Математические модели подавляющего большинства процессов, происходящих в природе, являются нелинейными, и поэтому достаточно точные в количественном отношении характеристики изучаемых процессов можно получать лишь с помощью вычислительного эксперимента. Примерно такие же соображения будут справедливы для процессов, происходящих в различных технических устройствах [47]. Добыча и транспорт природного газа представляет собой целый комплекс технологий, который реализуется за счет использования различных технических устройств. При объективном подходе к решению возникающих при этом практических задач требуется построить математическую модель исследуемого процесса и указать алгоритм решения соответствующей математической задачи [9,10,14,47].
Для количественного описания добычи природного газа из земных недр необходимо знать законы его движения. Использование эмпирических законов сохранения массы и энергии приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, являющейся математической моделью течения газа [76,77].
Течение моделируется при помощи уравнений Навье-Стокса для ламинарного режима течения и уравнений Рейнольдса для турбулентного.
Известно достаточно небольшое количество решений аналитического характера для уравнений Навье-Стокса, а для уравнений Рейнольдса их практически нет.
Однако, аналитические решения имеют достаточно важное значение, так как позволяют выявлять физические закономерности достаточно общего характера, которые трудно выявить анализируя численные решения. Один из подходов получения аналитических решений уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса — это использование упрощенных уравнений течения, которые получаются на основании уравнений Навье-Стокса (Рейнольдса) на основании применения тех или иных допущений.
Такой упрощенной моделью в частности является одномерная модель течения в стационарной или нестационарной постановке. Большинство известных закономерностей, имеющих место в механике жидкости и газа, получено именно на основании использования одномерной модели течения, причем, как правило, в нестационарной постановке. Так, например, уравнения Бернулли, Гюгонио (для сопла Лаваля) получены именно исходя из указанного подхода.
Предположение об одномерном характере движения является привлекательным и полезным по ряду причин. Прежде всего, оно приближенно оправдывается для многих случаев реальных движений газа. Даже если некоторое движение в целом и не одномерно, отдельные его пространственно-временные подобласти часто могут быть описаны в рамках одномерного движения. Таковы движения в трубах, при взрывах и ударах и т. д. Далее, уравнения и задачи этой модели являются сравнительно доступными для качественного анализа и численного расчета благодаря тому, что здесь основные величины зависят лишь от двух независимых переменных. При этом не последнюю роль играет также и возможность предельно наглядного изображения различных газодинамических ситуаций на плоскости событий. Многие выявленные в рамках одномерного приближения особенности движения оказываются качественно присущими и более сложным движениям, позволяя изучать последние на основе оправданной аналогии [53,54].
Усложнением модели одномерной модели течения жидкости и газа является использование нестационарной модели. Несмотря на свою простоту по сравнению с уравнениями Навье-Стокса (Рейнольдса) эти уравнения одномерного нестационарного течения достаточно сложны с математической точки зрения, и получение их точных или приближенных аналитических решений при произвольных краевых условиях затруднено.
Отметим, также, что при расчетах магистральных трубопроводов, длина трубы составляет десятки тысяч калибров. В этих условиях практически невозможно использовать точные уравнения, моделирующие движение жидкости или газа (уравнения Навье-Стокса, уравнения Рейнольдса). Поэтому необходимо использовать несколько иные модели, одной из которых является модель, примененная в настоящей работе.
Существуют различные аналитические подходы исследования одномерной газовой динамики, например, метод расщепления, обобщенный метод расщепления, метод малого параметра, теория непрерывных групп преобразований и т. д. При этом, наибольшую известность и интерес среди решений, получаемых данными методами, являются решения волнового типа в виде бегущих или автомодельных волн. Отметим, что основная черта волнового процесса заключается в том, что некоторое характерное возмущение движется с конечной скоростью. Для гиперболических уравнений это явление связано с характеристиками. Каждая характеристика в (х,/) — пространстве описывает некоторую волну в л- - пространстве, а поведение решения на характеристике соответствует идее переноса этой волновой информации [78]. Рассмотрим кратко основные характеристики бегущих и автомодельных волн
Бегущие волны
Решения типа бегущей волны определяются зависимостью основных характеристик течения (V — скорость, р — плотность и т. д.) от переменной записанной в безразмерном виде) 7 = х — а • /. Здесь / = ^'у^ - безразмерное время (? — временная координата, v, — начальная скорость движения газа, (Лдиаметр трубы), х = ^ - безразмерная пространственная координата (х пространственная координата), а = а/ - некая постоянная величина (а постоянная величина, определяющая скорость движения волны). Для упрощения записи в дальнейшем над безразмерными величинами черточки опущены. Количественное значение величины, а определяет степень нестационарности процесса распределения бегущей волны и, в конечном итоге, скорость распространения волны.
Волновая интерпретация решений рассматриваемого вида возникает следующим образом. Зафиксируем значение переменной / = Const. Тогда можно определить кривую в пространстве t, х, вдоль которой параметры течения сохраняют постоянное значение. Уравнение этой кривой имеет вид / = х — at (уравнение прямой).
Таким образом, если исходная система уравнений одномерной нестационарной газовой динамики допускает решения, зависящие от переменной I = х-a-t (инвариант группы переноса в теоретико-групповой интерпретации), то в любой произвольный момент времени t имеется такая координата х, в которой параметры течения сохраняют постоянные значения. Именно такое поведение решений уравнений динамики движения жидкой среды понимается как движение волнового типа. at
Семейство прямых в пространстве определяющих положение волны, представлено на рис. 1 для различных значений переменной /(/0,/р/2) и двух значений скорости перемещения волны (апа2). t
Рис.1
Можно выделить несколько характерных значений а. I.
Ь ь х
Скорость перемещения волны ос=0. В этом случае получаем стационарную задачу, когда характеристики бегущей волны определяются только пространственной координатой л-. Ь
Рис.2
Скорость движения волны, а —" оо. Бегущая волна распространяется в пространстве мгновенно и решение не зависит от пространственной координаты х. h h k Ь к j. Рис.3
III. Волна распространяется со скоростью a = aQ, где а0 — характерная скорость звука в среде. В этом случае движение бегущей волны близко к движению звуковой волны.
Автомодельные волны
Для автомодельных волн параметры течения зависят от переменной / =. фиксируя, I = const получаем семейство прямых в пространстве t, х, вдоль которых параметры течения сохраняют постоянное значение.
Семейство прямых в пространстве t, х, определяющих положение автомодельной волны, представлено на h t рис. 4 для различных значений некоторой безразмерной
Рис. 4 скорости волны / (/",/, ,/2). Вдоль этих линий для фактор — системы параметры течения постоянны.
Рассмотрим несколько характерных значений /.
I. Пусть скорость волны 1=0. Данный случай может иметь место при: a) t = оо — окончание процесса, б) л: = 0 — вход потока в трубу.
II. Пусть скорость волны имеет значение I = со. Тогда данное условие выполняется при а) конец бесконечно длинной трубы (х —" оо), б) начальный момент времени {t —" 0).
III. В случае 1=1 скорость волны и скорость движения газа одинаковы.
IV. / = у^ - движение автомодельной волны близко к движению звуковой волны
И бегущие, и автомодельные волны объединяет то, что в оба вида решения входит скорость перемещения волны: для автомодельных волн — I, для бегущих — а. Вид волны зависит от начальных условий.
В целом, о решениях указанного класса можно сказать, что при определенных начальных и краевых условиях существуют линии в пространстве время — пространственная координата, вдоль которых некоторые параметры течения остаются постоянными величинами. Фактически, это означает, что вдоль этих линий возмущения передаются с постоянной скоростью.
Изучению волн посвящены работы многих авторов. Так, например, в книге Виноградовой М. Б., Руденко О. В., Сухорукова А. П. «Теория волн» [12] изложены общие вопросы теории волн различной физической природы (звуковых, электромагнитных и т. д.). Рассмотрены закономерности распространения волн в линейных и нелинейных средах. Большое внимание уделено изложению различных математических методов анализа волновых уравнений. В работе Островского Л. А., Потапова А. И. «Введение в теорию модулированных волн» [59] рассматриваются линейные и нелинейные волны. Обсуждаются примеры волновых процессов в физике плазмы, электродинамике, акустике, гидродинамике и теории упругости.
Как уже было отмечено, в настоящей работе рассматриваются волновые процессы, возникающие при одномерном нестационарном течении вязкого сжимаемого газа. Один из методов анализа уравнений, определяющих структуру и характеристики течения жидкости и газагрупповой анализ дифференциальных уравнений [51,52,57,66].
Понятие группы ценно для механики жидкости и газа в трех отношениях. Во-первых, это понятие помогает математически обосновать моделирование с помощью инспекционного анализа, который более соответствует сути дела, чем обычно применяемый анализ размерностей.
Во-вторых, с помощью понятия группы можно проверить справедливость математических теорий механики жидкости и газа даже в тех случаях, когда невозможно проинтегрировать, теоретически выведенные, уравнения в частных производных. Здесь теория групп позволяет провести качественный анализ возможных решений. В-третьих, теория групп дает алгоритм упрощения математической постановки задачи. Следует отметить, что теория непрерывных групп преобразований теснейшим образом связана с вопросом интегрирования дифференциальных уравнений изначально с момента ее создания. На эту связь впервые указал норвежский математик С. Ли. В работах С. Ли, его учеников и последующих работах была сформулирована и разработана теория, позволяющая ввести понятие группы, допускаемой системой дифференциальных уравнений, т. е. были заложены основы поиска, так называемых, инвариантных решений уравнений.
В настоящее время направление исследований, связанное с использованием аппарата теории групп Ли, для анализа структуры множества решений дифференциальных уравнений и их классификация, при наличии произвольных непрерывных функций в уравнениях, получило название группового анализа дифференциальных уравнений.
Методы группового анализа получили широкое распространение в задачах механики жидкости и газа. Работы Л. В. Овсянникова и его последователей, например [25] и другие показали перспективность этих исследований и их большое прикладное значение. Одни из первых работ по исследованию групповых свойств систем уравнений механики жидкости и газа в нашей стране были выполнены Ю. Н. Павловским [63], Пухначевым В. В. [1], C.B. Хабировым [82]. В г. Казани В. Г. Павловым [60−62], а также К. Г. Гараевым [15], А. Н. Кусюмовым [27,28].
Одним из важных результатов приложения группового анализа к системам уравнений в частных производных является возможность сведения исходной системы уравнений к фактор — системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Во многих случаях численное интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений не представляет трудностей и решение фактор — системы может быть получено с высокой точностью в заданном интервале интегрирования. Считается, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно считать точным решением. Однако, в некоторых случаях интегрирование фактор — системы обыкновенных дифференциальных уравнений может быть связано с определенными трудностями, обусловленными наличием, так называемых, особых решений. Поясним указанные обстоятельства, используя материал, изложенный в [18] на примере [13].
Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка представляет собой соотношение между зависимыми переменными и их производными. Она имеет вид 1=1,., п. (1)
Здесь в качестве ^ выбираются алгебраические функции с, а {С", С"),? является независимой переменной, точка обозначает производную по времени. Решением такого уравнения в одно связной области 1)(=С" хС при заданных начальных условиях (х0, } еО, которая удовлетворяет соотношению (1) и начальному условию х ((а) = х (). Если матрица Якоби J{x, x) = дiF регулярна (то есть якобиан не обращается в нуль) в области Д. а С", то, используя теорему о неявной функции, система обыкновенных дифференциальных уравнений может быть локально записана в виде: х = в (х^) (2)
Пусть {jc0,/0} - точка в области D
Можно учесть п начальных условий х0 с помощью произвольных постоянных интегрирования и определить общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений в области D’a D (в которой G аналитична) как решение с п произвольными постоянными интегрирования. В противоположность этому, частное решение — это любое решение, полученное при заданном значении, по крайней мере, одной произвольной постоянной. В точках, в которых якобиан является сингулярным или G не является голоморфной, могут существовать другие типы решений, называемые особыми решениями. Особое решение (1) удовлетворяет условию det (J (x, д-)) = 0. Особые не являются частными решениями, так как они не могут быть получены из общего решения с помощью подстановки значений произвольных постоянных.
Пример
Рассмотрим дифференциальное уравнение
3) ах
2/
Правая часть этого уравнения Зу/3 = f (x, y) = / (у) — непрерывная функция переменных (х, у) на всей плоскости, следовательно, выполнено условие (I)
I. функция /(х, у){то есть правая часть уравнения — = /(х, у)) dx непрерывно зависит от х, у,(х, у) е G.
Производная по у правой части (3)
Oll = 2уУг ду обращается в оо при у = О и, следовательно, не является непрерывной функцией на оси х. Покажем, что если начальная точка (х0,у0) лежит на оси л:, то есть
УЫ = О = Уо (4) то для начальной задачи (3), (4) нарушается свойство единственности ее решения.
Действительно, легко проверить, что решением задачи (3), (4) является кубическая парабола.
У = (х~х0У (5)
Им
В самом деле, — = 3(х-х0)2, а правая часть уравнения (3) равна сЬс
2/
3[(л—л-0)3]. Следовательно, функция (5) удовлетворяет уравнению (3) и начальному условию (4): Х^о) = ОС другой стороны, прямая
У = 0 также удовлетворяет уравнению (3) и начальному условию (4). Таким образом, через любую начальную точку (л~0,0) проходят по крайней мере два решения у — (х-х0)3 = 0 и у = 0 уравнения (3). Мы видим, что вторая часть теоремы о единственности не имеет места для уравнения (3).
Другое направление развития теории непрерывных групп преобразований, применительно к дифференциальным уравнениям, — теория приближенных групп преобразований. Приближенные группы преобразований [6,24] • были введены в рассмотрение Н. Х. Ибрагимовым, В. А. Байковым, Р. К. Газизовым по аналогии с понятием приближенного решения для систем уравнений, содержащих малый параметр е. На основе аналога теоремы Ли для приближенных групп в [94−96] было развито инфинитезимальное описание приближенных одно-параметрических групп преобразований и выведены определяющие уравнения для построения приближенных симметрий уравнений с малым параметром.
Близкое к приближенному групповому анализу направление исследования дифференциальных уравнений с малым параметром рассматривалось также в работах В. И. Фущича и его коллег [80,81]. В этих работах под приближенной симметрией уравнений с малым параметром понималась точечная симметрия системы уравнений, полученной разложением зависимой по малому параметру.
Как уже было отмечено, в настоящей работе рассматриваются решения двух видов: бегущие и автомодельные. Хорошо известно, что этот класс решений является очень важным для газовой динамики, ему посвящены многие статьи и монографии, например [53,54]. При этом, как правило, исследуется газовая динамика невязких течений. В уравнение движения входят три зависимые переменные: р,\ р и для замыкания системы уравнений вводится уравнение термодинамического процесса. В настоящей работе исследуются течения как невязкого, так и вязкого газа с учетом действия силы тяжести. Рассматриваются два вида термодинамических процессов: изотермический и изоэнтропический.
Целью данной работы является
— получение безразмерной модели одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести и сжимаемости газового потока (введение в математическую модель характеристического числа Маха) — получение различных моделей течения вязкого газа в зависимости от числа Рейнольдса;
— проведение параметрических расчетов для различных режимов течения газа с учетом влияния вязкости, силы тяжести, числа Рейнольдса, характеристического числа Маха (получение точных решений, проведение приближенного группового анализа);
— построение и проведение анализа особых решений, возникающих при интегрировании уравнений одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом действия силы тяжести;
— применение метода одноволнового приближения для упрощения уравнений Навье-Стокса для одномерного нестационарного течения вязкого сжимаемого газаисследование полученной модели как численно, так и аналитически.
Краткое содержание диссертации
Первая глава является вводной, дается постановка задачи, выводятся уравнения нестационарной газовой динамики с помощью осреднения по площади поперечного сечения канала.
Особенностью полученной в работе записи системы уравнений является то, что в нее как параметр входит характеристическое число Маха, определенное по начальным параметрам течения газа. Такая форма записи, позволяет доказать теорему о характерной дистанции распространения течения в трубе, при которой необходимо учитывать сжимаемость газового потока. Кроме того, математическая модель содержит слагаемое учитывающие вязкие свойства газа. Данное слагаемое принимает различный вид, в зависимости от исследуемого режима течения. Так, для чисел Рейнольдса 2300<�Ке<10, можно воспользоваться формулой Блазиуса. Другая модель применяется в том случае, если сопротивление не зависит от числа Рейнольдса. И, кроме того, в работе получена степенная зависимость для больших чисел Рейнольдса на основе аппроксимации графических данных.
Во второй и третьей главах производятся параметрические расчеты для автомодельных и бегущих волн. Системы уравнений в частных производных при помощи группового анализа сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Следует отметить, что там, где невозможно получить точные аналитические решения, применяется метод приближенного группового анализа, а именно метод Фучища. Добавим, что расчеты приводятся для различных значений наклона трубопровода, числа Рейнольдса, характеристического числа Маха [30,32,33,41,42,43,].
Четвертая глава посвящена исследованию фактор — систем ОДУ, получающихся при изучении автомодельных волн. Исследуемые в работе системы обыкновенных дифференциальных уравнений относятся к классу систем, которые могут иметь неединственное решение. В разрешенной (относительно производных) форме правые части этих уравнений представляются в виде дроби, а, следовательно, уравнения могут иметь сингулярный характер. Наличие сингулярности при определенных краевых условиях приводит к появлению неединственности решений фактор — систем ОДУ. В литературе не уделяется достаточное внимание построению особых решений газовой динамики. Известен пример [38], где подобное решение построено для системы уравнений газовой динамики. В настоящей работе данный вопрос рассматривается в более полной постановке. Отметим, что более известна задача о существовании неединственных решений для однородных дифференциальных уравнений с нулевыми краевыми условиями (для уравнений второго порядка эта проблема известна как задача ШтурмаЛиувилля). Данный вид неединственности решений системы дифференциальных уравнений известен как задача на собственные числа и собственные функции. В данной работе рассматривается другой вид неединственности, связанный с наличием сингулярности [29,33,34,44].
В пятой главе используется иной подход к упрощению системы Навье-Стокса: все параметры течения зависят только от одной пространственной координаты. При этом уравнения сводятся сначала к системе из двух уравнений, а далее с использованием одноволнового приближения к одному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка. Одним из примеров, иллюстрирующих существование скачков уплотнения, является широко известное в акустике уравнение Бюргерса, которое позволяет моделировать гладкие скачки вниз. При исследовании волновых процессов хорошо известны волновые явления, при которых имеет место увеличение основных параметров состояния среды (давления, плотности, температуры). Наиболее известными волновыми процессами подобного типа являются, так называемые, скачки уплотнения или ударные волны. Ударные волны возникают при взаимодействии сверхзвукового потока с обтекаемыми поверхностями. Резкий рост параметров состояния газовой среды объясняется значительным падением кинетической энергии потока. В то же время из литературы известны примеры волновых процессов, которые являются, в определенном смысле, обратными к скачкам уплотнения — волны разряжения. Они возникают, например, в случае подвижной трещины [77]. При движении трещины кроме первой волны разрежения, возникающей в начальный момент разрушения газопровода, в последующем будут непрерывно возникать новые волны. Так как в окрестности движущейся трещины скорость течения газа близка к скорости звука, скорость распространения этих волн может быть меньше скорости самой трещины и, по крайней мере, меньше скорости первой волны разрежения.
В заключении приводятся краткие итоги диссертационной работы и список используемой научной литературы.
Объем диссертации составляет 136 страниц.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [29,30,33,34,35].
Материалы диссертации докладывались и обсуждались:
1. На XVII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий». 2005 г. Казань.
2. На всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «VIII Королевские чтения». 2005 г. Самара.
3. На XVIII международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Казань 2005.
4. На второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 2005 г. Самара.
5. На Международной молодежной научной конференции, посвященной 1000-летию города Казани «Туполевские чтения». Казань, 2005 г.
6. На V Школе — семинаре молодых ученых и специалистов академика РАН В. Е. Алимасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении». Казань, Россия, 2006 г.
7. На международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ -2007», Санкт-Петербург, 2007.
8. На международной молодежной научной конференции, «XV Туполевские чтения». Казань, 2007 г.
Выводы к главе:
1. Уточнен подход редукции исходной системы уравнений Навье — Стокса к одному уравнению на основе использования одноволнового приближения. В результате получено уравнение, которое отличается от обычно получаемого с использованием данного подхода уравнения Бюргерса.
2. Данное уравнение позволяет строить решения разрывного типа: при их>и2 — мгновенное опрокидывание волны, их<�и2 -«растягивание» волны, что противоположно поведению разрывных решений для уравнения Бюргерса.
3. Полученное уравнение позволяет моделировать гладкие скачки вверх.
4. Приводятся результаты численного интегрирования. Показано, что для полученного уравнения восходящий и ниспадающий фронт волны движутся с более высокой скоростью. Кроме того, нисходящая часть волны с увеличением времени становится более крутой.
Заключение
В заключении содержатся основные результаты выполненной работы.
1. Получены математические модели различных режимов течения газа, которые отличаются способом учета вязкости течения, числа Рейнольдса и характером термодинамического процесса.
2. Для стационарного и квазистационарного режимов при малых числах Маха М0 характерная длина трубопровода определяется величиной
2 (?> - диаметр трубопровода), для которой изменение плотности газа существенно.
3. Предложена безразмерная форма уравнений одномерного нестационарного течения вязкого газа с учетом характеристического числа Маха М0 и коэффициента Буссинеска .
4. Ряд рассматриваемых моделей течения газа позволил получить точные решения в виде автомодельных волн и бегущих волн. В тех случаях, где получить точные решения не представлялось возможным, применялся приближенный групповой анализ, а именно метод Фущича.
5. Проведены параметрические расчеты, в ходе которых получены зависимости изменения скорости и плотности газа от временной и пространственной координат при различных значениях наклона трубопровода, характеристического числа Маха, числа Рейнольдса.
6. Предложен метод построения особых решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики, который может быть распространен на широкий класс задач.
7. Показано, что при некоторых краевых условиях существует неединственность решений уравнений рассматриваемого класса. Получены решения систем на различных опорных решениях при изоэнтропическом течении вязкого сжимаемого газа. Показано, что о результаты интегрирования, полученные на нетривиальных решениях отличаются от результатов, построенных на тривиальных решениях.
8. Показано, что наличие конечного интервала существования решений уравнений одномерной нестационарной газовой динамики связано с сингулярностью (наличием особенности) уравнений.
9. Уточнен подход редукции исходной системы уравнений НавьеСтокса для одномерного нестационарного течения к одному уравнению на основе использования одноволнового приближения. В результате получено уравнение, которое отличается от обычно получаемого с использованием данного подхода уравнения Бюргерса. Приведены как аналитические, так и численные решения обоих уравнений.
10. Полученное на основании одноволнового приближения уравнение позволяет строить решения разрывного типа: либо с мгновенным опрокидыванием волны, либо с — «растягиванием» волны. Данные решения аналогичны разрывным решениям для уравнения Бюргерса, но получаются для краевых условий иного типа.
