Моделирование приливной динамики в согласованных криволинейных координатах

Метод согласованных криволинейных координат. Одним из современных направлений в вычислительной гидродинамике, имеющим широкую сферу приложений, является численное решение краевых задач в произвольных областях с криволинейной границей при использовании такой системы координат, когда координатные линии (в трехмерном случае — поверхности) совпадают с сегментами границы. Целесообразность перехода к криволинейным координатам, согласованным с конфигурацией области (согласованным криволинейным координатам) определяется тем, насколько неприемлема погрешность аппроксимации области при ее обычном кусочно-линейном представлении.

Для двумерной области О с границей dU переход к согласованным криволинейным координатам задает отображение области на параметрический прямоугольник О,* (в трехмерном случае — на параллелепипед). Уравнения в криволинейных координатах численно интегрируются в Q* с граничными условиями на контуре прямоугольника (гранях параллелепипеда) <90*. Тип краевой задачи при этом не меняется и некоторое усложнение уравнений, коэффициенты которых включают элементы метрики, оказывается, вообще говоря, несопоставимым с упрощениями, вытекающими из канонизации области. В этом заключается привлекательность использования согласованных криволинейных координат, и такой подход оказался весьма эффективным для решения краевых задач в областях сложной конфигурации (Годунов и др., 1976; Thompson et al., 1985).

При обычной кусочно-линейной аппроксимации границы области отрезками, параллельными осям координат, наиболее существенна погрешность, возникающая в силу искажения краевого условия на твердом, непроницаемом, контуре, поскольку условие равенства нулю нормальной к границе скорости заменяется на нулевую компоненту скорости, нормальную к одному из координатных направлений. В случае достаточно высокой изменчивости граничного контура частое изменение направления отрезков границы и связанное с этим альтернирование формы граничного условия ведет к погрешностям решения в приграничной зоне, наиболее важной для приложений (Weare, 1979; Pedersen, 1986). Другой источник погрешности при таком способе аппроксимации границы непосредственно связан с искажением граничной метрики и неустраним при дроблении сетки (Goto and Shuto, 1981). К наиболее существенным преимуществам использования согласованных криволинейных координат следует отнести также возможность использования неравномерной криволинейной сетки, сгущающейся там, где это целесообразно по смыслу задачи.

Реализация метода согласованных криволинейных координат состоит, таким образом, из двух процедур: построения криволинейной сетки, адаптированной к области, а также, возможно, к характеру решения и численному решению уравнений на такой сетке. Океанологические краевые задачи яляются естественной сферой приложения этого подхода в силу произвольной, подчас весьма сложной, конфигурации моделируемых акваторий.

Обзор. Построение системы координат, в которой некоторые координатные линии (поверхности) совпадают с каждым сегментом границы можно осуществить многими различными способами. Наиболее распространены методы генерирования криволинейных сеток путем численного решения системы квазилинейных эллиптических уравнений, для которых на границе области задаются декартовы координаты точек. Использование эллиптических уравнений обеспечивает равномерное распределение узлов сеткипри определенных ограничениях на правые части, контролирующие распределение узлов, эти уравнения гарантируют однозначное отображение криволинейной сетки Од, построенной в физической области О на равномерную прямоугольную сетку Од. Рассмотрение методов построения криволинейных сеток путем решения эллиптической граничной задачи, наряду с другими методами и обсуждение связанной с этим проблематики представлено в обзорной статье Томпсона (Thompson, 1984).

Первой океанологической работой, в которой с необходимой подробностью рассмотрено построение криволинейной сетки в заданной области и преобразование нелинейных уравнений мелкой воды к криволинейным координатам, связанным с границей области, явилась, повидимому, статья Джонсона в обширном сборнике разнообразных приложений метода (Johnson, 1982). Последующие работы в двумерной постановке имели характер освоения и проверки метода при использовании аналитических решений линейных уравнений в канонической области (кольцо, круг), численно отображаемой на прямоугольник (Haeuser et al., 1985; Raghunath et al., 1987). Вместе с тем метод начинает находить расширяющееся применение для изучения и моделирования приливов, морских наводнений и других процессов в реальных условиях (Spaulding, 1984; Willemse et al., 1986; Borthwick, Barber, 1992). В этих работах переход к криволинейным координатам, согласованным с границей области, выполняется так, что в интегрируемых уравнениях вектор скорости сохраняет свое первоначальное, декартово, представление. Численная реализация использует неявную или полунеявную схему второго порядка точности с расщеплением по координатным направлениям. Структура таких методов при аналогичном представлении уравнений уже ранее получила широкое применение в вычислительной аэродинамике (Beam, Warming, 1976; Pulliam, 1985). Другая формулировка краевой задачи в согласованных криволинейных координатах предложена Демировым (1980), выполнившим моделирование приливов и штормовых нагонов в Черном море при записи уравнений в ковариантной форме и их численной реализации, использующей расщепление и итерационный процесс. Характерной чертой еще одного направления в океанологическом моделировании является постановка краевых задач в форме контравариантных потоков (Сеин, 1992; Klevanny et al., 1994; Андросов и др. 1995, 1996; Романенков, 1996). Способы построения криволинейных сеток, алгоритмы решения уравнений в таком представлении и разнообразные приложения метода для моделирования океанологических процессов в прибрежной зоне рассмотрены в монографии Вольцингера и др., 1989.

Ко второй половине восьмидесятых годов, по мере утверждения и распространения двумерных моделей расчета длинноволновых процессов в согласованных координатах, относится появление работ по решению этих и близких задач в трехмерной постановке. Общей чертой предложенных алгоритмов численной реализации трехмерных задач является использование такой замены переменных, когда горизонтальные независимые переменные преобразуются в соответствии с конфигурацией боковой поверхности заданной области, следуя методологии двумерного моделирования, а в качестве вертикальной принимается <7-координата, спрямляющая дно и свободную поверхность (Вольцингер, Клеванный, 1987; Sheng, 1988; Swanson et al., 1989; Mendelsohn, Swanson, 1992). Такое же разделенное преобразование используется в негидростатической мезомасштабной модели океана, разработанной Олигером (Mahadevan et al., 1996). Выделим также работу Сонга и Хаидвогеля (Song, Haidvogel, 1994), в которой для расчета прибрежного Калифорнийского течения и суточного температурного цикла в верхнем слое океана используется согласованная с береговой линией ортогональная сетка и предложено обобщение cr-координаты, дающее наилучшее, в некотором смысле, разрешение в поверхностном слое, независимо от больших перепадов глубиныконструкция полунеявного метода состоит из аппроксимации Кранка-Николсона для производных по вертикали и явной аппроксимации горизонтальной адвекции по схеме Адамса-Бэшфорта третьего порядка точности.

Приведенный обзор не полон, однако список работ достаточно представителен и вряд ли может быть существенно расширен. Перечень невелик, и это кажется удивительным, учитывая возможности обсуждаемого подхода, о которых говорилось выше. Можно предположить — и это действительно так — что в ряде случаев использование метода согласованных криволинейных координат сталкивается с трудностями, мешающими широкому его распространению. Очевидный характер этих трудностей связан с тем, что только на равномерной сетке поведение ошибки аппроксимации определяется величиной шага сетки. На типичной неравномерной сетке возникает иная ситуация: при ее сгущении ошибка аппроксимации уменьшается только, если поддерживается распределение узлов, существовавшее на более грубой сетке. Случайное распределение дополнительных узлов может и не сохранять точность схемы (Hoffman, 1982). Дело в том, что неравномерная сетка вводит дополнительную диффузию с коэффициентом, зависящим от метрики. В случае отрицательного коэффициента численная вязкость ведет к локальному росту возмущений. Сравнение нескольких схем в согласованных координатах, выполненное в работе Shyy et al., 1985, показало, что структура сетки оказывается столь же существенной как и выбор самой схемы. В самой общей форме можно сказать, что противоречия между основными требованиями к любому численному методу при переходе к согласованным координатам выступают особенно обостренно и дополняются трудностями применения универсального метода к особенностям конкретной задачи. Метод согласованных криволинейных координат разрабатывался для решения широкого круга многомерных нелинейных краевых задач в произвольной, возможно неодносвязной, области как с фиксированной, так и подвижной границей. Сложность этих задач возрастает при описании природных процессов. Понятно, что при отказе от упрощающих идеализаций успешное решение таких задач целиком связано с технологическим уровнем используемого подхода. В этом отношении мы находимся в начале пути. Свидетельством продвижения могли бы служить самые общие результаты, относящиеся прежде всего к сравнительной оценке основных форм представления преобразованных уравнений и методов их численной реализации, обеспечивающих необходимую точность сохранения инвариантов дифференциальной задачи.

Это — работа будущего. Для ее выполнения требуется развитие элементов метода и оценка его применения для решения усложненных задач. Представляемая диссертация является шагом в таком направлении.

Цель работы.

1. Разработка эффективной и надежной модификации метода согласованных криволинейных координат для повышения устойчивости схемы и обеспечения приемлемой точности расчета приливной динамики и ее энергетического бюджета в сложной области.

2. Постановка и численная реализация нелинейной краевой задачи для уравнений мелкой воды в форме контравариантных потоков при корректной постановке граничных условий на участках открытого контура.

3. Разработка метода решения трехмерной нелинейной краевой задачи в области с резким изменением морфометрии.

4. Расчет двумерной и трехмерной приливной динамики Мессинс-кого пролива (Средиземное море).

5. Расчет приливной динамики Баренцева моря, Восточно — Сибирского шельфа и примыкающей глубоководной зоны.

Содержание работы. Работа состоит из Введения, пяти глав и Заключения.

Во Введении дается характеристика метода согласованных криволинейных координат, обосновывается актуальность работы, формулируются ее цели и резюмируется содержание глав.

В первой главе рассматривается постановка двумерной краевой задачи для расчета динамики и энергетики приливов в криволинейных согласованных координатах. Основное внимание уделяется корректной постановке условий на открытой границе. Обсуждается алгоритм численной реализации краевой задачи для уравнений в форме контравариантных потоков. Приводится уравнение баланса приливной энергии и его разностный аналог.

Во второй главе представленная модель применяется для расчета приливной динамики Мессинского пролива. Точность расчета проверяется сопоставлением результатов на детализированной криволинейной сетке, сравнением с данными наблюдений и контролем за выполнением баланса приливной энергии. Определяется сравнительная точность решения краевой задачи в корректной и редуцированной постановках. Анализируются основные факторы, определяющие интенсивную динамику пролива. Приводятся результаты расчета приливных карт, течений, индуцированных полусуточной гармоникой М2 и совокупностью гармоник, полей завихренности и остаточной циркуляции.

В третьей главе представлена приливная модель ВосточноСибирского шельфа. Расчеты выполнены на криволинейной сетке со значительной вариацией степени сеточного разрешения. Сходимость решения проверяется интегрированием уравнений на детализированной сетке. Построенная приливная карта волны Мг выявляет цепочку прибрежных амфидромий, интерпретируемых как результат взаимодействия встречных волн Пуанкаре. Представлен анализ энергетики шельфа и отдельных его зон.

В четвертой главе рассматривается трехмерная краевая задача в криволинейных горизонтальных координатах, согласованных с конфигурацией акватории и сг-координатой по вертикали. Турбулентное замыкание использует Ь — I схему. Приводится численный алгоритм разработанный для решения трехмерной краевой задачи в области с резким изменением метрики и батиметрии.

В пятой глав е предложенная трехмерная модель применяется для расчета баротропной и бароклинной приливной динамики Мессинс-кого пролива и баротропной динамики Баренцева моря. Приводятся результаты расчета и анализа вертикальной структуры приливной волны М-2 в Баренцевом море и Мессинском проливе.

Выводы.

1. Для решения двумерных краевых задач приливной динамики повышенной трудности разработана и апробирована модификация метода согласованных криволинейных координат. Предложенная модификация использует смешанную ковариантно-контравариантную форму представления уравнений. При использовании расщепления для численной реализации такая форма повышает устойчивость метода и позволяет выполнить расчеты приливнои динамики с выраженной нелинейностью в областях сложной конфигурации.