Исследование устойчивости движений дискретных динамических систем

Многие задачи математической кибернетики приводят к исследованию дискретных динамических систем. Для описания дискретных систем используются уравнения в конечных разностях.

Системы уравнений в конечных разностях изучаются уже давно в различных разделах математики. Вполне естественно, что обилие приложений конечнораз-ностных уравнений повысило к ним интерес.

Большое внимание к исследованию подобных уравнений уделяется в задачах теории управления. Разностные уравнения широко применяются при описании динамических систем с дискретными регуляторами [24], нелинейных импульсных систем [11, 58]. Кроме того, они широко используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений различных типов ]17, 24, 57].

Свойства решений разностных уравнений во многом аналогичны свойствам решений соответствующих дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет использовать системы разностных уравнений в задачах моделирования и анализа динамики различных реальных объектов, там, где использование непрерывных систем либо не представляется возможным, либо приводит к значительному усложнению этих задач.

В то же время переход от непрерывных уравнений к разностным может повлечь существенное изменение свойств решений системы. При таком переходе нередко нарушается устойчивость.

Устойчивость — важное свойство любого управляемого объекта. Устойчиво движущимся принято называть тог объект, движение которого слабо изменяется под воздействием возмущений. И наоборот, говорят, что объект движется неустойчиво, если его движение сильно изменяется под действием возмущений. Так как в действительности возмущающие силы всегда неизбежно существуют, то задача устойчивости движения приобретает очень важное теоретическое и прикладное значение.

Существенные результаты в исследовании устойчивости разностных систем были достигнуты в работах В. И. Зубова, М. А. Скалкиной, A. Halanay, D. Wexler, J. М. Sanz-Serna, Н. Yoshida и многих других авторов [4, 5, 24, 35, 53, 54, 55, 58, 64, 67].

Проблема эквивалентности преобразований в смысле сохранения устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным уравнениям может решаться за счет модификации последних.

Существуют консервативные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, позволяющие учитывать специфику изучаемых систем и сохранять их качественные характеристики [6, 17, 23, 24, 60, 68]. Эти методы можно разделить на два следующих класса. К первому классу можно отнести консервативные методы, полученные из традиционных (неконсервативных) методов с помощью специальных процедур модификации, обеспечивающих выполнение свойства консервативности с заданной степенью точности. Второй класс методов состоит из специальным образом сформированных методов, в которых свойство консервативности заложено изначально.

Использование некоторых консервативных численных методов позволяет решить проблему эквивалентности преобразований в смысле сохранения устойчивости решений при переходе от дифференциальных систем уравнений к соответствующим разностным. К таким методам можно отнести метод В. И. Зубова сохранения интегралов [23, 24]. Построенное согласно методу управление используется в качестве коррекции разностных систем, обеспечивая, тем самым, указанную выше эквивалентность. Но введение управления в систему может привести к значительному ее усложнению. Поэтому важной задачей является определение классов систем, для которых коррекция не нужна и систем, которым она необходима.

Методологический аппарат исследования подобных проблем разрабатывается и совершенствуется уже достаточно давно. Основополагающие результаты были получены еще в конце 19 века А. М. Ляпуновым. Разработанный им прямой (второй) метод анализа устойчивости [32] является весьма полезным при исследовании приведенных выше задач. Метод заключается в построении некоторых вспомогательных функций, обладающих специальными свойствами. Эти функции называют функциями Ляпунова. Прямой метод Ляпунова является основным методом исследования нелинейных систем. Он получил глубокое развитие в трудах Н. Г. Четаева, И. В. Малкина, К. П. Персидского, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова, В. В. Румянцева, С. Лефшеца, Т. Йошизавы и многих других ученых [8, 19, 26, 28, 29, 33, 50, 51, 59, 69]. Результаты, полученные для непрерывных систем, в дальнейшем получили распространение и на системы разностных уравнений [11, 24, 58].

Устойчивость динамических систем, правые части которых, представленные в виде ряда по степеням искомых функций, не содержат в указанном разложении линейных членов относительно этих функций, исследуется по нелинейному приближению [12, 26, 33, 66]. Теоремы об устойчивости систем дифференциальных уравнений по нелинейному приближению были доказаны в работах И. Г. Малки-на, Н. Н. Красовского и В. И. Зубова [19, 27, 33]. При этом в качестве первого приближения рассматривались системы с однородными и обобщенно-однородными правыми частями. Для таких систем были определены условия существования однородных (и обобщенно-однородных) функций Ляпунова, с помощью которых удалось установить критерии устойчивости по нелинейному приближению.

Во многих прикладных задачах для нормального функционирования материальной системы достаточно обеспечить устойчивость ее движения не, но всем, а только в отношении некоторой части ее переменных. Такие задачи естественным образом возникают при решении ряда механических и технических проблем [13, 22, 50], анализе биологических и экономических моделей [15,61]. Основополагающие результаты в этой области были получены В. В. Румянцевым [14, 48, 50]. В его работах был доказан ряд теорем об устойчивости по части переменных, обобщающих теоремы второго метода Ляпунова, и указаны примеры их приложения в задачах механики. Результаты В. В. Румянцева получили глубокое развитие в трудах К. Кордуняну, В. И. Зубова, В. И. Воротникова, К. Пейффе-ра, А. Хатвани и многих других ученых [13, 18, 34, 62, 63, 65].

Теоремы об устойчивости по части переменных, доказанные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, естественным образом распространяются и на случай разностных систем.

Большое прикладное значение также имеют исследования устойчивости положения равновесия нелинейных колебательных систем [9, 10, 56]. Широкий класс таких систем описывает уравнение Льенара. Оно используется при моделировании различных процессов в механике, биологии, химии, экономике и других отраслях науки [15, 51, 61].

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию описанных выше задач для систем разностных уравнений и направлена на развитие известных математических методов их решения. Основной математический аппарат — метод функций Ляпунова. Работа состоит из трех глав.

В первой главе исследовала устойчивость решений разностных систем по нелинейному приближению, где в качестве первого приближения рассматриваются системы с обобщенно-однородными правыми частями.

В первом параграфе приведены основные понятия и вспомогательные утверждения, применяемые в дальнейшем при исследовании устойчивости решений разностных систем по нелинейному приближению.

Во втором параграфе приводится постановка исследуемой задачи. Рассмотрены системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями и соответствующие им разностные системыОпределены условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при переходе от дифференциальных уравнений к разностным. В том же ключе приведены условия сохранения неустойчивости нулевого решения системы. Получена оценка скорости стремления решений разностной системы к началу координат. Отметим, что порядок полученной оценки совпадает с порядком аналогичной оценки, установленной В. И. Зубовым для дифференциальных уравнений [18].

В третьем и четвертом параграфах исследовано воздействие на систему ограниченных и неограниченных возмущений. Определены классы возмущений, не нарушающих асимптотическую устойчивость нулевого решения системы. В том числе установлен класс возмущений, для которых асимптотическая устойчивость сохраняется и в случае, когда порядок возмущений может быть ниже порядка функций, стоящих в правых частях системы первого приближения.

Вторая глава посвящена изучению условий асимптотической устойчивости по части переменных решений разностных систем.

Первый и второй параграф носят вспомогательный характер. В первом приведены основные определения и утверждения, касающиеся устойчивости, но части переменных, используемые в главе. Во втором параграфе описан метод В. И. Зубова построения консервативных разностных схем [18].

Далее в главе исследуются условия устойчивости разностных систем в критических случаях. Здесь развивается теорема Ляпунова-Малкина об устойчивости в критических случаях нескольких нулевых корней [33] для систем, первое приближение которых является существенно нелинейным. В третьем параграфе наряду с исследуемой системой разностных уравнений рассматривается ее первое приближение, которое можно разделить на две изолированные подсистемы: асимптотически устойчивую подсистему с обобщенно-однородными правыми частями и подсистему, имеющую устойчивое нулевое решение. С помощью метода функций Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости, но всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных решений нелинейных разностных систем по первому приближению указанного вида.

В § 4 определен класс неавтономных возмущений, для которых можно ослабить условия устойчивости, нолученные в предыдущем параграфе. Доказано, что порядок этих возмущений может быть меньше порядка функций, входящих в правые части первого приближения исходной системы.

В пятом параграфе рассматривается система дифференциальных уравнений специального вида. В соответствии с теоремой В. И. Зубова о каноническом разложении силового поля [22] предполагается, что правые части системы представляют собой сумму потенциальной и соленоидальной составляющих поля. Указанная системы имеет нулевое решение устойчивое по всем и асимптотически устойчивое по части переменных. Доказано, что разностная система, соответствующая исходной системе дифференциальных уравнений, может иметь неустойчивое, но части переменных нулевое решение. Для сохранения устойчивости в разностную систему вводится управление. Управление строится методом В. И. Зубова сохранения интегралов. Доказательство устойчивости по всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных нулевого решения скорректированной системы проводится с использованием дискретного аналога теоремы В. В. Румянцева об асимптотической устойчивости.

В шестом параграфе, на основе методов, используемых в § 3 и § 5, рассматривается задача гашения угловых движений твердого тела, но одной и двум из трех главных центральных осей инерции.

В третьей главе приведено исследование векторного уравнения Льенара, широко использующегося при моделировании различных реальных систем и процессов.

В § 1 рассматривается система дифференциальных уравнений Льенара с асимптотически устойчивым нулевым решением. Доказано, что нулевое решение разностных уравнений, соответствующих исходной дифференциальной системе, может быть неустойчивым. Согласованность, в смысле сохранения устойчивости нулевого решения, достигается за счет введения в разностную систему управления. Управления строится методом В. И. Зубова.

Во втором параграфе доказывается асимптотическая устойчивость нулевого решения скорректированной системы. Проводится оценка скорости стремления решений к началу координат. Исследуется воздействие на систему ограниченных возмущений. Определен класс возмущающих сил, которые не нарушают асимптотическую устойчивость нулевого решения системы.

В третьем параграфе исследуются условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при возмущениях, порядок которых может быть ниже порядка функций входящих, в правые части рассматриваемой системы.

В § 4 рассматривается иной подход к анализу разностного уравнения Льенара. Использование других, нежели в §§ 1−3, условий на правые части системы, позволяет ослабить ограничения на параметры системы, полученные ранее. Однако, отметим, что результаты параграфа 4 распространяются не на весь класс систем, рассмотренный в §§ 1−3.

В заключении формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Настоящая работа основана на результатах автора, опубликованных в статьях [37]-[42].

Параграфы каждой из трех глав имеют свою нумерацию. Утверждения, замечания и формулы внутри каждой главы также имеют свою нумерацию.

Заключение

.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. Установлены критерии устойчивости решений разностных систем по обобщенно-однородному первому приближению.

2. Получены новые условия устойчивости по всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных решений разностных систем в критических случаях.

3. Разработан метод анализа устойчивости системы разностных уравнений специального вида, правые части которой иредставимы в виде суммы потенциальной и соленоидальной составляющих поля.

4. Найдены условия устойчивости положения равновесия разностного аналога векторного уравнения Льенара.

5. Для изученных классов нелинейных разностных систем найдены оценки скорости стремления решений к началу координат.

Следует отметить, что результаты, полученные в работе для разностных систем, согласуются с известными результатами для соответствующих систем дифференциальных уравнений. Для одних классов систем это согласование обеспечивается за счет модификации разностных схем, для других модификация не требуется.