Идентификация неоднородных свойств стержней и пластин при изгибных колебаниях

Модели механики деформируемого твердого тела с постоянными коэффициентами достаточно апробированы и являются важным инструментом при исследовании практически важных задач на прочность, устойчивость и колебания. Эти модели формировались на протяжении более чем двух столетий, начиная с классических моделей теории упругости. Практическое использование простейшего варианта — (линейно-упругое изотропное однородное тело) базируется на определении двух упругих постоянныхмодуля Юнга и коэффициента Пуассона на основе стандартных макроэкспериментов (опыты на растяжение и кручение стержней). Эта модель стала эффективным средством анализа многих научно-технических задач не только в механике деформируемого твердого тела, но и в смежных областях (машиностроение, геофизика, строительство). Для нее сформулированы строгие математические постановки краевых задач, доказаны теоремы существования решений, разработаны эффективные методы построения численных решений. В то же время отметим, что при исследовании ряда проблем эта модель оказывается недостаточно адекватной для описания динамического поведения деформируемых твердых тел и усложнение этой модели приводит к отказу либо от гипотезы однородности, либо от гипотезы изотропии. Отказ от гипотезы однородности приводит к тому, что деформирование даже для простейших объектов (стержни, пластины) описывается дифференциальными операторами с переменными коэффициентами. Теория упругости неоднородных тел начала развиваться относительно недавно. Основное внимание при анализе моделей неоднородной теории упругости уделялось как общим вопросам существования решений, разработке эффективных численных схем (в основном на базе конечноэлементных технологий), так и способам построения усредненных моделей с постоянными коэффициентами для описания деформирования в средах с быстро меняющимися коэффициентами. Такие подходы оказались весьма важными с точки зрения механики композитов. Тем не менее, с практической точки зрения в последние годы значительный интерес представляет более детальное исследование механических свойств материалов со сложной неоднородностью [1−5]: полимеркомпозитов, функционально-градиентных материалов, геологических пород, биологических тканей. Их структура и механические свойства стали объектом широких научных исследований. Прямые экспериментальные оценки механических свойств таких материалов, обладающих сложной реологией и неоднородностью, требуют больших временных и материальных затрат.

Отметим, что для практического использования простейшей модели неоднородного тела — неоднородной изотропной теории упругостинеобходимо знать три функции (модули Ламе и плотность среды), которые должны быть заданы при помощи некоторых функциональных зависимостей, предварительно определяемых из некоторых экспериментов или наблюдений. Наиболее часто такие зависимости предполагаются одномерными и исследование возможных проблем, возникающих при анализе таких задач, естественно начать с простых задач для стержней и пластин. Наиболее распространенный способ нахождения искомых характеристик — анализ отклика исследуемого объекта в виде амплитудно-частотных зависимостей некоторых граничных точек. При этом задача определения одной из функций при известных других приводит к исследованию довольно сложных нелинейных обратных задач для дифференциальных операторов второго и четвертого порядков. К настоящему времени задача об определении характеристик неоднородных упругих стержней подробно исследована в ряде работ.

Отметим, что существует путь, существенно упрощающий сформулированную задачу отыскания неизвестных характеристик. Он опирается на довольно часто принимаемый кусочно-постоянный характер изменения искомых характеристик. Для некоторых задач в заданном диапазоне изменения параметров такой подход оправдан, поскольку это предположение существенно сужает область поиска неизвестных характеристик и значительно упрощает исследование обратных задач. В то же время отметим, что такое сужение поиска может привести к значительному искажению результатов идентификации.

Поэтому требуется разработка эффективных методов идентификации неоднородных характеристик деформируемых твердых тел, описывающих их свойства (например, на основе концепции динамических модулей в рамках простейших неоднородных моделей вязкоупругости).

Они опираются на акустические методы зондирования и аппарат обратных коэффициентных задач в механике деформируемого твердого тела [6−18], позволяющий восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта [19]. В настоящее время обратные коэффициентные задачи — бурно развивающаяся часть современной математической физики, в которой рассматриваются новые постановки, разрабатываются экономичные эффективные алгоритмы, строятся итерационные схемы. Все большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность как раз благодаря достижениям теории обратных задач.

Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. Решение таких задач проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и состоит в определении параметров математической модели по имеющейся экспериментальной информации.

Обратные задачи обладают рядом неприятных с математической точки зрения особенностей. Во-первых, они, как правило, нелинейны, то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или функциональное уравнение, связывающее искомые и заданные функции, нелинейным образом. Во-вторых, решения обратных задач обычно не единственны. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать избыточности экспериментальной информации, например при определении формы полости в теле при помощи регистрации отраженных волн необходимо знание отраженного поля в некотором диапазоне изменения частоты. В-третьих, обратные задачи являются некорректными.

Основы теории условно-корректных задач, или некорректных задач, были заложены академиком А. Н. Тихоновым. В дальнейшем в рамках этого направления сформировалось несколько научных школ. К середине 60-х годов наука обогатилась публикациями А. Н. Тихонова и других отечественных ученых по некорректным задачам [20−35]. Все предложенные им методы имеют эффективную численную реализацию. Созданная А. Н. Тихоновым общая теория регуляризации некорректных, в частности, обратных задач использует сложный аппарат функционального анализа. Метод регуляризации был использован А. Н. Тихоновым для решения вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, линейных и нелинейных интегральных уравнений первого рода, задач математического программирования, оптимального управления, устойчивого суммирования рядов Фурье и многих других.

Представим небольшой обзор решенных задач для стержневых и пластинчатых структур, которые являются наиболее простыми и распространенными конструктивными элементами.

В работе [36] рассмотрена обратная задача о деформации для неоднородных колонн, суть которой заключается в нахождении распределения модуля упругости для неоднородной колонны постоянного поперечного сечения по ранее определенным деформациям, заданным многочленами. Обезразмеренная функция смещений и жесткость представлены в виде многочленов от некоторого безразмерного параметрапри этом коэффициенты разложения жесткости считаются неизвестными. При подстановке этих функций в уравнение колебаний и с помощью приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях безразмерного параметра получена система линейных уравнений для определения коэффициентов разложения жесткости. Приведены результаты вычислений для различных граничных условий.

В статье [37] приведены некоторые новые классы обратных задач в нелинейной механике. Рассмотрены три класса задач: первая — об определении упругопластических свойств стержня из экспериментов на кручениевтораяоб определении упругопластических свойств 3-х мерного тела из экспериментов по сферическому вдавливаниютретья — об определении неизвестного модуля упругости из уравнения изгиба. Получены слабые решения всех прямых задач в соответствующих Соболевских пространствах. Доказано существование квазирешений всех сформулированных задач. Представлены некоторые численные результаты.

В [38] предложена новая аналитическая модель для анализа колебаний и идентификации параметров композитной балки переменной жесткости. Она основана на аппроксимации исходной балки другой балкой, имеющей кусочно-постоянные свойства. Показано, что жесткость каждой составляющей балки может быть восстановлена по спектральным данным. Для каждой однородной балки рассмотрены уравнения колебаний и удовлетворены условия сопряжения. Общая жесткость конструкции получена осреднением. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

В работе [39] рассмотрена задача идентификации коэффициентов уравнения балки при граничных измерениях смещений. Изучены крутильные колебания консольно-защемленного на одном конце стержня. В качестве входных данных для решения задачи идентификации использованы смещение и угловая скорость на свободном конце стержня. Показано, что плотность и изгибная жесткость стержня могут быть единственным образом определены в классе непрерывных функций, если входные данные известны на бесконечном промежутке времени.

Статья [40] посвящена идентификации кусочно-постоянных коэффициентов, входящих в уравнение изгибных колебаний балки. С помощью разложения в ряды авторы сводят динамическую задачу к спектральной. Неизвестный коэффициент восстанавливают через заданное отображение Дирихле-Неймана. При этом в спектральной задаче считаются заданными собственные функции.

В работе [41] для идентификации механических свойств металлических материалов предложен анализ, основанный на данных экспериментальных результатов, полученных из испытаний индентирования. Входной информацией для идентификации считается кривая сила-внедрение. Отмечена необходимость дополнительного измерения максимальной глубины внедрения. Отмечена практическая применимость предложенного подхода в силу простоты испытания. Процедура решения состоит частично из детерминированного подхода и обычных алгоритмов оптимизации, использующихся для минимизации функционала невязки. Представленные результаты свидетельствуют об особых преимуществах предложенной методики в идентификации модуля упругости, основанной на минимальном количестве входной информации, собранной из экспериментальных данных. Метод апробирован на идентификации материальных свойств сплава А1 2024.

В работе [42] представлена обратная задача идентификации реологических параметров на основе конечно-элементной модели. Решение прямой задачи, моделирующее напряженно-деформированное состояние в процессе временных испытаний на ползучесть, основывалось на конечно-элементной модели объекта. Сформулирована обратная задача, цель которой состоит в том, чтобы определить вектор параметров, описывающий реологию. Способ его определения состоит в стандартной процедуре минимизации целевой функции с помощью метода наименьших квадратов, представляющей собой сумму квадратов разностей между экспериментальными и числовыми данными в некотором наборе точек.

В статье [43] рассматривается идентификация механических свойств слоистых полимерных композитов, основанная на экспериментальных данных. Предложен метод, основная идея которого заключается в определении параметров простых математических моделей по отклику структуры в контрольных точках расчета, полученных из экспериментов. Отмечено, что по сравнению с обычными методами минимизации квадратичных функционалов, возникает существенное сокращение числа вычислений минимизируемого функционала. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

Следующие несколько работ посвящены идентификации механических характеристик пластин переменной жесткости.

В работе [44] рассмотрена задача об идентификации упругопластических механических свойств биметаллических листов гибридно-обратным способом. Для идентификации предложен подход, основанный на регистрации отклика. Сущность метода состоит в объединении экспериментального подхода, использующегося для получения исходных данных, числового моделирования и обратного метода поиска непосредственно для идентификации параметров. Приведен пример численной реализации представленного подхода на примере листа из нержавеющей стали, обшитой медью.

В работе [45] рассматривается задача идентификации упругих механических слоистых композитных пластин на основе данных вибрационных измерений. Представлена методика неразрушающего контроля, использующая данные вибрационной диагностики. Для аппроксимации смещений пластины использован метод Релея-Ритца, причем в качестве координатных функций использованы многочлены Лежандра. Определены собственные частоты. Приведены результаты экспериментальных исследований и показана эффективность предложенного подхода.

В статье [46] представлен теоретико-экспериментальный подход для идентификации упругих модулей композитной пластины. Подход основан на многоуровневом моделировании и двухступенчатой процедуре идентификации. На первом шаге модули Юнга и сдвига определяются на основе генетического алгоритма, а на втором — они уточняются с помощью минимизации интеграла вероятности ошибки.

Работы [47−48] посвящены методу активной резонансной вибродиагностики, основанному на анализе амплитудно-частотной характеристики, представляющей собой отклик механической системы на гармоническое возбуждение в некоторой точке тела. В работах [49,50] данный подход был применен к исследованию резонансных свойств болыиеберцовой кости. Вибрационный мониторинг рассматривался как неинвазивный метод контроля жесткости костной мозоли в процессе сращения. Представлены результаты серии клинических вибрационных измерений пациентов с переломами болыпеберцовой кости.

В работе [51] рассмотрены вопросы динамического моделирования биомеханических систем, состоящих из болыпеберцовой кости человека и устройств внешней фиксации в виде простейшей рамной конструкции и аппарата Илизарова. Моделирование проведено на основе метода конечных элементов. Проведен численный вибрационный анализ в различных точках на поверхности кости и фиксатора, позволивший определить основные низшие резонансные частоты, формы колебаний системы, а также и амплитудно-частотные характеристики системы. Для математического моделирования срастания кости были рассмотрены различные варианты механических параметров регенерирующей костной ткани в зоне перелома. Значения резонансных частот и формы колебаний, полученные в результате вибрационного анализа неповрежденной кости и кости в аппарате внешней фиксации, могут служить теоретическим фундаментом для разработки вибрационных резонансных методов диагностики состояния костной мозоли после перелома и проведенной хирургической операции.

В работах [52−53] рассмотрен ряд одномерных обратных задач об установившихся продольных и изгибных колебаниях прямолинейного упругого неоднородного стержня под действием периодической во времени силы. Для решения поставленной обратной задачи использован метод линеаризации. Прямая задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода. В случае двух неизвестных функций составлена система интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода. Интегральное уравнение решается численно на основе метода коллокаций. Исследован вопрос единственности решения. Обратная задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с суммируемым ядром, которое порождает вполне непрерывный оператор в пространстве суммируемых с квадратом функций (в случае двух неизвестных функций составлена система интегральных уравнений). На основе аппарата интегральных уравнений Фредгольма построен итерационный процесс. Приведены результаты вычислительных экспериментов. Необходимо отметить, что в рассмотренной постановке (консольная заделка) одновременно удается однозначно восстановить две неизвестные механические характеристики из двух независимых экспериментов.

В работе [54] рассмотрены прямая и обратная задачи об установившихся поперечных колебаниях цилиндрического стержня с дефектом в форме полости малого относительного размера. Предложен подход к определению местоположения и объема полости произвольной формы. Представлены результаты вычислительных экспериментов, проведен их анализ.

В статьях [55−56] рассмотрен общий подход к проблеме реконструкции неоднородного предварительно напряженного состояния в упругом теле по амплитудно-частотным характеристикам, измеренным на части его границы. Последовательность линейных некорректных задач, позволяющих осуществлять процедуру уточнения компонент тензора предварительных напряжений, построена на основе сформулированного ранее обобщенного соотношения взаимности. В качестве примера рассмотрена задача для предварительно напряженного стержня при изгибных колебаниях, для которой представлены операторные уравнения и серия вычислительных экспериментов по восстановлению монотонных функций распределения предварительного напряженного состояния.

В работе [57] представлена задача об идентификации неоднородного предварительного напряженного состояния по данным акустического зондирования. Рассмотрена слабая формулировка. Прямая задача решена на основе метода конечных элементов на примере стержня прямоугольного поперечного сечения. Проведен анализ влияния уровня предварительных напряжений на амплитудно-частотные. Интегральное уравнение Фредгольма первого рода с непрерывным ядром относительно поправок функции предварительных напряжений сформулировано на основе идеологии метода Ньютона для решения нелинейных обратных задач. Предложена схема восстановления закона изменения предварительных напряжений, основанная на построении итерационного процессапроведена серия вычислительных экспериментов по восстановлению гладких законов при различных способах нагружения. Представлены обоснованные рекомендации по выбору наиболее эффективных способов нагружения и частотных диапазонов.

В статье [58] рассмотрена задача о восстановлении неоднородных вязкоупругих характеристик стержня при анализе крутильных колебаний. Сформулировано обобщенное соотношение взаимности, предложен итерационный алгоритм, основанный на решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода с гладкими ядрами на основе метода А. Н. Тихонова. Представлены результаты вычислительных экспериментов по восстановлению искомых неоднородных функций по амплитудно-частотной характеристике.

Проведенный по теме диссертационного исследования анализ литературы свидетельствует о том, что изучение задач идентификации неоднородных механических свойств материалов для стержней и пластин и построение эффективных методов их решения является актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела.

Цель диссертационной работы заключается в решении задач идентификации неоднородных механических характеристик стержней и пластин (упругих и вязкоупругих) при изгибных колебаниях. При этом важное значение имеет вывод операторных соотношений, связывающих искомые и заданные функции, подтверждение идентификационной и диагностической значимости собственных частот и собственных форм колебаний в задачах идентификации механических характеристик. Кроме того, важным аспектом решения обратных задач является разработка эффективных численных методов, направленных на преодоление их некорректности и разработку устойчивых к погрешностям входной информации алгоритмов.

Одной из проблем, возникающих при решении исследуемого в диссертации класса задач является то обстоятельство, что решение прямых задач об определении амплитудно-частотных зависимостей для операторов с переменными коэффициентами требует прямого численного анализа. При этом возможно как использование конечно-разностных аппроксимаций, как это осуществлено в [54], либо предварительное сведение краевой задачи к интегральному уравнению. В настоящей работе использован последний подход. Прямая задача для стержня сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода (для упругого стержня) и к системе интегральных уравнений (для вязкоупругого стержня). Интегральные уравнения решались численно на основе метода коллокаций. Получены амплитудно-частотные характеристики и собственные частоты колебаний. Обратная задача для неоднородных упругих и вязкоупругих стержней сведена к некоторому итерационному процессу, причем на каждом его шаге требуется решение прямой задачи и определение поправок из решения системы интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода с гладкими ядрами. Система интегральных уравнений решена на основе метода регуляризации А. Н. Тихонова [20]. Приведены результаты вычислительных экспериментов для различных законов распределения неоднородных характеристик.

Прямая задача для неоднородных упругих и вязкоупругих пластин решена с помощью метода Ритца. Обратная задача для пластин переменной жесткости решена с помощью проекционного метода Галеркина. Численная реализация предложенных алгоритмов осуществлена в пакете Maple. Проведено сравнение результатов с известными аналитическими решениями для пластин с однородными свойствами, а также с результатами, полученными методом пристрелки [59]. Приведены результаты вычислительных экспериментов для различных законов распределения жесткости и различных граничных условий. Обсуждена практическая применимость предложенных подходов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Разработаны методы решения задач об изгибных колебаниях неоднородных упругих и вязкоупругих стержней и пластин.

2. Представлены способы построения операторных соотношений и итерационных процессов в новых обратных задачах по реконструкции неоднородных свойств упругих и вязкоупругих стержней и пластин.

3. Проведены вычислительные эксперименты по определению неоднородных характеристик (монотонных, немонотонных) стержней и пластин при изгибных колебаниях.

4. Получено решение задачи об определении характеристик болыпеберцовой кости в месте перелома по данным акустического зондирования.