках моделей Мятиева-Гиринского и Щелкачева — Гусейнзаде выполнено большое количество исследований применительно к задачам фильтрации жидкостей в многослойных пластах. Полезным дополнением к этим моделям стала работа М. С. Хантуша [335,38б], в которой учитываются запасы флюида в слабопроницаемых пропластках. Для продуктивного слоя, перекрываемого и подстилаемого слабопроницаемыми пропластками, автор устранил 5-е допущение, но оставил 2-е из схемы Мятиева-Гиринского.
Среди исследований, выполненных в рамках модели М. С. Хантуша, отметим работы Ф. Б. Абуталиева [7-ю], Э. Б. Абуталиева [13,14-], М. Б. Баклудшна [10,35], А. Б. Бегматова [45], В. М. Шестакова [359,360] ,.
• - 12.
1 а также работы зарубежных авторов [3?8−380]. Из этого цикла исследований работа Э. Б. Абуталиева посвящена изучению фильтрации газа в трехслойном пласте, а в работах остальных авторов рассматриваются задачи, связанные с исследованием движения грунтовых вод в многослойных пластах.
Следует отметить, что во всех указанных работах, выполненных в рамках модели Хантуша, задачи рассматриваются применительно к фильтрации жидкости в трехслойном пласте. Нам известна лишь работа! Яе Zе ZG Jsrrraef [387], посвященная задаче фильтрации жидкости вслойном пласте в рамках модели Хантуша, где решение ищется сведением исходной системы дифференциальных уравнений к системе интегро-дифференциальных уравнений.
В работе В. М. Максимова [153] на основе допущений, близких к допущениям схемы Мятиева-Гиринского, получена система дифференциальных уравнений, описывающих процесс фильтрации в многослойных пластах, где чередование слабопроницаемых и продуктивных горизонтов не обязательно.
Исследованию погрешностей, вносимых некоторыми допущениями, лежащими в основе указанных выше схем, применительно к задачам фильтрации жидкостей посвящены работы Ф. Б. Абуталиева, Р.М.Барсе-гяна, Н. К. Гиринского, М. А. Гусейнзаде, С. Н. Нумерова и др.
И.И.Ляшко, А. А. Глущенко и их учениками успешно решаются краевые задачи фильтрации в областях сложной формы методами аддитивных разностных схем и суммарных представлений [69−71,147−150]. Причем в большинстве случаев фильтрационные процессы изучаются в строгой гидродинамической постановке. Задача пространственной фильтрации жидкости в многослойной среде рассмотрена А. А. Глущенко [69]. Решение получено методом суммарных представлений Г. Н. Положего [275]. В работе Э. Б. Абуталиева [14] для численного решения двумерных задач нестационарной фильтрации газа в двухслойном пласте используется конечно-разностный метод с применением продольно-поперечной схемы.
Отметим, что результаты автора диссертационной работы, полученные в этом направлении как в точных гидродинамических постановках, так и в рамках упрощенных моделей перетекания жидкостей и газов в многослойных пластах, опубликованы в работах [194−200] и обобщены в монографии [225].
Анализ работ по теории перетекания жидкостей и газов в многослойных пористых средах показал, что несмотря на обилие исследований в этом направлении, работам, посвященным исследованиям двухи трехмерной неустановившейся фильтрации жидкости и газа в многослойных пластах в пределах нелинейно-упругого и газового (с учетом реального свойства газа и неоднородности пласта) режимов фильтрации, было уделено сравнительно мало внимания. Это по-видимому, прежде всего связано с трудностями получения решения из-за математической сложности постановки задач.
В последнее время появилось большое число работ, в которых исследуется фильтрация жидкости, не подчиняющаяся линейному закону. Интерес к таким задачам связан, в первую очередь, с приложениями в теории разработки месторождений аномальных нефтей.
В работах В. А. Алиева [is], М. Г. Алишаева [20−22], М.Г.Бернади-нера [47], В. М. Ентова [91−94], М. А. Геймана [65], А.Ф.Касимова[7б], Р. С. Гурбанова [7б], А. Х. Мирзаджанзаде [169−175], Ю. М. Молоковича.
179−184], С. В. Панько [94], Р. А. Фридмана [65] и др. показано, что некоторые виды нефти в реальных пластовых условиях приобретают структурно-механические свойства, что, естественно, оказывает влияние на их фильтрацию. Эти виды нефти относятся к неньютоновским жидкостям и, в частности, к вязкопластическим. Течение их в пористых средах не подчиняется линейному закону Дарси и существенным образом отличается от фильтрации ньютоновских жидкостей. Характерной особенностью фильтрации вязкопластических жидкостей (ВПЖ) является то обстоятельство, что фильтрация становится существенно заметной лишь после достижения градиентом давления некоторого критического значения.
Так, в 1953 г. А. Х. Мирзаджанзаде предложил феноменологическую теорию фильтрации ВПЖ, в основе которой лежит модель фильтрации с начальным градиентом давления (2).
Если же фильтрация жидкости при малых градиентах давления оказывает заметное влияние на фильтрационную картину в целом, и, следовательно, ею нельзя пренебречь, то в этом случае необходимо пользоваться моделями фильтрации, которые учитывают течение жидкости при малых градиентах давления. К указанным моделям ыожно отнести полигональный (3) и гиперболический (5) законы фильтрации [169, 184].
В.Хеег и Ф. Хефнер Г337] предложили закон фильтрации вида (4).
В литературе описаны и другие виды законов фильтрации жидкостей в пористой среде. В частности, в работах М. А. Саттарова [309,310] приводятся серии таких формул скорости фильтрации в капиллярах и пористых средах в зависимости от градиента напора.
Для математического описания фильтрации с начальным градиентом давления также были введены различные механические модели. Сюда можно отнести и приближенную модель фильтрации (б).
М.Г.Алишэевым, Г. Г. Вахитовым и др. [21] наряду с экспериментальным изучением особенностей фильтрации неныотоновских нефтей разработан метод определения градиента сдвига в промысловых условиях. Модель движения в форме (б) более точно описывает качественную картину фильтрации с начальным градиентом. Достоинством данной модели с математической точки зрения является ее простота.
В обзоре работы [285] В. М. Ентовым сформулирована задача об определении предельно равновесной конфигурации целиков ВПК, возникающих при вытеснении ее водой. В области движения воды имеет место закон Дарси (I), откуда следует, что на границе целика модуль скорости ~т7 fi У.
Развитие и обзор исследований по нелинейной фильтрации осуществлен в издании «Развитие исследований по теории фильтрации в СССР» [285] и в монографии М. Г. Бернадинера и В. М. Ентова [47], М. Т. Горбунова [75], А. Х. Мирзаджанзаде и др. [172], Л. М. Котляра и Э. В. Скворцова [129] и в книгах Ю. М. Молоковича [179−184] .
Обширные исследования нестационарной фильтрации при нелинейном законе сопротивления выполнены в Казанском государственном университетеЮ.М.Молокович [179−184^ внес значительный вклад для проведения методов фильтрационных расчетов нелинейной фильтрации. В результате получены решения одномерной нестационарной нелинейной фильтрации на основании разных законов движения применением методов квазистационарного приближения, операционного исчисления и интегральных соотношенийрешена плоская стационарная задача нелинейной фильтрации. Эти исследования изложены в книге Ю. М. Молоковича и Э. В. Скворцова [l80], а также в ряде статей [179,182]. Особый интерес представляет осуществленное 10.А.Корнильцевым и Ю. М. Молоковичем [122−124^ электромоделирование нестационарных задач фильтрации с предельным градиентом. Необходимо отметить, что таким способом оказалось возможным исследовать распространение по пласту колебаний давления, что не удается сделать существующими приближенными методами. Кроме того, получено значительное число точных и приближенных решений задач нелинейной нестационарной фильтрации, представляющих интерес с методической точки зрения или в связи с определением параметров пласта [125,184].
Постановка и решение задач нелинейной фильтрации по разработке многослойных месторождений неньютоновских нефтей также связаны с именем А. Х. Мирзадианзаде [169−175]. По-видимому, впервые такая постановка дается в работе авторов С. Б. Агаевой, М.А.Гусейн-заде и А. Х. Мирзаджанзаде [1б], где рассматривается движение ВПЕ во взаимосвязанном двухслойном пласте. Дальнейшее развитие эти постановки нашли отражение в работах Э. Б. Абуталиева [11,14] и его учеников [112,295], где для решения задач во взаимоизолированной двухпластовой системе используются приближенно-аналитические и численные методы. Ими также методом конечных разностей решена задача о разработке продуктивного пласта, связанная со слабопроницаемой перемычкой согласно схеме М. С. Хантуша [12,14]. Причем в соседнем плохопроницаемом пласте учитываются значения начального градиента давления.
В.И.Пеньковским и С. Т. Рыбаковой [267] замечено, что наличие даже сравнительно небольших начальных градиентов фильтрации в глинистых пропластках значительно меняет картину движения в основном водоносном горизонте.
Отметим, что начатая постановка задач по нелинейной теории фильтрации и методы их исследования, развитые в трудах А. Х. Мирзаджанзаде, В. М. Ентова и Ю. М. Молоковича, в дальнейшем нашли продолжение в работах автора диссертационной работы и были опубликованы [202, 204,215] и обобщены в монографиях [225,230].
Разработка газовых и нефтяных месторождений, создание подземных газохранилищ поставили перед теорией фильтрации такие проблемы как исследование закономерностей движения газонефтяных, газоводяных и нефтеводяных контактов в природных пластах.
Первые исследования задачи вытеснения, возникшие в связи с вопросом о стягивании контура нефтеносности при водонапорном режиме t течения, принадлежат Л. С. Лейбензону (1934) и М. Маскету (1937). Дальнейшее развитие эта задача получила в работах М. Т. Абасова, В. Я. Булыгина, В. Л. Данилова, К. Н. Джалилова, С. Н. Закирова, Б. Б. Лапука, В. П. Пилатовского, А. М. Пирвердяна, П.Я.Полубариновой-Кочиной, М. А. Пудовкина, Г. С. Салехова, Г. Г. Тумашева, Й. АЛарного, В.Н.Щелка-чева и многих других.
Подробный исторический обзор работ взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде (при поршневой постановке) и анализ полученных результатов исследований применительно к однослойным задачам приводятся в издании «Развитие теории фильтрации в СССР» [285] и в монографиях И. А. Чарного [ 342−346], С. Н. Закирова и Б. Б. Лапука [99], В. Л. Данилова и Р. М. Каца [88] и др.
Более высокие технико-экономические показатели могут быть достигнуты рациональным распределением заданной добычи по пластам и управлением скоростью перемещения границы раздела жидкостей в отдельных пластах в условиях их полной изоляции друг от друга. При этом необходимо учитывать взаимосвязь между пластами через слабопроницаемые перемычки при различных режимах разработки.
М.Т.Абасовым, А. М. Кулиевым и О. А. Мамедовым [3] получены решения отдельных задач разработки многопластового нефтяного месторождения, эксплуатируемого в условиях вытеснения газированной нефти водой законтурной упруго-водонапорной системы. С помощью метода осреднения рассмотрены случаи линейного и осесимметричного вытеснения на примере двухслойного пласта. При этом учет перетока между пластами производится по схеме А. Н. Мятиева, согласно которой течение в перемычке предполагается линейно-одномерным по вертикали.
Ряд вопросов вскрытия и управления многопластовых газовых ме-сторждений, эксплуатируемых при упруго-водонапорном режиме, рассмотрел П. Т. Шмыгля [364,365]. г.
Для многопластового газового месторождения, сложенного пластами различной проницаемости, необходимо осуществить регулируемое продвижение воды не только по площади каждого пласта, но и по всему разрезу. Этого можно достичь регулированием отбора газа из каждого пласта.
Т.С.Балашовой, В. М. Максимовым и В. М. Филиновым [Зб] рассмотрена задача вытеснения одной несжимаемой жидкости другой в пласте, имеющем снизу слабопроницаемую толщу в рамках гидравлической теории перетеканий. Осреднение основного уравнения произведено по схеме, предложенной в работе М. В. Лурье и В. М. Максимова (1969). Точное решение получено для двух предельных случаев, а именно: при и — h- (h — мощность толщи).
Утверждается, что между этими предельными случаями будет действительное течение.
В работе В. М. Максимова f153J приведена более общая постановка задачи вытеснения одной несжимаемой жидкости другой в трехслойном пласте, где две хорошопроницаемые прослойки разделены одной слабопроницаемой перемычкой и, в частности, для некоторого класса граничных условий получено точное решение.
Следует отметить также работу М. Т. Абасова и А. И. Кулиева [4], где задача вытеснения одной фазы другой во взаимосвязанных слоистых пластах формулируется в рамках гидравлической теории перетеканий.
В.Л.Даниловым и Р. М. Кацом разработан новый метод расчета многофазных многомерных течений, названный сначала методом однородных зон [85], а затем методом зональной линеаризации (МЗЛ) [8б]. В работе [87] В. Л. Даниловым предлагается упрощенная схема МЗЛ.
Суть метода состоит в осреднении насыщенности по зонам между выбранными для наблюдения изосатными поверхностями в пространствешшм течении, контурами — в двумерном течении, на которых насыщенность определенной жидкостью сохраняет постоянное значение. Это позволяет линеаризовать уравнение для давления и, пользуясь аппаратом потенциалов простого и двойного слоя, свести исходную задачу к задаче Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение изосат. Достигаемое таким путем снижение размерности задачи является одним из основных преимуществ мзл.
Дальнейшему развитию гидродинамических методов значительно способствовали результаты исследований В. Г. Пирмамедова [49, 272, 273], выполненные по многофазной фильтрации в пористой среде, создание математического моделирования различных процессов массо-переноса жидкостей и газа, позволяющих учитывать совокупность реальных факторов задач, возникающих при эксплуатации подземных газохранилищ, а также газовых и нефтяных месторождений. Автором в рамках поршневой модели и модели Рапопорта-Лиса сформулированы общие математические задачи, описывающие различные двумерные процессы двухфазной фильтрации и позволяющие учитывать неоднородность пластов и т. д. Для решения рассматриваемых задач с единой позиции разработаны численные алгоритмы, базирующиеся на разностно-итера-ционных методах. Показана общность предложенных методов и их преимущество по сравнению с известными.
В ряде работ [253,255] за основу математической модели вытеснения нефти из пластов оторочками мицеллярных растворов, продвижение которых по пласту осуществляется водным раствором полимера и воды, принимаются модели взаимопроникающего движения многоскоростной сплошной среды, предложенные Х. А. Рахматулиным [287] и развитые Р. И. Нигматулиным [254].
Выше отмечено, что впервые задачи вытеснения рассматривались Л. С. Лейбензоном (1934) в так называемой «поршневой» постановке. Изучение течения в зоне двухфазной смеси при вытеснении нефти водой или газом началось в 1940;х годах американскими исследователями Маскетом, Леверетта, Баклеем и др.
Б соответствии с результатами экспериментов предполагается.
1939), что при совместной фильтрации движение каждой из фаз описывается так называемым обобщенным законом Дарси (8), введенным впервые в 1936 году (Wic ко/f, b О i set) ^ Несколько позднее было введено понятие капиллярного давления (разность фазовых давлений) как функции фазовой насыщенности (M.CLeve?eU, Petzol, Tecknot, 1940): где (Г — поверхностное натяжение, — безразмерная функция (Леверетта) насыщенности и краевого угла смачивания 6, определяемая внутренней структурой среды.
Кроме уравнений закона фильтрации, для формулировки задачи о вытеснении несмешивающихся жидкостей используются уравнения неразрывности для каждой из фаз. Поскольку предполагается, что жидкости взаимно нерастворимы, уравнения неразрывности могут быть записаны в следующем виде {J4us/cat апо! Mepes, 1936):
1-(тЛ*.у rtur (/>.%) = е (Ю) где и J) — плотности насыщенность Lй фазы.
Подробный обзор работ по вытеснению несмешивающихся жидкостей в пористых средах приводится в изданиях «Развитие исследований по теории фильтрации в СССР» [285], «Механика в СССР за 50 лет» [16^, в книгах И. А. Чарного [345,34б], М. И. Швидлера и Б. И. Леви [355].
Основные результаты работ, выполненных за последние 10−12 лет, отражены в сборниках научных трудов «Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости», а также в монографиях В. Я. Булыгина [53], В. Л. Данилова и Р. М. Каца [88] и др.
В работе А. Бана [37] на основе схемы предельной анизотропии рассматривалось вытеснение в двухслойном пласте без учета сил гравитации. Из предположения о равенстве давлений в каждой из фаз в обоих слоях следует, что капиллярные давления также должны быть одинаковыми, а это, в свою очередь, означает, что насыщенности слоев и & удовлетворяют соотношению PC2fsj ¦
А.К.Курбановым и И. Ф. Курановым [137] схема К^ = 00 применена к исследованию двухфазного течения в двухслойном пласте с учетом сил гравитации, где ^ - проницаемость.
В работе М. И. Швидлера и Б. И. Леви [355] рассмотрен процесс вытеснения нефти водой из гидрофильной двухслойной среды. Авторы при некоторых естественных предположениях для нефтенасыщенности высокопроницаемого слоя получают одномерное уравнение в частных производных. Для численного решения сформулированной начально-краевой задачи предлагается использовать неявную конечно-разностную схему. Приводятся результаты расчетов на ЭВМ распределений нефтенасыщенности и текущего отбора нефти согласно предложенному алгоритму.
В книге В. Я. Булыгина [55] формулируется математическая постановка задачи фильтрации двухфазной жидкости в многослойных пористых средах. Для слоистых пластов со слабопроницаемыми перемычками функция, выражающая потерю жидкости через кровлю и подошву пласта, предполагается пропорциональной разности давлений выше-и нижележащих пластов. Реализация постановок этих задач рассматривается в работе l8], где авторы также отмечают некоторые проблемы, подлежащие исследованию. В частности, они пишут: 2. Дальнейшее изучение суженных моделей и установление границ их применимости.5. Проблема границы области." .
В работе В. Я. Булыгина и С. М. Зиновьева [56] на основе схемы «Струй», предложенной первым автором, трехмерная задача двухфазной фильтрации в слоистых пластах сводится к двумерной задаче для фиктивных однородных пластов.
Работа Ю. А. Волкова [62] является полезным дополнением модели В. Я. Булыгина [55] на неизотермический случай. Представлены результаты решения задачи для случая разработки гидравлически взаимодействующих трех пропластков при изотермическом и неизотермическом вытеснении нефти с постоянным перепадом давления между галереями, причем, фазовые проницаемости — линейные функции насыщенности. На основе анализа результатов показано, что вблизи нагнетательной галереи, где особенно сильно проявляется неизотермичность условий фильтрации, нефть из менее проницаемых пропластков остается не вытесненной.
А.НЛекалин и В. А. Шевченко [348] провели интересные исследования на примере задачи фильтрации двух несмешивающихся жидкостей в пористой среде без учета капиллярных сил при упругом режиме фильтрации. Ими показано, что при определенных условиях с учетом упругих сил также может возникать скачок насыщенности.
Необходимо особо отметить весомый вклад, внесенным А. Н. Коноваловым в дальнейшее развитие процессов математического моделирования и приближенных методов решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости [lI6-I2lJ. Автором комплексно изучаются вопросы, связанные с постановкой задач теории фильтрацииразработкой и обоснованием экономичных численных методов для их решения, а также проблемой «произвольной области» для задач теории фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости.
3. Выбор и постановка проблемы. Приведенный обзор теоретических.
•исследований фильтрации жидкостей и газа в многослойных пористых средах довольно четко обрисовывает следующую картину. Хотя теоретический фундамент позволяет сформулировать основные задачи, исследованы случаи, связанные либо с существенными упрощениями модели, либо со специфическими видами симметрии решения. Численные методы исследования задачи нелинейной фильтрации жидкостей в многослойных пластах развиты недостаточно.
Цель работынаучное обобщение результатов исследований по механике многофазных газожидкостных потоков в многослойных пластахсоздание методов численного моделирования процессов движения жидкостей и газа, позволяющих учитывать совокупность реальных факторов (нелинейности законов движения, реальные свойства фильтрирую-щихся флюидов и др) — формулировка новой математической модели фильтрации с перетоками между пластами, отличающейся от известных и существенно сокращающей затраты времени при численной реализацииразработка вычислительных алгоритмов, экономичных по числу операций и памяти ЭВМ, для проведения гидрогазодинамических расчетов реальных процессовалгоритмизация в механике жидкостей и газа, позволяющая автоматизировать получение решений прикладных задачприложения к практическим задачам, возникающим при эксплуатации подземных газохранилищ, газовых и нефтяных месторождений Средней Азии. Основные положения, выдвигаемые к защите:
1) постановка и численное решение задач нестационарной фильтрации сжимаемой жидкости и газа при одновременном учете многоедойности пласта, нелинейности законов фильтрации и произвольности области течения;
2) анализ известных приближенных моделей перетоков и формулировка новой простой «промежуточной модели» (ГШ), предназначенной для описания движения однородной и двухфазной жидкостей и газа в многослойных пористых средах при различных режимах фильтрации;
— 24.
3) разработка новых вычислительных алгоритмов, экономичных по числу операций и памяти ЭВМ, и модернизация существующих конечно-разностных и дифференциально-разностных методов решения усложненных задач теории фильтрациидоказательство существования решения характерных задач и установление сходимости приближенных и точных решенийпостроение автомодельных решенийсоздание пакетов программ для получения автоматизированного решения прикладных задач;
4) проведение гидродинамического анализа на основе общей и промежуточной моделей перетоков при фильтрации однородной и двухфазной жидкости и газа при различных режимах.
4. Содержание диссертации. Для правильного описания тех или иных фильтрационных процессов, протекающих в пористых средах, основополагающую роль играет закон фильтрации. Кроме того, немаловажное значение имеет форма его записи, связанная с математическими вопросами исследования и получения решения краевых задач теории фильтрации. В некоторых случаях предпочтительно приведение закона фильтрации к виду, предложенному С.А.Христиано-вичем (9), а в других — целесообразна форма, разрешенная относительно скорости фильтрации. Автором настоящей диссертационной работы принят второй случай, поэтому законы (1)-(6) можно переписать в следующем формализованном виде:
— -jr/c*(W, A -*)vp ^ (II).
— 25 где Л = (Я,, Д, 71л) — параметр формализации;
4/ + (vpy (12) / при — «м единичная функция Хевисайда);
Легко заметить, что форма записи закона фильтрации в виде (II) позволяет генерировать законы (1)-(6) при различных значениях^ и Л. Действительно, при J> =0 следует линейный закон Дарси — (I) — при^ >о И Я =(1,0,0,0,0) — (0,0,0,1,0) — (0,1,0,0,1) — (0,1,1.0,1) — (0,0,0,0,0)-законы фильтрации (2)-(б).
Следовательно, основное преимущество закона (II) сводится к разработке единого вычислительного алгоритма, позволяющего получать решения задач в различных постановках по одной программе. Кроме того, из (12) с учетом (13) получаем.
О ^ к * * 1.
Ь главе I (§§ 1−5) исследованы нелинейные задачи фильтрации однородной жидкости и газа в системе взаимоизолированных пластов в достаточно общей постановке, где учтены реальные свойства газа и упругие свойства жидкости, а также неоднородность фильтрационных параметров пласта.
В § I обсуждается постановка однои двумерных задач фильтрации однородной жидкости и газа в системе взаимоизолированных пластов с произвольным числом и размещением внутренних совместно-раздельных эксплуатационных скважин. Заметим, что выведенные системы квазилинейных параболических уравнений являются аналогом однослойных дифференциальных уравнений фильтрации для газового режима (Л.С.Лейбензона), линейно-упругого (В.Н.Щелкачева) и нелинейно-упругого (В.Н.Николаевского).
На основе задаваемых технологических условий на стенках или устьях скважин выводятся соответствующие краевые и внутренние условия для интегрирования дифференциальных уравнений фильтрации жидкости и газа в системе взаимоизолированных пластов. В данной работе эти задачи изучаются в общей гидродинамической постановке с целью разработать экономичные численные методы для решения подобных классов задач теории фильтрации, оценить точность существующих приближенных моделей, получить более точные расчетные формулы пересчета давления около скважин или на них при решении однои двумерных уравнений фильтрации жидкости и газа в многослойных пластах при совместно-раздельной эксплуатации, изучить степень интерференции эксплуатируемых систем скважин.
В § 2 изучается решение усложненных нелинейных задач фильтрации жидкости и газа в взаимно изолированных многопластовых системах с учетом произвольного числа внутренних раздельных, а также совместных галерей с заданными дебитами.
Для приближенного решения нелинейной краевой задачи однослойной нестационарной фильтрации используется комбинация методов Роте и дифференциальной прогонки. Особенно эффектным оказался метод потокового варианта прогонки А. А. Самарского, когда течение фильтрационного потока рассматривается в кусочно-однородном пласте.
Автором рассмотрены различные вычислительные схемы, проведен их сравнительный анализ, приближенное решение сопоставлено с точным, а также для ряда характерных краевых задач исследованы вопросы устойчивости приближенного решения, выведена оценка погрешности метода, доказана сходимость приближенного решения к точному. На базе созданных вычислительных методов и программы расчетов на ЭВМ исследуются фильтрационные течения как идеального и реального газов, так и линейно-упругого и нелинейно-упругого режимов движения жидкости в системе взаимоизолированных многослойных пористых сред. Дается количественная оценка точности различных способов линеаризации нелинейных краевых задач фильтрации жидкости и газа: так называемый обычный метод линеаризации (ОМЛ), метод линеаризации Лейбензона (МЛЛ) и метод линеаризации ЛейбензонаНиколаевского (МЛН).
Проведен всесторонний гидродинамический анализ при нестационарном движении идеального газа (SJ$ = О) в однои двухслойном пластах. Исследовано влияние степени неоднородности пласта на изменение пластовой энергии при отборе газа. В частности, можно заключить, что лишь при движении газа в хорошопроницаемых пластах можно ограничиться материальным балансом (МБ) газа, для пласта в целом используя понятие среднепластового давления. Движение газа учитывается лишь в малых окрестностях вблизи забоя скважины, причем среднепластовое давление играет роль контурного. На основе анализа расчетов сделан вывод, что при проведении фильтрационных расчетов для однородных, но малопроницаемых пластов желательно использовать уравнения Лейбензона. Показано, что неучет реальных свойств газа и неоднородности пласта при газодинамических исследованиях ведет к существенным количественным ошибкам.
Анализ расчетов для различных значений параметров неоднородности, нелинейности и др. показал, что в ряде случаев расхождение решений между линейной и нелинейной теориями фильтрации жидкости может достигать двух порядков.
Исследована точность различных способов линеаризации нелинейной краевой задачи фильтрации жидкости и газа. Как и следовало ожидать, точность линеаризации сильно зависит от входных данных задачи. Например, с увеличением отбора и неоднородности пласта погрешность линеаризации растет. Для однородных изотропных хорошопроницаемых газовых пластов погрешности линеаризации ОМЛ и МЛЛ для ос — J5 — О не превышают 1%. С увеличением скорости изменения проницаемости при постоянной пористости (f> - О погрешность линеаризации растет, при с*г = б достигает 25%. Произведенные расчеты всевозможных значений и ^ показали, что точность МЛН на один порядок выше, чем ОМЛ для решения нелинейной краевом задачи упругого режима. J3o всех расчетах погрешность МЛН для оГ^/ и не превышает 0,2%.
На основе анализа расчетов отмечено, что изменение поля давления в каждом отдельно взятом пласте системы аналогично изменениям в однослойном пласте. Переток между пластами и время его прекращения, в основном, определяются разностью начально-пластовых давлений и технологическим режимом работы скважины. При этом увеличение разности начально-пластовых давлений и уменьшение расхода скважины вызывают увеличение количества и времени перетока между пластами. Естественно, неучет веса столба газа и местного сопротивления скважины приводят к существенным количественным ошибкам в дебитах пластов. В работе проиллюстрированы результаты серийных расчетов, подтверждающие эти выводы. Далее (§ 3) предлагается «промежуточная модель» (ПМ) для определения основных гидродинамических параметров течения жидкостей и газов в системе взаимоизолированных пластов. Реализация ПМ осуществляется в два этапа. Сначала определяются забойные давления Рс. (Ч) и расходы Qi'(t) J ~х сошлестных скважин, а также среднеплановые давления P. (i), приходящиеся на каждый Lй пластздесь ,., И — J = Sf. Для каждого iго пласта используется уравнение материального баланса, учитывающее как совместно, так и раздельно работающие скважины. Уравнение притока к забою совместной скважины использует одночленную и двучленную формулы для сопротивления соответственно потоку жидкости и газа. В качестве уравнения, учитывающего потери давления между пластами за счет местного сопротивления внутри скважины, в случае фильтрации газа используется формула Адамова.
После определения расходов в отдельных пластах начинается второй этап ПМ. Здесь для каждого Iго пласта приходится решать самостоятельную одномерную или двумерную задачу с целью определения поля давления, а для линеаризации нелинейных членов дифференциального уравнения фильтрации предлагается использовать средне-пластовое давление, вычисленное согласно первому этапу ПМ с последующим применением МЛЛ и МЛН.
При численной реализации краевых задач фильтрации требуется проверить достоверность получаемых приближенных решений. В таких ситуациях возникает острая потребность в точном решении исходной дифференциальной задачи, соответствующей хотя бы предельным значениям входных параметров. В связи с этим приводятся аналитические решения ряда краевых задач теории фильтрации в многослойных пластах (§ 4). Построены автомодельные решения краевой задачи фильтрации в многослойных пластах в прямолинейно-параллельной и плоско-радиальной постановках. Приводятся результаты сопоставления точного и приближенного решений. Выявлено, что решение, полученное с помощью численных методов, хорошо согласуется с точным решением исходной дифференциальной задачи, причем при измельчании шага сетки точность приближенного решения улучшается.
В последнем параграфе данной главы исследуется плоское неустановившееся движение жидкости и газа в системе взаимоизолированных пластов.
Рассматриваемая задача также решается в два этапа. На первом этапе, считая известной долю дебитов (эти величины уточняются методом последовательных приближений) совместных скважин, соответствующую каждому пласту, самостоятельно решаются плановых задач (fb — число пластов). После определения функции давления, на втором этапе уточняются дебиты из lго пласта и забойных давлений совместных скважин. При этом рекомендуется воспользоваться методикой, изложенной в третьем параграфе. Далее итерационный процесс продолжается.
Допустим, что численные алгоритмы решения задач фильтрации основываются на методе расщепления. Тогда, исходя из физической сущности решаемой задачи, произвольная область с границей Г заменяется областью со ступенчатой границей fj. При этом необходимо, чтобы площади областей фильтрации ^ и были равны, т. е. должно сохраниться равенство исходных запасов жидкости и газа по данным областям. Этим добиваются равенства средневзвешенных давлений, вычисленных по обеим областям. Если пренебречь процедурой замены, то при проведении расчетов конечно-разностным методом, основанным на расщеплении, результаты могут получиться завышенными или заниженными. Эта погрешность увеличится, если расчеты вести грубым равномерным шагом по пространственным переменным. Описанный прием апробирован нами на примере плановых задач фильтрации в пределах упругого и газового режимов и получены удовлетворительные результаты.
С помощью многочисленных расчетов на БЭСМ-6 установлено, что указанные численные схемы с любой наперед заданной точностью определяют решение плановой задачи фильтрации при достаточно мелком шаге сетки по пространственным и временным переменным. Таким образом, можно решать лишь методические задачи фильтрации.
Совсем иначе обстоит дело, если требуется проводить гидродинамические расчеты больших нефтяных и газовых площадей. При расчете с шагом по времени не более одних суток уходит несколько часов машинного времени.
В качестве примера приводятся результаты решения двумерной задачи фильтрации газа с эллиптическим контуром. В полученных результатах строго соблюдены симметричность и качественная правильность решаемой задачи. Решается краевая задача фильтрации нефти в произвольной области со ступенчатой границей. Сначала исходная область течения, согласно методу фиктивной области, дополняется до прямоугольника, затем применяется метод расщепления в потоковых сетках с последующим использованием потокового варианта прогонки. Заметим, что процедура формирования данных фиктивной области тесно связана с физической сутью решаемой задачи. В качестве теста рассмотрена задача о плоском притоке жидкости к забою центральной скважины, расположенной в кусочно-однородном круговом пласте. Разбор изменения изобар во времени подтверждает физическую правильность решения поставленной задачи методом численного моделирования.
В работе приводятся также решения краевой задачи фильтрации для более сложных конфигураций областей течения. Отметим, что при численной реализации краевой задачи фильтрации для ненлас-сических областей требуется вводить в ЭВМ информацию для распознавания вида области и ее границы. Здесь предлагается использовать метод R. — функций В. Л. Рвачева для составления предикатного уравнения области, что обеспечивает автоматическое формирование данных фиктивной области [245].
Приведенные примеры показывают, что при численной реализации на ЭВМ двумерной задачи теории фильтрации необходимо учитывать специфические особенности решаемой задачи. На точность вычислительных алгоритмов оказывает влияние неглядкость входных параметров, область фильтрации и другие факторы.
На основании анализа расчетов замечено, что на месторождении с лучшими коллекторскими свойствами уплотнение скважин невыгодно, на месторождении же, имеющем худшие коллекторские свойства, оно целесообразно. При проведении прогнозных расчетов месторождение необходимо рассматривать как единое целое.
Полученные результаты расчетов задачи о совместно-раздельной разработке двух газоносных пластов свидетельствуют о том, что построенный выше итерационный процесс для определения расходов совместной скважины, приходящихся на каждый пласт, сходится за две-три итерации, т. е. после достижения некоторого момента времени расчеты по определению поля давлений можно проводить, взяв вместо Q— (t) его значение из предыдущего временного ' & слоя.
Таким образом, приведенный анализ различных вычислительных схем в определенном смысле расширяет сферу численных алгоритмов, используемых в теории фильтрации, а рассмотренные и апробированные на ЭВМ задачи позволяют более правильно обосновывать схему разработка многопластовых месторождений нефти и газа.
При сопоставлении результатов, полученных по точной и промежуточной моделям, оказалось, что приближенная модель с погрешностью не более 1% позволяет определить показатели разработки на весь срок. При этом затрачивается значительно меньше машинного времени и памяти ЭВМ. Следовательно, с помощью ПМ решение усложненных задач фильтрации жидкости и газа в системе взаимоизолированных пластов сведено к последовательному решению довольно простых задач фильтрации.
Глава П (§§ б — 9) посвящена исследованию нелинейных задач фильтрации однородной жидкости и газа в системе гидродинамически взаимодействующих пластов. Дается общая постановка задачи фильтрации газа в многослойных пластах. Известно, что из общей модели при тех или иных предположениях следуют все известные упрощенные модели теории взаимодействия пластов. Предлагается единый способ получения этих моделей (§ б).
Далее (§ 7) излагается формулировка промежуточной модели. Принцип построения ПМ по всех главах один и отличается лишь учетом специфических особенностей рассматриваемых классов задач фильтрации. Здесь ПМ также реализуется в два этапа. На первом определяется средневзвешенное по вертикали пластовое давление (аналог средневзвешенного пластового давления в однослойных пластах) в многослойных пластах, т. е. решается уравнение материального баланса (МБ), соответствующее взаимодействию систем пластов. На втором этапе для каждого разрабатываемого хорошопро-ницаемого пласта с известным значением перетоков из нижеи вышележащих прослоек самостоятельно решаются соответствующие одномерные или двумерные задачи фильтрации.
Заметим, что при проектировании, анализ и определении пер спектив разработки многопластовых газовых и нефтяных месторождений широко используются значения средневзвешенного пластового давления. Отметим, что результаты решения, согласно ГШ (первый этап), предлагается использовать для линеаризации нелинейных краевых задач фильтрации в общей и упрощенных моделях теории перетоков.
Далее (§ 8) приводятся результаты расчетов и анализ решения ряда задач фильтрации жидкости и газа в трехслойном пласте по различным моделям теории перетоков. Все приведенные четыре модели (Хантуша, ПМ и др.) учитывают упругие запасы плохопроница-емых прослоек.
Анализ расчетов фильтрации газа показал следующее:
1) при определении показателей разработки во взаимосвязанных газоносных пластах целесообразно использовать ПМ, так как проведение расчетов по этой модели намного проще по сравнению с другими, а точность вполне достаточна для практических целей;
— 4.
2) при Л^ /Л* «г 40 все модели с одинаковой точностью описывают нестационарную фильтрацию газа гидродинамически связанных пластов (Л^ и Япроницаемости плохои хорошопроницаемых слоев);
3) при) СП/К10 не следует ожидать отбора газа из плохопроницаемых пластов с помощью разработки хорошопроницаемого пласта;
— з.
4) при Kyj/^ количество перетока определяется главным образом начальными запасами в плохопроницаемых прослойкахпри этом количество перетока характеризуется пределами этого запаса.
Закономерность перетока жидкости в количественном отношении иная, чем в случае газоносных пластов, а в качественном — такая же.
Анализ расчетов показал, что наиболее интенсивный переток из со.
— з седних пластов можно ожидать при значениях J? n /К ^ и что.
ПМ наиболее пригодна для исследования нестационарной фильтрации жидкостей.
Проведенные исследования показывают, что для широких диапазонов изменения входных параметров с помощью ПМ с достаточной степенью точности можно определить показатели разработки при незначительных затратах машинного времени, т. е. в практических расчетах можно с уверенностью применять ПМ.
Установлено, что область применения ПМ в задачах фильтрации газа намного шире, чем в задачах фильтрации жидкости. Во всех проведенных расчетах выявлено, что ПМ с погрешностью не более 1% позволяет определять значения основных показателей для всего срока разработки. Если учесть, что при использовании численных методов для достаточно большого интервала времени вследствие накопления погрешностей иногда трудно получить такую же точность, то можно сделать вывод о целесообразности применения ПМ. Кроме того, в отличие от модели Хантуша, при использовании ПМ сокращается число арифметических операций: до//АЗС раз (А&— шаг сетки) в одномерной и доУ/Л^Р^ раз в двумерной задачах.
Далее изучается фильтрация реального газа и жидкости в нелинейно-упругом режиме в двухслойном пласте.
Краевые задачи фильтрации сформулированы согласно моделям Хантуша и ПМ. По-видимому, аналогичные исследования в теории перетоков проводятся впервые.
Начнем с точности различных способов линеаризации. Результаты показывают, что в рассматриваемом случае (ос-/9//-= OS) погрешность линеаризации по предыдущему слою составляет 7°/о. При фиксированном параметре J> увеличение ос приводит к росту погрешности линеаризации. Например, при эта погрешность достигает уже 30Заметим, что линеаризация краевой задачи фильтрации жидкости во взаимосвязанных пластах в нелинейно-упругом режиме по предыдущему слою предпочтительна для мелких шагов по времени, иначе погрешность линеаризации, допущенная в первом временном слое, может привести к ощутимым ошибкам. Следует отметить, что в данном случае способ линеаризации по материальному балансу (решение первого этапа ПМ) оказался предпочтительным. Погрешность этого способа при =1,4 не превышает 1%, а при схг =2,4 — 13%. В приведенных расчетах краевые задачи линеаризовались согласно ОМЛ. Теперь эти вопросы рассматриваются согласно МЛЛ и МЛН. Показано, что точность МЛН выше ОМЛ более чем на порядок.
Решение задач фильтрации в общей постановке (ОМ) и в рамках упрощенных моделей для пластов призматической формы проводятся на комбинации метода Бубнова-Галеркина (по переменным и ^) и конечно-разностных или дифференциально-разностных методов (§ 9). Расчеты проведены на примере трехслойного пласта.
Рассмотрены два варианта размещения эксплуатационных скважин (равномерный и батарейно-кустовой) с целью исследования потери пластовой энергии. Исследована закономерность трехмерного перетока. Эти результаты позволили выяснить значительное влияние проницаемости перемычки на восполнение запаса разрабатываемого пласта. На основе анализа результатов расчетов показана и экономичность разработанных алгоритмов.
Чтобы оценить точность ПМ для описания трехмерного фильтрационного потока в многослойных пористых средах, рассмотрены два варианта схемы взаимодействия трехслойного пласта. В первом варианте средний пласт — плохоироницаемый, а два соседние — хоро-шопроницэемые прослойки. Отбор осуществляется из первого (нижнего) пласта. Во втором варианте второй и третий пласты считаются хорошопроницаемыми, а первый — плохопроницаемым. Отбор производится из плохопроницаемого пласта. Причем, по обоим вариантам расчеты проводятся согласно ОМ и ПМ.
Отметим, что в практике эксплуатации и анализа многослойных месторождений второй случай встречается мало. Несмотря на это, данный пример характерен с точки зрения всестороннего анализа и оценки применимости ПМ. Кроме того, напомним, что все известные схемы взаимодействия систем пластов, кроме ОМ этот случай не учитывают. Введем обозначения: /С /SC± = О, hf2/L= /, где и /С{ - соответственно проницаемости вышеи нижележащих пластов, И — мощность второго пласта, Ж — длина пласта. Исследования показали, что погрешность I1M для гидродинамических показателей 6 = iOвычисленных согласно первому варианту, составляет 0,01%. Произведены расчеты для разных значений О и (. При этом выявлено, что для I ^ 0,025 и точность ПМ остается высокой, причем величина погрешности та же. Одна из причин высокой точности ПМ заключается, по-видимому, в равномерном размещении отборочных скважин по площади. Для выяснения этого расчета проделаны для одной скважины, расположенной в точке (0.1, 0.1). При этом погрешность ПМ в окрестности скважин составляет 0,1%, а в остальных точках области фильтрации — меньше.
Что касается результатов расчетов по второму варианту для 0 =10^ применительно к работе одной скважины в нижележащем плохопроница-емом пласте, выяснилось, что ухудшение коллекторского свойства пласта влечет за собой неравномерное перераспределение пластовой энергии. Этому способствует и интенсивность отбора. В данном случае ПМ также дает хорошие результаты. Погрешность определения гидродинамических параметров не превосходит 1% за выбранный пе риод интервала времени, но расчеты, произведенные на основании второго варианта по ОМ и ИМ, подтверждают следующие предположения. Затраты по второму варианту в два раза больше, чем по первому. Кроме того, при прочих одинаковых условиях ПМ правильней определяет гидродинамические параметры, чем ОМ. Таким образом, в рассматриваемом случае погрешность IIM оказалась меньше, чем погрешность приближенного метода, реализующего ОМ. Этот эффект дополнительно повышает значимость применения IIM для описания массообменных процессов в системе взаимодействия пластов.
Проведенные расчеты показали, что область применения ПМ в газовых задачах гораздо шире, чем в задачах, связанных с разработкой многопластовых нефтяных месторождений.
Далее обсуждаются вопросы достоверности приближенного решения. С этой целью на примере трехмерной краевой задачи фильтрации газа дано сопоставление точного и приближенного решений. Точное решение построено методом пробной функции. В рассматриваемом случае погрешность между точными и приближенными значениями решений не превышает 0,00Г/о. Кроме того, исследована точность линеаризации трехмерной нелинейной краевой задачи фильтрации.
Глава Ш (§§ 10 — 14) посвящена исследованию неустановившегося движения однородной вязкопластической жидкости (ВПЖ) в системе взаимоизолированных и взаимосвязанных многослойных пористых сред.
Б § 10 сформулирована ПМ для описания движения ВПЖ в многослойных пластах.
В § II поставлены и решены задачи одномерного течения ВПК в системе взаимоизолированных пластов. При формулировке математической модели закон фильтрации представлен в виде (II).
Приближенный метод решения задачи основан на сведении много/ слойной задачи фильтрации к однослойной краевой задаче методом итерации относительно расхода в каждом пласте. Предлагается использовать метод конечных разностей с последующим применением встречного потокового варианта разностной прогонки. Результаты расчетов изложены на примере 5-слойного пласта. Исследована численная сходимость приближенного решения. Анализ результатов показал, что полученные данные хорошо согласуются с погрешностью аппроксимации конечно-разностного метода — С. даН0 сопоставление решения одном и той же задачи по перечисленным постановкам. Исследованы закономерности перетока между пластами при различных значениях начального градиента давления.
Заметим, что после построения метода последовательных приближений дифференциальное уравнение нелинейной фильтрации превращается в вырождающееся уравнение на границе области (зона возмущения.
— 1V</). Трудности решения уравнения такого вида очевидны, однако их удалось преодолеть благодаря применению метода потокового варианта прогонки.
В § 12 приводятся автомодельные решения одномерной задачи фильтрации ВПК в системе взаимоизолированных пластов согласно полигональным законам фильтрации и с начальным градиентом давления.
Сравнение точного и приближенного решения показало, что точность численного решения согласуется с погрешностью аппроксимации конечно-разностного метода — .
В § 13 решена одномерная задача фильтрации ВП1 в трехслойном пласте. Согласно модели Хантуша и ПМ, проведен их сопоставительный анализ. Подробно дается алгоритм построения приближенного решения, основанный на комбинации методов Роте и дифференциальной прогонки.
— 40.
Эти данные позволяют сделать следующие выводы: а) по ПМ можно определить показатели разработки на весь срок эксплуатации месторождения с погрешностью не более I%- б) неучет проявлений эффекта начального градиента давления приводит к ощутимым ошибкам при определении показателей разработки, особенно при значениях J> 10″- в) для проведения практических расчетов (в пределах рассматри.
— 4 ваемой постановки) можно пренебречь значением f> ^ 10, т. е. в этих диапазонах изменения J> вязкопластическую нефть можно рассматривать как ньютоновскую, что значительно упрощает фильтрационные расчеты проекта разработкиг) влияние j> на величину перетока жидкости особенно заметно в начальной стадии разработки, при неучете которого увеличивается интенсивность перетока жидкости.
Сопоставлены значения давления, вычисленные по разным законам фильтрации. Отметим, что при проведении расчетов на ЭВМ по ПМ машинного времени затрачено в 27 раз меньше, чем по модели Хантуша. Кроме того, ПМ примерно в 5 раз меньше занимает память ЭВМ.
Итак, на основании проведенных исследований можно сделать вывод, что неучет начального градиента давления при определении показателей разработки приводит к ощутимым ошибкам. Газодинамическое исследование нестационарного взаимодействия систем пластов ВПЖ с большой степенью точности можно проводить по ПМ.
В § 14 исследуется двумерное течение ВПЖ в системе взаимосвязанных многослойных пористых сред на основе ПМ. Не вникая в подробности содержания данного параграфа, ограничимся лишь перечислением основных результатов. Приводится аналог формулы Дюпюи! учитывающий влияние начального градиента давления в возможных формах нелинейного закона фильтрации. Выведенные формулы используются в дальнейшем для пересчета давления в окрестности скважины. На примере трехслойного пласта произведены расчеты для различных конфигураций области фильтрации: эллиптической, круговой, прямоугольной и ступенчатой. Размещение эксплуатационных скважин по площади произвольно. Здесь также даются результаты расчетов по кусочно-линейному (полигональному) закону фильтрации.
Приводимые табличные данные подтверждают правильность предыдущих выводов относительно перетока при движении ВПЖ в многослойных пористых средах. Замечено, что применение консервативных разностных схем А. А. Самарского в потоковых сетках гарантирует успешное решение плановых задач нелинейной фильтрации в неоднородных пористых средах. При этом для расщепления двумерного уравнения фильтрации для неклассических областей используется метод фиктивных областей.
Далее отметим, что реализация столь сложной краевой задачи нелинейной фильтрации и доведение ее до числовых результатов удались благодаря предложенной автором промежуточной модели.
— 298 -ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
1. Даны постановка и решение однои двумерных задач фильтрации однородной жидкости и газа во взаимоизолированных многопластовых системах. В основе метода лежат специальным образом организованные последовательные приближения, согласно которым исходная задача редуцируется к последовательному решению однои двумерных однослойных и одномерных (по вертикали) задач фильтрации.
— Показана область применимости уравнения материального баланса G.1B) для расчета показателей разработки многопластовых систем.
— Оценены различные способы линеаризации, используемые при проведении гидродинамических расчетов, и доказано, что наиболее приемлемой для практически интересных случаев является линеаризация с использованием среднепластового давления. Предложены различные способы, позволяющие свести сложные задачи к более простым посредством квазистационарности и квазиодномерности решения.
— Исследовано влияние неоднородности и нелинейности в фильтрационных потоках и показано, что лишь при движении газа в хорошопроницаемых пластах можно использовать условие МБ. Для однородных, но ыалопроницаемых пластов желательно использовать уравнение Лейбензонэ. Неучет реальных свойств газа и неоднородности пластов при газодинамических исследованиях ведет к существенным количественным ошибкам. В ряде случаев расхождение между результатами, полученными по линейной и нелинейной теориям фильтрации может достигать двух порядков.
2. Поставлен и решен класс задач теории нестационарного взаимодействия систеы пластов жидкости и газа в пределах газового и упругого ренинов фильтрации.
— Методом Бубнова-Галеркина решен ряд пространственных задач, что, кроме расчетных целей, позволило уточнить некоторые гидродинамические приемы, в частности, квазиодномерности и квазистационарности.
— Установлено, что модель Мятиева-Гиринского можно применять при решении задач фильтрации газа в многослойных пластах с гарантией высокой степени точности во всем диапазоне изменения соотношений проницаемости хорошои плохопроницаемых пластов, если запасы слабопроницаемых прослоек незначительны.
— При/Г^//С^отбор газа из плохопроницаемых пластов с помощью разработки хорошопроницаемого пласта незначителен. з.
— При Л^ /К $ {0 количество перетока определяется главным образом начальными запасами в плохопроницаемых прослойках.
— Закономерность перетока жидкости в количественном отношении иная, чем в случае газоносных пластов, а в качественномтакая же. Анализ расчетов показал, что наиболее интенсивный переток из соседних пластов можно ожидать при значенияхз.
Сп/А?ъ40 коэффициенты проницаемости плохои хорошопроницаемых пластов).
— Неучет нелинейного режима фильтрации заметно влияет на закономерности межслойных взаимообменных процессов. Действитель но, при <�Х- = 2,5 вычисленное давление на забое скважины отличалось в 3,5 раза от давления при.
3. Сформулированы и решены одномерные и двумерные задачи нестационарной нелинейной фильтрации в гидродинамически взаимосвязанных пластах в рамках модели Хантуша и упрощенных математических постановках.
— Определены поля давлений в трехслойном пласте, значения межслойных перетоков и границы возмущений. Выявлено, что в случае разработки замкнутого трехслойного пласта в начале отбора происходит интенсивное падение давления в среднем разрабатываемом пласте. Далее, по мере подключения соседних прослоек, давление стабилизируется вследствие пополнения запасов за счет перетоков жидкости, и, спустя некоторое время, снова заметно падает. В этот момент изменение давления почти такое же, как и в случае линейного закона фильтрации. Проведен сравнительный гидродинамический анализ фильтрации жидкости и газа в многослойных пористых средах по различным законам движения: линейному, с начальным градиентом давления, полигональному, гиперболическому и др. Показано, что результаты, полученные по законам Хеега, близки к линейным. ЕслиJ> =10″, то разница при определении давления составляет 2,3 $. В таком же процентном соотношении находятся результаты расчетов по гиперболическому закону и закону начального градиента давления. Эти данные зависят от условия задачи. Например, при исследовании нелинейной фильтрации во взаимоизолированных пластах разница в значениях давлений на забое совместно отбираемой галереи составила свыше 25%.
— Показано, что отсутствие учета проявлений эффекта начального градиента давления приводит к значительным ошибкам при.
— з определении показателей разработки, особенно при. В рас.
— з, сматриваеыом примере/О и t =1000 сут. Недоучет нелинейного эффекта при определении давления на забое галереи приводит к результатам, завышенным на 10 $. В другом примере (исследование фильтрации ВПЖ во взаимоизолированных пластах) эта разница составила свыше '50%. Привязкопластическую нефть можно рассматривать как ньютоновскую жидкость.
— Установлено, что при отбор жидкости из слабопроницаемых пластов при разработке хорошопроницаемых пластов незначителен .
— Построены приближенные формулы (типа Дюпюи) для уточнения забойных давлений при разработке многослойных пластов и показано, что неиспользование этих формул при вычислении забойных давлений приводит к 10%-й ошибке.
4. Сформулирован и решен класс нелинейных задач по взаимному вытеснению одной жидкости другой во взаимоизолированных и взаимосвязанных многослойных пластах на основе теории Лейбензона-Маскета и Баклеи-Леверетта.
— При проведении гидрогазодинамических исследований во взаимоизолированных многослойных пористых средах по схеме Лейбензона-Маскета недоучет влияния местного сопротивления приводит к качественно правильным, но количественно ошибочным результатам, особенно при определении расходов отдельных пластов.
— Закономерность перетоков для замкнутых пластов носит стабилизирующийся характер, т. е., несмотря на различие начально-пластовых давлений и степень неоднородности отдельных пластов, их расходы со временем устанавливаются, оставаясь при этом, как и при газовом режиме, прямопропорциональными коэффициентами фильтрации.
— 3 случае полузамкнутого пласта закономерность перетока и количественная его характеристика иная. Анализ полученных результатов, в частности, показал, что при заданном темпе отбора поддержание постоянного давления на контрольно-нагнетательной батарее может нарушить балансовое соотношение пластовой энергии в связи с более высоким темпом вытеснения относительно темпа отбора. Б результате до некоторого момента времени пластовое давление возрастает, затем интенсивность вытеснения уменьшается относительно интенсивности отбора. Это обусловлено уменьшением градиента давления на границе раздела и заметным удалением положения ГВК от нагнетательных батарей, за счет чего в последующих этапах пластовое давление постепенно начинает понижаться. Упругие свойства пласта и пластовой воды в начальных стадиях процесса мало проявляются, но когда ГВК достаточно удален от нагнетательных батарей, они становятся заметными.
— Анализ выявил, что увеличение проницаемости перемычки от ТО" *3 до 10″ 3 в основном влияет на количественные характеристики взаимообмена между пластами, существенно не влияя на механизм процесса вытеснения.
— Исследованы закономерности перетока в замкнутом трехслойном пласте, разделенном слабопроницаемом перемычкой, где один пласт разрабатывается, а отбор из второго равен нулю.
5. Предложена новая простая «промежуточная модель» (Ш.1), обладающая высокой точностью и предназначенная для описания движения однофазных и двухфазных жидкостей и газов в многослойных пористых средах при различных режимах фильтрации.
— На основании анализа проведенных расчетов показана целесообразность использования ПМ в гидрогазодинамических исследованиях как при газовом, так и при нелинейно-упругом режимах фильтрации во взаимоизолированных и взаимосвязанных многослойных пластах, так как проведение расчетов по этом модели намного проще по сравнению с другими, а точность вполне достаточна для практических целей.
— На основе моделирования фильтрационных процессов движения однородной жидкости и газа по Хантушу и Па! с учетом нелинейно.
— 303 упругого режима и реального свойства газа, а также ВПК, согласно разным нелинейным законам фильтрации во взаимосвязанных пластах, доказано, что расхождение результатов, полученных по обеим моделям, не превышает 1% за весь срок разработки, и, кроме того, реализация по ПМ дешевле реализации по модели Хантуша в 0(?) рзз для одномерных и Раз «Для двумерных задач. Благодаря этому, удалось решить двумерную задачу фильтрации ВШИ в трехслойном пласте.
— Сопоставление результатов расчетов фильтрационных процессов нестационарного взаимодействия систем пластов по общей трехмерной модели и по ПМ показало, что погрешность ПЫ не превосходит 1/а для всех значений пространственных и временной переменных. Это свидетельствует о том, что в рамках упрощенных моделей теории перетоков ПМ может считаться полезным дополнением.
— Результаты первого этапа ПМ используются для линеаризации нелинейной краевой задачи фильтрации однородной жидкости и газа.
— Установлена применимость ПМ для описания неустановившегося движения двухфазной жидкости в многослойных пористых средах, причем с помощью результатов первого этапа ПМ можно линеаризировать нелинейные члены дифференциальных уравнений фильтрации для рассматриваемого хорошопроницаемого пласта. б. Для численного решения задач нестационарной линейной и нелинейной фильтрации в однои многослойных системах разработаны и реализованы на ЭВМ эффективные алгоритмы с использованием консервативных разностных схем А. А. Самарского и методов прямых по временной переменной и дробных шагов Н. Н. Яненко, а также фиктивных областей, развитого А. Н. Коноваловым и др. Рассмотренные алгоритмы позволяют получить с заданной точностью.
— 304 устойчивые во времени численные решения. Особенно эффективным оказался потоковый вариант конечно-разностного метода, предложен ный А.А.С, а м арс ким.
— Впервые методом фиктивных областей и дробных шагов в потоковых сетках исследован процесс фильтрации вязкопластической жидкости в двумерной постановке с различной конфигурацией трехслойного пласта. Использование метода фиктивных областей в плановых задачах фильтрации с различной геометрией пористых сред ускоряет построение численного алгоритма и существенно облегчает составление программ для ЭВМ.
— На основе комбинации методов./? -функции, фиктивных областей, дробных тагов и потоковых вариантов прогонки показана возможность решения двумерных линейных и нелинейных задач нестационарной фильтрации однои двухфазных жидкостей для неклассических областей.
— Исследованы вопросы корректности постановки класса смешанных линейных и нелинейных краевых задач неустановившейся фильтрации, доказана сходимость приближенного решения, полученного методом Роте, к точному.
— Для линеаризованных краевых задач фильтрации жидкости и газа в многослойных пластах методом потоковой разностной прогонки построен вычислительный алгоритм, выведены априорные оценки и установлены оценки погрешности приближенного решения.
7. Построен класс автомодельных и аналитических решений для линейных и нелинейных задач фильтрации во взаимоизолироввнных многослойных пластах. Полученные формулы, в частности, используются для тестирования решения краевых задач теории фильтрации.
8. Описаны основные принципы и блоки пакета прикладных программ «Фильтр-!11 для автоматизации фильтрационных расчетов, созданного под руководством автора на основе алгоритмов, предложенных в работе.
9. 13 результате применения разработанных методик, алгоритмов и программного обеспечения условная годовая экономия составила пятьсот тысяч рублей и достигнуто повышение научно-технического уровня проектов и анализов разработки, эффективности проектных решений и степени обоснованности выдаваемых рекомендаций по газовым месторождениям Шатлык, Южный Мубарек, Зеварды и др., а также Полторацкого, Андыгенского, Майского подземных хранилищ Средней Азии.
