Демазюровские модули и многообразия Шуберта для аффинной алгебры Каца-Муди

Пусть д — полупростая комплексная алгебра Ли, д — соответствующая аффинная алгебра Каца-Муди с картановским разложением д = п+ ф I) © п, д <8> С[£] - алгебра токов (см. [К]). Пусть К (А) неприводимое представление д со старпшм весом, А и старшим вектором ид, а — группа Вейля д. Таким образом,.

У (А) = и (П).17А, где и (п) — универсальная обёртывающая алгебра. Напомним, что для любого веса, а и ¦ш Е IV размерности шпЬаЛ и гтшК-шаЛ соответствующих весовых пространств в К (Л) совпадают. Значит для всех ш 6 И^ получаем тиИ^дЛ = 1 (т.к. тикдЛ = 1). Зафиксируем какой-нибудь ненулевой вектор г>шд веса юЛ в К (Л). Определим модули Демазюра в К (Л) следующим образом (см. [Б, Кит]):

• Эти модули можно рассматривать как конечномерную аппроксимацию бесконечномерных пространств К (Л). Таким образом, изучение пространств Уш (Л) важно как само по себе, так и для прояснения структры представлений аффинных алгебр. Отметим также, что модули Демазюра возникают в таких областях математической физики как теория решёточных моделей (см. [ЛМ]) и теории представлений вертекс операторных алгебр (см. [Кас, Бо, РТБ, РП]).

Основным средством изучения размерностей и характеров модулей Демазюра является теория Демазюровских кристаллов — комбинаторных объектов, нумерующих базисы в модулях Демазюра (см. [Ка2, КаЗ, КМОТШ, КМОТШ]). Одним из важнейших и интереснейших следствий этой теории является утверждение о том, что кристаллы для некоторых Демазюровских модулей являются тензорными произведениями других кристаллов (см. [БЛКТО, ЛММО]). В работах [Эа, М, ЕоЬ] также показано, что некоторые Демазюровские модули изоморфны тензорным произведениям неприводимых д-модулей как представления д. Всё это делает естественной гипотезу о том, что модули Демазюра могут быть построены как деформации тензорных произведений неприводимых представлений полупростой алгебры (см. [РЬ]). Приведём здесь эту конструкцию.

Пусть VI,., — неприводимые представления алгебры Ли д, и, — - старший вектор К-, а ,., — набор попарно различных комплексных чисел. Обозначим через (г,-) представление алгебры д ® <�С[£] в К', определяемое отображением д ® <�С[г] д, хк х? д, хк = х 1к.

Введём фильтрацию на тензорном произведении У (г{):

К = зрап{х? — - - х^р ¦ (®Г=1г/,), «! + -•• + «р < 5, € д}.

Определим градуированное тензорное произведение (гтп) У * •• • * Уп как присоединённый градуированный модуль относительно введённой фильтрации. Предположительно, градуированные тензорные произведения не зависят от параметров 2, — и являются Де-мазюровскими модулями в некоторых интегрируемых д-модулях. Частные случаи этой гипотезы доказаны в [Кес1, СЬ, РКЬ].

В нашей работе рассматривается случай д = Одним из основных результатов является доказательство вышеприведённой гипотезы. Сформулируем точное утверждение для гтп, соответствующих Демазюровским модулям в неприводимых представлениях зГ2.

Пусть — неприводимый 5[2-модуль со старшим вектором и/,*-, удовлетворяющим соотношениям hoVl.

Здесь к — картановский элемент в С К — центр 512, а (I удовлетворяет соотношению [(I, х,-] = — гх-, х <�Е Рассмотрим элемент гир из группы Вейля 5(2 длины 2р. Тогда 7г/ *.

2р—1 где тг^' - неприводимое {] + 1)-мерное представление з12- Мы также доказываем аналогичные утверждения для подмодулей тензорных произведений неприводимых 5^{-модулей,} порождённых произведением старших векторов.

Пусть теперь 14 * • • • * Уп некоторое гтп. Определим многообразие Шуберта зЬц,.,^ как замыкание орбиты старшего вектора в проективизации гтп: зЬу,.к. = .

1). Пусть, А = (1 < ау < - • - < ап), В = (1 < Ьг < • • - < 6″). Тогда вЬ*-^ ,., тга&bdquo- — 8Ьтгб1 ,., 7Г6&bdquoесли и только если а, — = а,-+1 -ФФ- 6, — = Таким образом, многообразие Шуберта зЬ7Га1 определяется типом набора А: набором ¿-х,., г5, таким что.

1 = • • • = «?1 < «?1+1 — * * * = а"Ч+"а < * * * < ап-|,+1 = • • • = ап. Будем обозначать соответствующее многообразие через вЬ^,.,-,}.

2). Имеется расслоение вЬ^.^,} 8Ь{, 1+ь".11в} со слоем вЬ,^ для всех 1 <? < з — 1. Учитывая, что эЬ (п) — гладкое многообразие, получаем разрешение особенностей для остальных многообразий Шуберта (см. [ВБ, На] в конечномерном случае, а также [Т]).

3). Любое гтп может быть реализовало как двойственное пространство сечений линейного расслоения на некотором многообразии Шуберта (см. также [Б]). Точнее, пусть тип, А равен {г'х,., г4}, а тип В равен {^х,., Тогда, если найдутся такие 51,., 5гх > О, что jl=iН——-Н , — - -, = ?4,±+5^! Н——-V г3, то ъ* —(П'ЬйЧн^.ъО))* для некоторого линейного расслоения О на бЬд. (см. также [Ма, Кит1]).

Как мы уже отмечали выше, гтп специального вида совпадают с Демазюровскими модулями в неприводимых представлениях В то же время гтп можно использовать для построения более общих (приводимых) интегрируемых з^-модулей. Пусть 1 < а < • • - < ап < к и М = 7га1 * * 7Га&bdquo-. Тогда имеются вложения.

М <-> М * ТГк * 7Гк М * Пк * ТГк * Як * •.

Мы показываем, что иыъективный предел таких вложений является интегрируемым $ 12-модулем уровня к. Мы изучаем эти представления: находим базис, характер, а также разложение на неприводимые компоненты (соответствующие д-кратности изучаются в [РР2]). Приведём здесь правило разложения на неприводимые представления.

Напомним, что алгебра Верлинде У* для определяется как фактор коммутативной алгебры с образующими тго, 7Гх, я" 2,. по иделу, порождённому соотношениями.

Таким образом, образующие перемножаются как неприводимые конечномерные представления зЬ) — Рассмотрим равенство в У*:

Наша работа состоит из трёх глав.

В первой главе мы изучаем свойства градуированных тензорных произведений: явно описываем идеал соотношений, доказываем независимость от параметров, изучаем короткие точные последовательности и устанавливаем связь с модулями Демазюра.

Во второй главе мы определяем многообразия Шуберта, соответствующие градуированным тензорным произведениям и изучаем их алгебраические и геометрические свойства: клеточные разбиения, топологические расслоения между различными многообразиями Шуберта, когомологии линейных расслоений.

В третьей главе мы строим и изучаем бесконечномерные з^-модули, являющиеся шгь-ективными пределами градуированных тензорных произведений: находим базис, характер и разложение на неприводимые компоненты. Благодарности. Я благодарен своему научному руководителю к.ф.м.н., доценту Чубарову Игорю Андреевичу за постоянное внимание к работе.

7 г,-7т^- = + 7 г,+, 2 н——-к тг,-^, I > j- 7Гк+1 = 0. Со,?>7ГО Н——-Ь.

Ю = (?1, <4). Тогда имеется изоморфизм.

О), О ¿-О,*: ф • • • ф Ск, юЬк, кt I.

• N.