Численное моделирование волновых процессов в гетерогенных твердых деформируемых средах

В современном мире с высокоразвитой энергоемкой индустрией задачи добычи энергоносителей (углеводородов) из земных недр имеют особый приоритет. Разумеется, эти проблемы являются многоотраслевыми, включающими такие аспекты, как:

— экспериментальное изучение распространения волн в существенно неоднородных (слоистых, градиентных, пористых, трещиноватых, флюдонасыщенных) породах;

— разработка технологий получения сейсмограмм как в твердых породах, так и шельфовых зонах;

— разработка технологий эксплуатации скважинматематическое моделирование;

— разработка математических методов решения обратных задач для выявления неоднородностей в породах;

— создание механико-математических моделей поведения углеводородсодержащих пород, описывающих их поведение в условиях различных динамических воздействий;

— реализация механико-математических моделей работы скважины, находящейся в породе;

— создание вычислительных методов для численного решения динамических многомерных систем уравнений механики сплошных сред (в первую очередь, систем уравнений упругости и гидродинамики) — как известно, это уравнения в частных производных гиперболического типа;

— разработка вычислительных алгоритмов и расчетных программ для компьютеров;

— распараллеливание вычислительных алгоритмов для численного решения задач на высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных системахк ним относятся задачи моделирования взрывных процессов в породах для инициирования сейсмических волнраспространения, отражения, переотражения, рассеивания, дифракции упругих волн, получения расчетных сейсмограммрешение обратных задач;

— визуализация и интерпретация полученных результатов.

Мы остановимся на решении задач сейсморазведки, которая представляет собой объединенный набор методов исследования геологического строения земной коры, базирующихся на исследовании распространения в ней упругих волн, возбуждаемых тем или иным, в первую очередь, искусственным путем.

Как хорошо известно, из динамической теории упругости и многочисленных лабораторных и натурных экспериментов, упругие волны' распространяются во всех направлениях от точки сейсмического возмущения, проникая на большие глубины земной коры. Там они отражаются и* преломляются на границах раздела различных сред, трещинах, порах, рассеиваются на множественных неоднородностях, дифрагируют и проходят вглубь Земли. Отраженные или рассеянные волны распространяются к поверхности Земли, где их регистрируют сейсмические датчики. Изучая и расшифровывая полученные сейсмотрассы, можно определять координаты и формы неоднородностей в глубине коры, а в ряде случаев делать заключения о составе пород.

Известно, что методы сейсморазведки базируются на исследовании распространения упругих волн, отраженных от поверхностей раздела геологических сред. Однако ситуация усложняется тем, что скорость распространения упругих волн в таких средах может меняться в весьма широком диапазоне в зависимости от их состава и глубины залегания. Но если мы будем определять время пробега упругой волны из нескольких точек расположения сейсмодатчиков, то появляется возможность вычислить скорость упругих волн и локализовать положения границы раздела двух сред. Т. е. сейсморазведка решает задачи структурной геологии и используется при разведке нефти, газа, твердых энергоресурсов (каменный уголь) и др.

Опишем качественно типы волн, которые различают в сейсморазведке, и наличие которых также следует из динамической теории упругости.

1. Продольные волны.

2. Поперечные (сдвиговые) волны.

3. Поверхностные волны Рэлея.

4. Поверхностные волны Лява.

5. Обменные волны.

6. Волны Рэлея-Лэмба, распространяющие вдоль контактных границ.

7. Волны Стоунли, распространяющиеся вдоль раздела поверхности твердое тело-жидкость (иногда их называют скважинными волнами).

8. Головные волны (аналог волн Маха в газодинамике), появляющиеся в акустически менее жесткой среде в результате распространения упругой волны вдоль контактной границы двух сред с различными скоростями звука.

9. Кратные волны — упругие волны, многократно переотражающиеся от поверхности раздела сред.

10.Дифракционные волны, т. е. волны, огибающие препятствие, например, полость.

11.Проходящие волны — упругие волны, распространяющиеся через некое препятствие, например, флюидонасыщенный резервуар.

12.Рефрагированные упругие волны, появление которых связано с увеличением с глубиной скорости распространения звука в породе.

13.Рассеянные волны — упругие волны, отраженные от многочисленных неоднородностей.

14.Нерегулярные волныдело в том, что в реальной геологической породе имеется большое количество границ, инициирующих множество волн, которые, имея примерно одинаковую интенсивность, взаимодействуют между собой и образуют некий фон помех.

Понятно, что из большого числа различных видов упругих волн, приходящих к дневной поверхности, только некоторые используются для изучения структуры тех или иных геологических пород. По этой причине в сейсморазведке те волны, которые используются для изучения геологического строения определенного участка коры, называют полезными, те же, которые препятствуют исследованию распространения полезных волн, относят к помехам (шумам).

Отметим, что описанию волновых процессов в упругих средах посвящены такие работы как.

Не останавливаясь подробно на описании лабораторных и натурных экспериментов, посвященных изучению распространения упругих волн в неоднородных (слоистых, пористых, трещиноватых) средах, поскольку нашей задачей является механико-математическое и численное моделирование поведения геологических сред в условиях динамических нагрузок, приведем некоторые, на наш взгляд, успешные примеры проведения подобных исследований.

В [15] были предложены и реализованы модельные конструкции трещиноватых и поротрещинных, в том числе флюидонасыщенных, упругих сред, в которых возбуждались акустические возмущения и исследовались получаемые сейсмограммы. Эксперимент позволяет получать сейсмотрассы и исследовать структуру образцов.

Изучению особенностей динамических процессов в тонкослоистых образцах посвящена работа [16], в которой используется обратное преобразование Фурье для получения фазовых спектральных характеристик сейсмических сигналов. В [17] предлагается, для моделирования прохождения импульса через слоисто-пористую среду, сконструировать слоистую систему из прозрачных тонких шероховатых плат, толщиной 0,7 мм каждая, в которой шероховатость реализовывалась при помощи песка, помещенного между ними.

Экспериментальное изучение4 распространения волн сжатия и сдвига во флюидонасыщенных средах проводится в работе [18].

Волновые поля, образующиеся в результате взаимодействия упругой волны, инициируемой лазерным импульсом, с изолированной трещиной, зарегистрированы и изучены в Институте общей физики РАН [19].

Многочисленные сейсмоакустические эксперименты на мелководных акваториях, их обработка, интерпретация, а также сопоставления с приближенными методами моделирования представлены в [20]. В работах [21, 22] рассматриваются многие примеры исследования структуры пород по данным сейсморазведки. Описание шельфовых сейсмологических исследований приведено в [23].

Изучение структуры углеводородсодержащих пород с помощью сейсмограмм часто приходится решать обратные задачи сейсморазведки. Этой теме посвящено значительной количество работ, обзор которых представляет отдельный интерес. Не вдаваясь в эту интересную и важную для сейсмики тематику, приведем здесь лишь некоторые работы в этой области: [24, 25, 26, 27, 28, 29].

Для приближенного решения задач сейсморазведки широко используются геометрические (лучевые) методы, область применимости которых, понятно, ограничена (см., например, [30, 31, 32]).

В частности, они не позволяют восстановить всю сложную волновую картину процессов, происходящих в> породах сложной структуры (слоистых, трещиноватых, кавернозных), для чего необходимо применять более точные подходы к их математическому моделированию.

К таким подходам относится методы механики сплошных сред, в частности, теории упругости и гидродинамики.

Этот подход позволяет получать полные волновые картины, инициированные сейсмическими возмущениями, в самых сложных по структуре геологических средах, а также наиболее корректно выделить все особенности (неоднородности) исследуемых пород.

Для решения задач сейсмики, разумеется, в течении последних десятилетий интенсивно развивались аналитические методы решения динамических уравнений, описывающих волновые процессэ, происходящие в исследуемых породах, хорошо известны классические монографии, посвященные решению этих задач, [0], [2], [33] и др. Активность в этих исследованиях представляется очень полезной, поскольку позволяет не только получить точные решения относительно простых (с точки зрения вычислительных методов) задач, но и позволяет получить все типы волн, распространяющихся в упругих средах, описанных ранее. Кроме того, аналитические решения важны для верификации результатов численного моделирования.

В последние десятилетия в геомеханике интенсивно развивались подходы к моделированию поведения сплошных неоднородных сред, основанные на получении:

— осредненных механических характеристик геологических сред;

— осредненных уравнений, описывающих их поведение;

— эмпирических соотношений, приближенно выполняющихся в окрестности неоднородностей.

Их основной недостаток — существенно ограниченная область применимости. Существенный интерес представляет метод постановки прозрачных граничных условий, позволяющий «соединить» численное и аналитическое решение сейсмической задачи на границах области интегрирования. Известно, что при численном решении динамических задач, речь о котором пойдет далее, на границах появляются нефизичные возмущения, обусловленные постановкой тех или иных граничных условий. Упомянутый подход позволяет в ряде случаев разрешить эту проблему. Его разработке посвящены работы [35, 36, 37, 38, 39].

В ряде случаев получение эффективных (осредненных) упругих характеристик оказывается вполне эффективным подходом при решении задач сейсморазведки (например, мелкозернистые флюидонасыщенные среды, породы с многочисленными кавернами, хаотически ориентированными мелкими трещинами). Хотя стоит отметить, что последние случаи могут рассматриваться и в рамках выделения всех неоднородностей породы, если использовать высокопроизводительные вычислительные системы для численного решения подобных задач. Получению таких механических характеристик посвящены, например, работы [40, 41, 42, 43, и мн. др.], аналитический обзор которых приведен в [21]. В упомянутых работах геологическая среда полагались изотропной.

Особую нишу в работах, посвященных этой проблеме, занимают задачи, в которых рассматриваются флюидонасыщенные породы с вертикальными или субвертикальными трещинами, поскольку в этом случае приходится учитывать анизотропию среды. Для этих целей вводится условие линейного скольжения, являющееся базовой гипотезой в работах [44, 45, 46]. Отметим также ч монографию [47], посвященную упомянутым проблемам и статью, в которой' делается краткий обзор трех моделей (Шоенберга, Хадсона, Фехлера) [134].

К недостаткам этих моделей следует отнести недостаточно адекватно передаваемую волновую картину процессов в сейсмике, хотя они играют существенную роль в^решении сейсмических задач. Для получения адекватной картины процесса распространения упругих волн в средах с субвертикальными трещинами необходимо выделять все трещины в породе с корректной постановкой условий на контактных границах, что, по-видимому, впервые было реализовано в работе [48].

В этих работах используются наиболее адекватные для решения сейсмики, определяющие уравнения механики сплошных сред [57], представляющие из себя систему динамических дифференциальных уравнений в частных производных (системы уравнений теории упругости и, в случае учета наличия флюида в трещинах, гидродинамики). Разумеется, решение этой системы возможно только с использованием численных методов.

В качестве сплошной среды в геомеханике нередко рассматриваются пористые, флюидонасыщенные, слоистые, трещиноватые и кавернозные ч V породы. Отметим, что в настоящее время динамическое поведение многих из этих существенно неоднородных сред можно промоделировать при помощи современных численных методов и высокопроизводительной вычислительной техники.

Но в ряде случаев можно использовать осредненные дифференциальные уравнения в частных производных (уравнения механики сплошных сред). Наиболее используемой в сейсморазведке для моделирования поведения флюидонасыщенных сред является двухфазная модель Био [49, 50].

Отметим, что любые осредненные модели, к которым исследователи давно и прочно привыкли, являются неким упрощением полной физической картины процессов, а, следовательно, необходимо изучать те погрешности и нефизические явления, которые появляются при их использовании. Таких исследований, к сожалению, практически не проводится, хотя понятно, что предположение о наличии в некоей точке среды, флюида и породы, не совсем физично, например, для сплошной среды с флюидонасыщенными кавернами. Эти уравнения получаются с помощью соответствующих обобщений уравнений теории упругости и гидроакустики, а между членами, определяющими смещения и напряжения в общих фазах, полагается линейная^ связь. Система Био имеет гиперболические тип, описывает распространение волн с конечными скоростями. Ее особенностью, по сравнению с уравнениями теории упругости является наличие не двух, а трех характеристик, что обусловлено наличием как упругого скелетасреды, так и флюида.

В случае рассмотрения многослойных геологических сред, последние полагаются периодическими, состоящими из двух чередующихся слоев, которые могут быть как упругими, так и жидкими.

В= работе [49] проводится подробное описание подобных осредненных уравнений, в т. ч. и для слоистых сред. Понятно, что модель Био наиболее адекватно описывает динамические процессы в том случае, когда длина доминирующей волны существенно превышает интервалы между кавернами или трещинами, а также их размеры. Полагается, что смещения и напряжения получаются в результате осреднений, упругих и жидких смещений и напряжений по малой окрестности рассматриваемой точки, а осредненные величины зависят от размеров малой окрестности. Для определения этих величин в обеих фазах записываются, как и в случае упругих сред, уравнения Гука и механики сплошных сред.

На контактных границах этих сред ставятся условия скольжения или слипания. В сплошной среде, совершается предельный переход, при котором длина периода устремляется к нулю, число периодов становится бесконечным, а общая толщина среды полагается ограниченной. Этот предельный переход производится методом матричного осреднения, являющимся обобщением [52]. Среда, состоящая из однородных и изотропных упругих слоев, при условии жесткого контакта, между ними, является трансверсально-изотропной. Осредненные системы, описывающие поведение более сложных сред или контактов между слоями, как правило, содержат не более двух фаз. Отметим и другие работы этого направления [53, 54, 55, 56].

Несмотря на то, что осредненные модели имеют широкое распространение в сейсмологической практике, связано это обстоятельство не только с их полезностью, но и с необходимостью ранее, еще в 50−70 гг. прошлого века решать сложные задачи сейсмики приближенными и аналитическими методами вследствие отсутствия высокопроизводительной вычислительной техники и численных методов для решения соответствующих многомерных г нестационарных систем уравнений гиперболического типа (динамических уравнений механики сплошных сред).

В настоящее время, вследствие быстрого развития вычислительных методов и многопроцессорной вычислительной техники, появляется возможность решать существенно более сложные задачи сейсморазведки, без каких-либо дополнительных предположений, а во многих случаях и осреднений, учитывать структуру исследуемой породы, в частности, наличие в ней трещин, каверн, флюидонасыщенности, карстовых образований, слоистости.

Появление этих новых возможностей важно и для скважинной сейсморазведки, где необходимо учитывать влияние неоднородностей вблизи скважин в породе. В частности, такой подход предложен и реализован для численного исследования структуры реальных геологических пород с использованием плоской замкнутой системы уравнений механики сплошных сред и математически корректным описанием неоднородностей' (решением задач контактного разрыва на границах поверхностей раздела двух сред) в работах [10, 11, 12, 13].

Численное моделирование в механике сплошных сред — наука относительно молодая (первые работы появились в 40−50 гг. прошлого столетия). Приведем лишь. некоторые из пионерских работ, на которых базируются: современные вычислительные решения уравнений' в частных производных: [58−76]. Авторы эти работ предложили первые разностные схемы для численного решения уравнений переноса, теплопроводности, Лапласа, а также одномерных систем уравнений аэродинамики^ которые в дальнейшем были использованы для решения задач вдругих предметных областях (гидродинамика, теория упругости и пластичности, физика, плазмы, медицина, климатология и мн. др.). В этих же, работах впервые были5 введены понятия* сходимости: решения разностного уравнения к решению дифференциального, аппроксимации решения дифференциального уравнения разностным, устойчивости решения5 разностного уравнения [61, 64].

Численное решение задач сейсморазведки на основерешения полной системы уравнений механики сплошных сред (в-, первую очередь, системы уравнений теории упругости с учетом наличия в трещине, каверне, резервуаров и гидродинамики) используется относительно недавно:

Следует заметить, что эти работы являются логическим продолжением: исследования по разработке вычислительных методов решения динамических систем уравнений механики деформируемого твердого тела. К первым из них можно отнести работы [75, 76].

В основном в этих работах использовались разностные аппроксимации производных по времени и пространству (см., например, [80, 81], в [85]) применялся метод конечных элементов. Как хорошо известно в математике, наиболее эффективным для решения динамических задач механики сплошных сред являются методы, учитывающие характеристические свойства систем уравнений в частных производных гиперболического типа. В динамике деформируемого твердого тела такие методы использовались в работах [81, 83, 84].

В дальнейшем с их помощью были численно решены многие сложные динамические задачи механики деформируемых сред [87−99].

В сейсморазведке к настоящему времени использовались, в основном, обычные конечно-разностные аппроксимации производных, зачастую без исследования свойств численного метода, проведение тестовых сравнительных расчетов. В работах [101, 102, 103, 104, 105] длярешения этих задач использовались^ методы конечных и спектральных элементов в том числе, повышенном порядка точности. В то же время от поведения' численного решения вблизи контактных границ и границ области интегрирования зависят не только от количественных, но и качественные характеристики волновых картин и сейсмограмм. При решении весьма специфических задач геодинамики (большое количество неоднородных, контактных границ, отражений и преломлений упругих волн) необходимо тщательно исследовать свойства используемых разностных методов на их способность получать адекватные численные решения, моделирующие сложные динамические процессы, происходящие в геологических средах при прохождении сейсмических сигналов. В частности, важным свойством численных методов, применяемым для решения динамических задач, является монотонность, не менее важным является корректное решение задачи контактного разрыва и корректная аппроксимация искомых функций в граничных точках.

В работах [103, 106, 108, 110, 117, 120, 123] описаны конечно-разностные схемы, которые адаптировались авторами для численного решения задач сейсмики. Следует отметить, что к этому времени был уже накоплен значительный опыт для решения задач с ярко выраженными волновыми процессами в газодинамике, динамике твердого тела, динамики плазмы. Обзоры этих работ можно найти, например, в [126, 127, 128], а методы, с помощью которых решались эти задачи, реально было использовать в сейсморазведке, чего фактически не произошло и сказалось на уровне численных методов, используемых в этой области.

В работах [103, 109, 112] изучались волновые поля во флюидонасыщенных породах, в [107] были использованы модели геологических пород с осредненными коэффициентами, в [108, 114, 116] неоднородности вводились явным образом, без использованных методов осреднения. Популярность при изучении волновых процессов в гетерогенных средах получил метод, используемый в работе [110, 125] (Staggered grid metho-SGM) — с его помощью исследовались процессы отражения упругих волн от контактных границ [109- 115], моделировались волны Рэлея [113]. Численному моделированию рассеянных волн посвящены работы [И4, 116, 119, 122, 123], сейсмические волновые' поля в двумерных средах с карстовыми включениями моделировались в [121]. Возможность численного решения ЗБ-сейсмики рассматривались в работах [130, 124, 125, 120- 135]'.

Как уже было сказано, наиболее эффективными для численного решения задач сейсморазведки являются методы, учитывающие характеристические свойства систем уравнений в частных производных гиперболического типа, к которым относится система-динамических уравнений механики сплошных сред (без диссипативных членов) и, в частности, теории упругости [130, 126, 129]. В [83] для численного решения двухмерных динамических задач механики деформируемого твердоготела был разработан сеточно-характеристический метод [83], ранее разработанный и успешно используемый для численного решения задач аэродинамики [133]. Подробное описание сеточно-характеристических методов можно найти в [129]. В работе [92] были предложены, в том числе для решения теории упругости, гибридные сеточно-характеристические методы.

Для проведения расчетов в сложных областях интегрирования в задачах механики деформируемого твердого тела методы были перенесены на нерегулярные расчетные сетки [93, 12, 10]. Волновые процессы в упругих телах слоистой структуры исследовались в работах [85, 89, 97, 98], в перфорированных средах с многочисленными внутренними свободными границами в [95, 96].

Тепловые динамические эффекты в твердых деформируемых телах рассматривались в работах [86, 94]. Для численного решения трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности, по-видимому, впервые, разностный метод, использующий характеристические соотношениясистемы уравнений гиперболического типа, предложен в [99].

К задачам сейсморазведки гибридный, сеточно-характеристический метод на треугольных неравномерных сетках впервые был применен в работах [11, 10]. В [12] с помощью этого метода былиисследованы характеристики продольных и обменных волн обратного отклика от трещиноватого коллектора с по-разному ориентированными^ трещинами, исследовались энергетические соотношения между продольными исдвиговыми волнами-. Работа [13] посвящена исследованию сейсмических откликов от геологических сред многослойной структуры.

Эти задачи представляют значительные трудности из-за необходимости адекватного описания сложнейших волновых процессов, происходящих в слоистых средах. Их численное решение возможно лишь при использовании монотонных вычислительных методов и корректного решения задачи контактного разрыва, что могут обеспечить лишь методы, учитывающие характеристические свойства определяющих уравнений теории упругости. Этими свойствами обладают, как уже отмечалось, гибридные сеточно-характеристические методы, используемые в данной работе для решения задач сейсморазведки. Важно отметить, что такие методы позволяют не просто считать задачи" (этот термин, к сожалению, часто используется в инженерной практике), а решать, т. е. подробно исследовать сложнейшие динамические процессы, происходящие в существенно гетерогенных геологических средах, т. е. получать численные решения, позволяющие адекватно, с высокой степенью достоверности, описывать сейсмологический явления, не инициируя нефизичных эффектов.

1. Новацкий В-К. Теория упругости. М., Мир, 1975 г., 620 с.

2. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М., 1957 г., 502 с-3- Ляховицкий Ф. М. Сейсмические волны в гетерогенных средах. М., 1988 г., 156 с.

3. Петрашень Г. И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. М., 1980 г., 280 с.

4. Уайт Д. Э. Возбуждение ифаспространение упругих волн. Ml, 1986 г., 262 с. 6- ТурвичИ. И, СейсморазведкаМ-, «Недра», 1975 г., 407 с.

5. Левянт В. Б., Петров И. Б., Челноков? Ф. Б. Кластерная природа сейсмической энергии, рассеянной отзоны диффузной каверзности И! трещиноватости в массивных породах. Геофизика № 6, 2005 г., с. 5−19.

6. В. Б. Левянт, Петров И. Б., С. А. Панкратов. Исследование характеристик продольных и обменных волн обратного отклика от зон трещиноватого коллектора. Технологии сейсморазведки, № 2, 2009 г., с. 3−11.

7. Квасов И. Е., Петров И. Б., Панкратов' С. А. Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. Математическое моделирование, 2010 г., № 9, т. 22. с .13−21.

8. Аки К., Ричард П. Количественная сейсмология. М.- Мир, 1984 г.

9. Караев Н. А., Лукашин Ю. П., Прокатор О. М., Семенов В. П. Физическое-моделирование трещиноватых сред. Технология сейсморазведки, 2008 г. ,№ 2.

10. Chaur-Jian Hsu and Michael Shoenberg. Elastic waves through a simulated’fractured medium. Geoghysics, vol. 58, № 7, 1993, pp. 964−977.

11. С. Ji de Pater, J. Groenenboom, D.B. van Dam, R. Romijn. Active seismic monitoring of hydraulic fracture in laboratory experiments. Internationational Jornal of Rock Mechanics and Mining Science 38- 2001 y., pp. 777−785.

12. Alexey M. Lomonosov, Peter V. Grigoriev and Peter Ness. Sizing of partially closed slosed-breaking microcracks with broadband Rayleigh-waves. Journal of Applied Physics, 105, 84 906 (2009y.), pp. 84 906−84 906−7.

13. Шалаев H.B., Старовойтов A.B. Основы сейсмоакустики на, мелководных акваториях. Изд. МГУ, 2010 г., 253с.

14. Козлов Е. А. Модели среды в разведочной сейсмологии. Тверь. Изд. ГЕРС, 2006 г., 480 с.

15. Левченко Д. Г. регистрация1 широкополосных сейсмических сигналов и возможных предвестников сильных землетрясений на морском дне. М'., Научный мир- 2005 г., 240с.

16. Белищев М. И., Балговещенский A.C. Динамические обратные задачи теории волн. СПб.: Изд. Санкт-Петербургского-университета, 1999 г., 265 с.

17. Lasieska I., Lions J—L. Triggiant R. Non homogeneus boundary value problems for second order hyperbolic operators. S. Math: Pure Appl. — 1986 y., pp. 149−192/.

18. Бейлькин Г .Я. Единственность и устойчивость решения обратной задачи сейсмики. Краевые* задачи, математической физики и смежные вопросы теории’функций. Л: Наука, Ленинградский.отд. 1979 г., т. 11, с. 3−6.

19. Бернштейн И. М. Гервер М: Л. О задаче интегральной геометрии, для семейства геодезических и об обратной кинематическойзадачесейсмики. Докл. АН СССР 1978 г., т. 243, № 2, с. 302−305.

20. Пестов Л. Н. Первые интегралы геодезической* конформной метрики и кинематическая обратная задача сейсмики. Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск: ВЦ: СО АН СССР 1982 г., с. 109−119!

21. Гольдин C.B.

Введение

в геометрическую сейсмику. Новосибирский Гос. Университет, 2005 г., 260с.

22. Шевченко A.A. Сейсмические исследования в скважинах. МГУ. Геологический факультет. Кафедра сейсмометрии и геоакустики. 2007 г., 136с.

23. Алексеев А. С., Гольчинский Б. Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами разделаю В кн. Вопросы динамической теории построения сейсмических волн. Выпуск III, Л-, изд. ЛГУ, 1959 г. с. 107−116.

24. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. Гостехиздат, м., 1955 г.

25. Hirose S. and Achenbach J.D. BEM method to analyse interaction of on acoustic pulse with a rigid, circular disk. Wave motion, 10 (1988y.), pp. 267−275, North-Holland.

26. Рябенький^ B.C. Метод, разностных потенциалов и его приложениий. М., Физматлит 2002 г. 420с.

27. Сафронов И. Л. Условия* полной" прозрачности-на сфере для трехмерного волнового уравнения. Доклады РАН, 1992 г., т. 326, № 6.

28. Lyrintzis A.S. Review the use of Kirchhoffs method in computational of fluids Engeneering, 1994 y., v. 116, № 12, pp. 665−676.

29. Рябенький B.C., Тручанинов В. И-, Цынков C. B: Использование лакун, решений 3D волнового4 уравнения для вычисления решения задачи Коши на больших временах. Математическое моделирование, 1999 г., т. 11, № 12, с. 1113−1126.

30. Grote М., Keller S. Exact nonreflecting boundary conditions for the time dependent wave equation. SIAN. J. Appl. Math. 1995 y., v. 55, № 2.40: Gassman F. Elastic waves through a packing of spheres: Geophysics, 16, pp. 673−685.

31. RaymerL.L., Hunt E.R. and gardner J.S. An improved1 sonic transit time to porosity transform: 21st Annual Gogging Symposium, Trans. Soc. Prof. Well Gogg Analysics, Paper P, 1980y.

32. Gardner. G.H., Canning A. AVA analysic after velosity-independet DMO and imaging. Geophysics, 63, pp. 686−695.th.

33. Ursenbach C.P. Generalized Gardner relation. SEC 72 Extended Abstracts, 2002 y.44.47,48,49:50.