Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса

Диссертация: Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Семейства функций, используемые во всех перечисленных выше задачах, оказываются неортогональными. Актуальными являются следующие задачи: оценка устойчивости разложения по этим функциямизучение констант Рисса для систем сдвигов функции Гаусса и отвечающей ей функции Лагранжаортогонализация с сохранением структуры сдвиговпредельное поведение функции, являющейся результатом ортогонализа-ции… Читать ещё >

Интерполяция и ортогонализация для систем целочисленных сдвигов функции Гаусса (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Основные понятия, обозначения и факты об интерполяции и ортогонализации систем целочисленных сдвигов
    • 1. 1. Преобразование Фурье, формула Пуассона и тета-функция Якоби
    • 1. 2. Интерполяция и дискретное преобразование Фурье
    • 1. 3. Фундаментальные сплайны и ортогонализация с сохранением структуры сдвигов
  • 2. Константы Рисса и интерполяция
    • 2. 1. Константы Рисса для системы сдвигов функции Гаусса
    • 2. 2. Константы Рисса для системы сдвигов функции Лагранжа
    • 2. 3. О коэффициентах рядов, представляющих функцию Лагранжа, в зависимости от параметра а
    • 2. 4. О приближенном нахождении коэффициентов рядов, представляющих функцию Лагранжа,-при помощи дискретного преобразования Фурье
  • 3. Ортогонализация
    • 3. 1. Ортонормализация для системы сдвигов функции Гаусса
    • 3. 2. Поточечная асимптотика образа Фурье функции Лагранжа по параметру сг
    • 3. 3. Асимптотика поведения функции Лагранжа в среднеквадратичной норме

Актуальность темы

диссертации. В последнее время широко используются методы обработки данных, основанные на всплеск-преобразованиях. Термин «всплеск» появился в 1980;х, хотя первый всплеск был сконструирован А. Хааром еще в 1909 году [63]. Всплески позволяют анализировать функции, частотные характеристики которых изменяются во времени. Всплеск-анализ может быть охарактеризован как альтернатива классическому анализу Фурье [11]. Теория всплесков, так же как и анализ Фурье, имеет две важные части: непрерывное всплесковое преобразование и всплесковые ряды. Всплеск-ряды активно используются при сжатии данных, в том числе видеои аудиоинформации, применяются в цифровой обработке изображения, обработке сигналов и анализе данных [22].

Всплеск-системы получаются посредством кратных сжатий и равномерных сдвигов одной фиксированной функции. Системы равномерных сдвигов функций широко используются помимо теории всплесков в таких классических областях математики, как теория функций вещественного и комплексного переменного, теория ортогональных рядовпри изучении преобразования Фурье и других интегральных преобразований, в функциональном анализе. В качестве примеров можно указать базисные сплайны ([14], [55]), дискретные ортогональные и биортогональные всплески ([22], [30]).

В последние годы большое распространение в прикладных задачах получили системы целочисленных сдвигов функции Гаусса р (х) — ехр

2сг2 которые будем обозначать следующим образом рк (х) — ехр ~ kf 2сг2 к G Z.

В квантовой оптике ([24], [36], [61]) используются когерентные состояния, представляющие собой функции вида с фиксированным параметром а.

В квантовой вычислительной химии ([62], [64]) произведения сдвигов функции Гаусса на многочлены невысоких степеней лежат в основе расчетов сложных молекул. Особенно популярной эта тематика стала после появления пакета прикладных программ «Gaussian». Его основные авторы У. Кон и Д. Попл отмечены Нобелевской премией по химии за 1998 год.

В цикле работ В. Г. Мазьи, Г. Шмидта и других авторов ([65] - [68]) показано, что системы сдвигов функции Гаусса могут быть применены для аппроксимации различных потенциалов, а также для решения линейных и нелинейных граничных задач математической физики. Предельное поведение таких систем при стремлении параметра о к бесконечности описано в работах ([70], [72]). Различные аспекты интерполяции с помощью системы сдвигов функции Гаусса изучаются в работах ([57], [59]).

Семейства функций, используемые во всех перечисленных выше задачах, оказываются неортогональными. Актуальными являются следующие задачи: оценка устойчивости разложения по этим функциямизучение констант Рисса для систем сдвигов функции Гаусса и отвечающей ей функции Лагранжаортогонализация с сохранением структуры сдвиговпредельное поведение функции, являющейся результатом ортогонализа-ции целочисленных сдвигов функции Гаусса.

Цель работы. Изучение неортогональных систем целочисленных сдвигов функции Гаусса. Основные задачи работы состояли: в получении явных выражений для констант Рисса, в исследовании зависимости этих констант от параметра сг, в реализации процедуры ортогонализации для системы сдвигов функции Гаусса, в вычислении коэффициентов функции Лагранжа с помощью дискретного преобразования Фурье.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, линейного функционального анализа, теории всплесков и теории специальных функций.

Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Получены явные выражения для констант Рисса в случае систем целочисленных сдвигов функции Гаусса и полученной при интерполяции функции Лагранжа.

2. Показано, что при стремлении значения параметра, а к бесконечности отношение верхней и нижней констант Рисса для случая функции Лагранжа не стремится к единице, хотя система сдвигов переходит в пределе к ортонормированной системе. ,.

3. Предложен способ приближенного вычисления коэффициентов функции Лагранжа с помощью дискретного преобразования Фурье.

4. Для функции Гаусса реализован процесс ортогонализации с сохранением структуры сдвигов. Показано, что при стремлении значения параметра, а к бесконечности полученная при ортогонализации функция стремится в среднеквадратичной норме к функции отсчетов sin ж sine (х) =-. X.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации теоретически обосновывают свойства неортогональных систем целочисленных сдвигов функции Гаусса. Предлагаемые в работе методы могут быть использованы и для других систем сдвигов, порожденных функциями, отличными от функции Гаусса.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и — обсуждались на международной конференции «Всплески и приложения» в г. Санкт-Петербурге в 2009 г., на международной конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в г. Казань в 2011 г., в Воронежской зимней математической школе в 2011 г., а также на семинарах Воронежского государственного университета в 2010 — 2011 гг.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [77] - [80]. Из совместных публикаций [77], [80] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [78] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 80 наименований. Общий объем диссертации 83 стр.

Основные результаты диссертации.

1. Получены явные выражения для констант Рисса в случае систем целочисленных сдвигов функции Гаусса и полученной при интерполяции функции Лагранжа.

2. Показано, что при стремлении значения параметра, а к бесконечности отношение верхней и нижней констант Рисса для случая функции Лагранжа не стремится к единице, хотя система сдвигов переходит в пределе к ортонормированной системе.

3. Предложен способ приближенного вычисления коэффициентов функции Лагранжа с помощью дискретного преобразования Фурье.

4. Для функции Гаусса реализован процесс ортогонализации с сохранением структуры сдвигов. Показано, что при стремлении значения параметра о к бесконечности полученная при ортогонализации функция стремится в среднеквадратичной норме к функции отсчетов.

Заключение

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Е.В. Дискретное преобразование Фурье и ортогональные системы циклических сдвигов / Е. В. Акиндинова, А. И. Барсукова, Л. А. Минин // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. — 2005. — № 1. — С. 145−148.
  2. Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и прим, еры применения / Н. М. Астафьева // Успехи физических наук. — 1996. — Т. 166, № 11. С. 1145−1170.
  3. Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом пространстве / Н. К. Бари. // Уч. зап. МГУ. — 1951. — Т. 4, № 148. — С. 69−107.
  4. Н.К. Тригонометрические ряды / Н. К. Бари. — М.: Физматлит, 1961. 937 с.
  5. Н.С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. // Учеб. пособие. — М.: Наука, Физматлит, 1987. — 600 с.
  6. .А. Ряды: учеб. для вузов / Б. А. Власова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 616 с.
  7. В.И. Теория и практика вейвлет-преобразований / В. И. Воробьев, В. Г. Грибунин. СПб.: ВУС, 1999. — 203 с.
  8. Дж. Базисные гипергеометрические ряды / Дж. Гаспер, М. Рахман. М.: Мир, 1993. — 349 с.
  9. А.О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. — М.: Наука, 1967. — 367 с.
  10. Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения / Дж. Деммель. — М.: Мир, 2001. — 430 с.
  11. И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 464 с.
  12. Дьяконов В.П. MATLAB. Обработка сигналов и изобраэюений. Специальный справочник / В. П. Дьяконов, И. В. Абраменкова. — СПб.: Питер, 2002. — 608 с.
  13. А.И. Метод Фурье в вычислительной математике / А. И. Жуков. — М.: Наука, Физматлит, 1992. — 176 с.
  14. Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, B.JI. Мирошниченко. — М.: Наука, 1980. — 352 с.
  15. Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. — М.: Наука, 1964. 488 с.
  16. Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э. М. Карташов. — М.: Высшая школа. — 550 с.
  17. А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа (изд. пятое) / А. Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука, 1981. 544 с.
  18. А.И. Линейная алгебра и геометрия / А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
  19. В.А. О пропускной способности Иэфира,"и проволоки в элекросвязи / В. А. Котельников. // УФН. — 2006. — Т. 176, № 7. — С. 762−770.
  20. Е.А. Экспоненциально убывающие всплески, имеющие равномерно убывающие константы неопределенности по параметру, определяющему гладкость / Е. А. Лебедева // Сибирский мат. жур. 2008. — Т. 49, № 3. — С. 574−591
  21. В.Л. Ортогональные финитные функции и численные методы / В. Л. Леонтьев. — Ульяновск: УлГУ, 2003. — 178 с.
  22. С. Вэйвлеты в обработке сигналов / С. Ма/ша. — М.: Мир, 2005. 671 с.
  23. Д. Лекции о гпета-функциях / Д. Мамфорд. — М.: Мир, 1988. 448 с.
  24. Л. Оптическая когерентность и квантовая оптика / Л. Мандель, Э. Вольф. — М.: Физматлит, 2000. — 896 с.
  25. Л.А. О неравенствах для тета-функций Якоби / Л. А. Минин, С. М. Ситник // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. — Ростов-на-Дону: Южный Федеральный университет. — 2008. С. 124−126.
  26. Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Наттерер. — М.: Мир, 1990. — 288 с.
  27. И.Я. Основные конструкции всплесков / И. Я. Новиков, C.B. Стечкии // Фундаментальная и прикладная математика. — 1997. Т. 3, № 4. — С. 999−1028.
  28. И.Я. Основы теории всплесков / И. Я. Новиков, С.Б. Стеч-кин // Успехи матем. наук. — 1998. — Т. 53, № 6. — С. 53−128.
  29. И.Я. Теория всплесков / И. Я. Новиков, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина. — М.: Физматлит, 2005. — 616 с.
  30. Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток / Г. Нуссбаумер. — М.: Радио и связь, 1985. 248 с.
  31. В.И. Интерполяция в симметрично-нормированных идеалах операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах / В. И. Овчинников // Функциональный анализ и его приложения. — 1994. Т. 28, № 3. — С. 80−82.
  32. В. И. Некоммутативные пространства В МО, когерентная ядерность и ограничннные расширения матриц / В. И. Овчинников // Доклады академии наук. — 1998. — Т. 363, N- 1. — С. 17−19.
  33. A.M. Замечание о полноте системы когерентных состояний / A.M. Переломов // ТМФ. — 1971. — Т. 6, № 2. — С. 213−224.
  34. A.M. Когерентные состояния и тэта-функции / A.M. Переломов // Функ. анал. и его приложения. — 1972. — Т. 6, вып. 4. С.-47−57.
  35. A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения / A.M. Переломов. — М.: Наука, 1987. — 272 с.
  36. В.А. Неклассические методы приближений в краевых задачах / В. Л. Рвачев, В. А. Рвачев. — Киев: Наукова Думка, 1979. — 196 с.
  37. В.JI. Финитные решения функционально-дифференциальных уравнений и их приложения / В. Л. Рвачев // УМН. — 1990. — Т. 45, № 1. С. 87−120.
  38. B.C. Введение в вычислительную математику: Учеб. пособие / B.C. Рябенький — М.: Физматлит, 2000. — 296 с.
  39. A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е. С. Николаев. — М.: Наука, 1978. — 592 с.
  40. С.М. Обобщения неравенств Коши-Буняковского методом средних значений и их приложения / С. М. Ситник // Черноземный альманах научных исследований. Серия «Фундаментальная математика». 2005. — № 1 (1). — С. 3−42.
  41. С.М. Уточнения и обобщения классических неравенств / С.М. Ситник- Под ред. Коробейника Ю. Ф., Кусраева А. Г //В книге: Исследования по математическому анализу. Серия: Математический Форум. Владикавказ: ВНЦ РАН. — 2009. — Т. 3. — С. 221−266.
  42. Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в MATLAB / Н. К. Смоленцев. — М.: Изд-во ДМК пресс, 2005. — 304 с.
  43. Справочник по специальным функциям / Под. ред. М. Абрамовица, И. Стиган. — М.: Наука, 1979. — 831 с.
  44. П.А. Банаховы фреймы в задаче аффинного синтеза / П. А. Терехин // Матем. сборник. 2009. — Т. 200, № 9. — С. 127−146.
  45. П.А. О компонентах суммируемых функций по элементам семейст.в функций-всплесков / П. А. Терехин // Изв. вузов. Матем. — 2008. Т. 52, № 2. — С. 53−59.
  46. П.А. О сходимости биортогоналъных рядов по системе сжатий и сдвигов функции в пространстве Z-p0,1] / П. А. Терехин // Матем. заметки. 2008. — Т. 83, № 5. — С. 722−740.
  47. П.А. Проекционные характеристики бесселевых систем / П. А. Терехин // Изв. Саратовского ун-та. Сер. матем., мех., ин-форм. 2009. — Т. 9, № 1. — С. 44−51.
  48. П.А. Условия базисности систем сжатий и сдвигов функций в пространстве Lp0,1] / П. А. Терехин // Изв. Саратовского ун-та. Сер. матем., мех., информ. — 2007. — Т. 7, № 1. — С. 39−44.
  49. В.А. Функциональный анализ: Учебник / В.А. Трено-гин. — 3-е изд., испр. — М.: Физматлит, 2002. — 488 с.
  50. Э.Т. Курс Анализа. Часть вторая: трансцендентные функции / Э. Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. — М.: ГИФМЛ, 1963. — 516 с.
  51. Л.Д. Математическая физика. Энциклопедия / Гл. редактор Л. Д. Фадеев. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. — 691 с.
  52. Чуй Ч. Введение в вэйвлеты / Ч. Чуй. — М.: Мир, 2001. — 412 с.
  53. Andrews G.E. Special functions / G.E. Andrews, R. Askey, R. Roy — Cambridge University Press, 1999. — 664 p.
  54. Ascensi G. On approximations by shifts of the Gaussian function / G. Ascensi // arXiv:0812.0476v 1 math. CA]. 2008. — 8 p.
  55. Boys S.F. Electronic Wave Functions. I. A General Method of Calculation for the Stationary States of Any Molecular System / S.F. Boys // Proc.R.Soc.Lond.A. 1950. — P. 542−554
  56. Calcaterra C. Approximating with Gaussians / C. Calcaterra, A. Boldt // arXiv: 0805.3795vl math. CA]. 2008. — 17 p.
  57. Chu E. Discrete and continuous Fourier transforms analysis, applications and algorithms / E. Chu // Taylor and Francis Group, LLC Chapman k Hall, 2008. — 400 p.
  58. Gazeau V.P. Coherent States in Quantum Physics / V.P. Gazeau. -WILEY-VCH Verlay GmbH & Co. KGaA, Weinlieim, 2009. 358 p.
  59. Gill P. The Prism Algorithm for Two-Electron Integrals / P. Gill, J. Pople // Internationa journal of quantum chemistry. — 1991. — V. 40. — P. 153−772
  60. Haar A. Sur Theorie de orthogonalen Funktionensysteme / A. Haar // Math. Ann. 1910. — V. 69. — P. 331−371.
  61. Jensen F. Introduction to Computational Chemistry / F. Jensen John Wiley and Sons Ltd, Baffins Lane, Chichester, West Sussex P019 1UD, England, 11 999. — 430 p.
  62. Maz’ya V. Approximate approximations / V. Maz’ya, G. Schmidt // AMS Mathematical Surveys and Monographs. — 2007. — V. 141. — 350 p.
  63. Maz’ya V. On approximate approximations using Gaussian kernels / V. Maz’ya, G. Schmidt // IMA J. Num. Anal. 1996. — V. 16. -P. 13−29.
  64. Maz’ya V. On the computation of multi-dimensional single layer harmonic potentials via approximate approximations / V. Maz’ya, G. Schmidt, W.L. Wendland // Carcolo. 2003. — V. 40, № 1. -P. 33−53.
  65. Maz’ya V. Semi-analytic time-marching algorithms for semi-linear parabolic equations / V. Maz’ya, V. Karlin // BIT. — 1994. — V. 34. -P. 129−147.
  66. Phillips G.M. Interpolation and Approximation by Polynomials / G.M. Phillips — Verlag—Springe, New York, 2003. — 312 p.
  67. Riemenschneider S.D. Gaussian radial-basis functions: a survey / S.D. Riemenschneider, N. Sivakumar //J. Analysis. — 2000. — V. 8. — P. 157−178.
  68. Schweinler H.C. Orthogonalization methods / H.C. Schweinler, E.P. Wigner //J. Math. Phys. 1970. — P. 1693−1694.
  69. Shclumprecht Th. On the sapling and recovery of bandlimited functions via scattered translates of the Gaussian / Th. Shclumprecht, N. Sivakumar // arXiv:0803.4344vl math. CA]. 2008. — 29 p.
  70. Strang G. The discrete cosine transform / G. Strang // SIAM Review, Issue 1. 1999. — V. 41. — P. 135−147.
  71. Stromberg J.O. A modifed Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces / J.O. Stromberg // Conf. in honor of A. Zygmund, Wadsworth. Beckner et al. — 1981. — V. 2. — P. 475−493.
  72. Unser M. Sampling-50 Years After Shannon / M. Unser. // Proceedings of the IEEE. 2000. — V. 88, №. 4. — P. 569−587.
  73. Whittaker E.T. On the functions which are represented by the expansion of interpolating theory / E.T. Whittaker //in Proc R. So C.Edinburgh. — 1915. V. 35. — P. 181−194.
  74. М.В. О константах Рисса для, систем целочисленных сдвигов функции Гаусса / М. В. Журавлев // Научные ведомости Белгородского государственного университета. — 2011. — № 5 (100). — вып. 22. — С. 39−46.
  75. М.В. Об ортогонализации системы целочисленных сдвигов функции Гаусса /М.В. Журавлев // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: сб. науч. тр. — Казань: Изд-во Казанского мат. общ-ва. — 2011. — Т. 43. — С. 139−141.
  76. Jacobi theta-functions and systems of integral shifts of Gaussian functions / M.V. Zhuravlev, E.A. Kiselev, L.A. Minin, S.M. Sitnik // Springer Science+Business Media, Inc.: Journal of Mathematical Science. 2011. — V. 173, № 2. — P. 131−140.V
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!