Безопасные зоны областей управляемости аффинно-управляемых динамических систем второго порядка

При введении управляющего воздействия в ту или иную систему возникает вопрос о том, позволяет ли это управление переводить систему (объект) из одного режима работы в другой. Решение этого вопроса сводится к исследованию множества управляемости в заданное состояние, множества достижимости из заданного состояния и множества полной управляемости.

Проблема изучения множеств управляемости и достижимости является одной из основных в теории управляемых динамических систем.

К настоящему времени достаточно полно разработана теория управляемости линейных систем. Р. Калманом [1] введено понятие управляемости и получен ранговый критерий полной управляемости линейных стационарных систем dxl dt = Ах лВ и с неограниченным управлением, где х — вектор состояния системы, и — вектор управления. Критерий полной управляемости указанных систем, основанный на использовании ленточных матриц специальной структуры, представлен М. Ш. Мисрихановым [2]. Для линейных нестационарных систем dx / dt = A{t)x + Bit) и, u (t) неограничено, справедлив критерий Р. Калмана [1], применение которого требует знания фундаментальной матрицы решений системы dxl dt = A (t) х. Критерий управляемости, не требующий знания фундаментальной матрицы, предложен С. В. Емельяновым, И. А. Буровым и.

B. Н. Кирилычевым [3].

Наличие ограничений на управление существенно влияет на свойство системы быть управляемой. Вопросы управляемости и достижимости в этом случае рассматривались H. Н. Красовским [4], Р. Габасовым и Ф. М. Кирилловой [5], А. М. Формальским [6, 7], И. В. Гайшуном [8], Ю. М. Семеновым [9, 10]. Отметим также следующие работы. В работе [11] исследована зависимость множества достижимости линейной нестационарной системы dxl dt = A (t)x + B (t) и, xe R", ueV cz Rm, с pинтегрируемым управлением от показателей p. M. Маурером [12] установлены некоторые свойства множества достижимости и получены необходимые и достаточные условия квазиуправляемости линейных нестационарных систем, правые части которых по переменной t имеют лишь разрывы первого рода. В работе А. И. Овсеевича и Т. Ю. Фигуриной [13] описано асимптотическое поведение областей достижимости как неустойчивых, так и включающих устойчивую подсистему линейных периодических управляемых систем.

C. Ф. Николаевым и Е. JI. Тонковым [14] в предположении докритичности линейной нестационарной системы ёх/Ж = А (Ох + 6(/) и, хе Я", и | < 1, показано, что множество управляемости этой системы в расширенном фазовом пространстве представимо в виде объединения непересекающихся гладких многообразий понижающейся размерности.

В приведенных выше работах рассматривались лишь конечномерные линейные управляемые системы. Результаты по управляемости и квазиуправляемости бесконечномерных линейных систем как с конечномерным, так и с бесконечномерным управлениями содержатся в обзоре [15].

Большое число работ посвящено билинейным системам — системам вида ёх/Ж = (А + иВ) х. Указанные системы исследовались К. Лобри [16], С. В. Емельяновым, С. К. Коровиным и С. В. Никитиным [17, 18], Н. Л. Лепе [19] и А. Филипп [20]. Из более поздних отметим работы Ю. Л. Сачкова [21 — 24], Л. Т. Ащепкова и С. В. Лифантовой [25], Е. Н. Хайлова и В. Б. Домогатской [26], Е. Н. Хайлова [27, 28], М. В. Топунова [29]. Опишем некоторые из этих работ. В работе [21] установлены достаточные условия управляемости двумерных и трехмерных билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортантев [22] в рассматриваемом ортанте получены условия положительной управляемости по Бутби некоторого класса двумерных билинейных систем с векторным управлением. В работе [25] показано, что выпуклость множества достижимости двумерной билинейной системы с векторным управлением зависит от положения начальной точки и длительности управления. При определенных предположениях в [26] построена аналитическая конечномерная параметризация моментами переключения управления множества управляемости билинейной системы с ограниченным по абсолютной величине скалярным управлением.

В работах по управляемости нелинейных систем отражено разнообразие как решаемых задач, так и применяемых методов.

Результаты по локальной управляемости нелинейных систем приведены в обзоре [30]- вопросы локальной управляемости рассматривались также в [31 — 42].

Одной из основных задач теории управляемых динамических систем является получение достаточных условий и критериев управляемости. Эти вопросы в отсутствии ограничений на управление рассматривались В. Н. Семеновым [43], С. Гершвиным и Д. Якобсоном [44], Л. Хантом [45]. С. В. Емельяновым, С. К. Коровиным, И. Г. Мамедовым и С. В. Никитиным [46] приведен критерий управляемости нелинейных систем при фазовых ограничениях. В работе [47] для двумерной нелинейной системы доказан критерий управляемости при наличии ограничений как на фазовые переменные, так и на управление. Е. С. Пятницким [48, 49] и О. Р. Каюмовым [50 — 52] получены достаточные условия полной и параметрической управляемости механических систем. В. И. Матюхиным [53] установлен критерий управляемости механических систем при учете динамики управляющих приводов. В работе А. Ю. Федорова [54] для нелинейной системы указаны достаточные условия управляемости типа Калмана по линейному приближению исходной системы. А. М. Ковалевым в [55] приведен критерий управляемости нелинейных систем, сводящийся к проверке существования решений уравнений в частных производных типа уравнений Ляпунова в теории устойчивости и Леви-Чивиты в теории инвариантных многообразийв [56] на основе метода ориентированных многообразий доказан критерий управляемости нелинейных систем по всем и части фазовых переменных. Ю. В. Мастерковым [57] введено понятие глобальной устойчивой управляемости нелинейной системы и указаны достаточные условия этого типа управляемости. В работе [58] для некоторого класса нелинейных нестационарных систем с аффинным управлением установлены достаточные условия устойчивой управляемости в критическом случае. Л. Л. Львовой [59] с помощью принципа неподвижной точки нелинейного оператора получены достаточные условия управляемости нелинейных систем, зависящих от параметра. Отметим также результаты В. Н. Брандина [60], А. П. Крищенко [61, 62], Е. В. Воскресенского и А. Ю. Павлова [63].

При невыполнении критериев управляемости возникает вопрос о построении (точном или приближенном) множеств управляемости и достижимости. При оценке этих множеств используются различные методы. В частности, Дж. Лейтман [64] указал на возможность оценки множеств достижимости с помощью функции Беллмана. Этот подход использован в работах [65 — 67]. В работе Ф. Л. Черноусько [68] множества достижимости линейных систем сколь угодно точно оцениваются с помощью пересечений и объединений эллипсоидов. Метод эллипсоидальных аппроксимаций используется в работах [69 — 76]- этот метод применяется и к некоторым нелинейным системам [68, 77, 78]. М. М. Хрусталевым [79] для сколь угодно точной двусторонней оценки множеств достижимости и управляемости использованы локально липшицевы оценочные функции. В. Грантхам [80], А. Плохов и П. Бургмайер [81], А. И. Панасюк [82] решают задачу оценки с помощью функций Ляпунова. Л. Т. Ащепковым и Д. В. Долгим [83], Е. К. Костоусовой [84] предложены методы построения аппроксимаций многогранниками множеств достижимости линейных систем. В. И. Коробовым [85] введена функция управляемости, играющая ту же роль, что и функция Ляпунова в теории устойчивости, и предложен метод построения функции управляемости для линейной системы с ограниченным управлением. Указанный метод использован в работах [86, 87].

М. С. Никольским [88] с помощью теоремы о накрытии нелинейным отображением установлена некоторая оценка изнутри множества достижимости нелинейного управляемого объекта. Оценки множеств достижимости и управляемости получены также в работах [89−94].

Основные результаты в теории управляемых динамических систем, полученные с помощью методов дифференциальной геометрии и топологии, содержатся в обзорах [95, 96, 30, 97]. Указанные методы используются также в работах А. П. Крищенко [98],.

B. И. Елкина [99], X. Вонга [100], В. И. Краснощеченко и А. П. Крищенко [101], Н. Д. Егупова, Ю. И. Мышляева и др. [102]. Работы, основанные на теории слоений, рассмотрены в обзорах [18, 103]- методы этой теории применяются также в [104,105].

Кроме общетеоретических, имеется большое число работ, в которых исследуются частные виды управляемых динамических систем. Например, в работе И. С. Максимовой и В. Н. Розовой [106] получен ряд критериев управляемости для линейных систем dxldt — Ах + B (t)u, A = const, B (t) = Bl cos cot + B2 sincot, te[tQ, T], с управляющими воздействиями специального вида. Дж. Килем [107] рассмотрена область нуль-управляемости системы d2x/dt2 = f (x, dx/dt, u) в случае, когда функция f (x, dx/dt, u) не зависит от х либо dx/dt. В работе [108] изучены области управляемости системы d2у / dt2 + f (y, dy/dt) = g (y, dy / dt) и, g (y, dy / dt) Ф 0, для частного случая фазовых ограничений при отсутствии и наличии ограничений на управление. В. И. Коробовым и.

C. С. Павличковым в [109] с помощью теоремы Брауэра о неподвижной точке доказана полная управляемость треугольных нестационарных систем с равномерно ограниченными возмущениями в классе непрерывных управленийв [110] приведены достаточные условия существования решения задачи полной управляемости, непрерывно зависящего от начального и конечного состояний, для класса треугольных нелинеаризуемых систем. При определенных предположениях Е. Н. Хайловым и Э. В. Григорьевой [111, 112] исследованы множество достижимости нелинейной двумерной системы dx/dt = Ах + иср (x) b + d с ограниченным скалярным управлением и некоторые свойства этого множества. В работе [113] дано полное описание класса треугольных управляемых систем, отображающихся на линейные лишь с помощью замены переменных, и установлены условия полной управляемости систем этого класса. И. В. Рублевым [114, 115] получены некоторые свойства множества достижимости каскадной управляемой системы с эллипсоидальными ограничениями на управление, а также построено в аналитическом виде множество достижимости трехмерной системы указанного вида. Ю. Н. Корниловым и Ю. П. Петровым [116, 117] для линейных и некоторых нелинейных двумерных систем предлагается регулятор, с помощью которого реализуется область управляемости.

Большое число работ посвящено изучению конкретных управляемых динамических систем Д. Бюшау [118] первым построил области управляемости линейной двумерной системы с постоянными коэффициентами. Из нелинейных задач наиболее полно изучена задача об области управляемости уравнения Ван-дер-Поля с ограниченным управлением и (0 <�а [119 — 123]. Выяснилось, что при 0 <�а <�а область нуль-управляемости этого уравнения ограничена, а при, а > а — совпадает со всей фазовой плоскостью. В работах [124, 125] исследуется управляемость уравнения Льенара в зависимости от ограничений на управление. К. Лобри [16] рассмотрены вопросы управляемости в задаче о вращении твердого тела вокруг центра масс. И. М. Ананьевским [126 — 128] и Ф. Л. Черноусько [129] решается задача приведения механических систем посредством ограниченного управления в заданное состояние как за фиксированное, так и нефиксированное время. В работе [130] построены способы управления движением плоского многозвенника как целого на горизонтальной плоскости в заданном направлении. А. Мариго и А. Бикчи [131] исследуются вопросы управляемости и достижимости механических систем двух тел с регулярными твердыми поверхностями, вращающихся одно на другом. Ю. И. Бердышевым [132] предложен алгоритм построения области достижимости к фиксированному моменту времени для нелинейной системы третьего порядка, описывающей движение автомобиля в горизонтальной плоскости, при условии предварительного сближения с наперед заданной точкой. Исследование управляемости и достижимости механических систем проведено также в работах [133 — 135].

Одной из важнейших задач теории управляемых динамических систем является изучение зависимости множества управляемости от параметра. Данная задача в той или иной форме рассматривалась в работах многих авторов, в частности, в работах Н. К. Алексеева [136 — 138], Н. К. Алексеева и Н. С. Реттиева [139], Н. Н. Петрова и Н. К. Алексеева [140]. В этих работах введено понятие непрерывной зависимости множества управляемости системы йх/вх = /(х, и), хеЯ.", и е Я1″, || и || < а, от параметра, а — установлено, что для линейных, симметричных и некоторых нелинейных систем указанная зависимость непрерывна. Также доказаны утверждение о существовании разрыва области управляемости диссипативной системы и теорема о существовании не более чем счетного числа разрывов в случае, когда функция /(х, и) является аналитической по х. В [141] изучена зависимость от параметра, а области управляемости уравнения Дюффинга в случае мягкой упругой характеристики и в отсутствии сопротивления. В работе [142] предложен метод численной оценки точек разрыва множества управляемости автоколебательной системы с управлением. Д. А. Степановой и Н. К. Алексеевым [143] качественно исследована непрерывная зависимость от параметра, а множества управляемости системы сЬс! Л = у, с1у /Л = х3 + ¿-х + и (7), t € [О, Г], описывающей поведение пружины при наличии внешней силы. Зависимость множества управляемости системы йх/Л = /(х, и, Л), х е Я", | и < 1, Л = (Лх,., Лк), к >2, от параметров Я, ., Лк изучалась в работах П. В. Плисса [144, 145], Р. М. Бианчини и П. В. Плисса [146]. В этих работах исследованы причины возникновения разрывной зависимости множества управляемости от параметровтакже для некоторого класса нелинейных систем показано наличие кривой разрывов множества управляемости и проведена оценка этой кривой.

Отметим те работы, в которых исследование свойств управляемости и достижимости проводится с использованием методов качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Д. Бюшау [118] первым построил области управляемости линейной двумерной системы с постоянными коэффициентами и ограниченным скалярным управлением с помощью фазовых портретов автономных систем, соответствующих граничным значениям управления. Э. Роксин и В. Спинадел [147] изучали достижимые зоны управляемой динамической системы (УДС) со скалярным управлением, в частности, достижимые зоны двумерного нелинейного объекта й1×1(Мг +/(х, ёх/Ж) = и (Г) с односторонним ограничением на управление и (/) > 0. Э. Б. Ли и Л. Маркусом [148] исследованы области нуль-управляемости системы с12×1Ж2 +/(х, (}х!Ж) = /(х, <�Ьс/&-) € С1, /(0,0) = 0, с ограниченным управлением в некоторых частных случаях (когда неуправляемая система имеет единственное состояние равновесия). В работе М. М. Байтмана [149] выделены кривые, которые могут составлять границу области управляемости двумерной УДС с линейно входящим ограниченным скалярным управлением. На основе этой работы в [150] проведен анализ линий переключения на плоскости. А. Г. Бутковским [154, с. 136] поставлена задача построения качественной теории УДС. В работах [151 — 156] изучены составляющие элементы фазового портрета УДС. В. П. Савельевым [157] исследованы локальные свойства границы области управляемости локально-управляемой системы с12х! Л2 +/(х, ск/&-) = и (?) с кусочно-непрерывным ограниченным управлениемпри выполнении условия диссипативности (/(х, dx / й () — /(х, 0)) (1х / Ж >0 проведена классификация возможных типов связных компонент множества неуправляемости этой системы. В работе H. Н. Бутениной, 3. Г. Павлючонок и В. П. Савельева [158] обоснован метод построения границ областей управляемости и достижимости нелинейного объекта d2x/dt2 + f (x, dx/dt) = u (t), f (x, dx/dt) eC', с кусочно-непрерывным ограниченным управлением. H. H. Бутениной [159] для широкого класса управляемых динамических систем с линейно входящим ограниченным управлением при условии локальной управляемости системы в точке К изучена структура границы области Куправляемости. Тем же автором в [160] при достаточно общих предположениях относительно нелинейных УДС с аффинным управлением введено понятие зоны иммунитета (максимальной безопасной зоны области управляемости) фиксированного состояния Q0, указаны достаточные условия существования и изучена структура границы таких зонисследована зависимость этих зон от ограничений на управление.

Настоящая работа посвящена изучению областей управляемости и зон иммунитета нелинейных аффинно-управляемых динамических систем второго порядка. В диссертации рассматриваются УДС с векторным управлением, а также специальный класс управляемых динамических систем со скалярным управлением, в которых автономные системы, отвечающие постоянным значениям управляющей функции, имеют неподвижное состояние равновесия.

Получены следующие основные результаты:

1. Для управляемых динамических систем второго порядка с векторным управлением разработан метод построения траекторий сшитых систем одностороннего пересечения.

2. В предположении, что автономная система, принадлежащая семейству двумерных аффинно-управляемых динамических систем, имеет несколько устойчивых предельных множеств, установлено необходимое и достаточное условие, при котором возможно управление объектом в каждое из указанных предельных множеств, а также перевод из одного предельного множества в другое.

3. Для класса нелинейных аффинно-управляемых динамических систем второго порядка со скалярным управлением, имеющих при постоянных значениях управляющего воздействия устойчивый неподвижный фокус, доказано существование ограничений на управление, при которых значения управляющей функции в пространстве параметров принадлежат области устойчивости рассматриваемого фокуса, но область управляемости в окрестность этого состояния равновесия не содержит безопасных зон.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Нумерация формул, лемм и теорем ведется по главам, при этом номер каждой формулы, леммы и теоремы состоит из двух частей, первая из которых означает номер главы, вторая — порядковый номер внутри главы.

1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

2. Мисриханов М. Ш. Ленточные критерии управляемости и наблюдаемости // Автомат, и телемех. 2005. № 12. С. 93 104.

3. Емельянов С. В., Буровой И. А., Кирилычев В. Н. Об управляемости линейных динамических систем // ДАН СССР. 1988. Т. 299. № 4. С. 832 835.

4. Красовский Н. Н. Теория управления движением. Линейные системы. М.: Наука, 1968.

5. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

6. Формальский А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.

7. Формальский А. М. Об угловых точках границ областей достижимости // Прикл. мат. и мех. 1983. Т. 47. № 4. С. 566 574.

8. Гайшун И. В.

Введение

в теорию линейных нестационарных систем. Минск: Ин-т мат. HAH Беларуси, 1999.

9. Семенов Ю. М.

Введение

в теорию достижимости линейных систем. Чебоксары: Чуваш, гос. ун-т, 2006.

10. Maurer M. Controllability of linear systems by control functions of the first kind // Pure Math, and Appl. B. 1992 (1993). V. 3. № 1. P. 53−61.

11. Овсеевич А. И., Фигурина Т. Ю. Асимптотическое поведение областей достижимости линейных управляемых периодических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 6. С. 164−171.

12. Николаев С. Ф., Тонков Е. Л. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 1. С. 107 115.

13. Шолохович Ф. А. Об управляемости и еуправляемости линейных динамических систем в бесконечномерных пространствах // Изв. УРГУ. Мат. и мех. 1998. Т. 3. № 1. С. 102- 126.

14. Lobry С. Controllabilite des systems non lineaires // Outils et modeles math, autom. Anal, syst, et trait, signal. V. 1. Paris, 1981. P. 187 214.

15. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитин С. В. Классификация особенностей и управляемость двумерных билинейных систем // ДАН СССР. 1987. Т. 295. № 1. С. 42 46.

16. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитин С. В. Управляемость нелинейных систем. Двумерные системы // Итоги науки и техники. Сер. Технич. киберн. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 21. С. 3−67.

17. Jlene Н. Л. Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка // Автомат, и телемех. 1984. № 11. С. 19 25.

18. Philippe A. Controllabilite des systems bilineaires dans le plan // Publ. Dep. math. 1985. № 3. P. 1 56.

19. Сачков Ю. Л. Управляемость двумерных и трехмерных билинейных систем в положительном ортанте // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 2. С. 361 364.

20. Сачков Ю. Л. Управляемость двумерных билинейных систем в положительном ортанте // Теор. и прикл. основы прогр. систем / РАН. Ин-т прогр. систем. Переславль-Залесский, 1994. С. 309−317.

21. Сачков Ю. Л. Управляемость билинейных систем со скалярным управлением в положительном ортанте // Мат. заметки. 1995. Т. 58. № 3. С. 419 424.

22. Sachkov Yu. L. On invariant orthants of bilinear systems // J. Dyn. and Contr. Syst. 1998. V. 4.№ l.P. 137- 147.

23. Ащепков Л. Т., Лифантова С. В. Выпуклость множества достижимости билинейной управляемой системы // Изв. АН. Технич. киберн. 1994. № 3. С. 24 28.

24. Хайлов Е. Н., Домогатская В. Б. Аналитическая параметризация множества управляемости для одного класса билинейных систем // Вестн. МГУ. Сер. 15. 1994. № 3. С. 43−49.

25. Хайлов Е. Н. Множество достижимости однородной билинейной системы с квазикоммутирующими матрицами // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 12. С. 1620 — 1626.

26. Хайлов Е. Н. О выпуклости множества достижимости однородной билинейной системы // Вестн. МГУ. Сер. 15. 2004. № 3. С. 27 31.

27. Топунов М. В. О классе ¡-л коммутативных билинейных управляемых систем // Автомат, и телемех. 2006. № 6. С. 113 — 125.

28. Вахрамеев С. А., Сарычев А. В. Геометрическая теория управления // Итоги науки и техники. Сер. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 23. С. 197−280.

29. Коробов В. И. Геометрический критерий локальной управляемости динамических систем при наличии ограничений на управление // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 9. С. 1592- 1599.

30. Коробов В. И., Маринич А. П., Подольский А. Н. Управляемость нелинейных систем второго порядка при наличии ограничений на управление // Вестн. Харьк. ун-та. Харьков, 1978. № 174. С. 34−37.

31. Петров Н. Н. О локальной управляемости // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12. № 12. С. 2214−2222.

32. Смирнов Г. В. О локальной управляемости для дифференциальных включений // Соврем, матем. в физико-технич. задачах. 1986. С. 103 106.

33. Kryszewski W., Plaskacz S. Topological methods for the local controllability of nonlinear systems // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1994. V. 32. № 1. P. 213 223.

34. Мастерков Ю. В. К вопросу о локальной управляемости в критическом случае // Изв. вузов. Мат. 1999. № 2. С. 68 74.

35. Мастерков Ю. В. Некоторые вопросы управляемости нелинейных систем // Удм. гос. ун-т. Изв. Ин-та мат. и информат. 1999. № 2. С. 41 112.

36. Арутюнов А. В., Розова В. Н. Регулярные нули квадратичного отображения и локальная управляемость нелинейных систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 6. С.723 728.

37. Зудашкина О. В. О локальной управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения. 2004. № 8. С. 36−41.

38. Иванов А. Г. О равномерной локальной управляемости нелинейной системы на траекторию // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 4. С. 453 462.

39. Юханова М. В. Об условиях локальной управляемости нелинейной системы дифференциальных уравнений в некритическом случае // Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения. 2006. № 10. С. 90 94.

40. Юханова М. В. О локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Дифференц. уравнения и прикл. задачи. 2006. № 1. С. 39 42.

41. Семенов В. Н. Об управляемости нелинейных динамических систем // Киберн. и вычислит, техн.: Республ. межвед. сб. / Киев: Наукова думка, 1971. Вып. 8. С. 34 40.

42. Gershwin S. В., Jacobson D. Н. A controllability theory for nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. V. 16. № 1. P.

43. Hunt L. R. Controllability of nonlinear systems in two dimensions // Math. Syst. Theory. 1980. V. 13. № 4. P. 361 -376.

44. Емельянов С. В., Коровин С. К., Мамедов И. Г., Никитин С. В. Критерии управляемости нелинейных систем при фазовых ограничениях // ДАН СССР. 1986. Т. 290. № 1. С. 18−22.

45. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитин С. В. Критерии управляемости двумерных нелинейных систем в области при ограничениях на управление // ДАН СССР. 1987. Т. 294. № 6. С. 1310−1314.

46. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // ДАН СССР. 1988. Т. 300. № 2. С. 300 303.

47. Пятницкий Е. С. Избранные труды. Теория управления. Т. 2. Управление системами механической природы. Развитие теории линейных матричных неравенств. М.: Физматлит, 2005.

48. Каюмов О. Р. Глобально управляемые системы твердых тел с несколькими устойчивыми состояниями покоя // Прикл. мат. и мех. (Москва). 2002. Т. 66. № 5. С. 775 —781.

49. Каюмов О. Р. Параметрическая управляемость некоторых систем твердых тел // Прикл. мат. и мех. 2006. Т. 70. № 4. С. 581 604.

50. Каюмов О. Р. Применение достижимых кривых к анализу глобальной управляемости лагранжевых систем // Фил. Оме. гос. пед. ун-та в г. Тара. Тара, 2007. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 17.01.2007, № 43 В 2007.

51. Матюхин В. И. Управляемость механических систем при учете динамики приводов // Автомат, и телемех. 2005. № 12. С. 75 92.

52. Федоров А. Ю. Условия управляемости нелинейных динамических систем // Автомат, и телемех. 1984. № 4. С. 60 71.

53. Ковалев А. М. Критерий управляемости и достаточные условия стабилизируемости динамических систем // Прикл. мат. и мех. (Москва). 1995. Т. 59. № 3. С. 401 409.

54. Ковалев А. М. Разрешимость прямых и обратных задач управления нелинейных динамических систем // Тр. междунар. конф. «Мат. в индустрии». Таганрог, 1998. С. 173 —178.

55. Мастерков Ю. В. О глобальной устойчивой управляемости // Удм. гос. ун-т. Изв. Ин-та мат. и информат. 1997. № 1. С. 67 76.

56. Мастерков Ю. В., Родина Л. И. Достаточные условия устойчивой управляемости нестационарной системы в критическом случае // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 1. С. 33−40.

57. Львова Л. Л. Вопросы управляемости нелинейных систем // Рязан. гос. пед. ун-т. Рязань, 2000. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 17.10.2000, № 2637 В 2000.

58. Брандин В. Н. Достаточные условия управляемости нелинейных систем с ограничениями на управление // Изв. АН СССР. Технич. киберн. 1977. № 6. С. 164 166.

59. Крищенко А. П. Управляемость и множества достижимости нелинейных стационарных систем // Киберн. и вычислит, техн.: Республ. межвед. сб. / Киев: Наукова думка, 1984. № 62. С. 3−10.

60. Крищенко А. П. Исследование управляемости и множеств достижимости нелинейных систем управления // Автомат, и телемех. 1984. № 6. С. 30 36.

61. Воскресенский Е. В., Павлов А. Ю. Метод сравнения и управляемость нелинейных систем // Морд. гос. ун-т. Саранск, 1995. С. 4 153. Деп. в ВИНИТИ 04.08.95, № 2386 —В 95.

62. Лейтман Дж.

Введение

в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968.

63. Гурман В. И., Константинов Г. Н. Описание и оценка множеств достижимости управляемых систем // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 3. С. 416 423.

64. Комаров В. А. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задаче с фазовыми ограничениями // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1988. № 185. С. 116 125.

65. Комаров В. А. Об уравнении множеств достижимости дифференциальных включений // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 4. С. 692 694.

66. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

67. Овсеевич А. И. Локальное асимптотическое поведение эллипсоидов, ограничивающих области достижимости // Автомат, и телемех. 1994. № 12. С. 48 59.

68. Савченко В. М. Метод усреднения в задачах аппроксимации множеств достижимости // Одес. гос. ун-т. Одесса, 1995. 13 с. Деп. в ГНТБ Украины 13.04.95, № 842 Ук 95.

69. Рокитянский Д. Я. Оптимальные эллипсоидальные оценки множества достижимости линейных систем с неопределенной матрицей // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1997. № 4. С. 17−20.

70. Черноусько Ф. Л., Овсеевич А. И. Некоторые свойства оптимальных эллипсоидов, аппроксимирующих множества достижимости // Докл. РАН. 2003. Т. 388. № 4. С. 462 —465.

71. Кирилин М. Н. Эллипсоидальные аппроксимации в задачах достижимости с неэллипсоидальными ограничениями. Внешние эллипсоиды // Вестн. МГУ. Сер. 15. 2004. № 3. С. 43−50.

72. Овсеевич А. И., Тарабанько Ю. В. Явные формулы для эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 2. С. 33 44.

73. Гагаринов П. В. Вычисление проекций трубок достижимости линейных управляемых систем на основе методов эллипсоидального исчисления // Вестн. МГУ. Сер. 15. 2007. №> 1. С. 14−25.

74. Шматков А. М. О невырожденной локально оптимальной эллипсоидальной аппроксимации оценки состояний линейных систем // Прикл. мат. и мех. 2008. Т. 72. № 2. С. 241 -250.

75. Черноусько Ф. JL, Янгин А. А. Аппроксимация множеств достижимости при помощи пересечений и объединений эллипсоидов // Изв. АН СССР. Технич. киберн. 1987. № 5. С. 145- 152.

76. Никольский М. С. Об оценке множества достижимости снизу для нелинейного управляемого объекта//Вестн. МГУ. Сер. 15. 1998. № 3. С. 14−17.

77. Хрусталев М. М. Точное описание множеств достижимости и условия глобальной управляемости динамических систем. I. Оценки и точное описание множеств достижимости и управляемости // Автомат, и телемех. 1988. № 5. С. 62 70.

78. Grantham W. J. Estimating controllability boundaries for uncertain systems // Lect. Notes Biomath. 1981. V. 40. P. 151 162.

79. Plochov A. G., Burgmeier P. Zur Abschatzung des Nullsteuerbar-Keitsbereiches nichtlinearer Systeme mit konzentrirten Parametern // Optimization. 1985. V. 16. № 6. P. 803 —808.

80. Панасюк А. И. О динамике множеств достижимости, определяемых дифференциальными включениями // Сиб. мат. ж. 1986. Т. 27. № 5. С. 155 165.

81. Ащепков JI. Т., Долгий Д. В. Аппроксимация многогранниками множеств достижимости линейных управляемых систем // Фундам. пробл. мат. и мех.: Мат. Ч. 1. /МГУ. М., 1994. С. 85−87.

82. Костоусова Е. К. О внутренних полиэдральных оценках множеств достижимости линейных систем с фазовыми ограничениями // Алгоритмы и прогр. средства параллельных вычислений. 2001. № 5. С. 167 187.

83. Коробов В. И. Решение задачи синтеза с помощью функции управляемости // ДАН СССР. 1979. Т. 248. № 5. С. 1051 1055.

84. Чоке Риверо А. Э., Коробов В. И., Скорик В. А. Функция управляемости как время движения. I. // Мат. физ., анал., геом. 2004. Т. 11. № 2. С. 208 225.

85. Чоке Риверо А. Э., Коробов В. И., Скорик В. А. Функция управляемости как время движения. II. // Мат. физ., анал., геом. 2004. Т. 11. № 3. С. 341 354.

86. Никольский М. С. Об оценке множества достижимости нелинейного управляемого объекта изнутри // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 11. С. 1487 1491.

87. Губин С. В., Ковалев А. М. О построении областей достижимости линейных неавтономных систем управления с ограничениями на ресурсы // Изв. АН СССР. Технич. киберн. 1986. № 6. С. 155 160.

88. Константинов Г. Н., Сидоренко Г. В. Внешние оценки множеств достижимости управляемых систем // Изв. АН СССР. Технич. киберн. 1986. № 3. С. 28 34.

89. Dauer L. P. Approximate controllability of nonlinear systems with restrained controls // J. Math. Anal. Appl. 1974. V. 46.

90. Рокитянский Д. Я. Уравнения эволюции оптимальных оценок множества достижимости линейных систем с неопределенной матрицей // Докл. РАН. 1999. Т. 364. № 5. С. 608−610.

91. Абубакар М. Об оценке множества достижимости управляемого математического маятника изнутри // Вестн. Рос. ун-та дружбы народов. Сер. Мат. 1999. № 6. С. 3 13.

92. Никольский М. С., Абубакар М. Некоторые оценки множества достижимости для управляемого уравнения Ван-дер-Поля // Тр. Ин-та мат. и мех. УрО РАН. 2000. Т. 6. № 1 —2. С. 150- 159.

93. Аграчев А. А., Вахрамеев С. А., Гамкрелидзе Р. В. Дифференциально-геометрические и теоретико-групповые методы в теории оптимального управления // Итоги науки и техники. Сер. Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 14. С. 3 56.

94. Андреев Ю. Н. Дифференциально-геометрические методы в теории управления // Автомат, и телемех. 1982. № 10. С. 5 46.

95. Емельянов С. В., Коровин С. К., Никитин С. В. Нелинейные системы. Управляемость, стабилизируемость, инвариантность // Итоги науки и техники. Сер. Технич. киберн. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 23. С. 3 107.

96. Крищенко А. П. Синтез алгоритмов терминального управления для нелинейных систем // Изв. АН. Технич. киберн. 1994. № 1. С. 48 57.

97. Елкин В. И. Редукция нелинейных управляемых систем: дифференциально-геометрический подход. М.: Физматлит, 1997.

98. Wang H. Nonlinear control system and geometrical structure of state space // Contr. Theory and Appl. 2001. V. 18. № 5. P. 702 708.

99. Краснощеченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005.

100. Петров H. Н. Управляемые системы и теория слоений // Киберн. и вычислит, техн.: Республ. межвед. сб. / Киев: Наукова думка, 1983. № 58. С. 8 11.

101. Нарманов А. Я. О зависимости множества управляемости от целевой точки // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 10. С. 1334 1338.

102. Нарманов А. Я. О стабильности вполне управляемых систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1336 1344.

103. Максимова И. С., Розова В. Н. Исследование управляемости линейных систем с управляющими воздействиями специального вида // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физ. Мат. 2007. № 1. С. 100- 104.

104. Kyle J. The domain of null-controllability for certain nonlinear systems // Recent Theor. Develop. Contr. Proc. Conf. Leicester, 1976 / London e.a., 1978. P. 327 338.

105. Крищенко А. П., Назаренко A. H. Множества управляемости нелинейных систем второго порядка // Изв. АН СССР. Технич. киберн. 1988. № 4. С. 159 166.

106. Коробов В. И., Павличков С. С. Управляемость треугольных систем с равномерно ограниченными возмущениями // Вестн. Харьков, ун-та. 1999. № 444. С. 10−14.

107. Коробов В. И., Павличков С. С. Непрерывная зависимость решения задачи управляемости от начального и конечного состояний для треугольных, нелинеаризуемых систем // Мат. физ., анал., геом. 2001. Т. 8. № 2. С. 189 204.

108. Хайлов Е. Н., Григорьева Э. В. О множестве достижимости одной нелинейной системы на плоскости // Вестн. МГУ. Сер. 15. 2001. № 4. С. 27 32.

109. Хайлов Е. Н., Григорьева Э. В. Описание множества достижимости одной нелинейной управляемой системы на плоскости // Вестн. МГУ. Сер. 15. 2005. № 3. С. 23 —28.

110. Скляр Е. В. Отображение треугольных управляемых систем на линейные без замены управления // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 1. С. 34 43.

111. Рублев И. В. Множества достижимости в каскадных управляемых системах // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 12. С. 1636 1644.

112. Рублев И. В. Множество достижимости трехмерной каскадной системы управления //Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1672- 1679.

113. Корнилов Ю. Н., Петров Ю. П. Области управляемости линейных систем второго порядка и их реализация // Вестн. ЛГУ. Сер. Мат., мех., астрон. 1986. № 3. С. 108 110.

114. Корнилов Ю. Н., Петров Ю. П. Реализация наибольшей области управляемости для систем управления второго порядка // Изв. АН СССР. Мех. тв. тела. 1986. № 5. С. 73 76.

115. Bushaw D. W. Optimal discontinuons forcing terms // Contribution to the Theory of Nonlinear Oscillation. Princeton, 1958. Y. 4.

116. Байтман M. M. Об областях управляемости для уравнения Ван-дер-Поля // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 5. С. 931 933.

117. Плисс П. В. О кривой разрывов множества управляемости уравнения Ван-дер-Поля с управлением // Вестн. ЛГУ. Сер. Мат., мех., астрон. 1981. № 7. С. 59 62.

118. Conti R. Equazione di Van der Pol e controllo in tempo minimo // J. Instituto Matematico Ulisse Dini Universita Degli Studi di Firenze. 1976. № 13. P. 1 46.

119. Conti R. Control and the Van der Pol equation // Lect. Notes Math. 1979. V. 703.

120. Games E. M. Time optimal control and the Van der Pol oscillation // J. Inst. Math. Applics. 1974. V. 13. P. 67−81.

121. Barbanti L. Lienard equations and control // Lect. Notes Math. 1980. V. 799. P. 1 22.

122. Villari G. Ciclo limite di Lienard e controllabilita // Boll. Unione mat. ital. 1980. V. 17. № 3. P. 406−413.

123. Ананьевский И. M. Управление двухмассовой системой с неизвестными параметрами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2. С. 72 82.

124. Ананьевский И. М. Два подхода к управлению механической системы с неизвестными параметрами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. № 2. С. 39 —47.

125. Ананьевский И. М. Управление нелинейной колебательной системой четвертого порядка с неизвестными параметрами // Автомат, и телемех. 2001. № 3. С. 3 15.

126. Черноусько Ф. Л. Управление системой с одной степенью свободы при сложных ограничениях // Прикл. мат. и мех. (Москва). 1999. Т. 63. № 5. С. 707 715.

127. Черноусько Ф. JI. Управление движением многозвенников на шероховатой плоскости // Тр. Ин-та мат. и мех. УрО РАН. 2000. Т. 6. № 1 2. С. 277 — 287.

128. Marigo A., Bicchi A. Rolling bodies with regular surface: Controllability theory and applications // IEEE Trans. Autom. Contr. 2000. V. 45. № 9. P. 1586 1599.

129. Бердышев Ю. И. О построении области достижимости в одной нелинейной задаче // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2006. № 4. С. 22 26.

130. Su Н., Woodham С. A. On the uncontrollable damped triple inverted pendulum // J. Comput. and Appl. Math. 2003. V. 151. № 2. P. 425 443.

131. Bicchi A., Chitour Y., Marigo A. Reachability and steering of rolling polyhedra: A case study in discrete nonholonomy // IEEE Trans. Autom. Contr. 2004. V. 49. № 5. P. 710 726.

132. Малышев В. В., Тычинский Ю. Д. Построение множеств достижимости и оптимизация маневров искусственного спутника Земли с двигателями малой тяги в сильном гравитационном поле // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2005. № 4. С. 124- 132.

133. Алексеев Н. К. О непрерывной зависимости множества управляемости от параметра // Ред. ж. Вестн. ЛГУ. Мат., мех., астрон. Л., 1976. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 19. 10. 1976, № 3672 76.

134. Алексеев Н. К. Некоторые вопросы управляемости двумерных систем // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 3. С. 387 397.

135. Алексеев Н. К. Зависимость множества управляемости от величины управляющего параметра // Некоторые вопросы дифференц. и интегр. уравнений и их приложения. Якут, гос. ун-т. Якутск, 1978. Вып. 3. С. 3 16.

136. Алексеев Н. К., Реттиев Н. С. О зависимости множества управляемости от параметра // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 9. С. 1687 1688.

137. Петров Н. Н., Алексеев Н. К. К вопросу о разрывной зависимости множества управляемости от параметра // Якут. гос. ун-т. Якутск, 1984. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 2. 04. 84, № 1815−84.

138. Алексеев Н. К. К проблеме разрывной зависимости множества управляемости от параметра // Динам, управл. системы: Межвуз. тем. сб. Якут. гос. ун-т. Якутск, 1983. С. 3 —15.

139. Алексеев Н. К. Некоторые вопросы управляемости динамических систем // Мат. заметки ЯГУ. 1994. Т. 1. № 1. с. 61 65.

140. Степанова Д. А., Алексеев Н. К. К вопросу об управляемости динамических систем // Управл. сист. и прил. Якут. гос. ун-т. Якутск, 1994. С. 72 76.

141. Pliss P. V. On the discontinuous dependence of the set of controllability from a parameter // Humburger Beitrage zur Angewanten Mathematik, Reihe A, Preprint 39,1991. P. 1 16.

142. Плисс П. В. О разрывной зависимости множества управляемости некоторых нелинейных систем от параметра // Автомат, и телемех. 1994. № 3. С. 49 54.

143. Bianchini R. M., Pliss P. V. On the nature of arising of the points of discontinuous dependence of the controllability set on a parameter // Dipartimento di matematica «Ulisse Dini», Universita Degli Studi di Firenze, Preprint 1992/4.

144. Роксин Э., Спинадел В. Достижимые зоны для автономных систем дифференциальных уравнений // Киберн. сб. Нов. серия. Вып. 3. М.: Мир, 1966. С. 149 — 191.

145. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

146. Байтман M. М. Об областях управляемости на плоскости // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 4. С. 579−593.

147. Байтман M. М. О линиях переключения на плоскости // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 8. С. 1539- 1551.

148. Бутковский А. Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного решения задач управляемости и финитного управления // Автомат, и телемех. 1982. № 1. С. 5 18.

149. Бутковский А. Г. Метод интегральных воронок дифференциальных включений для исследования управляемых динамических систем // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 8. С. 1304- 1314.

150. Бутковский А. Г. Теория и метод фазового портрета динамических систем с управлением // Автомат, и телемех. 1985. № 12. С. 43 53.

151. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем. М.: Наука, 1985.

152. Бутковский А. Г., Бабичев А. В., Лепе Н. Л. Фазовые портреты динамических систем с управлением на плоскости // Препринт ИПУ. М., 1985.

153. Бабичев А. В., Бутковский А. Г., Лепе Н. Л. Особые множества на фазовых портретах динамических систем с управлением. I. // Автомат, и телемех. 1986. № 5. С. 24 31.

154. Савельев В. П. Классификация связных компонент множества неуправляемости одномерного движения // Динамика систем: Межвуз. тем. сб. Горьк. ун-т. Горький, 1975. Вып. 5. С. 118−144.

155. Бутенина H. Н., Павлючонок 3. Г., Савельев В. П. Качественные методы глобального исследования областей управляемости на плоскости // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 4. С. 555−568.

156. Butenina N. N. The structure of the boundary curve for planar controllability domains // Amer. Math. Soc. Transi. (2). 2000. V. 200. P. 73 86.

157. Бутенина H. H. Зоны иммунитета управляемых динамических систем // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 5. С. 630−637.

158. Бутенина H. Н., Стародубровская Н. С. Управление движением самолета в двухканальном режиме // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Вып. 1(25). Н. Новгород. 2002. С. 202−210.

159. Бутенина H. Н., Стародубровская Н. С. Устойчивый неподвижный фокус и его зона иммунитета в управляемой динамической системе второго порядка // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 11. С. 1468 1478.

160. Бутенина H. H., Стародубровская Н. С. Области управляемости и зоны иммунитета в математической модели сахарного диабета // VI Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование». Тезисы докладов. Пущино. 1999. С. 48.

161. Стародубровская Н. С. Исследование одной управляемой динамической системы с векторным управлением // V Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Тезисы докладов. Н. Новгород. 1999. С. 209 210.

162. Стародубровская Н. С. Исследование устойчивости сшитого фокуса, расположенного в узловой особой точке контактной кривой // Конференция «Математика и кибернетика 2002». Материалы конференции. Н. Новгород. 2002. С. 88 89.

163. Стародубровская Н. С. Управление движением самолета в двухканальном режиме // VII Международный семинар «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Тезисы докладов. М.: Изд-во ИПУ РАН. 2002. С. 132 134.

164. Андреева М. С., Стародубровская Н. С. Собственные зоны и зоны суверенитета в области достижимости // VI Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Тезисы докладов. Н. Новгород. 2002. С. 8 9.

165. Стародубровская H. С. Об одной динамической системе с двухканальным управлением // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтенияXIV». Тезисы докладов. Воронеж. 2003. С. 137 138.

166. Butenina N. N., Starodubrovskaya N. S. Stable focus in the risk zone of the controllability set// Journal of Dynamical and Control Systems. 2004. V. 10. № 1. P. 107 108.

167. Бутенина H. H., Стародубровская H. С. Безопасные зоны управляемых динамических систем на плоскости // Международная конференция «Dynamics, Bifurcations and Chaos». Тезисы докладов. H. Новгород. 2005. С. 43 44.

168. Стародубровская Н. С. Устойчивый неподвижный фокус в зоне риска области управляемости // Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтенияXX». Тезисы докладов. Воронеж. 2009. С. 171 172.

169. Бутенина H. Н., Сизова Н. А. Особые интервалы управляемых динамических систем второго порядка // Вестн. ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н. Новгород. 1997. С. 108 115.

170. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

171. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1966.

172. Butenina N. N. The boundary curve structure of the controllability domain of system under vector control // International Conference Dedicated to the 90th Anniversary of L. S. Pontryagin. ABSTRACTS. Optimal Control. Moscow. 1998. P. 39−41.

173. Девис M. Дж. Дифференциальная модель сахарного диабета // Математическое моделирование / Под ред. Дж. Эндрюса, Р. Маклоуна. М.: Мир, 1979. С.128 139.

174. Баутин H. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.

175. Белюстина Л. Н. К динамике симметричного полета самолета // Изв. АН СССР. ОТН. 1956. Т. 11. С. 3−27.

176. Андронов А. А., Леонтович Е. А. Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

177. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.