Билинейные операторы в векторных решетках

0.1. Обзор литературы.

Основы теории регулярных операторов в Х-пространствах были заложены в докладе Ф. Рисса на Международном математическом конгрессе в Болонье в 1928 [74] и в работе JI.B. Канторовича 1936 года, см. |8|. В этих же работах была сформулирована и доказана — сначала для функционалов (Рисс), а затем для общих регулярных операторов (Канторович) — фундаментальная теорема Рисса — Канторовича (1.1.1).

Теории линейных операторов в векторных решетках с приложениями к разным разделам математики хорошо представлена в монографической литературе, см., например, [2, 4, 7, 13, 33, 34, 64, 67, 75, 81, 86].

Первая фундаментальная монография по теории полуупорядочеиных пространств (векторных решеток), написанная в 1950 г. JI.B. Канторовичем, Б. З. Вулихом и А. Г. Пинскером [7|, до сих пор является энциклопедическим изложением основ теории линейных операторов. Более поздняя (1961 г.) и более краткая монография Б. З. Вулиха [4] содержит изложение основных фактов о теории линейных операторов в векторных решеток, но в идейном и тематическом плане примыкает к предыдущей монографии.

Монография В. Люксембурга и А. Цаанепа [64] посвящена подробному изложению алгебраической теории векторных решеток почти без рассмотрения нормы, функционалов и операторов. Монография А. Цаанена [86], являющаяся продолжением предыдущей монографии содержит разнообразный и интересный материал по теории операторов и функционалов в векторных решетках и банаховых решетках. Среди которых: общая теория порядково ограниченных операторов, интегральное представление операторов, теоремы о структуре сопряженных пространств, проблемы мажора-ции для компактных операторов, ортоморфизмы и /-алгебры.

Монография Шефера [75| содержит разнообразный материал по теории векторных решеток и банаховых решеток.

В монографии 1978 г. Г. П. Акилова и С. С. Кутателадзе [2] изучается выпуклый анализ в if-пространствах, в которых вводится много новых понятий для множеств порядково ограниченных операторов.

В небольшой монографии Х.-У. Шварца [81] изложены основные факты о порядково ограниченных операторах, а также нетрадиционный материал о (р, д)-выпуклых и вогнутых операторах.

Значительным вкладом в теорию является монография К. Алипраптиса и О. Буркиншо [33], изданная в 1985 г., которая содержит в основном результаты, полученные после 1978 г., по проблеме мажорации операторов. При этом излагается техника, связанная с ортоморфизмами, приближе-" нием операторов суммами «осколков» других операторов, факторизации операторов. Многие результаты монографии принадлежат авторам.

В монографии А. Г. Кусраева [13], которая является расширенным и переработанным вариантом опубликованной на три года раньше монографии [56], представлены важнейшие результаты о мажорируемых операторах, полученные после 1980 года. Изложение сосредоточено на строении мажорируемых операторов, подробно освещены вопросы разложения, продолжения и аналитического представления. Предметом особого внимания монографии являются различные классы мажорируемых операторов: интегральные и псевдоинтегральные операторы, сохраняющие дизъюнктнбеть и разложимые операторы, суммирующие и циклически компактные операторы.

Несмотря на продолжающееся по сей день интенсивное развитие исследований порядковых свойств линейных операторов, билинейные операторы изучены мало с этой точки зрения. Началом изучения билинейных операторов в векторных решетках принято считать работу японского математика X. Накано [68], опубликованную в 1953 году. Однако эта работа не привлекла внимания специалистов и новые труды появились лишь после двадцатилетнего перерыва.

В начале 70-х Д. Фремлин опубликовал две статьи [51, 52], в ко торых изучал тензорное произведение на векторных и банаховых решетках. Д. Фремлин построил тензорное произведение E&F двух архимедовых векторных решеток Е и F, и установил важное свойство этого объекта: если Е, F и G — векторные решетки, при чем G — полно относительно сходимости с регулятором, то для любого положительного билинейного оператора b: Е х F G существует единственный линейный положительный оператор Т: Е (§ F G такой, что T = Ъ. Используя тензорное произведение векторных решеток, в [51] Д. Фремлин построил также тензорное произведение банаховых решеток.

В 1977 г. А. Г. Кусраев в работе [11] показал возможность продолжения регулярного билинейного оператора с массивных подрешеток на всю решетку. Более того, была установлена возможность одновременного продолжения. Для порядково непрерывного регулярного оператора b: ExF —> G, где G — порядково полная векторная решетка, построено порядково непрерывное продолжение на порядковые пополнения решеток Е и F. В этой же работе впервые в явном виде было определено А'-пространство регулярных билинейных операторов.

Кроме этих работ билинейные операторы встречались в работах Г. Витт-стока [84, 85] и Р. Кристеску [50]. В 1984 г. X. Шефер в [76] получил представление ограниченного оператора путем перехода к билинейным формам.

После этого, в течение пятнадцати лет билинейные операторы как самостоятельный объект исследования вновь выпали из круга активно разрабатываемых разделов теории операторов в векторных решетках. Хотя некоторые частные случаи: билинейные функционалы, умножение в ре-шеточно упорядоченных алгебрах, тензорные произведения периодически изучались разными авторами.

С начала 2000;х годов наблюдается возрастающий интерес к порядковым свойствам билинейных операторов. В этот период появились новые мотивации, новые объекты и методы исследования, новые взаимосвязи с другими разделами теории векторных решеток и положительных операторов. Начался он с серии работ голландских математиков X. Баскеса и А. ван Ройя [44, 45, 46, 47, 48, 49].

Особняком стоит работа [44J, в которой введен класс билинейных операторов ограниченной вариации и установлено, что в случае порядковой полноты векторной решетки G, векторное пространство Bj) V{E, FG) является if-пространством и устанавливается изоморфизм между указанным пространством и пространством линейных ограниченных операторов на фремлиновском тензорном произведении. Там же получена формула вычисления модуля билинейного оператора ограниченной вариации.

Различные свойства билинейных операторов ограниченной вариации изложены К. Булабия, X. Баскесом и Р. Пейджем в работе [37]. Установлено, что введенная Аренсом операция трисопряжения, примененная к билинейным операторам ограниченной вариации, сохраняет свойства исходных операторов. Операцией трисопряжения Аренса также занимался Е. Шеффолд [77, 78, 79].

В работе [45] введен важный класс ортосимметричных билинейных операторов, свойства которых интенсивно изучались в последующие годы [14, 15, 35, 38, 43, 47, 53, 57, 60]. Одной из мотиваций этих работ явилось интенсивное исследование структурных свойств различных видов упорядоченных алгебр: /-алгебр, почти /-алгебр, псевдо /-алгебр и d-алгебр. Подробная история этого вопроса изложена в диссертации Б. де Пахте [71], обзорах К. Булабия, X. Басксса и А. Трики [41, 42|. По сути дела здесь речь идет о различных классах билинейных операторов, так как умножение в этих алгебрах — билинейный оператор, принадлежащий тому или иному классу. Наиболее интересным случаем оказались ортосимметричные операторы, обобщающие умножение в почти /-алгебрах.

С билинейными ортосимметричными операторами неразрывно связана концепция квадрата векторной решетки, осуществляющая биекцию между положительными билинейными ортосимметричными операторами и множеством положительных линейных операторов, определенных на квадрате векторной решетки. В этом смысле квадрат векторной решетки, введенный в [47| X. Баскесом и А. ван Ройем, играет в теории ортосимметричных билинейных операторов такую же важную роль, как и фремлиновскос тензорное произведение в теории положительных билинейных операторов. Кроме того, линеаризация посредством квадрата, в отличие от линеаризации посредством тензорного произведения, сохраняет порядковую непрерывность оператора.

А.Г. Кусраевым в [15] установлено, что с каждой архимедовой векторной решеткой можно связать лишь один ортосимметричный оператор — канонический ортосимметричпый биморфизм, аналогичный операции умножения в почти /-алгебревсе остальные ортосимметричные операторы представлены как суперпозиции линейных регулярных операторов с каноническим биморфизмом. Используя этот факт, в [43] X. Баскесом и А. Г. Кусраевым были получены результаты о продолжении ортосимметричных операторов, а также о WSW-факторизации и мультипликативном представлении орторегулярных билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктносгь.

В работах А. Г. Кусраева [58, 59] введено однородное функциональное исчисление в равномерно полных векторных решетках. Получены неравенства типа Гёльдера для ортосимметричных билинейных операторов, также даны дальнейшие обобщенные неравенства типа Гёльдера и Минковского. Также в работе [59] дана характеризация билинейных ортосимметричных операторов Магарам и установлено, что при линеаризации посред ством квадрата сохраняются свойство Магарам, порядковая непрерывность и сингулярность. Исходя из этого были доказаны теоремы типа Радона-Никодима, Накано и Хана о разложении для ортосимметричных билинейных операторов.

В 2004 году А. Г. Кусраев и Г. Н. Шотаев опубликовали первый обзор по билинейным операторам в векторных решетках [22]. В этой работе сформулированы, имеющиеся на тот момент результаты, а также поставлено 15 нерешенных задач.

В последующие годы появилось еще два обзора о билинейных операторах. Первый, К. Бу, X. Баскеса и А. Г. Кусраева [40] (2007 г.) в основном посвящен вопросам проистекающим из теории решеточно упорядоченных алгебр. Обширный обзор А. Г. Кусраева [16] затрагивает результаты связанные с различными аспектами ортосимметричных билинейных операторов в векторных решетках.

0.2.

Актуальность темы

исследования.

В обзоре по билинейным операторам в векторных решетках (22] А. Г. Кусраев и Г. Н. Шотаев формулируют имеющиеся к тому времени результаты о билинейных положительных и мажорируемых операторах в векторных решетках или решеточно нормированных пространствах, в основном полученные российскими математиками. Там же сформулированы нерешенные задачи и указаны направления дальнейших исследований.

Как известно, изучение и развитие порядковых свойств линейных операторов, началось с теоремы Рисса-Канторовича, в ходе доказательства которой были получены явные выражения для вычисления конечных и бесконечных решеточных операций, а также для модуля, положительной и отрицательной частей порядково ограниченного оператора. Эти формулы, вместе взятые, составляют содержание так называемого порядкового исчисления. Несмотря на существенный интерес к регулярным билинейным операторам в векторных решетках, до недавних пор была известна только формула получения модуля регулярного билинейного оператора установленная в [44].

Для линейных регулярных операторов хорошо разработаны формулы проектирования на полосы, порожденные различными классами операторов, в частности, на полосу, порожденную регулярным оператором или множеством таких операторовна полосу регулярных порядково непрерывных операторовна полосу, порожденную решеточными гомоморфизмами. Эти результаты также принято относить к порядковому исчислению. В этой связи возникла актуальная задача: развить порядковое исчисление для регулярных билинейных операторов в векторных решетках.

Важным классом линейных операторов в векторных решетках являются операторы, сохраняющие дизъюнктность. Этот класс операторов ввел и начал исследовать Б. З. Вулих. Позже операторы, сохраняющие дизъюнктность, изучали Ю. А. Абрамович, E.JI. Аренсон, А. И. Векслер, Э. Викстед, А. К. Китовер, А. В. Колдунов, А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе, В. Люксембург, Б. де Пахте, А. С. Цаапен и др. Простейшим представителями класса операторов, сохраняющих дизъюнктность, являются нерасширяю-щие операторы, или операторы, сохраняющие полосы. Известно, что положительный оператор, сохраняющий дизъюнктность, является решеточным гомоморфизмом. М. Мейером [66] установлено, что порядково ограниченный оператор, сохраняющий дизъюнктность, имеет положительную, отрицательную части и модуль являющиеся решеточными гомоморфизмами, которые вычисляются поточечно. С. С. Кутателадзе [23] установил, что положительный оператор является решеточным гомоморфизмом в том и только в том случае, когда он является дискретным оператором.

Несколько более общий класс составляют полидизъюнктные операторы, составляющие идеал порожденный решеточными гомоморфизмами. Понятие п-дизъюнктного оператора в векторных решетках введено в статье С.Дж. Верно, С. В. Гюсманса и Б. де Пахте [36]. Характеризацию п-дизъюнктных операторов получил В. А. Раднаев [26], используя подход С. С. Кутателадзе к характеризации решеточных гомоморфизмов. В статье [36] было установлено, что п-дизъюнктный оператор представим в виде суммы п операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Аналогичные вопросы для билинейных операторов оставались неисследованными. В частности, желательно было получить варианты теоремы Мейера и характеризации класса полидизъюнктных билинейных операторов.

Два класса линейных операторов атомические и размазанные составляют дизъюнктные друг к другу полосы. Исследование этих классов операторов восходит к теории меры. Атомические операторы составляют в точности полосу, порожденную решеточными гомоморфизмами и являются абстрактными аналогами атомических мер. Классическая теорема Хаммера-Собчика (см., например, [73]) гласит, что любую меру можно разложить в сумму неатомической меры и счетного числа двузначных мер с некоторыми коэффициентами. Для мер со значениями в пространствах Банаха-Канторовича теорема установлена А. Г. Кусраевым и С. А. Малюгиным [62]. Более простое и естественное доказательство теоремы Хаммера-Собчика и его векторнозначной версии найдено В. Г. Троицким в [83]. А. Г. Кусраев и С. С. Кутателадзе в [18], используя методы нестандартного анализа, установили разложение атомического оператора по специальному базису попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов.

Класс размазанных операторов изучался С. Б. Гюсмансом и Б. де Пахте в работе [55]. В частности, была получена характеризация размазанного оператора и построена проекция на полосу атомических операторов. Другая характеризация размазанных операторов установлена А. Г. Кусраевым и С. С. Кутателадзе в [18]. Здесь также речь идет об абстрактной версии характеризации размазанных мер, скалярный случай которой рассмотрен в [73], а векторный — в [62].

Понятно, что аналогичные результаты важно было бы получить для регулярных билинейных операторов.

Сохраняющие дизъюнктность линейные операторы впервые появились в литературе в 1940;х годах, по объектом систематического изучения они стали только в последние двадцать лет прошлого века. Одной из важных причин нынешнего интереса к этим операторам является тот факт, что регулярные, сохраняющие дизъюнктность, операторы допускают мультипликативное представление в виде оператора подстановки с весом (оператора взвешенного сдвига), и тем самым составляют абстрактный каркас для очень важного класса операторов в анализе.

С помощью теории лифтинга А. и К. Ионеску Тулча получили представление решеточных гомоморфизмов в виде операторов взвешенного сдвига.

Вопросы мультипликативного представления сохраняющих дизъюнктность операторов изучались Ю. А. Абрамовичем [30], и им же совместно с E.JI. Аренсоном и А. К. Китовером [31|. Для операторов, действующих в пространствах вектор-функций теоремы о мультипликативном представлении были установлены А. Г. Кусраевым (см. например [13, 5.5.3, 5.5.4]).

А.Е. Гутманом было установлено представление ограниченного, сохраняющего дизъюнктность оператора в виде сильно дизъюнктной суммы оператора взвешенного сдвига. Под оператором сдвига подразумевается абстрактный аналог оператора замены переменной. Общепринятое понятие взвешенного сдвига не содержит внутреннего веса. Однако именно введение внутреннего веса позволило получить А. Е. Гутману соответствующее представление.

Таким образом возникает естественный вопрос: какой класс билинейных операторов допускает мультипликативное представление.

Диссертационная работа посвящена решению следующей актуальной задачи современного функционального анализа: исследовать порядковые свойства билинейных операторов в векторных решетках, в частности:

1) построить порядковое исчисление регулярных билинейных операторов;

2) изучить структуру сохраняющих дизъюпктность билинейных операторов:

3) получить мультипликативное представление билинейных операторов.

0.3. Краткое содержание работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе исследуется порядковое исчисление регулярных билинейных операторов и приводятся формулы проектирования положительных билинейных операторов на различные полосы.

1. Абрамович Ю. А. Инъективные оболочки нормированных структур // Докл. АН СССР—1971.-Т. 197, № 4.-С. 743−745.

2. Акилов Г. П.,' Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства, — Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.

3. Владимиров Д. А. Булевы алгебры—М.: Наука, 1969.—318 с.

4. Вулих Б. 3.

Введение

в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: ГИФМЛ, 1961.-407 с.

5. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // В кн.: Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.-С. 63−211.

6. Канторович Л. В. К общей теории операций в полуупорядоченных пространствах // Докл. АН СССР.—1936.—Т. 1, № 7.-С. 271−274.

7. Колесников Е. В. Разложение положительного оператора // Сиб. мат. журн.— 1989.—Т. 30, № 5.-С. 77−79.

8. Колесников Е. В. Несколько порядковых проекторов, порожденных идеалами векторной решетки // Сиб. мат. жури—1995.—Т. 36, № 6.—С. 1342 1349.

9. Кусраев А. Г. Об одном свойстве базы Л'-иростраиства регулярных операторов и некоторых его приложениях,—Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1977.—16 с.

10. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы // Линейные операторы согласованные с порядком—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.-С.212−292.

11. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы,—М.: Наука, 2003,—619 с.

12. Кусраев А. Г. О представлении ортосимметрических билинейный операторов в векторных решетках // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, JVQ 4,—С. 30−34.

13. Кусраев А. Г. О строении ортосимметричных билинейных операторов в векторных решетках // Докл. РАН.-2006.-Т. 408, № 1-С. 25−27.

14. Кусраев А. Г., Ортосимметричные билинейные операторы в векторных решетках, / В кн. Исследования по современному анализу и математическому моделированию.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008.—С. 186−225.

15. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С.

Введение

в булевозначный анализ — М.: Наука, 2005.-525 с.

16. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы и пространства Канторовича // В кн.: Нестандартный анализ и векторные решетки /Ред. С. С. Кутателадзе. Новосибирск: Изд-во ИМ СО PAH, 2005.-С. 1−123.

17. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О билинейных операторах, сохраняющих дизъюнктность // Владикавказский математический журнал.—2004,—Т. 6, 1.—С 58−70.

18. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О мультипликативном представлении билинейных операторов // Сиб. мат. журн.—2008.—Т. 49, № 2.-С. 357−366.

19. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О некоторых свойствах ортосимметричных билинейных операторов / В кн. Исследования по математическому анализу. Том 1.— Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008.-С. 104−124.

20. Кусраев А. Г., Шотаев Г. Н. Билинейный мажорируемые операторы / В кн. Исследования, но комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2004—С. 241−262.

21. Кутателадзе С. С. Субдифференциалы выпуклых операторов // Сиб. мат. журн.— 1977.—Т. 18, № 5.-С. 1057−1064.

22. Кутателадзе С. С. Осколки положительных операторов // Сиб. мат. журн.—1989.— Т. 30, № 5.-С. 111−119.

23. Плиев М. А., Табуев С. Н. О проекциях положительного билинейного оператора / В кн. Исследования по математическому анализу. Том 1.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008.—С. 166−176.

24. Раднаев В. А. Метрическая n-неразложимость в упорядоченных решеточно-нормированных пространствах и ее приложения. — НГУ, Новосибирск, Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, 1997.—108 с.

25. Табуев С. Н. О характеризации размазанных операторов в векторных решетках // Владикавказский математический журнал,—2000. —Т. 2, № 4,—С 18−16.

26. Табуев С. Н. Разложение атомического оператора // Владикавказский математический журнал—2003 —Т. 5, 1.-С 53−56.

27. Шотаев Г. Н. Некоторые свойства билинейных регулярных операторов // Влади-кавк. мат. журн.—1999.— Т. 1, № 2—С. 44−47.

28. Abrainovich Yu. A. Multiplicative representation of disjointness preserving operators // Indag. Math. (N.S.).-1983—V. 45, № 3.-P. 265−279.

29. Abrainovich Yu. A., Arenson E.L., Kitover A.K. Banach C (K)-inodules, and operators preserving disjointness.—Harlow: Longman Sci. Tech., 1992,—(Pitman Res. Notes. Math. Ser.-V.277).

30. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. On positive order continuous operators // Indag. Math.—1982.—V.45.-P.1−6.

31. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.—New York: Academic Press, 1985.—xvi-l-367 p.

32. Aliprantis С. D. and Burkinshaw O. Locally Solid Riesz spaces with Applications to Economics. Second edition Mathematical Surveys and Monographs 105 Providence, RI: American Mathematical Society.—2003 —344 p.

33. Azouzi Y., Boulabiar K., Buskes G. The de Schipper formula and squares of Riesz spaces // Indag. Math. (N.S.).-2006.-V. 17, № 4-P. 265−279.

34. Bernau S. J., Huijsmans С. В., de Pagter B. Sums of lattice homomorphisms // Proc. Amer. Math. Soc-1992.-V. 115.-P. 151−156.

35. Boulabiar K., Buskes G., Page R. On some properties of bilinear maps of order bounded variation // Positivity-2005 -V. 9, Ж 3.-P. 401−414.

36. Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: /-algebras and functional calculus. Comm. Algebra, 34 2006, no. 4, 1435−1442.

37. Boulabiar K. and Tuomi M. A. Lattice bimorphisms on /-algebras // Ordered Algebraic Structures (ed. Л. Martinez).-Kluwer, 2002.-P. 179−188.

38. Bu Q., Buskes G., Kusraev A. G. Bilinear maps on product of vector lattices: A survey // Positivity / Eds. K. Boulabiar, G. Buskes, A. Triki.—Basel a.o.: Birkhauser, 2007.—P. 97−126.

39. Boulabiar K., Buskes G. and Triki A. Some recent trends and advances in certain lattice ordered algebras. (English. English summary) Function spaces (Edwardsville, IL, 2002) Contemp. Math.—2003.-328, Amer. Math. Soc., Providence, RI, P. 99−133.

40. Boulabiar K., Buskes G., Triki A. Bilinear maps on product of vector lattices: A survey // Positivity / Eds. K. Boulabiar, G. Buskes, A. Triki.—Basel a.o.: Birkhauser, 2007.—P. 97−126.

41. Buskes G. and Kusraev A. G. Extension and representation of orthoregular maps, Vladikavkaz Math. J.-2007—V.9, Ж1.-Р. 6−29.

42. Buskes G. J. H. M., van Rooij А. С. M. Bounded variation and tensor products of Banach lattices // Positivity—2003 —V. 7, Ж 1−2—P. 47−59.

43. Buskes G. J. H. M., van Rooij А. С. M. Almost /-algebras: commutativity and the Cauchy-Schwarz in equality // Positivity.—2000.—V. 4—P. 233−243.

44. Buskes G. J. H. M., van Rooij A. С. M. Almost /-algebras: structure and Dedekind completion // Positivity.—2000—V. 4.-P. 227−231.

45. Buskes G. J. H. M., van Rooij А. С. M. Squares of Riesz spaces // Rocky Mountain Journal of Mathematics—2004 —V. 31, Ж l.-P. 45−56.

46. Buskes G., van Rooij A. The bornological tensor product of two Riesz spaces. Ordered algebraic structures // Dev. Math—2002—V.7, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, P. 3−9.

47. Buskes G., van Rooij A. The bornological tensor product of two Riesz spaces: proof and background material. Ordered algebraic structures // Dev. Math.—2002—V.7, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, P. 189−203.

48. Cristescu, R., Ordered vector spaces and linear operators, Editure Academiei, Bucure§ ti, Romania-Abacus Press, Tunbridge Wells, England 1976.

49. Fremlin D. H. Tensor product of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math.—1972.-V. 94.—P. 777−798.

50. Fremlin D. H. Tensor products of Banach lattices // Math. Ann.—1974.—V. 211,—P. 87 106.53. van Gaans O. W. The Riesz part of a positive bilinear from // In: Circumspice — Nijmegen: Katholieke Universiteit Nijmegen, 2001.—P. 19−30.

51. Gutman A. E. Disjointness preserving operators // In: Vector Lattices and Integral Operators (Ed. S. S. Kutateladze).—Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers, 1996.—P. 361−454.

52. Huijsmans С. B. and Pagter B. de. Disjointness preserving and diffuse operators // Compositio Mathematics—1991 — V. 79.-P. 351−374.

53. Kusraev A. G. Dominated Operators.—Dordrecht etc.: Kluwer, 2000.—446 p.

54. Kusraev A. G. When are all separately band preserving bilinear operators symmetic? // Vladikavkaz Math. J.-2007.-V.9, Ж2- P.22−25.

55. Kusraev A. G. Holder type inequalities for orthosymmetric bilinear maps. // Vladikavkaz Math. J.—2007—V.9, №.3, — P.36−46.

56. Kusraev A. G. Orthosymmetric bilinear operators.—Vladikavkaz: VSC RAS, 2007.—34 p.—(Prep. / IAMI VSC RAS- № 1.).

57. Kusraev A. G. On some properties of orthosymmetric bilinear operators. // Vladikavkaz Math. J.—2008.-V.10, ЖЗ — P.29−33.

58. Kusraev A. G., Kutateladze S. S. On the calculus of order bounded operators.— Новосибирск: Наука, 2003.—14 е.—(Препринт / РАН, Сиб. отд-пие. Ин-т мат-ки- № 123).

59. Kusraev A. G., Malugin S. A. On atomic decomposition of vector measures // Siberian Mathematical Journal V. 30(5).—1989.—P. 101−110.

60. Luxemburg W. A. J. Notes on Banach function spaces. // Indag.Math.—1965.—V.27— Note XIV, P.229−248-Note XV, P.415−446-Note XVI, P.646−667.

61. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Riesz spaces. Vol. I.—Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., 1971; 514 p.

62. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Notes on Banach function spaces. Note IV // Indag.Math.—1971.—V.25—P.251−263.

63. Meyer M. Le stabilisateur d’un espace vectoriel reticule // C.r. Acad. sci. A.—1976. V.283.—P.249−250.

64. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices, Springer, 1991.

65. Nakano H. Product spaces of semi-ordered linear spaces // J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. Ser. I., 12, 1953, P.163−210.

66. Page R. On bilinear maps of order bounded variation // Thesis, University of Mississippi, 2005.

67. Rao B.K.P.S., Rao B.M. Theory of charges, a study of finitely additive measures-Academic Press: London, 1983.—x+315 pp.

68. Riesz F. Sur la decomposition des operations fonctionnelless // Atti Congresso Intern. Bologna, 1928.-1930;V.3.-P. 143−148.

69. Schaefer H.H. Banach lattices and positive operators.—Berlin etc.: Springer, 1974 — xi+376 p.

70. Schaefer H.H., Positive bilinear forms and the Radon—Nikodym theorem. Funct. Anal.: Survey and R, ecent Results. 3: Proc 3rd Conf. Paderborn, 24−29 May, 1983. Amsterdam e.a., 1984, 135−143.

71. Scheffold E. Uber Bimorphismen und das Arens-Product bei kommutativen D-Banacli-verbandsalgebren // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.—1994.—V. 39, № 3.-P. 183−205.

72. Scheffold E. Uber die Arens-Triadjungierte von Bimorphismen // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.—1996.—V. 41, № 9−10.-P. 697−701.

73. Scheffold E. Uber symmetrische Operatoren auf Banachverbanden und Arens-Regularitat // Czechoslovak Math J—1998.-V. 48(123), № 4.-P. 747−753.

74. Schep A.R. Order continuous components of operators and measures // Indag. Math.— 1978.—V. 40.—P. 110−117.

75. Schwarz H.-V. Banach lattices and operators.—Leipzig: Teubner, 1984.—208 p.

76. Toumi M. A., Toumi N. Laterally closed lattice homoinorphisms // J. Math. Anal. Appl.—2006—V. 324.-P. 1178−1194.

77. Troitsky V. G. Infinitely fine partitions of measure spaces // Vladikavkaz Math., J.— 1999.-V.1, №.3. P.53−59.

78. Wittstock G. Ordered normed tensor products, Foundations of quantum mechanics and ordered linear spaces // (Advanced Study Inst., Marburg, 1973), Lecture Notes in Phys., Vol. 29, Springer, Berlin, pp. 67−84, 1974.

79. Wittstock G. Eine Bemerkung uber Tensorprodukte von Banachverbanden, // Arch. Math. (Basel), 25 pp. 627−634, 1974.

80. Zaanen A. C. Riesz spaces. V. 2.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1983.—720 p.