Краевые задачи теории аналитических функций и функциональные уравнения со сдвигом в область

Краевая задача линейного сопряжения об отыскании кусочно-аналитической функции, удовлетворяющей краевому условию с гёльдеровскими коэффициентами a (-t), в (-Ь), С (-Ь) и контуром Ляпунова Г исследовалась многими авторами. Для этой задачи была построена теория Нётера, вычислен индекс, найдены точные оценки дефектных чисел. Наиболее полные результаты относительно разрена полное качественное исследование задачи (0.1), её решение в явном виде неизвестно. Выделены только отдельные частные случаи, когда решение краевой задачи выписывается в замкнутой форме. В основном, эти случаи касаются односвязных областей. Поэтому решение краевой задачи Маркушевича для многосвязных областей и более сложных конфигураций хотя бы в частных случаях представляет интерес.

Краевая задача (0.1) имеет приложения в различных разделах механики сплошных сред. Например, в плоской теории фильтрации в случае установившегося движения для несжимаемой жидкости условие (0.1) означает непрерывность давления и функции тока при переходе границы раздела каких-либо двух зон [4, 30].

Л.Г.Михайловым было установлено, что если на контуре Г.

Для этого краевого условия существует несколько названий: задача Маркушевича, общая или обобщенная краевая задача (см., например, [7, 14, 24]. Мы будем придерживаться первого названия. r (-t)=a, c-t)f-<:-y + 6(t-f (t) + G (-t), p.

0.1) шимости этой задачи изложены в монографиях.

Несмотря выполнено условие |cU-t)| = |$(-fc)[, то задача (0.1) сводится к краевой задаче Гильберта. Следовательно, имеется возможность получить решение задачи (0.1) в замкнутой форме даже для некоторых многосвязных областей [2, 9]. А. А. Патрушев [2б] рассмотрел аналогичный случай для окружности.

Н.В.Ламбин [13] методом симметрии решил несколько частных задач (0.1) для круговых областей и областей, ограниченных аналитическими кривыми. Л. И. Чибрикова и Л. Г. Салехов [31, зз], применяя метод симметрии, решили задачу (0.1) с рациональными коэффициентами для замкнутой алгебраической кривой как в обычной постановке, так и для автоморфных функций. В работе [32] тем же методом решена задача (0.1) для совокупности параллельных прямых при аналогичных предположениях на коэффициенты. Имеется ряд работ (см., например, [4, 9, 29, 30, 34^, в которых решаются конкретные задачи вида (0.1), возникающие в различных разделах механики сплошных сред.

Для того, чтобы осветить еще один результат, запишем условие (0.1) в развернутом виде, когда контур Г представляет собой две концентрические окружности с центром в точке г=0 радиусов Z и i соответственно, if"H0 = a, L-h)+ С-Ь)+ с, (-ь), =.

0.2).

Ч (*) = о*.C-t)fit)^(-t-fj-ь)+ са (ч0, i-ын.

Более подробная постановка этой задачи будет дана в § I. В случае, когда функции (-t), аналитически продолжимы в единичный круг, а функции a^-fc), — во внешность круга < X, причем функции а{ (г), (Х^г) не обращаются в нуль в соответству-щих областях аналитичности, однородная задача (0.2) решена Н.И.

— б.

Жуковой [7].

В предлагаемой работе решаются краевые задачи вида (0.1) для круговых областей. При этом основную роль играют так называемые функциональные уравнения в классе аналитических функций. Под функциональным уравнением понимается следующая задача:

Найти функцию (г), аналитическую в единичном круге, по соотношению.

0.3) заданному в области <4. Коэффициенты (Кг) и ^.te) меромор-фны в единичном круге и имеют там конечное число полюсов. Сдвиг |(z) удовлетворяет следующим условиям:

1.Функция аналитична в единичном круге.

2.Уравнение = при ъ< ] имеет единственное решение 2=0, причем 0 < (О) | < -I.

В такой постановке функциональное уравнение (0.3) будем называть «глобальным». Если же уравнение (0.3) задано в некоторой окрестности нуля, а функция ^>(2) ищется аналитической в нуле, то такое уравнение будем называть локальным.

Функциональное уравнение (0.3) и более общие уравнения изучались М. Кучмой, В. Смайдором, Я. Матковским, П. Мирбергом и многими другими авторами [37, 38]. В случае = г" &trade-", габ/Д/, локальное уравнение (0.3) исследовал М. Кучма [39]. На функцию cj-(z) были наложены такие ограничения, что уравнение оказалось неразрешимым. Исходя из этого факта, последующие авторы не рассматривали случай особенности в неподвижной точке. П. Мирберг [38] решил локальное уравнение (0.3) при условии (j (O) * 0. Л. С. Дарбинян [б] по сути дела повторил его результат. Я. Матковский исследовал глобальное уравнение (0.3) на разрешимость в классе мероморфных функций [40−42]. Попрежнему предполагалась аналитичность коэффициента Gfe) в нуле. В работе [1б] было показано, что общий сдвиг сводится к линейному. Если при постановке задачи (0.3) единичный круг заменить, например, на круг |г-ч! <, то получим функциональное уравнение со сдвигом, имеющим неподвижную точку на границе области аналитичности. Такие функциональные уравнения мало изучены. Отметим работы [28, 35, 50], касающиеся разрешимости уравнения. Г. П. Пелюх и А. Н. Шарковский в монографии [27] и других работах рассмотрели дифференциально-функциональные уравнения вида f (S2)= к (г, f'(*)). (0.4).

В. Смайдор [43−49] исследовал на разрешимость локальные вектор-но-матричные уравнения вида.

Ч>(г)=Н (г- (0.5).

В.Смайдор установил достаточные условия существования единственного решения общего уравнения (0.5) и разрешимость некоторых частных случаев этого уравнения.

Охарактеризуем кратко результаты предлагаемой работы, посвященной краевой задаче Маркушевича для круговых областей и связанным с ней функциональным уравнениям.

В § I — § 3 первой главы решается краевая задача (0.2) при условии аналитической продолжимости некоторых комбинаций коэффициентов в определенные области сведением к глобальному функциональному уравнению (0.3) с линейным сдвигом. Решение функционального уравнения получено в виде рядов. Полностью установлена разрешимость функционального уравнения (0.3) в случае, когда функция имеет полюс в точке г = О. Применяя метод неполной факторизации и условия разрешимости.

Re — О г неоднородной задачи (0.1) при <$ 1гс1 а (Ь) < О, в § 4 — § 5 удается выделить еще несколько случаев, когда задача (0.1) сводится к функциональному уравнению (0.3). Результаты этой главы обобщают результаты статьи [7] и результаты некоторых других вышеперечисленных работ по функциональным уравнениям и устраняют неточности работы [в]. Краевая задача для кольца рассматривается отдельно, так как она изучена наиболее полно. И далеко не все результаты по задаче для кольца удалось перенести на задачи для произвольных круговых областей, которым посвящена вторая глава. При некоторых условиях аналитической продолжимости коэффициентов a (-t) и? (-Ь) задача (0.1) для круговых областей сводится к векторно-матричному глобальному функциональному уравнению г)= G-, (*) ^ & (г)] + Gr, (г) f [I (?) f 0.6) сдвиги которого f<(?), 4?-* • • •"-fp te) не обязательно имеют совпадающие неподвижные точки. Последнее условие на сдвиги отличает функциональное уравнение (0.6) от ранее изученных [37, 38^[ (не говоря уже о глобальной постановке задачи (0.6)). В § 6 функциональное уравнение (0.6) сводится к конечной системе линейных алгебраических уравнений и уравнению со сжимающим оператором типа Вольтерра. Таким образом, может идти речь о довольно простом способе нахождения приближенного решения краевой задачи.

Далее, во второй главе разбираются отдельные частные случаи, когда уравнение (0.6) и, следовательно, краевая задача решаются в явном виде. Результаты второй главы обобщают некоторые краевые задачи, решенные в работах [4, 13]. Отметим, что в этих работах не используются функциональные уравнения, так как они вырождаются в уравнения вида fW". + АцрГ^Й] + со сжимающим оператором в левой части. Легко видеть, что последнее уравнение имеет единственное решение.

Хо — А,)" ' когда = g-C^)2 const. Здесь ^lXic|<*i • В монографиях [4, по сути дела угадываются решения таких простейших функциональных уравнений.

В третьей главе рассмотрены некоторые смешанные краевые задачи, когда на части контура имеется условие Маркушевича, а на остальной части — условие Гильберта. Такие задачи сводятся к функциональным уравнениям вида (0.3) со сдвигом, имеющим неподвижную точку на границе области аналитичности искомой функции. При некоторых условиях на поведение коэффициентов уравнения в окрестности неподвижной точки получено решение таких уравнений. Далее, рассматриваются обобщенные краевые задачи tf+(-t)=a (-t)if-(-t)+ (R.4>~)(t) — ief, (0.7) где R, — некоторый нелинейный оператор. Задачи вида (0.7) для круговых областей при некоторых условиях на коэффициент a (t) и оператор R, сводятся к функционально-операторным уравнениям вида f (S2)= (Fvf)Cz),.

0.8) обобщающих уравнение ^(0.4). § 14 и § 15 посвящены разрешимости и нахождению решения уравнения (0.8). Исследование проводится при помощи теоремы Гробмана-Хартмана [25]. Отметим, что методы нелинейного анализа [l2] малоэффективны при решении уравнений вида *?0.8).

В заключительном параграфе решается конкретная краевая задача плоской теории упругости сведением к функциональному уравнению. Ранее такие задачи решались лишь в частных случаях, либо решались приближенно (51, 53].

1. Бархин Г. С. 0 жесткости кусочно регулярной поверхности положительной кривизны с краевым условием. — Уч.зап. Ка-бардино-Балк. ун-та, 1963, № 19, с.121−125.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. — 644 с.

3. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. — 295 с.

4. Голубев Г. В., Тумашев Г. Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. Казань, Изд. Казан, ун-та, 1972. — 195 с.

5. Городжа Л. В., Емец Ю. Г., Жукова Н. И., Зверович Э. И. О применении обобщенной краевой задачи Римана к рассчету электрических полей. ДАН БССР, т. 23, № 2, с. I18−120.

6. Дарбинян Л. С. Решение некоторых функциональных уравнений. -Уч. зап. Ереван, ун-та. Ест. науки, 1982, № 3, с. 13−19.

7. Жукова Н. И. О задаче Маркушевича для кольца. Вест. БГУ, Сер. I, физ., мат. и мех., 1979, № 3, с. 72−74.

8. Жукова Н. И. Построение основных функционалов некоторых ри-мановых поверхностей сгриложениями к краевым задачам. Дис.. канд. физ.-мат. наук. — Минск, 1980, — 120 с.

9. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях. УМН, 1971, т. 26, № I, с. II3-I79.

10. Комяк И. И., Митюшев В. В. О решении краевой задачи линейного сопряжения для кольца. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук., 1983, № 3, с. 25−33.

11. Красносельский М. А. и др. Приближение решения операторных уравнений. М.: Наука, 1969. — 456 с.

12. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. — 511 с.

13. Ламбин Н. В. Метод симметрии и его применение к решению краевых задач. Минск, Изд. БГУ, I960. — 45 с.

14. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. — 448.

15. Митюшев В. В. Решение линейного функционального уравнения со сдвигом внутрь области. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. н., 1983, № 5, с. 117 (полностью статья депонирована в ВИНИТИ, per. № 2278−83).

16. Митюшев В. В. О решении общей задачи краевой линейного сопряжения для нескольких концентрических окружностей. -Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. н., 1983, № 6, с. 104 (полностью статья депонирована в ВИНИТИ, оег. № 2279−83).

17. Митюшев В. В. Об одном применении метода неполной факторизации. ДАН БССР (в печати).

18. Митюшев В. В. Функциональное уравнение со сдвигом в область, имеющим неподвижную точку на границе. Вестник БГУ, сер. I, физ., мат. и мех. (в печати).

19. Митюшев В. В. О разрешимости функционального уравнения- (Fв классе аналитических функций. Вестник БГУ, сер. I, физ., мат. и мех. (в печати).

20. Митюшев В. В. О решении краевой задачи Маркушевича для полуплоскости с круговыми разрезами. Вестник БГУ, сер. I, физ., мат. и мех. (в печати).

21. Митюшев В. В. О решении краевой задачи Маркушевича для круговых областей. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. н. (в печати).

22. Митюшев В. В. Решение краевой задачи Маркушевича для кольца в одном частном случае. Изв. ВУЗов. Матем. (в печати).

23. Митюшев В. В. Общее функциональное уравнение с особенностью в неподвижной точке. Изв. АН БССР, сер. физ.-мат. н. (в печати).

24. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям. Душанбе: АН Тадж. ССР, 1963. — 183 с.

25. Нитецки 3.

Введение

в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. — 304 с.

26. Патрушев А. А. К задаче Маркушевича для односвязной области. Тр. сем. по кр. зад., Казан, ун-т, 1980, вып. 17, с. 110—123.

27. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н.

Введение

в теорию функциональных уравнений. Киев: Ин-т мат. АН УССР, 1974, — П9с.

28. Песчанский А. И., Шевчик В. В. О площадной задаче со сдвигом. Мат. методы и физ.-мех. поля, Киев, 1982, № 15,с. 39−43.

29. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения подземных вод. -М.: Наука, 1977. 664 с.

30. Радыгин А. С., Голубева О. В. Применение теории функций комплексного переменного в задачах физики и техники. М.: Высш. шк., 1983. — 160 с.

31. Салехов Л. Г. К решению одной граничной задачи. ТФКП и кр. зад., Чебоксары, 1974, вып. 2, с. 126−140.

32. Чибрикова Л. И., Салехов Л. Г. Применение метода симметрии при решении одной задачи линейного сопряжения. Изв. ВУЗов. Матем., 1968, № 9, с. 94−105. 106.

33. Чибрикова JI.И., Салехов Л. Г. К решению одной общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в случае алгебраических контуров. Тр. сем. по кр. зад., Казан, унт, 1968, вып. 5, с. 224−249.

34. Чибрикова Л. И. 0 методе симметрии в теории упругости. -Изв. ВУЗов. Матем., 1967, № 10, с. I02-II2.

35. Шевчик В. В. Функциональное уравнение со сдвигом в пространствах аналитических функций в полуплоскости. ДАН СССР, 1981, т. 256, I №, с. 53−54- УМЖ, 1982, т. 34, № 5, с. 661−666.

36. Cowen С.С. Iteration and solution of functional equations for analytic functions in the unit disk.- Trans. Amer. Soc. I, lath., 1981, v.236, IT p.69−95.37* Ghermanescu Li. Ecuatii functionalle.- Bucuresti: RAIT, I960. 670 p.

37. Kuczma M. Functional equations in a single variable.-YJarszawz: PAN, 1968. 383 p.39″ Kuczma M. On a functional equation with divergent solutions.- Ann. pol. math., 1970, v.22, IT 3, p.303−311.

38. Llatkowski J. On meromorphic solutions of a functional equation.- Ann. pol. math., 1970, v.22, IT 3, p.173−178.

39. Llatkowski J. On meromorphic solutions of a functional equation. II.- Ann. pol. math., 1971, v.24, IT 3, p.318−321.

40. Matkowski J. On mfromorfic solutions ox a functional equation.- Zesz. nauk UJ Pr. math., 1970, IT 14, p.53−54-.- 107.

41. Smajdor W. On the existence and. uniquess of ananytic solutions of the functional equation = ^-fife).).- Ann. pol. math., 1967, v.19, N 1, p.37−4-5.

42. Smajdor W. Analitic solutions of the equationwith right side contracting.- Aequat. math., 1968, v .2, N 1, p.30−38.

43. Smajdor W. Local analytic solytions of the functional equation = fu i-n multidimensional spaces. Aequat. math., 1968, N 1−2, v.1, p.20−36.

44. Smajdor W. Formal solutions of a functional equation.-Zesz. nauk UJ Pr. math., 1969, К 13, p.71−78.

45. Smajdor W. Local analytic solutions of a functional equation Ф (г)= H (z> - Ann. pol. math., 1970, v.24, N 1, p.39−43.

46. Smajdor W. Local analytic solutions of the functional equation к fc, ^ СрФ. in multidimensional spaces.- Zesz. nauk UJ Pr. math., 1970, N 14, p.43.

47. Smagdor W. Solutions of Schroder equation.- Ann. pol. math., 1972, v.27, N 1, p.61−65.

48. Shapiro J.H., Taylor P.D. Compact, nuclear and Hilhert—Schmidt compositions in H2 •- Indiana Univ. Math. J., 1973, v.23, N 6, p.471−496.

49. Амензаде Ю. А. Плоская задача теории упругости. Баку: изд-во АГУ, 1975. — 200 с.

50. Партон В. З., Перлин П. И. Интегральное уравнение теории упругости. М.: Наука, 1977. — 312 с.

51. Партон В. З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. — 688 с.