Анализ природы обобщенных решений для некоторых классов краевых задач

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность работы. Возможность представления обыкновенного дифференциального оператора.

Lu = р0и (п+1) + piu (n) + • • • + pn+iu в факторизованном виде чрезвычайно важна в самых разных разделах анализа и его приложений. Например, в цикле работ 30-х гг XX века М. Г. Крейн, исследуя осцил-ляционные спектральные свойства для операторов старших порядков, сразу предлагал их заданными в виде (1). Впервые для уравнения второго порядка возможность такого представления установил и использовал Пуанкаре. Общий вид операторов hi (x) в (1) предъявлен Фробениусом по фундаментальной системе решений уравнения.

Lu = 0. (2).

Если сро, (pi, ., (рп — некоторая фундаментальная система решений (2), то = WW = Vo{t), ftl (<) = где Wm = • • • 5 фт) — определители Вронского.

Однако, это чисто формальное представление не обеспечивало регулярности, так как в стороне оставался вопрос об отсутствии нулей у всех вронскианов Wk. О. Д. Келлог (см. [18−20])и Г. Пойа ([34,35]) независимо друг от друга обосновали представление (1) с непрерывными коэффициентами, связав это обоснование со свойством неосцилляции оператора L: оператор L (вместе с уравнением Lu = 0) называют неосциллирующим на отрезке [а, Ь], если любое его нетривиальное решение имеет не более (n + 1) нуля с учетом кратностей. Свойство неосцилляции достаточно исчерпывающим образом исследовано в работах А. Ю. Левина, Ф. Харт-мана и др. (см. [22,38]) в связи с различными вопросами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (60−80-е гг XX в.).

Если для исходной достаточно гладкой системы {^г}о соответствующие детерминанты Wk не имеют нулей, то эта система Фк = { г}о является при каждом к системой Чебышева. Это обстоятельство послужило отправным в классической теории Маркова по проблеме моментов. Возможность распространения теории Маркова на более общие классы функций (без предположения об их гладкости) исследовалась в серии работ М. Г. Крейна и его учеников. В конечном счете им удалось установить аналог представления (1) в виде d d d d dxdpn-idpn-2 dpo где меры po, Pi, Pn-i порождены исходной системой Чебышева Ф = {.

Ясно, что представление (3) чрезвычайно интересно (и важно) для анализа уравнений с самыми различными особенностями. Однако оказалось, что это представление, вообще говоря, неверно.

Ю. В. Покорным в [3] был предъявлен контрпример в виде системы.

Здесь в представлении (3) невозможно обойтись непрерывными справа функциями />о, pi, ., рп— В последующей работе Ю. В. Покорного ([11]) была • предложена схема «реабилитации» представления Крейна-Рутмана, основанная на расширении понятия относительных производных по «многоступенчатым мерам» .

В настоящей работе детально анализируется и обосновывается соответствующий «реанимированный» результат Крейна-Рутмана. Анализ связан с расширением понятия интеграла Стилтьеса на случай ступенчатых мер.

Заметим, что неточность в теореме Крейна-Рутмана обнаружил также Р. А. Жалик ([4]). Он привел и контрпример, близкий по сути к (19). Его попытка доказать соответствующий «правильный» общий результат не увенчалась успехом. С контрпримера к его результату начинается оригинальная часть настоящей работы.

Цель работы: развернутое обоснование концепции, приводящей к корректному и полноценному доказательству теоремы Крейна-Рутмана об интегральном представлении дифференциального оператора, множество решений которого имеет в качестве своего базиса М-систему функцийопровержение попытки Р. А. Жалика решить данную проблему без использования многозначности мер в точках, в которых исходная система теряет гладкостьраспространение понятия ЕТ-продолжения исходной системы Чещ (Ь) = 1, щ (t) = t, u2(t) = y + Ni t> 0.

19) бышева на системы негладких функцийобобщение понятия кратности нуля и числа перемен знака решений псевдодифференциальных неравенств (в которых дифференциальный оператор представляется через последовательное применение относительных производных по многоступенчатым в точках разрыва мерам).

Методы исследования. Специфика исправленного представления (1) заключается в том, что при относительном дифференцировании функции pk (t) неизбежно оказываются многозначными — для них в точках разрыва невозможно обойтись только значениями pk (? — 0), + 0). Так, в примере системы (19) должно быть (t + 1, t>0, / ч J * + 1, i>0,.

Po (t) = t, pi{t)={ P2(t) = { 0, i = 0, t-l, t <0, ^ (t-l, t <0, т. e. p2(t) оказывается в точке t = 0 трехзначной. Для Т-системы более высокого порядка в особых точках функции-меры pk{t) обязаны (подчеркнем — именно обязаны иметь) и большее количество «промежуточных в точке значений. Таким образом, мы вводим соответствующее расширение исходного отрезка [а, 6], заменяя каждую особую точку? несобственным сегментом [? — 0,? + 0], включая внутрь него дополнительные элементы — точка? у нас как бы расщепляется. Именно в этих «псевдоточках» мы определяем соответствующие промежуточные значения ступеней функций Pk (t).

Неизбежность появления промежуточных «ступенек» мер в особых точках устанавливается самой процедурой построения этих мер, возникающих в результате предельных переходов в отношении.

Сь =.

Mfo) ••• s"o) •••.

••• Ы6).

Pk (t о) ••• <�Рк (?к).

35) к = 1, п — 1, при стягивании упорядоченных наборов к точке г. Оказывается, предельные значения зависят от того, каким образом такой набор £о < <�•••<& располагался в процессе стягивания его к т относительно этой точки, т. е. между какими находился г в процессе этого стягивания. Именно эти разные пределы определяют различные «промежуточные в точке т» значения соответствующей функции меры.

Многозначность конструируемых таким образом мер предопределяет и расширение понятия интеграла Стилтьеса, позволяющего обращать описанное дифференцирование. Устанавливаемая таким образом псевдорегулярная факторизация (1) позволяет изучать ситуации с негладкими решениями, открывая возможность построения и использования таких традиционных и базовых для многоточечных краевых задач методов, как многократное итерирование теоремы Ролля.

Научная новизна. В работе детально обосновывается неизбежность учета «промежуточных значений» — ступенек — мер pj, порождаемых процедурой дифференцирования вдоль системы Чебышева. Описано соответствующее расширение интеграла Стилтьеса.

Изучено обобщенное понятие кратности нуля у полинома по произвольной системе Чебышева.

Для дифференциальных уравнений с существенными особенностями (по типу модели многоопорного стержня) описаны аналоги классических теорем о распределении нулей, об их суммарной обобщенной кратности.

Теоретическая и практическая значимость. Одним из современных направлений математической физики является анализ обобщенных решений для краевых задач с различной степенью особенности. Основные методы, используемые при этом, относятся к теории обобщенных функций по Соболеву-Шварцу и дают весьма неполную информацию о структуре и свойствах решений, поскольку решениями оказываются обобщенные функции.

В диссертации исследуется анализ возможности использования более точных методов, позволяющих говорить о сильных решениях. Для этого используются квазипроизводные по специальным мерам, порождаемым исследуемой задачей. В работе обсуждаются различные аспекты этой причинной связи, в частности, описание соответствующих мер по фундаментальной системе решений.

Возможность представления непрерывной на отрезке [а, Ь] системы Чебышева Ф = в виде фундаментальной системы решений некоторого дифференциального уравнения чрезвычайно важна в различных разделах анализа.

Обоснование представления (3) позволяет переносить на случай уравнения с обобщенными коэффициентами стандартную технику (типа расширенной теоремы Ролля) подсчета суммарной кратности нулей промежуточных квазипроизводных, хорошо развитую для регулярных дифференциальных уравнений.

Представление (3) открывает возможность поточечного анализа решения дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами, что в принципе невозможно в рамках теории распределений (обобщенных функций).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического анализа Воронежского государственного университета (семинары Ю. В. Покорного), на семинарах Ю. И. Сапронова, на специализированных секциях Воронежской Зимней и Весенней Математической школы (2004, 2005 гг).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список публикаций входит в библиографический список ([2], [5], [11]-[13]). Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из совместных работ [2], [5] в диссертационную работу включены только результаты, принадлежащие автору.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 11 параграфов, изложенных на 98 страницах, и списка литературы, включающего 45 наименований. Для утверждений * (теорем, лемм, следствий) и замечаний используется двойная нумерация.

1. Крейн М. Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М. Г. Крейн, А. А. Нудельман — М.: Наука, 1973. — 414 с.

2. Покорный Ю. В. Об относительных производных, порождаемых дифференцированием вдоль системы Чебышева / Ю. В. Покорный, А. В. ЛаринВоронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2001. — 33 с. — Деп. в ВИНИТИ 17.07.01, № 1691-В2001.

3. Покорный Ю. В. Об интегральном представлении систем Маркова / Ю. В. Покорный // ДАН. 1994. — Т. 335. — N 1. — С. 18−20.

4. Zalik R. A. Integral representation of Tchebysheff system / R. A. Zalik // Pacific journal of mathematics. 1977. — Vol. 68. — N 2. -P. 553−568.

5. Покорный Ю. В. О неосцилляции решений квазидифференциальных неравенств / Ю. В. Покорный, А. В. Ларин // Труды математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2001. — Вып. 5. — С. 143−152.

6. Покорный Ю. В. Об одной осцилляционной теореме С. Н. Берн-штейна / Ю. В. Покорный // Мат. заметки. — 1988. Т. 43. — N 5. — С. 615−623.

7. Покорный Ю. В. О многозначных дифференциалах от кусочно-гладких функций / Ю. В. Покорный, О. Ю. Литманович, В. П. Плакси-на // Известия ВУЗов. 1996. — N 11. — С. 73−84.

8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М: Наука, 1967.

9. Боровских А. В. Системы Чебышева-Хаара в теории разрывных ядер Келлога / А. В. Боровских, Ю. В. Покорный // Успехи матем. наук. — 1994. Т. 49. — N 3. — С. 3−42.

10. Покорный Ю. В. О квазидифференциальных уравнениях, порожденных непрерывной системой Чебышева / Ю. В. Покорный // Доклады РАН. 1995. — Т. 345. — N 2. — С. 171−174.

11. Ларин А. В. Об интегральном представлении систем Маркова / А. В. ЛаринВоронеж, гос. ун-т. — Воронеж, 2005. — 15 с. — Деп. в ВИНИТИ 28.06.05 N 917-В2005.

12. Ларин А. В. Об интегральном представлении разрывных систем Маркова / А. В. Ларин // Тез. докл. материалов ВВМШ «Современные методы теории краевых задач». — Воронеж, 2005. — С. 94−95.

13. Ларин А. В. О мерах, порождаемых непрерывной системой Чебышева / А. В. Ларин // Тез. докл. материалов ВЗМШ «Современные методы теории функций и смежные проблемы». — Воронеж, 2005. — С. 140−141.

14. Чебышев П. Л. Поли. собр. соч. / П. Л. Чебышев — М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1947. Т. 2: Математический анализ. 520 с.

15. Нааг A. Minkowskische Geometrie und Annaehrung an Staetige Funk-tionen / A. Haar // Math, ann., 1918. Bd. 78. — S. 293−311.

16. Бернштейн С. H. Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной / С. Н. Бернштейн М.-Л.: ОНТИ, 1937. — Ч. 1. — 203 с.

17. Sturm С. Sur une class d’equations a differences partielle / C. Sturm // J. Math. Pures Appl. 1836. — V. 1. — P. 373−444.

18. Kellog O.D. The Oscillation of Functions of an Orthogonal Set / O. D. Kellog // Amer. J. Math. 1916. — V. 38. — P. 1−5.

19. Kellog O.D. Orthogonal Function Sets Arising from Integral Equations / O. D. Kellog // Amer. J. Math. 1918. — V. 40. — P. 145−154.

20. Kellog O.D. Interpolation Properties of Orthogonal Sets of Solutions of Differential Equations / O.D. Kellog // Amer. J. Math. 1918. — V. 40.P. 220−234.

21. Гантмахер Ф. Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф. Р. Гантмахер, М. Г. Крейн — M.-JL: Гостехиздат, 1950. — 360 с.

22. Левин А. Ю. Одномерные краевые задачи с операторами, не понижающими числа перемен знака / А. Ю. Левин, Г. Д. Степанов // Сиб. матем. журн. 1976. — Т. 17. — N 3. — С. 606−625- Т. 17. — N 4. -С. 813−830;

23. Karlin С. Total Positivity / С. Karlin // Stanford Univ. Press. 1968.

24. Гантмахер Ф. P. О несимметрических ядрах Келлога / Ф. Р. Гантмахер // ДАН СССР. 1936. — Т. 1. — N 1. — С. 3−5.

25. Юдович В. И. Спектральные свойства осцилляционного дифференциального оператора на прямой / В. И. Юдович // УМН. — 1983. — Т. 38. N 1. — С. 205−206.

26. Покорный Ю. В. О спектре интерполяционной краевой задачи / Ю. В. Покорный // УМН. 1977. — Т. 32. — N 6. — С. 198−199.

27. Покорный Ю. В. Некоторые осцилляционные теоремы для многоточечных задач / Ю. В. Покорный, К. П. Лазарев // Дифференц. уравнения. 1987. — Т. 23. — N 4. — С. 658−670.

28. Jentzsch R. Ueber Integralgleichungen mit positivem Kern / R. Jentzsch // J. flier reine und angew Math. 1912. — Bd. 141. — S. 235 244.

29. Schur I. Zur Theorie der linearen homogenen Integralgleichungen / I. Schur // Math. Ann., 1909. Bd. 67. — H. 3. — S. 306−339.

30. Sturm C. Memore sur les equations differentielles lineaires du second ordre / C. Sturm // J. Math. Pures Appl., 1936. V. 1. — P. 106−108.

31. Крейн M. Г. Линейные операторы, оставляющие инвариантнымконус в пространстве Банаха / М. Г. Крейн, М. А. Рутман // УМН. — 1948. Т. 3. — N 1. — С. 3−95.

32. Покорный Ю. В. О знакорегулярных функциях Грина некоторых неклассических задач / Ю. В. Покорный // УМН. — 1981. — Т. 36. — N 4. С. 205−206.

33. Березин И. С. Методы вычислений. Учеб. пособие / И. С. Березин, Н. П. Жидков. М.: ГИФМЛ, 1959. — 464 с.

34. Polia G. On the mean-value theorem corresponding to a given linear homogeneous differential equations / G. Polia // Trans. Amer. Math. Soc. — 1922. P. 312−324.

35. Полиа Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. II / Г. Полна, Г. Сеге. — М.: Наука, 1978. 432 с.

36. Frobenius G. Ueber die Determinante mehrerer Funktion einer Variablen / G. Frobenius // J. reine und angew. Math. — 1874. — Bd. 7. — S. 245−257.

37. Беккенбах Э. Неравенства / Э. Беккенбах. — М.: Мир, 1965. — 276 с.

38. Левин А. Ю. Неосцилляция решений уравнения хп+ pi (t)x^+ —-+Pn (t)x = О // А. Ю. Левин / УМН. 1969. -Т. 26. — N 2. — С. 43−96.

39. Coppel W. A. Disconjugacy / W. A. Coppel // Lect. Notes. Math. — 1971.-N 220. 148 p.

40. Боровских А. В. Системы Чебышева-Хаара в теории разрывных ядер Келлога // А. В. Боровских, Ю. В. Покорный / УМН. — 1994. — Т. 49. N 36. — С. 3−42.

41. Остроумов В. В. Об однозначной разрешимости задачи Валле-Пус-v сена // В. В. Остроумов / Дифференц. уравнения. — 1963. — N 2. —С. 261−268.

42. Покорный Ю. В. О некоторых оценках функции Грина многоточечной краевой задачи / Ю. В. Покорный // Матем. заметки. — 1968. — N 5. С. 533−540.

43. Покорный Ю. В. О вторых решениях многоточечных краевых задач с выпуклыми нелинейностями / Ю. В. Покорный // Дифференц. уравнения. 1975. — Т. И. — N 10. — С. 1801−1810.

44. Дерр В. Я. К обобщенной задаче Валле-Пуссена / В. Я. Дерр // Дифференц. уравнения. 1987. — Т. 23. — N. 11. — С. 1861−1872.

45. Дерр В. Я. О задачах, сопряженных к многоточечным краевым задачам / В. Я. Дерр // Нелинейн. колебания и теория упр. — Ижевск, 1985. Вып. 5. — С. 41−49.