Численное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности сдвиговых трещин и отверстий в геоматериалах

Актуальность темы

.

Математическое моделирование деформационных процессов в геоматериалах в условиях развития процессов трещинообразования, разломо-образования и разрушения приобретает в настоящее время все большую актуальность и находит применение как в чисто научных, так и в прикладных задачах.

Разрывные нарушения и неоднородности в геоматериалах (горных породах, грунтах, сыпучих средах) проявляются на различных масштабных уровнях. Это могут быть как особенности структуры и текстуры геоматериалов, так и нарушения сдвигового типа в земной коре.

Анализ деформационных процессов в окрестности протяженных горных выработок, скважин, туннелей, а также исследование взаимного влияния пор и сдвиговых микротрещин на микроуровне при деформировании геоматериалов имеют важное значение для изучения механизмов разрушения и обеспечения надежности и безопасности сооружений.

В связи с этим большой теоретический и практический интерес представляет математическое моделирование напряженно-деформированного состояния вблизи систем отверстий и сдвиговых разрывов в плоском случае.

Степень научной разработанности проблемы.

Существуют различные подходы к моделированию поведения геоматериалов при деформировании.

Концепция Садовского об иерархическом блочном строении земной коры [73] используется в различных теоретических и экспериментальных исследованиях деформационных процессов в земной коре. С учетом неоднородного и блочно-иерархического строения горных массивов етроятся количественные теории и геомеханические модели деформирования, в частности, в работах Садовского, Родионова, Сизова [74], Адушкина, Родионова [1], Кочаряна, Спивака [36].

Результаты экспериментальных и теоретических исследований процессов деформирования геоматериалов в условиях нарушений сплошности и локализации деформаций представлены в монографии Ревуженко [68].

В работах [69], [70] Ревуженко, Стажевским, Шемякиным показано на приборе простого сдвига, что при сдвигах, больших критического, происходит переход к новому режиму деформирования: область разбивается сеткой линий скольжения на отдельные блоки и дальнейшее деформирование сопровождается смещениями, относительными проскальзываниями и поворотами отдельных блоков. Был обнаружен также режим несимметричного течения в суживающемся радиальном канале, сопровождающийся сильной локализацией сдвиговых деформаций.

В монографии Николаевского [50] приводятся математические модели деформирования и разрушения горных пород. Рассматриваются эффекты трещиноватости, дилатансии, расслоения земной коры, независимой кинематики блоков и тектонических процессов.

В работе Палмера, Райса [58] соотношения для деформации континуума заменяются соотношениями между усилиями и относительным перемещением поверхностей зоны локализации деформаций.

В работе Кукуджанова [37] приводится обзор современного состояния по связанным моделям упругопластичности и поврежденности. Рассмотрена связь поврежденности, разупрочнения и реологической неустойчивости неупругих материалов.

Аннин в работе [3] исследует выбор параметров трансверсально-изотропной упругой модели для описания линейного деформирования геоматериалов и аналитические и численные методы решения соответствующих динамических уравнений.

В работе Гольдштейна [23] описаны механизмы разрушения при сжатии. Отмечается, что в процессах деформирования и разрушения тел с трещинами особую роль играет история нагружения, а также эффекты проскальзывания и сцепления контактирующих участков трещины. Наличие концентраторов напряжений (неоднородностей) оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние материала.

Basista, Gross [95] на основе теории внутренних переменных Рай-са используют переход от микродеформирования к макродеформированию для построения двумерной микромеханической модели повреждений хрупкого материала при деформации сжатием. Выбрана модель сдвиговой трещины как базисный диссипативный механизм.

В работах Панина с соавторами [59, 60, 61] исследуется механизм пластической деформации на различных масштабных уровнях. Вводятся пространственные структурные элементы деформации, для которых допускается как трансляция, так и поворот. Нагруженное деформируемое твердое тело рассматривается как многоуровневая самоорганизующаяся система.

В работе Ивлева, Ершова [33] для задач теории идеальной пластичности и теории малых упруго-пластических деформаций применяется метод возмущений, основанный на введении некоторого малого параметра.

Исследованиям процессов деформирования в упруго-пластических средах посвящены также работы [32], [34], [62].

В монографии Соболева, Пономарева [81] изучены стадии подготовки макроразрывов и обобщены данные лабораторных и натурных наблюдений за изменениями физических полей, предшествующих землетрясениям.

В работе Гольдштейна, Осипенко [25] исследуется формирование структур хрупкого и квазихрупкого разрушения материалов (сред) с учетом их структуры при сложном нагружении, в частности, в условиях многоосного сжатия.

Ребецкий [66], Осокина [56], Ребецкий, Лементуева, Дьяур, Михайлова [67] исследуют закономерности полей напряжений и деформаций для региональных тектонических структур земной коры и литосферы на основе численного и аналитического моделирования.

Работа Осокиной [54] посвящена исследованию трехмерного поля напряжений около сдвигового тектонического разрыва. Автор предлагает разделение слоя с разрывом на области с различными типами локального поля (с различной ориентацией осей напряжений).

В работе [55] (Осокина, Яковлев, Войтенко) авторы предлагают и развивают комплексный подход к описанию тектонического разрыва как трещины конечной длины и ширины. Обоснованием данного подхода является математическое моделирование локального поля напряжений, возникающего в окрестности разрыва после смещения берегов с трением, на основе аналитического решения упругой задачи.

Обзор контактных алгоритмов представлен в работе Бураго, Кукуд-жанова [5]. Моделирование контактного и фрикционного взаимодействия шероховатых поверхностей на разных масштабных уровнях рассматривается в работе Горячевой, Маховской [26].

В работе [49] (Назарова, Ельцов, Назаров, Эпов) методами механики деформируемого твердого тела описываются протекающие в породном массиве при ведении горных работ процессы необратимого деформирования и разрушения геосред.

В монографии Курлени, Миренкова [39] излагаются методы расчета напряженно-деформированного состояния элементов подземных сооружений, базирующиеся на теории упругости и теории интегральных уравнений.

В работе [21] Вонг, Капустянский, Николаевский, Шляпоберский исследуют эффекты локализации деформаций в призабойной зоне скважины в рамках модели на основе неассоциированного закона пластического течения с проявлениями упрочнения и дилатансии.

Дерюгин [27] использует метод элементов релаксации для исследования взаимодействия мезои макрополос локализованной деформации в поликристаллах.

Larsson, Runesson, Axelsson [106, 107] рассматривают упруго-пластический материал Мора-Кулона с внутренним трением, неассоци-ированный закон пластичности. Поле перемещений непрерывно за исключением некоторых поверхностей. Для регуляризации вводится узкая полоса, содержащая поверхность разрыва. Формулируется критерий локализации.

Svedberg, Runesson [115] в рамках градиентно регуляризационной пластичности, связанной с повреждениями вводят градиенты более высокого порядка, учитывающие повреждения материала. Schaeffer, Shearer [110] исследуют влияние неоднородности материала на формирование полос сдвига в сыпучей среде.

В [109] (Lin, Amadei, Jung, Dwyer) предполагается возможность раскалывания системы блоков на малые подблоки, при условии Мора-Кулона рассматривается устойчивость откосов и подземных выработок.

Chau, Wang [97] исследуют сингулярные поля напряжений в окрестности вершины сдвиговой трещины с учетом трения Кулона между контактными поверхностями с использованием метода граничных элементов.

Математическим вопросам теории трещин посвящена монография Морозова [46].

Для численного решения задач геомеханики наиболее широко используется метод конечных элементов [29], [31], [51], [52], [75], [83], [91].

В монографии Васидзу [20] излагается с единых позиций построение вариационных принципов в теории упругости и пластичности и описываются их приложения к конкретный задачам. Наряду с классическими вариационными принципами приведены модификации этих принципов, образующие основу построения метода конечных элементов.

В работах Rice с соавторами [112], [117], [118], [119], [120] численно моделируется распространение сдвиговых разрывов в геоматериалах.

Напряженно-деформированное состояние массива горных пород в рамках метода конечных элементов с помощью метода начальных напряжений исследуется Серяковым в работах [40], [77], [78].

Математическое моделирование коллизии плит, при которой одна плита погружается в мантии под другую, проводится в работе Полянского, Коробейникова, Свердловой, Бабичева, Ревердатто [63].

При моделировании локализации пластических деформаций в узких областях с большими градиентами скоростей или перемещений при помощи метода конечных элементов часто используется измельчение сетки конечных элементов [103] (Jun, Im), [98] (Chen, Liu), [111] (Schweiger, Karstunen, Pande) и элементы высоких порядков точности. На линиях локализации также рассматриваются разрывные поля скоростей или перемещений.

Для описания разрывов при определении скоростей или перемещений внутри элементов, по которым проходит линия локализации, используется функция Хевисайда [105] (Larsson J., Larsson R.). Важно отметить, что обычно рассматриваются единичные линии локализации.

Requeiro, Borja [116] описывают конечноэлементный анализ локализации деформаций с использованием сильных разрывов для пластического материала Друкера-Прагера.

В работе [108] (Leroy, Ortiz) предлагается модифицированный конечный элемент, при построении которого используются полиномы, позволяющие описывать переход через полосу сдвига, и исследуется разупрочнение материала после возникновения полос сдвига.

Специальные контактные элементы [102] (Goodman, Taylor, Brkke) используются в работе [101] (Gen-hua, Goodman) для расчета напряженно-деформированного состояния скальных массивов. Предполагается, что массивы состоят из блоков произвольной формы, отделенных друг от друга податливыми элементами. В [113] (Shyman, Bird, Martin) рассматривается специальный элемент, проскальзывание подчиняется закону Кулона с неассоциированным законом течения.

De Borst в работе [99] рассматривает численный подход к задачам ветвления в пластичности грунтов на основе модели с деформационным упрочнением, в работе [96] рассматривает задачи о локализации пластических деформаций и об образовании полос скольжения.

Komori в [104] для численного моделирования локализации деформаций использует метод разделения узлов.

В работе [114] (Sluys, Berends) в рамках метода конечных элементов локализация рассматривается в виде трещин продольного и поперечного сдвига. Вводится функция разрыва градиента.

Вагс^, РгоиЬе! [93, 94] при помощи конечных элементов моделируют распространение полосы сдвига в специальном случае материала с критерием текучести Мизеса при сжатии в условиях плоской деформации.

В [30] рассмотрены плоские и осесимметричные упруго-пластические контактные задачи с помощью метода конечных элементов, но без учета истории нагружения.

В статье Оловянного [53] говорится о разработанной на основе метода конечных элементов программе моделирования геомеханических процессов в трещиноватых массивах горных пород. Но при этом конкретные трещины не рассматривались, задача моделирования заключалась в оценке степени ослаблений прочности пород вокруг выработок и их ориентаций.

Вычислительной механике разрушения посвящены, в частности, монография [22] и монография Сиратори, Миеси, Мацуситы [79].

Андреевым, Гольдштейном, Житниковым в работе [2] рассматриваются задачи о равновесии трещин различной геометрии в условиях, когда на их поверхностях образуются области раскрытия, скольжения и сцепления.

Слепян в работе [80] рассматривает статику, медленный рост и динамику трещин в упругих и упруго-пластических телах, а также в средах со структурой. Большое внимание автор уделяет обсуждению критериев роста трещин, связи между критериями на микрои макроуровнях.

Исследованию напряженно-деформированного состояния вблизи отверстий посвящено большое количество работ.

В рамках классических моделей аналитические решения представлены в монографиях Тимошенко [84], Надаи [48], Качанова [35], Савина [71], Соколовского [82].

В монографии Саврука [72] с помощью метода сингулярных граничных интегральных уравнений, разработанного Мусхелишвили [47], рассматривается задача о бесконечной плоскости с равномерно размещенными краевыми радиальными трещинами.

Лавриковым, Ревуженко [42, 43] получено решение задачи о деформировании материала с блочной структурой вокруг выработки.

Са1уЫп [100] рассматривает упругую область с наклоненной внутрь трещиной и круговым отверстием под действием сжимающих нагрузок. Сдвиг вдоль трещины обусловлен перераспределением напряжений с выполнением критерия Мора-Кулона. Используется метод сингулярных уравнений.

В работе Остросаблина [57] получены точные решения плоских задач теории упругости и пластичности с неизвестной границей о распределении напряжений около круговых отверстий для различных условий пластичности.

В [44] Мирсалимовым изучены неодномерные упруго-пластические задачи, сложность которых заключается в том, что форма и размеры пластической области заранее неизвестны и определяются в ходе решения. В частности, приводятся аналитические решения для упруго-пластической плоскости с двумя отверстиями, а также численные результаты.

В статье Мокрякова [45] исследована задача о взаимодействии двух близко расположенных одинаковых отверстий в условиях двухосного на-гружения на бесконечности с помощью численного метода, основанного на представлении функции скачка смещений в виде суммы мультиполей.

Таким образом, задачи о напряженно-деформированном состоянии в упруго-пластическом материале с системой отверстий и трещин являются актуальными и существует потребность в их численном исследовании.

В настоящей работе представлены результаты численного исследования деформирования ослабленной отверстиями плоской упруго-пластической области в условиях возможности возникновения и развития в окрестности отверстий трещин сдвига. Разработанный алгоритм, основанный на методе конечных элементов, позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние материала вблизи отверстий и прогнозировать появление и распространение трещин.

Цели диссертационной работы:

1. Математическое моделирование деформирования геоматериалов в плоском случае в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа вблизи систем отверстий.

2. Численное исследование совместного деформирования систем отверстий и сдвиговых трещин в упругих и упруго-пластических материалах.

Задачи исследования:

1. Математическое моделирование сдвиговых трещин в упруго-пластическом материале вблизи систем отверстий.

2. Разработка и реализация в виде программного модуля алгоритма построения стандартных сеток и сеток с двойными узлами для областей с отверстиями различной формы и сдвиговыми трещинами, представленными в виде разрезов.

3. Разработка программного модуля, реализующего метод конечных элементов для решения упруго-пластических задач.

4. Апробация построенных алгоритмов и программ численного счета на тестовых задачах.

5. Получение численных решений краевых задач о деформировании областей с системами круговых отверстий и системами отверстий, моделирующих сечения горных выработок.

Объектом исследования являются деформационные процессы в геоматериалах в условиях развития сдвиговых разрывных нарушений.

Предметом исследования является математическое моделирование напряженно-деформированного состояния вблизи отверстий и сдвиговых трещин в упругих и упруго-пластических материалах.

Для решения поставленных задач используются методы теории упругости и пластичности, уравнений математической физики, функционального анализа, методы вычислительной математики. Алгоритм численного решения построен на основе метода конечных элементов.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем.

Представлено численное исследование деформирования упруго-пластических материалов в условиях развития сдвиговых разрывов в окрестности отверстий в плоском случае.

Впервые на основе использования конечно-элементных сеток с двойными узлами рассмотрены эффекты локализации сдвигов на системах разрезов в окрестности отверстий.

Разработаны новые программные модули для построения проблемно-ориентированных конечно-элементных сеток и решения упруго-пластических задач для областей с системами отверстий различной формы и сдвиговыми трещинами. Получены решения новых краевых задач.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математическое моделирование сдвиговых разрывов в упруго-пластическом материале вблизи систем отверстий.

2. Численные алгоритмы и программные модули для построения конечно-элементных сеток с двойными узлами и решения упруго-пластических задач в областях с отверстиями различной формы и произвольным числом разрезов.

3. Численные решения краевых задач о деформировании плоских упругих и упруго-пластических областей с системами круговых отверстий и отверстий, моделирующих сечения горных выработок, в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа.

Научная и практическая значимость. Представленные в диссертации результаты имеют теоретическое и практическое значение в области математического моделирования деформационных процессов и могут быть использованы в практических задачах повышения надежности сооружений, взаимодействующих с геоматериалами.

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов обеспечена корректным использованием методов механики сплошных сред, проведением тестовых расчетов и согласованием с известными ранее теоретическими и экспериментальными результатами.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 120 наименований. Полный объем диссертации вместе с иллюстрациями составляет 120 страниц. Общее количество иллюстраций — 47.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Выполнено математическое моделирование деформирования геоматериалов в плоском случае в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа вблизи систем отверстий.

2. Разработаны и реализованы в виде программных модулей алгоритмы построения стандартных сеток и проблемно-ориентированных сеток с двойными узлами для областей с системами отверстий различной формы и сдвиговыми трещинами.

3. Разработан программный модуль, реализующий метод конечных элементов для решения упруго-пластических задач в условиях развития сдвиговых трещин.

4. Построены численные решения конкретных краевых задач о деформировании упругих и упруго-пластических областей с различным числом, расположением и формой отверстий и трещин. Построенные поля напряжений отражают изменение размеров и расположения пластических областей при развитии сдвиговых трещин в окрестности отверстий.

5. Получены численные решения задач о деформировании упруго-пластических материалов в окрестности отверстий, моделирующих три сближенных выработки различного сечения и выработки с сечениями арочного типа, в условиях развития разрывных нарушений сдвигового типа. Показано, что локализация сдвигов на трещинах приводит к уменьшению размеров пластических областей в окрестности отверстий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации представлено численное исследование напряженно-деформированного состояния в окрестности системы отверстий и трещин в упруго-пластическом материале.