Построение и анализ систем массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока

Актуальность проблемы. Развитие вычислительной техники и средств передачи информации привело к возникновению сетей ЭВМ, сетей передачи информации. В настоящее время активно проводятся исследования по проектированию и анализу функционирования таких сетей [11, 13, 32, 33, 34, 82]. Аналитическими моделями сети в целом и отдельных её элементов являются, соответственно, сети и системы массового обслуживания (СМО) [64, 68, 75]. При рассмотрении СМО задается ее структура, т. е. входной поток, обслуживание, комплекс обслуживающих приборов, емкость накопителя, и дисциплина обслуживания. Входной поток описывается совместной функцией распределения интервалов времени между соседними появлениями заявок, / > 1, а для ординарных рекуррентных потоков, когда интервалы ггнезависимы и одинаково распределены, — функцией распределения А (т) = Р{т1 < Т, 1}. Таким образом, чтобы указать о какой именно СМО идет речь, надо задать функцию распределения интервалов между соседними появлениями заявок, функцию распределения длительности обслуживания, количество обслуживающих приборов и емкость накопителя. В теории массового обслуживания приняты следующие обозначения для классификации СМО:

А/В/т/М, где А, В обозначают типы функций распределения для входного потока и обслуживания, т — количество обслуживающих приборов, N — емкость накопителя. А, В принимают значения из набора {М, (7, Н% и др.], где Мэкспоненциальное распределение, G — распределение общего вида, Нк — гиперпоказательное распределение порядка Я.

Большинство авторов изучает системы массового обслуживания в предположении, что параметры СМО не изменяются со временем [31, 36, 48,.

57, 62, 64, 68, 69, 89, 92]. Однако для реальных моделей (элементы сетей ЭВМ, вычислительных комплексов, сетей связи) это предположение не всегда выполняется. Параметры потоков сообщений в таких системах претерпевают с течением времени случайные или детерминированные изменения по следующим причинам:

— нестационарность входных потоков сети [16, 20, 33, 50, 59, 73, 108];

— изменение маршрутов сообщений, в силу чего на элементе сети возникают и исчезают потоки сообщений;

— выход из строя отдельных элементов сети и блокировка их, что приводит к исчезновению потоков сообщений на последующих элементах сети.

Кроме того, функционирование узлов локальных вычислительных сетей [32, 45], а также узлов глобальных вычислительных сетей типа ИНТЕРНЕТ (провайдерские узлы связи, шеЬ-серверы, передающие станции и т. д.) описывается СМО с параметрами, изменяющимися в случайные моменты времени [110].

При рассмотрении таких систем возникает задача расчета характеристик узлов сети, например, среднего количества сообщений, находящихся в системе, распределения числа сообщений на узле сети.

Указанные узлы сетей предлагается моделировать системой массового обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским входным потоком, экспоненциальным обслуживанием, т обслуживающими приборами, конечной емкостью накопителя .

Входной поток сообщений в реальных сетях, как правило, является пуассоновским, в связи с тем, что поступление заявок обладает свойствами ординарности и отсутствия последействий, т. е. сообщения поступают на обслуживание по одному и количество сообщений, поступивших на одном интервале времени, не зависит от количества заявок, поступивших за другой временной интервал.

Диффузионный характер пуассоновского потока возникает в связи с тем, что сообщения на обслуживание поступают по множеству линий. По каждой линии связи проходит пуассоновский поток со своей интенсивностью, причем суммарный поток, в силу известных теорем теории массового обслуживания, будет являться пуассоновским, а интенсивность — суммой ин-тенсивностей потоков линий связи. Вследствие того, что канал или несколько каналов могут в случайные моменты времени отключаться из работы, интенсивность входного потока будет претерпевать изменения и обладать свойствами диффузионного процесса при достаточно большом количестве пользователей.

В реальных узлах сети обслуживание происходит по экспоненциальному закону, в связи с тем, что сообщения обрабатываются с постоянной скоростью, а длина сообщений является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону из-за того, что сумма длительностей обслуживания на одном временном интервале не зависит от суммы длительностей обслуживания на других интервалах.

Естественными являются предположения о конечной емкости накопителя и конечного числа обслуживающих приборов.

Анализ СМО с изменяющимися во времени параметрами является сложной математической задачей. Однако достаточно универсальных методов (как приближённых, так и численных), применяемых к расчёту характеристик СМО, пока не существует, поэтому есть необходимость в разработке таких методов хотя бы для определённых классов систем. В последнее время большое внимание уделяется изучению дважды стохастических (ДС) потоков. В работах [60, 61, 67] исследуются ДС потоки, интенсивность которых является процессом с независимыми приращениями или гауссовским процессом. Данная работа посвящена исследованиям СМО, на вход которых поступает дважды стохастический поток заявок с диффузионной интенсивностью с нулевым или ненулевым коэффициентом сноса.

Целью работы является построение и исследование систем массового обслуживания с экспоненциальным обслуживанием, одним обслуживающим прибором, конечной емкостью накопителя, с дважды стохастическим пуас-соновским входным потоком заявок с диффузионной интенсивностью, принимающей значения из конечного интервала с упругим экраном.

Для этого необходимо решить следующие задачи:

1. Построить модели указанных СМО, описываемые уравнениями относительно характеристик числа заявок в системах типа М/М/Х/Ыо, 0 < < 00, с конечным накопителем, М/М/1 с бесконечным накопителем с диффузионной интенсивностью входного потока.

2. Аналитически и численно изучить стационарные характеристики числа заявок в системе М / М1X1О с отказами с диффузионной интенсивностью входного потока.

3. Разработать матричный метод анализа СМО типа М / М/X/Ы0 с конечным накопителем с диффузионной интенсивностью входного потока.

Состояние проблемы. В настоящее время достаточно хорошо изучены СМО с пуассоновским простейшим входным потоком заявок, экспоненциальным обслуживанием с постоянными параметрами в стационарном режиме [47, 50, 57, 69, 89]. Основная сложность анализа СМО в нестационарном режиме, в особенности, если параметры СМО являются зависящими от времени детерминированными функциями, заключается в решении, как правило, большой или бесконечной системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Изучение СМО с зависящими от времени детерминированными интен-сивностями входящих потоков и обслуживающих приборов началось в середине 50-х годов работой Кларка [72]. В этой работе нестационарное распределение вероятностей состояния в СМО M (t)/M (t)/1/ со было выражено в явном виде через неизвестную функцию, которая находится численным решением интегрального уравнения. Впоследствии такая задача для этой же СМО была решена несколько другим методом Гешевым [14]. В дальнейшем появилось множество работ, посвященных анализу и расчёту нестационарных характеристик СМО с постоянными интенсивностями входного потока и обслуживания, в частности, исследовались СМО M / M /1 [21, 57, 92, 109, 108], M/M/1/N0 [33, 43, 50]. Далее анализ СМО с детерминированно изменяющимися параметрами шел в основном по двум направлениям: теоретическое исследование случайных процессов в СМО и разработка численных методов расчёта характеристик СМО. Довольно хорошо как с теоретической, так и с практической точки зрения исследованы СМО с пуассоновским входящим потоком, интенсивность которого есть периодическая функция времени [58, 93, 99, 100, 103]. Приближенные методы анализа СМО с детерминированно изменяющимися во времени параметрами, использующие зачастую эвристические предположения, рассматривались в работах [39, 40, 44]. Так, например, в работе [25] временной интервал изменения параметров СМО M (t) / M (i) /1 разбивался на подынтервалы с различной загрузкой и в каждом подынтервале проводился анализ характеристик СМО в предположении, что параметры в этом подынтервале изменяются медленно. В работе [59] автор приводит приближенное выражение для средней длины очереди в системе M{t) / M /1. В теоретическом плане исследованы системы M (t)l G (t)/ [85]. Численные методы анализа СМО разработаны для систем Mit)/Mit)/1, Mit)/MH/N [91], Mit)/Mit)/s!N [95].

Многими авторами исследовались СМО с параметрами, изменяющимися во времени случайным образом. Для таких СМО в литературе принято название «СМО, функционирующие в случайной среде» [44, 53, 86, 110]. Как правило, рассматривались СМО, параметры которых постоянны в течение некоторого случайного времени, а затем мгновенно изменяются [58, 99, 101]. Набор значений параметров конечен, а процесс их переключения есть либо марковский [37, 43, 62], либо полумарковский [3, 9, 10, 36, 95, 98]. В работах [99, 101] исследовались СМО в предположении, что интенсивность потока и обслуживания могут принимать два значения, выбор которых осуществляется вероятностным образом на основе цепей Маркова. В [99] для системы с бесконечной очередью получено необходимое и достаточное условие эргодичности процесса, а для СМО с конечным накопителем получены выражения для некоторых показателей производительности СМО. В работе [87] расчет характеристик СМО сводится к решению матричных уравнений. Система, функционирующая в полумарковской среде, исследуется в работе [80], в предположении, что среда изменяется редко, т. е. длительность пребывания среды в каждом состоянии имеет порядок, где? — малый параметр. Получены формулы для коэффициента разложения распределения числа заявок в системе в ряд по параметру ?. Анализ СМО со случайно изменяющейся интенсивностью входного потока проводился также в работах [18, 19, 20, 24]. Работы [29, 33, 38, 54, 56, 83] посвящены изучению скачкообразных процессов и СМО со скачкообразной интенсивностью входного потока. Росс высказал предположения о нижней границе вероятности потери требования в системе с ДС пуассоновским входным потоком [67].

Одним из удобных инструментов, используемых теорией массового обслуживания, в настоящее время является аппроксимация процессов, происходящих в СМО, диффузионными процессами, т. е. так называемая диффузионная аппроксимация. Использование диффузионной аппроксимации для анализа стационарного режима приводится в работах [4, 16, 17, 52, 70, 73, 79, 99] при исследовании виртуального времени ожидания, времени до первого переполнения системы. Исследование диффузионной аппроксимации в нестационарном режиме для расчета характеристик числа заявок и времени ожидания заявками начала обслуживания в различных СМО приводится в работах [4, 90]. Изучение диффузионных процессов проводится в работах [8, 46, 55, 63]. Работы [2, 65, 66, 113] посвящены анализу уравнений Фоккера-Планка для плотности диффузионного процесса при различных типах граничных условий.

В данной работе исследуются системы массового обслуживания различной структуры по количеству обслуживающих приборов и емкости накопителя, функционирующие в случайной среде, а именно, системы обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским входным потоком заявок, интенсивность которого является диффузионным процессом, принимающим значения на конечном интервале. Предполагаются определенные условия на диффузионный процесс в граничных точках. Анализируются стационарные характеристики таких СМО и условия существования стационарного режима.

Содержание работы. В первой главе проводится вывод уравнений для плотности диффузионного процесса и нестационарных и стационарных характеристик числа заявок в системах массового обслуживания типа с экспоненциальным обслуживанием, одним обслуживающим прибором, конечной или бесконечной емкостью накопителя, на вход поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок с диффузионной интенсивностью. В первом параграфе получены уравнения для СМО с нулевым коэффициентом сноса, во втором параграфе проведен вывод уравнений для систем с ненулевым коэффициентом сноса.

Вторая глава содержит анализ СМО типа МIМ! 1/0 с отказами с диффузионной интенсивностью входного потока. В первом параграфе доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи относительно стационарных характеристик числа заявок и найдены стационарные характеристики числа заявок в системе с нулевым коэффициентом сноса. Второй параграф содержит решение краевой задачи относительно стационарных характеристик числа заявок в системе с отказами с ненулевым коэффициентом сноса. В третьем параграфе проведен численный анализ СМО с отказами.

В третьей главе, используя матричный метод анализа, находятся выражения для стационарных характеристик числа заявок в системах типа < NQ < со, с диффузионной интенсивностью входного потока. В первом параграфе проводится анализ систем указанного типа с нулевым коэффициентом сноса, доказана теорема существования и единственности решения краевой задачи относительно стационарных характеристик числа заявок. Во втором параграфе более подробно рассмотрен оператор Грина для краевой задачи, получены оценки оператора Грина в различных пространствах, приведена теорема существования и единственности стационарных характеристик числа заявок в системах с ненулевым коэффициентом сноса. Для частного случая получены достаточные условия положительности характеристик числа заявок в системе.

Методика исследования. При выводе уравнений и для решения задач расчета стационарных характеристик числа заявок в дважды стохастических СМО с диффузионной интенсивностью использовались методы теории массового обслуживания, теории случайных процессов, теории матриц, теории интегральных и дифференциальных уравнений. Для подтверждения обоснованности теоретических выводов проводился численный анализ на ЭВМ.

Научная новизна.

1. Построены модели систем массового обслуживания типа M / M /1/ N0, 0 < N0 < 00, с конечным накопителем, M/МП с бесконечным накопителем с диффузионной интенсивностью входного потока, с экспоненциальным обслуживанием.

2. Доказана теорема существования, единственности и положительности решения краевой задачи относительно характеристик числа заявок в системе М/Л//1/0.

3. Найдены стационарные характеристики числа заявок в ДС системе M / M /1 / 0 с отказами с диффузионной интенсивностью входного потока с нулевым или ненулевым коэффициентом сноса.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решений краевых задач относительно стационарных характеристик числа заявок в системах типа M ! MIII Nq с нулевым и ненулевым коэффициентом сноса.

5. Проведен матричный анализ СМО типа M / M /1/ Nq с конечным накопителем с дважды стохастическим пуассоновским потоком заявок с диффузионной интенсивностью, в результате которого получено в явном виде стационарное распределение числа заявок в указанной СМО.

В процессе решения данных задач проведены численные эксперименты для проверки некоторых основных результатов и для подтверждения обоснованности теоретических выводов.

Практическая значимость. Предложенные методы могут быть использованы для расчета характеристик узлов локальных вычислительных сетей, а также узлов глобальных вычислительных сетей типа ИНТЕРНЕТ: провайдерских узлов связи, web-серверов, передающих станций и т. д.

Теоретические результаты данной работы и составленные на языке.

Паскаль программы расчета распределения числа сообщений на узле сети и среднего числа сообщений, находящихся в системе, будут использованы в Дальневосточной государственной академии экономики и управления и других организациях для расчета характеристик действующих и проектируемых узлов связи.

Публикации.

По материалам диссертации имеется ряд публикации: работы [115] -[131] в библиографическом списке.

Аппробация результатов.

Основные результаты диссертации докладывались на.

1. XXXVII, XXXVIII, ХХХХ Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях (Владивосток, 1994, 1995, 1997);

2. II Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1997);

3. 1-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997);

4. Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е. В. Золотова (Владивосток, 1998);

5. Третьем Сибирском Конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти C.JI. Соболева (Новосибирск, 1998);

6. 2-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1998);

7. Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 150-летию со дня рождения С. О. Макарова (Владивосток, 1998).

8. объединенном семинаре в ИПМ ДВО РАН (1999).

1. Абрамов В. М. Исследование системы обслуживания, зависящей от длины очереди. Душанбе: Дониш, 1991. 164 с.

2. Алмазов М. О поведении решения стохастического диффузионного уравнения при неограниченном росте коэффициента сноса на конечном отрезке // Теор. вер. и мат. стат. (Киев). 1988. № 39. С. 3−4.

3. Анисимов В. В., Алиев А. О. Предельные теоремы для рекуррентных процессов полумарковского типа // Теория вер. и мат. статистика (Киев). 1989. № 41. С. 9−15.

4. Асенишвили Г. Л. Диффузионная аппроксимация виртуального времени ожидания системы М/М/1 (мартингальный подход) // Кибернетика. 1991. № 1.С. 90−93.

5. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 512 с.

6. Боровков A.A. Условия эргодичности цепей Маркова, не связанные с неприводимостью по Харрису // Сиб. мат. ж. 1991. 32. № 4. С. 6−19.

7. Бурлаков М. В. Об одном методе аппроксимации немарковских управляемых процессов обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1996. № 7.С. 90−104.

8. Буценко Ю. П. Об одном подходе к понятию диффузионного процесса // Стат. и управление случайными процессами. М. 1989. С. 17−19.

9. Волковинский М. И., Волковинский О. Ф. Система обслуживания с переменными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1988. № 7.С. 107−120.

10. Вычислительные сети коммутации процессов: Тез.докл. v Всесоюз. конф. Рига, 1987.и. Гешев А. Нестационарна опашка от вида M (t) / M{t) /1 // Науч. Тр./ Пловдив. Ун-т мат. 1984. Т.22. № 1. С. 321−328.

11. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Физматгиз, 1961.

12. Головко Н. И. Распределения числа заявок в марковской нестационарной СМО // Управл. системы массов. обслуж. (Томск). 1986. № 4. С. 22−27.

13. Головко Н. И. Расчет характеристик многолинейной СМО в диффузионном приближении при медленно флуктуирующем входном потоке // Поиск сигнала в многоканал. системах (Томск). 1985. № 1. С. 513.

14. Головко Н. И., Коротаев И. А. Анализ некоторых систем массового обслуживания с переменной интенсивностью входящего потока // Поиск сигнала в многоканальных системах (Томск). 1987. № 2. С. 65−76.

15. Головко Н. И., Коротаев И. А. Системы массового обслуживания со случайно изиеняющейся интенсивностью входящего потока // Автоматика и телемеханика. 1990. № 7. С. 80−85.

16. Головко Н. И., Коротаев И. А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // АиТ. 1989. № 2. С.36−39.

17. Головко H.H., Коротаев И. А. Расчёт характеристик нестационарных систем массового обслуживания // АиТ. 1991. № 2. С.97−102.

18. Горцев A.M., Назаров A.A., Терпугов А. Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1978.

19. Дудин А. Н. Простейшая система массового обслуживания, функционирующая в случайной среде // Вероятн. моделир. систем и сетей обслуж. 1988. С. 14−20.

20. Дудин А. Н., Клименок В. И. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания, функционирующей в синхронной случайной среде // Автоматика и телемеханика. 1997. № 1. С. 74−84.

21. Дудин А. Н. Об обслуживающей системе с переменным режимом работы // АиТ. 1985. № 2. С.27−29.

22. Жакод Ж., Ширяев А. Н. Предельные теоремы для случайных процессов: пер. с англ. М.: Физматлит, 1994. 542 с.

23. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.576с.

24. Кениг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 1981.

25. Китаев М. Ю. Полумарковские и скачкообразные марковские управляемые модели // Теор. вероятн. и ее примен. 1985. Т. XXX, вып. 2. С. 252−268.

26. Лебедев Е. А. О стационарном распределении для сети обслуживания с узлами типа в/МА // Сетеметрия, анал. и моделир. инф.-вычисл. сетей. 1988. С. 53−61.

27. Ляхов А. И. Асимптотический анализ замкнутых сетей очередей, включающих устройства с переменной интенсивностью обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1997. № 3. С. 131−143.

28. Математические методы исследования систем и сетей массового обслуживания: Тез. докл. 9 Белорус, зим. шк.-семин. по теории масс, обслуж. Минск, февр., 1993. 108 с.

29. Портенко Н. И., Скороход A.B., Шуренков В. М. Марковские процессы // Итоги науки и техники. Серия: соврем, пробл. мат. фундам. направления: ВИНИТИ 1989. Вып. 46. С. 5−245.

30. Саксонов М. Т. Об управлении скачкообразными процессами при наличии конечномерных ограничений // Мат. моделир. процессов упр. в условиях неопределенности. 1987. С. 101−118.

31. Самочернова Л. И. Многоуровневая система массового обслуживания с интенсивностью обслуживания, зависящей от времени ожидания: Том. политех. ун-т. Томск, 1995. 10 е.: библиогр.: 5 назв.

32. Самочернова Л. И., Нерзмекин А. Ф. СМО с гистерезисной стратегией управления интенсивностью обслуживания: Том. политех, ун-т. Томск, 1995. 11 е.: библиогр.: 5 назв.

33. Сатаев Е. А. Непрерывная зависимость финальных распределений от переходных вероятностей асимптотически марковского процесса // Теория вероятности и ее применения. 1995. Вып. 40. № 1. С. 183−188.

34. Случайные процессы, математическая статистика и их приложение. / МГУ, Мех.-мат. фак./Ред. Гнеденко Б. В., Розанов Ю. А. М., 1989.

35. Стрик Я. Предельные результаты для переключаемых марковских систем обслуживания с конечным числом источников // Кибернетика и сист. анал. 1994. № 1. С. 79−84.

36. Таташев А. Г. Система массового обслуживания с переменной интенсивностью входного потока // Автоматика и телемеханика. 1995. № 12. с. 78−84.

37. Телеавтоматические системы массового обслуживания: Матер. Всес. конф. Кишинев: Тимпул, 1988. 114 с.

38. Тершкович М. М. Сравнение двух способов описания диффузионных процессов. Вычислительные аспекты // Исслед. по прикл. мат. и физ. 1990. С. 27−33.

39. Тихоненко О. М. Системы обслуживания требований случайной длины с ограничениями//Автоматика и телемеханика. 1991. № 10. С. 126−134.

40. Тихоненко О. М., Завгороднев С. М., Позняк Р. И. Распределение суммарного объема требований в многолинейных системах массового обслуживания // J. Inf. Process and Cybern. EIK. 1989. 25. № 4. P. 173−183.

41. Тихонов A.H., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231 с.

42. Тривоженко Б. В. Оценка интенсивности нестационарного пуассоновского потока // Поиск сигнала в многоканал. системах (Томск). 1985. № 1.С. 169−174.

43. Ушаков В. Г., Харитонцева И. Г. О системе с зависимыми временами обслуживания // Математические модели и цифровая обработка информации. М., 1990. С. 154−163.

44. Федосов A.A. Диффузионная аппроксимация процессов обслуживания требований в транспортных системах // Теория и моделир. управл. систем. Киев, 1989. С. 164−171.

45. Фомин Г. И. Об однолинейной системе со случайно меняющейся скоростью обслуживания // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1988. № 1.С.134−137.

46. Чеботарев A.M. Достаточные условия регулярности скачкообразных марковских процессов // Теор. вер. и ее применение. 1988. 33. № 1. С. 25−39.

47. Черкасов И. Д. Преобразования диффузионных процессов и их применения. Кн. 1. Саратов: изд-во ун-та, 1988. 160 с.

48. Юшкевич A.A. Управляемые скачкообразные марковские модели // Теор. вер. и ее примен. 1980. Т. XXV, в. 2. С. 247−270.

49. Abate Joseph, Whitt Ward. Simple spectral representations for the M/M/l queue // Queueing Syst. 1988. 3. № 4. P. 321−345.

50. Afanas’ev L. G., Kibkalo A. A. Uniform bounds for the periodic queue in the M (t)/G/1/ system // Soviet Math. 1988. 40. № 4. P. 454−457.

51. Alfa Attahiru Sule. Approximating queue lenght in M (t)/D/1 queues // Fur. J. Oper. Res. 1990. 44.№ 1. P. 60−66.

52. Alvarer-Andrade Sergio. On the increments of doubly stohastic Poisson processes // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1992. 92. № 5. P. 609−614.

53. Alvarez-Andrade Sergio. Strong approximation of doubly stochastic Poisson processes // C. R. Acad. Paris Ser. I. Math. 1993. 316. № 8. P. 869−872.

54. Asmussen Soren. Ladder heights and the Markov-modulated M/G/l queue // Stochast. Process and Appl. 1991. 37. № 2. P. 313−326.

55. Berman Simeon M. Extreme sojourns of diffusion processes // Ann. Probab. 1988. 16. № l.P. 361−374.

56. Brandt Andreas, Brandt Manfred, Sulanke Hannelore. A single server model for the packetwise transmission of messages: Analytical solution for the Poisson case // Prepr. Sekt. Math. / Humboldt Univ. Berlin. 1989. № 229. P. 1−14.

57. Chancelier Jean-Philippe, Cohen de Lara Michel, Pacard Frank. Equation de Fokker-Planck pour la densite d’un processus aleatoire dans un ouvert regulier // C. R. Acad. Sci. Ser. 1995. 321. № 9. P. 1251−1256.

58. Chancelier Jean-Philippe, Cohen de Lara Michel, Pacard Frank. Fokker-Planck equation for the density of a diffusion process in a regular open set // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I. Math. 1995. 321. № 9. P. 1251−1256.

59. Chang Cheng-Shang, Chao Xiu Li, Pinedo Michael. Monotonicity results for queues with doubly stochastic Poisson arrivals: Ross’s conjecture // Adv. Appl. Probab. 1991. 23. № 1. P. 210−228.

60. Chang Cheng-Shang, Pinedo Michel. Bounds and inequalities for single server loss systems // Q. S. T. A. 1990. 6. № 4. P. 425−435.

61. Chao Xiuli, Dai, Li Yi. A monotonicity result for a single-server loss system // Appl. Probab. 1995. 32. № 4. P. 1112−1117.

62. Choi Bong Dae, Lee Yong Wan, Shin Yang Woo. Diffusion approximation for first overflow time in GI/G/m system with finite capacity // J. Appl. Math, and Stochast. Anal. 1995. 8. № 1. P. 11−28.

63. Choi Bong Dae, Rhee Kyung Hyune, Park Kwang Kyu. The M/G/l retrial queue with retrial rate control policy // Probab. Eng. and Inf. Sci. 1993. 7. № 1. P. 29−46.

64. Clark A.B. A waiting line process of Markov type // Annals of Mathematical Statistics. 1956. Vol. 27. № 2. P. 452−459.

65. Di Crescen Zo, Antonio Nobile, Amelia G. Diffussion approximation to a queueing system with time-depent arrival and service rates // Queueing Systems Theory Appl. 1995. 19. № 1,2. P. 41−62.

66. Domine Marco. Moments of the first-passage time of a Wiener process with drift between two elastic barriers // J. Appl. Probab. 1995. 32. № 4. P. 10 071 013.

67. Doshi Bharat. Conditional and unconditional distributions for M/G/l type queues with server vacations // Queueing Syst. 1990. 7. № 3−4. P. 229−235.

68. Dshalalow Jewgeni H. Single-server with controlled bulk service, random accumulation level, and modulated input // Stochast. Anal, and Appl. 1993. 11. № 1. P. 29−41.

69. Dynkin E. B. Kolmogorov and the theory of Markov process // Ann. Probab. 1989. 17. № 3. P. 822−832.

70. Fill James Allen. Time to stationarity for a continuous-time Markov chain // Probab. Eng. and Inf. Sci. 1991. 5. № 1. P. 61−76.

71. Giorno V., Nobile A. G., Ricciardi L. M. On some time-non-homogeneous diffussion approximation to queueing systems // Adv. Appl. Probab. 1987. 17. № 4. P. 974−994.

72. Harlamov B. P. On statistics of continuous Markov processes: semi-Markov approach // Probability theory and math, statistics. Vol. 1. 1990. P. 504−511.

73. Harrison J. M., Williams R. J. On the quasireversibility of a multiclass Brownian service station // Ann. Probab. 1990. 18. № 3. P. 1249−1268.

74. Hsu Guang-Hui. A survey of queueing theory // Ann. Oper. Res. 1990. 24. № 14. P. 29−43.

75. Iscoe I., McDonald D. Asymptotics of exit times for Markov jump processes // Ann. Probab. 1994. 22. № 1. P. 372−397.

76. Ishikawa Yasushi. On the lower bound of the density for jump processes in small time // Bull. Sci. Math. 1993. 117. № 4 P. 463−483.

77. Jang, Nam Su, Choe, Jong Ae, Yong Choi. Comparison theorems for M (t)/G (t)/1 queues // Su-hak. 1995. № 1. P. 14−15.

78. Karmeshu, Thompson M. E. The one-server Markov queue in a random environment // Bull. Calcutta Math. Soc. 1993. 85. № 3. P. 203−208.

79. Keilson J., Servi L. D. The matrix M/M/l system: Retrial models and Markov modulated sources // Adv. Appl. Probab. 1993. 25. № 2. P. 453−471.

80. Kersting G., Klebaner F. C. Sharp conditions for nonexplosins and explosions in Markov jump processes // Ann. Probab. 1995. 23. № 1. P. 268−272.

81. Kino Jssei, Miyazawa Masakiyo. The stationary work in system of G/G/l gradual input queue // J. Appl. Probab. 1993. 30. № 1. P. 207−222.

82. Konakov V. D. Local limit theorem on convergence of Markov chain to diffusion processes: Front. Pure and Appl. Probab.: Proc 3. Finn.-Sov. Symp. Probab. Theory and Math. Statist. Turku., 1993. P. 112−134.

83. Leandre Remi. Deusite en temps petit d’un processus de sauts // Lect. Notes Math. 1987. № 7. 1247. P. 81−99.

84. Leguesdron P., Pellaumail J., Rubino G., Sericola B. Transient analysis of the M/M/l queue // Adv. in Appl. Probab. 1993. 25. № 3. P. 702−713.

85. Lemoine Austin J. Waiting time and workload in queues with periodic Poisson input // J. Appl. Probab. 1989. 26, № 2. P. 390−397.

86. Neuts Marcel E. An explicit solusion to a particular Markov chain of M/G/l type // J. Appl. Probab. 1994. 31A. P. 337−342.

87. Obzherin Yu. E., Skatkov A. V. A semi-Markov model of a queueing system with losses // Динамич. сист. 1990. № 8. С. 83−90.

88. Parthasathy P. R., Sharafali M. Transient solution to the many server Poisson queue: a simple approach // J. Appl. Probab. 1989. 26. № 3. P. 584−594.

89. Pham. Huyen. Optimal stopping of controlled jump diffusion process and viscosity solutions // C. R. Acad. Sci. Ser. 1. 1995. 320. № 9. P. 1113−1118.

90. Rao S. Subba. Some approximate results for a heavity loaded single server queue with semi-Markovian services // J. Math, and Phys. Sci. 1991. 25. № 5−6. P. 515−520.

91. Rolski Tomasz. Approximation of periodic queues // Adv. Appl. Probab. 1987. 17. № 3. P. 691−707.

92. Rdski Tomasz. Approximations of performance characteristics in periodic Poisson queues // Queueing and related models, Oxford Statist. Sci. Ser. 1992. № 9. P. 285−298.

93. Valdescastro Jose E. Cotas para las caracteristicas de un sistema М/G/ 1/ con tiempo de espera limitado // Invest. Oper. 1990. 11.№ 2. P. 93−99.

94. Xie Yingchao. Weak convergence of a sequence of Markov jump processes to diffusion processes // Shuxue Niankan. A. = Chin. Ann. Math. A. 1993. 14. № 2. P. 246−254.

95. Zhang Weijian. Analytical solutions of a class of multidimensional Fokker-Planck equations // Int. J. Contr. 1988. 48. № 2. P. 791−799.

96. Zhang Yu Hui. The conservativity of coupling jump process // Beijing Shifan Daxue Xuebao. 1994. 30. № 3. P. 305−307.

97. Головко Н. И., Катрахов В. В., Писаренко Т. А. Анализ однолинейной СМО с отказами при диффузионной интенсивности входного потока: Тез. докл. II Международная конференция по математическому моделированию. Якутск, 1997. С. 100−101.

98. Писаренко Т. А. Анализ системы массового обслуживания типа M/M/1/Nq с диффузионной интенсивностью входного потока: Тез. докл. 1-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Владивосток, 1997. С. 53.

99. Писаренко Т. А. Моменты незавершенной работы в системах обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Тез. докл. Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова. Владивосток, 1998. С. 68.

100. Головко Н. И., Катрахов В. В., Писаренко Т. А. Анализ систем массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока // Дальневосточный математический сборник. 1999. № 7.

101. Головко Н. И., Катрахов В. В., Писаренко Т. А. Стационарные системы массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока: Препринт ИПМ ДВО РАН. Владивосток: изд-во Дальнаука, 1999. 25 с.