Диофантовые уравнения

Второе из произведений 4АГ-ГВ, сложенное с ДВ2, дает В А2. Теперь остается узнать, каким образом АВ2 вместе с 4АВ*ВГ и 4ВГ2 даст в сумме квадрат. Если мы положим АЕ, равным ВГ, то 4АВ*ВГ преобразуется в 4ВА*АЕ, которое, будучи сложено с 4ГВ2 [или с 4АЕ2], сделается равным 4ВЕ*ЕА (ВА*АЕ + АЕ2 = АЕ*(АЕ + АВ) = ВЕ*ЕА.), а оно, сложенное с АВ2, сделается равным квадрату на [сумме] BE и ЕА, как одной прямой (4ВЕ-ЕА + АВ2 = (BE + ЕА)2.). Но [сумма] BE и ЕА равна [сумме] АВ и 2АЕ, т. е. 2ВГ. Что и требовалось доказать. Если дано любое количество чисел с одинаковыми разностями, то (разность) между наибольшим и наименьшим равняется разности [чисел], умноженной на уменьшенное на единицу количество заданных чисел. Пусть даны любые числа АВ, ВГ, ВД, BE с одинаковыми разностями; нужно показать, что разность между.

АВ и BE равна разности между АВ и ВГ, умноженной на [количество] АВ, ВГ, ВД, BE, уменьшенное на единицу. Действительно, поскольку предполагается, что АВ, ВГ, ВД, BE имеют между собой одинаковые разности, то, значит, АГ, ГД, ДЕ будут между собой равными. Следовательно, ЕА равняется АГ, умноженному на количество АГ, ГД, ДЕ; количество же АГ, ГД, ДЕ будет на единицу меньше количества АВ, ВГ, ВД, BE; таким образом, ЕА кратно АГ в число раз, на единицу меньшее количества АВ, ВГ, В Д, BE. И АЕ представляет разность между наибольшим и наименьшим числами, а АГ есть их одна общая разность. Простым же языком говоря, то существуют треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д.Треугольные числа.

Последовательность треугольных чисел:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, в, Свойства:

Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное. Квадратные числа.

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, n².Пятиугольные числа1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …,, Общий случай.

Последовательность k-угольных чисел:

1, k, ., .Общее решение линейных диофантовых уравнений.

Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах. Однородные уравнения.

Прежде всего, мы рассмотрим однородные линейные уравнения, т. е. уравнения вида ах + by = 0. Справедлива следующая теорема, которая дает полное решение диофантовых уравнений вида ах + by = 0. Теорема 1. Если ax=by (a, b, x, y∈Z) и НОД (a, b)=1, то x, y можно представить в виде x=bt, y=at, где t — некоторое целое число.Доказательство. Рассмотрим два случая:

1) b0. По условию (ax)b, НОД (a, b)=1; следовательно, xb, т. е. x=bt, где t∈Z. Тогда y= = =at.2) b=0. Тогда a0, и исходное уравнение принимает вид ax=0, откуда x=0. Поскольку НОД (a, b)=1, то a=±1. Тогда, полагая t=, имеем: y=аt, x=0=0· t=bt (число t является целым, поскольку a=±1).Замечание. Если НОД (а, b)=d, то обе части уравнения ах + by = 0 можно поделить на d. Поэтому, не нарушая общности, можно считать, что числа, а и b — взаимно простые. Пример 1. Решить в целых числах уравнение 80х + 126y = 0.Решение. Перейдем от данного уравнения к равносильному: 40х= - 63у. Поскольку НОД (40, 63)=1, то по теореме 1все целочисленные решения этого уравнения имеет вид х= - 63t, у=40t, где tZ. Ответ:

х= - 63t, у=40t, где tZ.

3.2 Общие линейные уравнения.

Простейшим диофантовым уравнением является уравнение ах + by= с, где a, b, с Z и хотя бы один из коэффициентов a и b не равен нулю. Как по коэффициентам диофантова уравнения определить, имеет ли оно целочисленные решения? И если имеет, то, как найти все эти решения? Ответы на эти вопросы дают приведенные ниже теоремы. Теорема 2. Уравнение ах + by= с (*), где a, b, с Z и хотя бы один из коэффициентов a и b не равен нулю, имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда cНОД (a, b).Доказательство. Пусть данное уравнение имеет решения в целых числах, и пусть (x0, y0) — произвольное целочисленное решение этого уравнения. Тогда ax0+by0=c. По определению aНОД (a, b) и bНОД (a, b); тогда и (ax0)НОД (a, b), (by0)НОД (a, b). Следовательно, и c=(ax0+by0)НОД (a, b), что и требовалось доказать. Пример 2. Имеют ли данные уравнения решения в целых числах:

а) 6х — 16у=220; б) 105х+42у=56?Решение. а) НОД (6,16)=2 и 2202, поэтому данное уравнение имеет целочисленные решения.

б) НОД (105,42)=21, 56 не делится на 21, значит, целочисленных решений нет. Ответ: а) да; б) нет. Теорема 3. Если НОД (a, b)=1 и (x0, y0) − некоторое целочисленное решение уравнения (*), то все решения этого уравнения в целых числах имеют вид x=x0−bt, y=y0+at, где t∈Z.Замечание. Необходимо доказать два утверждения:

1) если (x1, y1) − некоторое целочисленное решение уравнения (*), то x1, y1 представляются в виде x1=x0−bt, y1=y0+at, где t∈Z;2) для любого t∈Z пара (x0−bt, y0+at) является решением уравнения (*).Доказательство. 1) Поскольку пары (x0, y0) и (x1, y1) являются решениями уравнения ax+by=c, то ax0+by0=c и ax1+by1=c, откуда ax0+by0=ax1+by1, или a (x0 -x1)=b (y1-y0). По условию НОД (a, b)=1, тогда x0-x1=bt, y1-y0=at, где t — некоторое целое число; значит, x1=x0−bt, y1=y0+at.2) Подставив пару (x0−bt, y0+at) в уравнение (*), получим: a (x0−bt)+b (y0+at)= =ax0−abt+by0+abt=ax0+by0=c. Следовательно, эта пара является решением уравнения (*). Теорема доказана [3]. Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax+by=c, где а, b, с Z.

1. Вычислить НОД (а, b); если НОД (а, b)=d1и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет. НОД (а, b) может быть найден с помощью алгоритма Евклида.

2. Если НОД (а, b)=d1 и с делится на d, то разделить обе части уравнения ax+by=c на d, получив уравнение, в котором коэффициенты будут взаимно просты.

3. Найти (х0, у0) — частное решение, например, методом перебора.

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения х=х0c+bt, y=y0с — аt, где х0, у0 — целое решение уравнения ах+bу=1, tZ. Примеры задач.

Задача 1На складе имеются гвозди в ящиках по 16, 17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей, не вскрывая ящика? Решение. Пусть 1 ящик по 40 кг. Комбинируем другие ящики. Пусть 1 ящик по 17 кг, тогда останется 43. Взять по 16 кг невозможно. Пусть 2 ящика по 17 кг, тогда останется 26 кг. Целых ящиков по 16 кг не получится. Пусть 3 ящика по 17 кг, тогда останется 9 кг, которые придется выдавать, вскрыв какой-нибудь ящик. Значит, ящики по 40 кг нам не нужны. Значит, получается уравнение:

16 х + 17 у = 100. Перебирая варианты с 16 кг и 17 кг ящиками, получим единственное решение: 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг. Задача 2 (одна из задач Диофанта) Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96. Решение Диофант рассуждает следующим образом: Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как произведение было бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, то есть 10 + х, другое же меньше, то есть 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение (10 + х)(10 — х) = 96 или Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8.

Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа. Задача 3У мальчика было 50 р., на которые он хотел купить почтовые марки. В киоске имелись марки по 4 р. и по 3 р., но у киоскера совсем не было сдачи. Помогите мальчику и киоскеру выйти из создавшегося затруднения.Решение.

Пусть марок по 4 р. х штук, по 3 р. — у штук. Всего имеется 50 р., отсюда уравнение: 4 х + 3 у = 50у = (50 — 4 х): 3у = (48 — 3 х): 3 + (2 — х): 3у = 16 — х + (2 — х): 3Эта задача имеет не одно, а несколько решений.

х2 5 8 11 у14 10 6 2 Задача 4Найти двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.Решение.

Пусть, а — количество десятков, b — количество единиц. Тогда a = (10a + b) — (10b + a) Откуда получим: b=8/9a.Выбирая a=9, получаем число 98.

Заключение

.

Диофант (вероятно, III в.)-древнегреческий математик из Александрии. О его жизни нет почти никаких сведений. Сохранилась часть математического трактата Диофанта «Арифметика» (6 кн. из 13) и отрывки книги о многоугольных (фигурных) числах. В «Арифметике», помимо изложения начал алгебры, приведено много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и указаны методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах;

Мы доказали что При взаимно простых коэффициентахдиофантово уравнениеимеет решение в целых числах. Нашли алгоритм, позволяющий отыскать число решений ЛДУ. Рассмотрели и вывели, что же такое «многоугольные числа»:Треугольными числами в арифметике называются суммы последовательных чисел натурального ряда, начиная с единицы. Это будут а1 = 1, а2 = 1 + 2 = 3, а3 = = 1 + 2 + 3 — 6,…,.В ходе выполнения работы был получен ответ на вопрос о разрешимости неопределенных (диофантовых) уравнений первой степени в целых числах. Решены текстовые задачи, описывающие различные практические ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения. Нами достигнуты поставленные цели, научились находить решения неопределенного уравнения, рассмотрели «многоугольные числа» Диофанта.

Список использованных источников

1. Аксёнова, М. Д. Энциклопедия для детей Т. 11 (Математика) / М. Д. Аксёнова — М.: «Аванта +», 1998. — 688 с.

2. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики 10 — 11 класс. / Н. Я. Виленкин — М.: Просвещение, 1996. — 319 с.

3. Деревянкин, А. В. Числа и многочлены: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ / А. В. Деревянкин. — М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008. — 72 с.: ил.

4. Матисеевич, Ю. В. Десятая проблема Гильберта / Ю. В. Матисеевич. — М.: «Физмат лит», 1973. — 224 с. 5 Никольская, И. Л. Факультативный курс по математике: учеб. пособие 7−9 кл. сред. шк. /.

И.Л. Никольская. М.: Просвещение, 1991. — 383 с.: ил.

6. Стройк, Д. Я. Краткий очерк истории математики / Д. Я. Стройк. — М.: «Наука», 1990 г. — 256 с. Приложение 1Алгоритм Евклида.

Чтобы найти наибольший общий делитель двух данных натуральных чисел можно действовать по определению: выписать все делители этих чисел, выделить среди них общие и выбрать среди всех общих делителей наибольший. Но этот способ можно порекомендовать лишь для совсем небольших чисел, поскольку он весьма трудоёмок. А если надо найти НОД (41 450, 3 687 135)? В таких случаях гораздо более эффективным оказывается алгоритм Евклида. Действие алгоритма Евклида основано на приведённых ниже лемме и теореме.Лемма. Для любых двух целых чисел a и b, хотя бы одно из которых не равно нулю, верно равенство НОД (a, b)=НОД (a−b, b).Доказательство. Покажем, что множество M общих делителей чисел a и b совпадает с множеством N общих делителей чисел a−b и b. Пусть m — произвольный общий делитель чисел a и b.

Тогда (a−b)m, т. е. m является общим делителем чисел a−b и b. Обратно, пусть n — произвольный общий делитель чисел a−b и b. Тогда a=((a−b)+b)n, т. е. n является общим делителем чисел a и b. Таким образом, множество M общих делителей чисел a и b совпадает с множеством N общих делителей чисел a−b и b; следовательно, и наибольшие элементы этих двух множеств (т.е. НОД (a, b) и НОД (a−b, b)) совпадают, что и требовалось доказать. Докажем теорему, которая является обобщением леммы.Теорема. Пусть a=qb+r, где a, b, q, r∈Z, причём хотя бы одно из чисел a, b не равно нулю.

Тогда НОД (a, b)=НОД (b, r).Доказательство. В соответствии с леммой выполним следующие переходы: НОД (a, b)=НОД (a−b, b)=НОД ((a−b)−b, b)=НОД (a−2b, b)=…=НОД (a−qb, b)= НОД (r, b)=НОД (b, r), что и требовалось доказать [см.: 3, с. 15−16]. Пример. Найдите НОД (1014, 273).Решение.

Выполним ряд делений с остатком: 1014=273· 3+195; 273=195· 1 + +78; 195=78· 2+39; 78=39· 2. По алгоритму Евклида НОД (1014, 273)= =НОД (273, 195)=НОД (195, 78)= =НОД (78, 39)=39.Ответ: 39.