Локализованные моды и корректность постановок линейных задач теории поверхностных волн

Теория волновых движений жидкости является классическим разделом гидродинамики, издавна привлекающим внимание механиков и математиков. В качестве основателей этой теории следует назвать имена Л. Эйлера, Ж. Л. Ла-гранжа, О. Л. Коши, С. Д. Пуассона, Дж.Дж.Стокса и лорда Кельвина. Существенный вклад в теорию в 20-м столетии внесли Г. Лэмб, Т. Х. Хавелок, Н. Е. Кочин, М. А. Лаврентьев, Л. Н. Сретенский, М. Д. Хаскинд, Дж.Дж.Стокер, Ф. Джон и другие. Классическая теория волн на воде представлена в книгах [ 19,32,34,56,57,60,209,211].

Интерес к теории понятен, так как волны на свободной поверхности жидкости, находящейся под действием гравитационных и других сил, представляют собой широко распространённое физическое явление, имеющее также важное практическое значение (например, математические модели могут использоваться в задачах проектирования и эксплуатации судов). При этом теория волновых движений жидкости представляет интерес и с точки зрения развития математических методов, поскольку «ни об одной математической теореме нельзя с уверенностью сказать, что она не имеет отношения к механике жидкости» и «при этом довольно редко удаётся воспользоваться известными математическими методами и результатами в их буквальной первоначальной форме» [64].

Настоящая работа посвящена исследованию взаимодействия твёрдых препятствий и неограниченной жидкости со свободной поверхностью в рамках линейного приближения теории поверхностных волн. Эти задачи связаны с рассмотрением так называемых волн бесконечно малой амплитуды. Различные аспекты этой теории изучались в работах Т. Хавелока и Ф. Эрселла представлены в сборниках статей [98,203]), прикладным аспектам линейной теории посвящены книги [62,148,169]. Вышедшие из печати в 2002 и 2003 гг. книги [129] и [113] представляют полученные в последние годы результаты, при этом в [129] в основном описываются математические методы с точки зрения их применимости при решении инженерных задач, а книга [113] посвящена математической теории волн на воде. (В [113] вошёл также и ряд результатов, полученных автором в [117,118,162,164]*).

Следует отметить, что несмотря на свою долгую историю, теория волн на воде даже в линейном приближении далека от завершения. Так, в частности, вопрос о единственности решения (ввиду своей важности помещённый под первым номером в списке нерешённых вопросов в [202]) остаётся открытым — теорема единственности в общей формулировке отсутствует даже для самых простых случаев (например, для одного полностью погруженного тела произвольной формы), а первые примеры неединственности были построены только в 1996 г. [133].

Именно вопрос о корректности постановок, единственности и разрешимости задач изучается в настоящей работе. Исследование включает, с одной стороны, нахождение критериев и признаков единственности решения и доказательство разрешимости, с другой —построение примеров неединственности (т. н. локализованных или «ловушечных» мод колебаний), доказательство их существования, исследование свойств этих решений.

В.1. Общие уравнения и граничные условия теории поверхностных волн.

Приведём основные уравнения и граничные условия теории поверхностных волн (более подробное обсуждение может быть найдено, например, в [32,94, 113]). При исследовании поверхностных волн принято использовать следующие предположения. Жидкость — идеальная и несжимаемая (имеет постоян Здесь и далее ссылки на работы автора отмечены курсивом. ную плотность р) — её движение —потенциальное и происходит в однородном поле силы тяжести, которое характеризуется постоянным по величине ускорением свободного падения g. Свободная поверхность жидкости в невозмущённом состоянии совпадает с плоскостью у = 0. Как правило для описания движения используется метод Эйлера. Этот метод предполагает определение вектора скорости в каждый момент времени t ^ 0 (движение жидкости рассматривается с некоторого момента, принимаемого за нулевой) в каждой точке {x, z, y) заполненной жидкостью области Wt. Область Щ в общем случае может меняться со временем, причём её граница полностью или частично неизвестна и также должна быть найдена.

В силу указанных выше предположений вектор скорости является градиентом (УФ = (дхФ, дгФ, дуФ)) функции Ф (x, z, y, t), которую принято называть потенциалом скоростей. (Здесь и далее да обозначает частное дифференцирование по переменной а.) Потенциал Ф удовлетворяет уравнению Лапласа в жидкости которое вытекает из уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения массы (объёма).

Другим следствием непрерывности движения жидкости служит граничное условие.

Здесь vn — скорость границы dWt в направлении нормали п к ней. При этом на свободной поверхности жидкости Ft с дЩ условие (В.2) неявно содержит неизвестную функцию, характеризующую движение этой поверхности. А именно, пусть свободная поверхность Ft представляется уравнением у = т}{х, г, t). Тогда условие (В.2) можно записать в форме.

У2Ф = 0 в Щ.

В.1) дпФ = ип на дЩ при t^O.

В.2).

1]1-дуФ + дхФдх’п+дгФдгг] = 0 на Ft.

В.З).

Ещё одно соотношение на Ft имеет динамическую природу и вытекает из закона сохранения импульса. Это так называемый интеграл Коши-Лагранжа: + 21|УФ|2 = 0. (В.4) Также должны выполняться начальные условия при t = 0.

7](х, 2,0) = Т)0(х, г), Ф = Фо, (В.5) где Фо — гармоническая в области Wo функция.

В.2. Линеаризация задач о волнах малой амплитуды.

Главной особенностью задачи (В.1)-(В.5) о поверхностных волнах является её нелинейность (см. условия (В.З) и (В.4) на свободной поверхности жидкости). Поэтому разработка теории поверхностных волн на основе указанной постановки наталкивается на серьёзные математические трудности. На данном этапе их удалось преодолеть лишь при исследовании ряда частных задач. Так, несмотря на существенный прогресс в исследовании некоторых нелинейных моделей (см., например, книги [2,50,56,57,79,94] и работы [91,102,172,177,190]), в рамках «точной» постановки пока практически не рассматривалось взаимодействие поверхностных волн с плавающим телом. Исключением являются работы Е. В. Пяткиной (см. [53]), которая построила и обосновала нелинейное дипольное приближение в трёхмерной задаче о генерации нестационарных волн погруженной сферой. Также следует упомянуть работы Ч. Д. Пагани и Д. Пьеротти (см., например, [173,174]), в которых исследуется нелинейная плоская постановка задачи о движении тонкого тела по поверхности жидкости.

Трудности, возникающие в нелинейной теории поверхностных волн, были осознаны ещё О. Л. Коши и С. Д. Пуассоном, которые (исходя из эвристических соображений) выделили класс волн малой амплитуды, для которого условия (В.З) и (В.4) могут быть линеаризованы.

Существует (см., например, [57,92]) формальная процедура вывода линейных соотношений для волн малой амплитуды. При этом потенциал и возвышение свободной поверхности представляются в виде формальных рядов по степеням малого параметра, после подстановки этих разложений в (В.1)-(В.5) отбрасываются все слагаемые, содержащие малый параметр в степени выше первой. Это приводит, во-первых, к фиксации области W, заполненной жидкостью — вместо неизвестной свободной поверхности и поверхности препятствий краевые условия должны выполняться на соответствующих поверхностях в положении равновесия. Во-вторых, соотношения (В.З) и (В.4) приобретают вид: dtr] - дуФ = 0, gr + <9,Ф = 0 при у = 0. Исключая отсюда функцию гприходим к условию $<& + gdy 0. (В.6).

Обсуждение условий, при которых возможно применение линейного приближения, и обоснование линеаризации при помощи эвристических соображений можно найти, например, в книге [35]. В этой книге также приведена схема, приблизительно указывающая границы применимости линейной и других приближённых волновых теорий. Дальнейшие результаты, касающиеся применимости линейной теории могут быть найдены в работе [71]..

Имеются подтверждения того, что линейная теория поверхностных волн является обоснованной приближённой моделью «точной» теории. (Под обоснованием модели в книге [50, с. 97] понимается доказательство двух утверждений: а) точное решение исходной задачи существует при любом значении малого параметра, участвующего в моделированииб) точные решения сходятся к решению предельной задачи при стремлении параметра к нулю.) Именно в этом смысле в работах [48], [50, гл. З] обоснована линейная модель Коши-Пуассона в плоском случае..

Ряд работ посвящён проверке соответствия предсказаний линейной теории и данных экспериментальных исследований. В частности, упомянем работы Ф. Эрселла и его соавторов [69,204,214]. В опубликованной недавно работе [182] показано хорошее согласие между полученными в рамках линейной теории значениями частот локализованных («ловушечных») мод и экспериментальными данными..

Линейная теория поверхностных волн применяется для описания взаимодействия препятствий с жидкостью. Перечислим три важных (в том числе и с практической точки зрения) класса таких взаимодействий, которые рассматриваются в настоящей работе:.

1. Вынужденные колебания тела около положения равновесия и рассеяние волн на неподвижном теле. Классической областью, в которой рассматриваются задачи такого рода (радиационная и дифракционная, соответственно), является гидродинамическая теория качки корабля [2,62]..

2. Колебания жидкости в сосуде с ограниченной свободной поверхностью. Задачи этого класса описывают, в частности, колебания жидкости в резервуарах, возникающие при перевозке или под влиянием землетрясений, и колебания жидкости под ледяным покровом при наличии отверстий..

3. Волнообразование при поступательном движении тел в жидкости. Задачи, описывающие этот класс взаимодействий, непосредственно связаны с вычислением волнового сопротивления судов [2,19,20,56]..

В.З. Стационарные задачи о взаимодействии жидкости с телами.

В данной работе мы будем изучать стационарные задачи линейной теории поверхностных волн, описывающие взаимодействие жидкости и твёрдых препятствий. Введём обозначения. Пусть жидкость заполняет область W С ограниченную сверху свободной поверхностью F, которая представляет собой двумерную область на плоскости у = 0. Кроме F граница 8W может содержать следующие области: смоченную поверхность 5 погруженных в жидкость тел и дно В. В данной работе в основном рассматривается жидкость бесконечной или конечной постоянной глубины (или, по крайней мере, совпадающей со слоем постоянной глубины вне некоторого ограниченного подмножества области, занятой жидкостью)..

Некоторые из тел могут быть погружены в жидкость полностью, так что соответствующие компоненты 5 являются замкнутыми поверхностями, тогда как другие тела погружены частично и их поверхность пересекает свободную поверхность жидкости. Ниже также часто будет встречаться ситуация, когда погруженные тела цилиндрические с произвольным поперечным сечением. Будем предполагать, что ось 2 параллельна образующим цилиндров. При рассмотрении плоскопараллельных волновых движений жидкости, описываемых потенциалом Ф (x, y, t), размерности всех перечисленных многообразий уменьшаются на единицу..

Рассмотрим описанные в предыдущем параграфе (п. 1,2) задачи об излучении или рассеянии волн и предположим, что колебания жидкости — установившиеся гармонические по времени. Потенциал скоростей можно записать в виде.

Здесь и) — частота колебаний жидкости, а и — подлежащая определению функция (её также будем называть потенциалом скоростей). При этом естественно следует предположить, что f (x, y, z, t) = Re{[o (x, y, 2) ехр (—u)t)} в граничном условии дпФ — / на S..

Используя анзац (В.7), получаем, что функция и должна удовлетворять уравнению Лапласа.

Ф (х, г/, 2, t) = Re{u (x, y, z)exp (-iu-t)}..

В .7).

V2w = 0 в W.

В.8) и краевым условиям дуиии = 0 на F, и = tj2/g, дпи = /о на S, дпи = 0 на В,.

В.9) (В.Ш) (В.И) где вид функции /о зависит от типа задачи (об излучении или рассеянии волн)..

В нестационарной задаче уравнение и краевые условия дополнялись начальными условиями для выделения единственного решения. Если свободная поверхность жидкости неограничена, эту роль в задаче об установившихся колебаниях играют так называемые условия излучения, которые ставятся при R = (х, 2 + z2)½ —> оо, и предписывают вид волновых движений на бесконечности. Например, если глубина жидкости бесконечна, можно потребовать (см. [113, с. 13−14]), чтобы.

Далее для введённой задачи мы часто будем употреблять в качестве синонимов термины «задача об излучении и рассеянии волн» и «задача о колебаниях жидкости в присутствии тел»..

Важный частный случай задачи возникает в ситуации, когда в присутствии цилиндрических тел распространение волнового фронта происходит под некоторым углом к оси z, параллельной образующим цилиндров. Естественно предположить, что движение жидкости описывается потенциалом скоростей Re{u (x, y) ei (kz~ut)}, где k = vcos9 — проекция волнового вектора на ось z. При этом вместо уравнения Лапласа потенциал и удовлетворяет т. н. модифицированному уравнению Гельмольца.

Эта задача также может использоваться для описания колебаний жидкости в канале с вертикальными стенками в присутствии цилиндрических тел, в случае, когда образующие цилиндров ортогональны стенкам. Для этой задачи возможно v < k, при этом отсутствует распространение волн на бесконечность. Далее мы будем пользоваться термином «частота отсечки» для и = yfkg {v = k) и говорить о значениях и, расположенных «ниже частоты отсечки» (и < k), и «выше частоты отсечки» {и > k). при г.

00..

V2u-k2u = 0 в W..

В.12).

Известно, что выше частоты отсечки нетривиальные решения однородной задачи об излучении и рассеянии волн также имеют конечную энергию и представляют собой т.н. локализованные («ловушечные», «захваченные») моды колебаний (см., например, [113, § 2.2.1]). Отсутствие таких мод на непрерывном спектре эквивалентно единственности для соответствующей задачи с неоднородным условием на смоченной поверхности. Тот факт, что собственные значения погружены в непрерывный спектр, объясняет сложности при исследовании вопроса о единственности решения задачи..

Другая задача об установившихся волнах — задача, описывающая поступательное движение тел в жидкости. Предполагается, что скорость тела относительно жидкости и её глубина постоянны (можно говорить также об установившемся обтекании тела потоком постоянной глубины). За этой задачей закрепилось название «задача Неймана-Кельвина» (см. [189,200])..

Установившиеся волны, вызываемые движущимся телом, удобно описывать потенциалом скоростей u (x, y, z) в системе координат, связанной с телом и выбранной так, что свободная поверхность жидкости находится в плоскости у = 0, а направление движения тела совпадает с положительным направлением оси абсцисс. При этом можно говорить, что увеличение (уменьшение) х соответствует движению «вверх (вниз) по потоку» в область, находящуюся «перед телом» («позади тела»). В такой системе координат заполненная жидкостью область W неизменна и равна LD, где L — слой постоянной глубины h, a D — область в R3, занимаемая телом..

Потенциал скоростей Ф (x', y', z', t) в «неподвижной» (связанной с жидкостью) системе координат (x', y', z') выражается через потенциал u (x, y, z) следующим образом.

В. 13).

Ф {x', y', z', t) = и (х + Ut, y, z)..

Отсюда и из соотношений (B.l), (В.6) вытекает, что.

V2u = О в W, д2и + vdyii = 0 на F, дпи = / на S, дпи = 0 на В..

В.14) (В Л 5) (В. 16).

Здесь р — волновое число, v = g/U2, U — постоянная скорость поступательного движения телаусловие (В.16) выражает непроницаемость смоченной поверхности S тела D при / = Ucos (п, х)..

Уравнение (В.14) и краевые условия (В.15)-(В.16) следует дополнить условиями на бесконечности вверх и вниз по потоку:.

Первое условие выражает ограниченность волн позади тела, а второе — отсутствие волн далеко впереди него..

Задача о движении имеет важные особенности. К их числу отнесем наличие при конечной глубине жидкости т. н. закритического режима движения, в котором отсутствует распространение волн на бесконечности за телом. В данной работе рассматривается более сложный для исследования докрити-ческий режим движения, в котором возможно распространение волн. При этом, в отличие от задачи об излучении и рассеянии волн, не существует доказательства конечности энергии решения однородной задачи. В данной работе построено такое решение с бесконечной энергией..

Далее также будет рассматриваться задача о движении в двухслойной жидкости, состоящей из слоёв различной плотности pi и р2. В этом случае иЬ) — потенциалы, заданные в разных слоях, и имеются условия на поверхности раздела сред различной плотности р = р2[д2и^+идуи^].

В случае когда тела частично погружены или пересекают поверхность раздела, задача о движении должна быть дополнена некоторыми условиями. Этот вопрос будет обсуждаться ниже в соответствующих разделах..

1*1 lim |Vw| < оо, lim |V"|=0..

В. 17).

И дуи<" = дуиР-.

В заключение этого параграфа заметим, что для некоторых задач рассматриваемого класса удаётся обосновать принцип предельной амплитуды, согласно которому решение нестационарной задачи с гармонически зависящими от времени правыми частями в краевых условиях стремится к решению стационарной задачи. Упомянем, в частности, работы [12] и [205]..

В.4. Современное состояние линейной теории волн.

Установившиеся волны на воде —одна из классических проблем в прикладной математике. Существует обширная литература в этой области, при этом большая часть работ посвящена численным исследованиям и чисто прикладным вопросам. В этом обзоре ограничимся освещением результатов, относящихся к сформулированным в предыдущем параграфе задачам, при этом нас будут интересовать вопросы математического обоснования моделей и исследования их свойств. Упоминаемые в этом разделе работы относятся в основном к трём последним десятилетиям. Достаточно полный список работ, относящихся к более раннему периоду, может может быть найден в монографиях [19,56,57,62] и обзорных статьях [16,40,169,207−209]..

Корректность постановок: разрешимость и единственность. Среди основных методов исследования вопроса о корректности постановок первым должен быть упомянут метод интегральных уравнений — как наиболее универсальный. Разрешимость граничных интегральных уравнений метода потенциала тесно связана со свойством единственности решения краевой задачи и часто из теоремы единственности вытекает разрешимость интегрального уравнения, и как следствие —задачи. С другой стороны, иногда разрешимость интегрального уравнения может быть использована для доказательства единственности [27]. Различные вопросы, относящиеся к методу интегральных уравнений применительно к задачам теории поверхностных волн рассмотрены в статьях [5,37,66,93,131,199,212] (см. также [129, гл. 4], [113, §§ 2.1,3.1] и цитированную там литературу) — в частности, важным является построение интегральных уравнений без т.н. иррегулярных частот и вопрос о равносильности интегрального уравнения краевой задаче..

При помощи метода интегральных уравнений, в частности, удаётся доказать, что и задача о колебаниях, и задача о движении для полностью погруженных тел произвольной формы в жидкости бесконечной глубины однозначно разрешимы для всех значений v в (В.9), (В. 15) за исключением конечного (возможно пустого) набора значений (см. [113, гл. 2,7]). Последний факт вытекает из результатов Н. Е. Кочина [20,21], показавшего, что задачи разрешимы для больших и малых значений v (случай v —> 0 для трёхмерной задачи о движении рассмотрен в [132]), и теоремы об обратимости операторной функции, аналитически зависящей от параметра [59] (ср. с замечанием 2.4 в [4]). Для случая, когда тела частично погружены или глубина жидкости конечна, указанный метод приводит к появлению возможной бесконечной последовательности исключительных значений, см. [27,107], а также [117,118,154] (здесь §§ 4.1, 4.2). Значения v, для которых нарушается свойство однозначной разрешимости, в рамках метода не определяются, таким образом, недостатком подхода является невозможность гарантировать отсутствие таких исключительных значений в заданном интервале значений..

В [118] также построены примеры неединственности (здесь п. 4.2.2, 4.2.3), которые показывают, что допущение о существовании исключительных значений в формулировках связано с существом проблемы — к этому вопросу мы вернёмся ниже. В работе [44] (здесь п. 4.3.2) предложена схема, которая позволяет эффективно применять обсуждаемый метод доказательства однозначной разрешимости для случая стратифицированной жидкости. Заканчивая обсуждать метод интегральных уравнений, отметим, что этот метод позволяет численно находить решения для одного или более тел произвольной формы..

Наряду с методом интегральных уравнений имеются другие универсальные подходы. Ряд задач успешно исследован функционально-аналитическими методами (см., например, [70]). Отметим особо случай плавно меняющейся глубины жидкости, при этом удобны асимптотические методы: лучевой (см. [185]) и метод канонического оператора Маслова (см. [9,10,103])..

Для задач, рассматриваемых в данной работе, существующие методы доказательства единственности в основном опираются на два основных подхода—схему Джона и тождество Мазьи. Первый подход, основанный на интегральных неравенствах для функционалов энергии, был предложен Ф. Джоном в 1950 г. [93] и обобщён в работе [184], где, в частности, доказана единственность решения плоской задачи об излучении и рассеянии волн для любой системы погруженных тел, заключённой между линиями, пересекающими свободную поверхность в одной точке под углом 45° к горизонтали. Кроме того, подход [184] позволяет показать, что единственность имеет место для достаточно больших и достаточно малых значений частоты колебаний. Метод был развит в [141,183] и [121] для задачи о колебаниях жидкости в присутствии тел при k ф 0 в уравнении (В. 12) —для частот ниже и выше частоты отсечки, соответственно. Результаты [108,111,115,121,122,128] и [113, § 4.2] обобщают подход [184] на случай, когда имеется ограниченная область свободной поверхности (отрезок между телами в плоском случае или внутренняя область, ограниченная осесимметрическим тороидом). Применение подхода для задачи о движении может быть найдено в книге [113]. Недостатки схемы Джона проявляются в существенных геометрических ограничениях, возникающих при использовании этого метода..

В [37] (в более слабой формулировке — в [4]) было предложено так называемое тождество Мазьи (см. также [101]). Данное интегральное тождество позволяет доказать единственность, если поверхность погруженного тела удовлетворяет некоторому условию (специальное векторное поле в любой точке смоченной поверхности направлено в область, занятую жидкостью). Существенным недостатком подхода является отсутствие алгоритма, позволяющего подобрать векторное поле для заданной геометрической конфигурации. Схема является в некотором смысле обратной — отыскав векторное поле с требуемыми характеристиками, можно предъявить некоторые конфигурации тел, для которых имеет место единственность. Развитие данного подхода можно найти в работах [25,84,101,206]- наиболее полный обзор тождества Мазьи приведён в книге [113]- из работ самого последнего времени следует упомянуть [114], где тождество Мазьи применяется для задачи о колебаниях двухслойной жидкости в присутствии тел. Результаты [157] (здесь § 2.2) для задачи об излучении и рассеянии волн позволяют использовать все апробированные для гладких тел векторные поля для конфигураций с точками возврата и гладкими рёбрами..

В работах автора [159,168] (здесь § 2.1) предложены две новые общие схемы доказательства единственности и получения оценок частот, при которых может нарушаться свойство единственности. Эти подходы применимы для любой формы тел, любого их количества и размерности задачи. Показано, что для широких классов тел новые схемы имеют существенные преимущества по сравнению с подходами, описанными выше. Кроме того, в [156] предложен новый признак единственности для задачи о периодических вдоль цилиндрических тел колебаниях жидкости ниже частоты отсечки (здесь § 1.2)..

Перечислим работы, не попадающие в указанную классификацию. В [135] для плоской задачи о колебаниях жидкости в присутствии симметричной структуры, подчинённой некоторому геометрическому условию, доказано отсутствие чётных по горизонтальной переменной нетривиальных решений однородной задачи. В работе [24] совместное применение конформных отображений и интегральных неравенств позволило доказать единственность плоской задачи об излучении и рассеянии волн двумя частично погруженными телами для достаточно малых значений частоты. В [110] подобное сочетание позволило доказать единственность для некоторых специальных конфигураций частично погруженных тел для всех значений частотыважно, что для этих контуров угол между свободной поверхностью и односторонней касательной к контуру в точке пересечения со свободной поверхностью может быть сколь угодно малым. В работах [109,136] предложены подходы, основанные на рассмотрении узловых линий — линий, на которых потенциал обращается в нуль..

Отметим, что все существующие теоремы об однозначной разрешимости имеют те или иные ограничения на геометрическую конфигурацию препятствий, параметр в граничном условии на свободной поверхности, симметрию решений. Оказывается, что это диктуется существом проблемы —в последние годы был построен ряд примеров неединственности, что показывает невозможность доказательства общих теорем единственности без ограничений на параметры задачи..

Примеры неединственности (локализованные моды). Вопрос о том, существуют ли нетривиальные решения однородных задач для значений параметра в граничном условии, находящихся на непрерывном спектре, оставался открытым в течение долгого времени. Существенное продвижение в этой области исследований началось в 1996 г., когда М. Мак-Айвер в работе [133] построила первый пример неединственности для плоской задачи о колебаниях жидкости в присутствии частично погруженных тел. Для этого в [133] была предложена новая, так называемая «обратная схема». При этом подходе для заданного потенциала (в [133] использовались два источника, расположенных на свободной поверхности) разыскиваются линии поля скоростей, которые могут быть выбраны в качестве контуров тел (в [133] это линии тока начинающиеся и заканчивающиеся на свободной поверхности и заключающие одну из особенностей внутри себя)..

Данный подход оказался эффективным и с его помощью был построен ряд примеров неединственности для различных линейных задач. В работах [42,153] были построены первые примеры неединственности для плоской задачи о движении частично погруженных тел (здесь п. 4.2.3). Подобное исследование для плоской задачи о колебаниях жидкости представлено в [113, § 4.1]. В дальнейшем в работе автора и Н. Г. Кузнецова [162] была предложена модификация схемы, основанная на дипольных решениях, которая получила развитие для задачи о движении в [118,160] (здесь § 4.2) и для задачи о колебаниях —в [43,158,164] (здесь § 1.1). Аналогичные приведённым в п. 4.3.2 [160] результатам для двухслойной жидкости (но применительно к задаче о колебаниях жидкости в присутствии тел) получены в [114], где также доказана теорема о единственности и проведено сопоставление..

В [121] получены примеры неединственности для задачи о колебаниях жидкости при косом набегании волн на цилиндрические тела (см. выше с. 13). При этом в [121] доказательство существования конфигураций дано только для двух цилиндров и достаточно малых значений угла между фронтом волны и образующими цилиндров (почти-нормальное падение волны). Это ограничение снято в [43,158] (здесь § 1.1), где представлено доказательство для произвольного, большего двух, количества тел и всех значений угла, исключая только случай распространения волны вдоль цилиндров..

Обратная схема оказалась применимой для построения примеров неединственности с полностью погруженными телами (см. [137]). В работах [140] и [178] развита численная техника, позволяющая находить «ловушечные» моды для заданной конфигурации тел. В указанных работах получены результаты для погруженных эллиптических тороидов и (в плоской задаче) симметричных пар погруженных тел..

В [115,144] построены примеры неединственности для осесимметриче-ской задачи о колебаниях жидкости в присутствии частично погруженных тел. В [170] численно исследованы нагрузки, возникающие на тороидальной структуре, полученной в [144], и показано их сингулярное поведение. Математический анализ нагрузок для конфигураций тел, возникающих в примерах неединственности для плоской задачи, представлен в [138]. В [147] подход [115,144] развит для построения неосесимметричных структур..

При помощи обратной схемы удалось получить новые интересные результаты для задачи о колебаниях в ограниченном объёме жидкости (см. [105]). В [83] обратная схема применяется для задачи о колебаниях жидкости над наклонным дном —построены примеры локализованных мод колебаний в присутствии тел. Вопрос об устойчивости структур, полученных при помощи обратной схемы, исследовался в работе [142]. Вопрос о связи локализованных мод в стационарных задачах с существованием резонансных режимов в более общих нестационарных задачах изучался в [134,146]. Возможность существования локализованных мод в задачах со свободно плавающими телами показана в [145]..

Заметим, что случай, когда частоты собственных колебаний находятся вне непрерывного спектра задачи, изучен гораздо лучше. Данные исследования ведут отсчёт от 1846 года (береговые волны Дж. Стокса [187]) и результатов Ф. Эрселла [195,196] и Д. С. Джоунса [95] в 1951;1953. С тех пор появилось множество работ, посвящённых построению локализованных мод и/или доказательству их существования или отсутствия — подробный обзор результатов можно найти в [84] и [113]. Отметим, что в [158] (здесь § 1.1) впервые получены локализованные моды под частотой отсечки для частично погруженных тел..

К классу задач с дискретным спектром относится задача о собственных колебаниях жидкости в бассейне, имеющем ограниченную свободную поверхность. Классический этап исследования этой задачи отражён в книге [32]. Обзоры [151,152] дают представление о результатах, которые были получены ко второй половине шестидесятых годов. С более поздними работами можно познакомиться по книге [36] и работе [86]. Функционально-аналитические аспекты задачи о свободных колебаниях рассматриваются в книге [18]. Тематика излагаемых в данной работе результатов перекликается с работами [58,106]..

В ряде работ (см. [78,86,99,149,192,193]) рассматривалась задача о колебаниях жидкости в полуплоскости под твёрдой крышкой с отверстием. Интерес к задаче обусловлен тем фактом, что собственные значения доставляют универсальные оценки сверху для частот собственных колебаний в плоских областях, имеющих тот же отрезок в качестве свободной поверхности. В [30,119,120,165,166] (здесь §§ 3.1, 3.2) рассмотрена задача о колебаниях жидкости под крышкой с двумя отверстиями и изучена зависимость собственных значений задачи от расстояния между отверстиями, в частности, доказано, что все собственные значения зависят монотонно от расстояния, получены новые формулы для производных собственных значений как функций геометрического параметра в терминах энергетических функционалов. Также показано, что все собственные значения простые (заметим, что для задач о колебании жидкости с ограниченной свободной поверхностью известно лишь несколько результатов о простоте первого собственного числа — см. [104] и [105])..

Задача о движении. Остановимся подробнее на результатах, специфических для задачи о движении тел в безграничной жидкости. Особенностью в сравнении с задачей об излучении и рассеянии волн является то, что для задачи о движении не известно доказательство конечности энергии решения однородной задачи. Более того, это, вообще говоря, неверно, как показывает пример, построенный в [118] (здесь п. 4.2.2). Поэтому, теоремы единственности, доказанные в предположении о конечности энергии (см., например, [4,112]) имеют условный характер. Фактически известна одна теорема единственности Ф. Эрселла (см. [113, § 7.1.6]), не использующая предположение о конечности энергии и гарантирующая единственность для одного полностью погруженного кругового цилиндра для всех значений скорости. В п. 4.1.2 представлена вторая теорема подобной природы —для полностью погруженных тел произвольной формы получены оценки параметров, при которых возможно существование нетривиальных решений однородной задачи..

Другая сложность возникает при использовании задачи (В. 14)—(В. 17) для частично погруженных тел. При этом решение задачи оказывается неединственным для любого значения скорости и, таким образом, задача должна быть дополнена некоторыми условиями. Впервые данный тип неединственности был обнаружен численно (обзор работ, относящихся к этому этапу исследований, может быть найден в [189]). К. Эггерс в [82] предложил обоснование существования нетривиального решения однородной задачи, а первое математически строгое доказательство этого факта для плоской задачи, описывающей движение полупогруженного кругового цилиндра, было дано Ф. Эрселлом в работе [200]. В этой же работе был предложен вариант дополнительных условий — постановка, доставляющая т. н. «наименее сингулярное» решение с вектором скорости, ограниченным во всей области, занятой жидкостью. В [27] эта постановка обобщена для тел произвольной формы и состоит в задании коэффициентов в асимптотиках потенциала в точках пересечения контуров тел со свободной поверхностью. (В п. 4.2.3 построены примеры неединственности для такой постановки.).

Известно ещё несколько версий дополнительных условий — обзор может быть найден в [ИЗ, с. 416−418]. Упомянем работы [27,107,112,181], в которых дополнительные условия формулируются в терминах величин возвышений свободной поверхности в носовой и кормовой точках и циркуляции вектора скорости вдоль смоченной поверхности тела. Модели [74,125] также используют условие типа Кутта-Жуковского, означающее, что кормовая точка является точкой схода. Постановки [26] и [41,117,118] основаны на рассмотрении формулы для полного сопротивления тандема. Результаты [118] представлены в § 4.2..

Отметим, что хотя трёхмерная задача о движении хорошо изучена для полностью погруженных тел в жидкости бесконечной глубины (см. [113]), для частично погруженных тел не существует математически строгих результатов, касающихся вопроса о дополнительных условиях..

Двухслойная жидкость. В заключение этого раздела коснёмся подробнее линейных задач о взаимодействии тел с двухслойной жидкостью. Множество работ посвящено построению и исследованию сингулярных решений задач и численному анализу гидродинамических сил (см., например, [76] и [46]). При этом вопрос о корректности постановок задач исследован явно недостаточно. Отметим упомянутую выше (в связи с применением тождества Мазьи и построением примеров неединственности) работу [114], в которой при помощи обратной схемы построены локализованные моды, а также доказаны некоторые утверждения о единственности для плоской и трёхмерной задачи о колебаниях двухслойной жидкости в присутствии тел. Для плоской задачи о движении тел в двухслойной жидкости, которая рассматривается в данной работе в § 4.3, ряд важных результатов получен в [41,163] — построена функция Грина, найдены асимптотики функции Грина и решения на бесконечности, вид решения в пустых слоях, тождество Грина, выражения для волнового сопротивления. Эти результаты используются в [160], где построены первые примеры неединственности, и в [41,44], где впервые доказана однозначная разрешимость задачи для тел произвольной формы, не пересекающих поверхность раздела сред, для всех значений параметров (скорости и отношения плотностей) кроме некоторого (возможно пустого) аналитического множества. Предложенная в [44] техника сводит вопрос о разрешимости к исследованию поведения корней дисперсионного соотношения и к хорошо изученному вопросу о разрешимости задач в однородной жидкости..

В.5. Структура и содержание работы.

Работа состоит из четырёх глав, разбитых на параграфы. Нумерация формул и утверждений —сплошная внутри каждой главы, таким образом Лемма 3.1 — первое утверждение в главе 3, а (4.2) — вторая нумерованная формула в главе 4. Ссылки на библиографические единицы представлены номерами в квадратных скобках (например, [1−3,5]), список упорядочен по возрастанию номеров, ссылки на работы автора отмечены курсивом (например, [42]). В списке литературы для каждой библиографической единицы указаны номера страниц, на которых она упоминается..

В главах 1 и 2 изучается задача о колебаниях жидкости с неограниченной свободной поверхностью в присутствии тел. При этом в гл. 1 рассматриваются цилиндрические тела и движение жидкости предполагается периодическим вдоль образующих цилиндров, а в гл. 2 мы обращаемся к общей трёхмерной задаче. Хотя задача гл. 1 возникает как частный случай задачи гл. 2, она в некотором смысле сложнее — движение жидкости описывается уравнением (В.12), а не уравнением Лапласа, и имеется ненулевая частота отсечки..

В § 1.1 доказано существование локализованных мод для частично погруженных тел для частот, расположенных как выше, так и ниже частоты отсечки. Для этого применяется дипольная модификация обратной схемы и предложен асимптотический подход, основанный на качественной теории дифференциальных уравнений. При этом, в отличие от [121], существование примеров неединственности доказано для любого значения k и любого количества тел. Отметим, что локализованные моды для частично погруженных тел ниже частоты отсечки ранее не были известны..

В § 1.1 также доказан принцип монотонности собственных значений для вложенных областей с одинаковой свободной поверхностью (теорема сравнения). Этот результат позволяет существенно расширить класс контуров, для которых установлено существование локализованных мод ниже частоты отсечки. А именно, локализованные моды существуют для произвольных контуров, охватывающих полученные обратным методом и имеющих ту же свободную поверхность, —такие системы тел могут включать и произвольные полностью погруженные тела..

В § 1.2 для получения оценок возможных собственных частот под частотой отсечки предложен новый признак единственности, основанный на интегральном тождестве [90], принципах максимума и использовании сингулярных решений модифицированного уравнения Гельмгольца. Существенным также является использование теоремы сравнения, которая позволяет свести рассмотрение к простой области и применить оценки ко всем телам, находящимся внутри. Для частично погруженных тел полученные оценки можно рассматривать как обобщение теоремы единственности [141] для тел, не удовлетворяющих условию Джона..

В главе 2 рассматривается трёхмерная задача. В § 2.1 предложены две новые схемы для нахождения условий отсутствия локализованных мод колебаний и получения оценок точечных собственных значений, как погруженных в непрерывный спектр, так и отделённых от него. Оба метода пригодны для любой размерности задачи (развиты для размерностей 2 и 3), любой формы тел, жидкости конечной и бесконечной глубины. Первый подход приводит к признаку (достаточному условию) единственности, на основе которого получены простые оценки параметров, для которых возможно существование локализованных мод, для полностью погруженных тел произвольной формы (в том числе с особыми точками) .в неограниченной жидкости в плоском и трёхмерном случае. Кроме того, получены оценки для рассмотренной в предыдущей главе задачи не только ниже (как в § 1.2), но и выше частоты отсечки. Метод также эффективен для других задач с эллиптическими операторами (в п. 4.1.2 метод применяется для задачи о движении). Вторая схема позволяет получить первый для данного класса задач критерий (необходимое и достаточное условие) единственности. На основе этого критерия получен признак единственности и построен эффективный алгоритм для численной проверки свойства единственности..

В § 2.2 основное внимание уделено случаю, когда поверхность полностью погруженных препятствий имеет особые точки, в которых вектор скорости может иметь сингулярности. Найдены классы таких препятствий, которые не поддерживают локализованные моды. Доказательство основано на обобщении интегрального тождества Мазьи, которое в случае тел с особыми точками также содержит коэффициенты локальных асимптотик решения вблизи особых точек границы. Результаты позволяют использовать для конфигураций с точками возврата (плоская задача) и гладкими рёбрами (трёхмерный случай) все апробированные для препятствий без особых точек векторные поля (см. [113, § 1.2])..

В отличие от предшествующих глав в главе 3 рассматривается случай, когда жидкость имеет ограниченную свободную поверхность. Изучается задача, которая описывает свободные двумерные колебания жидкости, заполняющей нижнее полупространство и накрытой твёрдой крышкой с двумя бесконечными параллельными прорезями одинаковой ширины. Для этой задачи удаётся дать полный ответ на многие важные вопросы относительно свойств собственных значений и их зависимости от геометрических параметров..

В § 3.1 получены асимптотики решений вблизи кромок, доказано отсутствие симметричных решений, стремящихся к нулю на бесконечности. Эти важные результаты справедливы и для задачи с одной прорезью (которая интенсивно изучалась) и ранее не .были известны. Задача сведена к спектральным задачам для интегральных операторов. Это, в частности, позволяет установить аналитическую зависимость собственных значений от расстояния между прорезями..

В § 3.2 доказано, что все собственные значения простые и зависят монотонно от расстояния между отверстиями. Выведены формулы, выражающие первую производную собственных чисел как функций расстояния между отверстиями, в терминах энергетических функционалов. Получены оценки собственных значений, пределы при стремлении расстояния между отверстиями к нулю и бесконечности. Некоторые важные утверждения (монотонность собственных частот как функций расстояния между прорезями) и формулы для производных собственных частот также удаётся обобщить для более сложных задач..

В главе 4 рассматриваются задачи, описывающие установившееся движение тел в безграничной жидкости со свободной поверхностью. Речь идёт о плоских задачах, описывающих движение цилиндрических тел в предположении, что образующие цилиндров ортогональны направлению потока. Изучается вопрос о корректности постановок — установлена однозначная разрешимость для ряда задач, описаны множества возможных исключительных значений, построен ряд примеров неединственности..

В § 4.1 изучается случай, когда тела движутся в слое однородной жидкости, не пересекая свободную поверхность. Показано, что схема, предложенная в § 2.1, позволяет получить оценки параметров задачи, для которых возможно нарушение единственности. При помощи схемы [4], [27] исследована задача о движении полностью погруженных тел в слое конечной глубины в т.н. докритическом режиме движения. Предложена схема вычислений, которая позволяет преодолеть существенные аналитические трудности, связанные с оценкой нормы разности интегральных операторов основной и предельной задач. Доказана однозначная разрешимость задачи для всех значений скорости, исключая некоторое, возможно пустое, множество изолированных значений, которое может сгущаться вблизи критического значения скорости..

В § 4.2 рассмотрена задача о движении тел, частично погруженных в жидкость бесконечной глубины. Для тандема, состоящего из двух тел произвольной формы, доказано существование решения постановки с предписанными амплитудами волн на бесконечности и разностями возвышений свободной поверхности в носовой и кормовой точках каждого из тел (когда эти условия однородны, постановка описывает движение тандема без сопротивления). Доказана единственность решения задачи для геометрических конфигураций симметричных относительно вертикальной оси —для них однозначная разрешимость имеет место для всех значений скорости, кроме некоторой (возможно пустой) последовательности с точкой сгущения в нуле. Установлено существование таких исключительных значений для данной постановки, а также для постановки с заданными особенностями поля скоростей в точках пересечения контуров со свободной поверхностью — для последней существование примеров неединственности доказано для любого количества тел..

В § 4.3 рассмотрена задача о движении тел в жидкости, состоящей из двух слоёв различной плотности. Корректность постановки ранее практически не исследовалась. Доказана однозначная разрешимость задачи в случае, когда тела не пересекают поверхность раздела сред. Для этого предложен эффективный способ доказательства разрешимости и единственности, основанный на продолжении оператора интегрального уравнения в нефизическую область (в которой плотность верхней жидкости отрицательна), который непосредственно сводит вопрос о разрешимости к хорошо изученному вопросу о разрешимости предельных задач в однородной жидкости. Доказано, что интегральное уравнение доставляет единственное решение краевой задачи для всех значений параметров задачи, кроме некоторого нигде не плотного множества исключительных значений, которое является аналитическим. Для задачи о движении тел, пересекающих поверхность раздела слоёв различной плотности, построены примеры неединственности..

Заключение.

Приведём основные результаты работы:.

— Построены примеры локализованных мод для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях жидкости — впервые не только выше, но и ниже частоты отсечки, для любого, не обязательно малого, значения параметра k в модифицированном уравнении Гельмгольца и для произвольного количества частично погруженных тел. Для этого предложена новая модификация обратной схемы. Ниже частоты отсечки класс контуров, для которых доказано существование локализованных мод, существенно расширен при помощи найденного принципа монотонности собственных значений..

— Предложен новый признак единственности (отсутствия локализованных мод) для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях жидкости ниже частоты отсечки. Получены оценки параметров, для которых возможно существование собственных колебаний жидкости в присутствии частично и полностью погруженных тел со слабыми предположениями о регулярности смоченной поверхности тел..

— Предложен новый общий признак единственности для задачи об излучении и рассеянии волн, пригодный для произвольного количества тел произвольной формы и любой размерности задачи. Получены оценки параметров, для которых возможно существование собственных частот колебаний жидкости для плоских и трехмерных задач об излучении и рассеянии волн, для задачи о периодических вдоль цилиндрической геометрии колебаниях..

— Впервые предложен критерий (необходимое и достаточное условие) единственности для плоской и трёхмерной задачи о колебаниях жидкости в присутствии погруженных тел. На основе этого критерия найден новый общий признак единственности и построен эффективный численный алгоритм для проверки свойства единственности..

— Найдены классы погруженных препятствий с особыми точками границы (точками возврата в плоском случае и гладкими рёбрами —в трёхмерном), не поддерживающих локализованные моды на любых частотах колебаний. Для этого получено обобщение тождества Мазьи..

— Изучена зависимость дискретного спектра от геометрических параметров на примере задачи о колебаниях жидкости в полупространстве под твёрдой крышкой с двумя прорезями. Получено исчерпывающее описание спектра, в частности, доказана простота всех собственных значений, монотонность собственных частот как функций расстояния между прорезями. Получены новые формулы для производных собственных частот как функций геометрического параметра в терминах энергетических функционалов, показано, что эти формулы применимы для более общих задач..

— Предложен новый признак единственности для задачи об установившемся движении полностью погруженных тел произвольной формы. (Ранее была известна только одна теорема единственности Ф. Эрселла о единственности для кругового цилиндра.) Для плоского случая и жидкости бесконечной глубины получены оценки параметров задачи, для которых возможно нарушение свойства единственности..

— Доказана однозначная разрешимость плоской задачи, описывающей до-критический режим движения погруженных тел в слое конечной глубины, для почти всех значений скорости. Для этого развита схема, основанная на интегральных уравнениях теории потенциала и теореме об обратимости оператор-функции, аналитически зависящей от параметра..

— Предложены дополнительные условия, замыкающие плоскую задачу о движении тандема частично погруженных тел в жидкости бесконечной глубины. Доказана однозначная разрешимость предложенной постановки для почти всех значений скорости. Построены примеры неединственности, демонстрирующие возможность существования таких исключительных значений. Кроме того, доказано существование примеров неединственности для предложенной в [27,200] постановки с заданными сингулярностями поля скоростей..

— Предложена новая схема доказательства разрешимости для задач о взаимодействии тел с двухслойной жидкостью, основанная на аналитическом продолжении оператора интегрального уравнения в нефизическую область задания параметров. Доказана однозначная разрешимость плоской задачи о движении тел для всех значений параметров задачи кроме возможно пустого аналитического множества меньшей размерности. Построены примеры неединственности для задачи о движении тел, пересекающих поверхность раздела слоёв различной плотности..