Философские и эстетические аспекты математического знания

Актуальность исследования обусловлена интеграционными процессами в науке. В истории науки математике всегда отводилось особое место: начиная с Античности с ней связывался идеал научной истины, понятия математики служили основой для развития других наук и закладывались как принципы искусства. На протяжении исторического развития, математическое знание трактовалось как «божественное знание», как чистая деятельность мышления, как строгое и беспристрастное выведение заключений из аксиом и т. д. Математика представляет собой творение человеческого духа, и как один из феноменов культуры подвержена действию эстетических факторов. При рассмотрении эстетических факторов математики необходимо учитывать мировоззренческие и гносеологические аспекты, поэтому в данном контексте более правомерно говорить об философско-эстетических аспектах математического знания. Об философско-эстетических факторах развития математического знания написано много в Античной философии и философии Возрождения. Интерес к этой проблеме вновь возникает в XX в., в частности в философии позитивизма. Существенный недостаток в фундаментальных исследованиях в отечественной философии и эстетики по данному вопросу послужил стимулом к написанию данной диссертации. В работе предпринята попытка проследить взаимосвязь философско-эстетических категорий и понятий математики на протяжении всей истории развития европейской научной мысли, рассмотреть роль научных и философских теорий античных мыслителей, оказавших значительное влияние на своих последователей, и обосновать значимость эстетического взгляда для развития математического знания в целом.

В настоящее время философские и эстетические факторы науки становятся весьма популярной темой исследования. Нельзя отрицать стремление современной философской науки к комплексному осмыслению культуры как социально-духовной целостности. Согласно мнению М. В. Волькенштейна, единство науки и искусства — важнеишии залог последующего развития культуры. Нужно искать и культивировать то, что объединяет науку и искусство, а не разъединяет их" [31, С.138].

В философской литературе по методологии научного познания несколько неохотно обращались к исследованию социально-культурных факторов, среди которых важную роль играют эстетические ориентиры. Очевидно, сама практика развития научного знания не вынуждала исследователей к более глубокому анализу проблемы взаимоотношения науки и философско-эстетических аспектов. Лишь начиная со второй половины XIX века, с дальнейшим подъёмом в начале XX века, а также на современном этапе возрастает интерес к анализу роли философско-эстетического в науке, в частности, в математике. Высокий интерес научного сообщества к этой проблеме и недостаток в фундаментальных исследованиях по данной теме обуславливают высокую актуальность предмета исследования данной диссертации.

Степень научной разработанности проблемы. В диссертации использована литература по математике, философии и искусствознанию античного периода и средних веков, по проблемам возникновения философии математики Нового времени, по современным тенденциям развития математики и ее приложений, в том числе и в искусствознании, а также литература по вопросам психологии научного творчества и эстетики науки.

В истории развития математики и естественнонаучного знания об окружающем мире, и красоте в явном виде (т. е. говорили, писали, ссылались на неё) в послегалилеевский период обращались создатели новых открытий, новых гипотез, новых теорий: Н. X. Абель, Э. Галуа, Р. Декарт, В. Г. Лейбниц, И. Кант, М. В. Ломоносов, Ч. Дарвин, М. Фарадей, Д. Максвелл, А. Майкельсон, А. Эйнштейн, П. Дирак, А. Пуанкаре, В. Паули, Г. Харди, Г. Вейль, Р. Фейнман, В. Гейзенберг, И. Пригожин, Н. Д. Блохинцев, А. Б. Мигдал, X. Юкава, и многие, многие другие. При этом красоту понимали как гармонию, простоту, симметрию, согласованность, порядок, интуитивную очевидность, ясность, легкость восприятия, истину и др. Ряду ученых казалось интуитивно очевидным, что представления о красоте могут выступать в качестве исходного начала, первоисточника при создании гипотез, аксиом, научных открытий. О гармонии и красоте Мироздания, диалектике порядка и хаоса идеи для написания диссертации почерпнуты из работ Пифагора, Платона, Диогена Лаэртского, И. Кеплера, Г. Лейбница, М. Гутцвиллера, И. Пригожина, И. Стенгерс, В. Татаркевича, Дж. Халлиуэлла, В. С. Асмуса, О. В. Буткевича, В. И. Вернадского, А. В. Воло-шинова, Н. Т. Дмитриевой, И. В. Зотова, В. В. Иванова, И. А. Ильина, В. И. Ко-робко, А. Ф. Лосева, Н. В. Мотрошиловой, М. Ф. Овсянникова, И. Д. Рожанско-го, В. И. Самохваловой, Э. М. Сороко, А. G. Харитонова, С. Н. Шангина, В. П. Шестакова, Е. О. Яковлева.

На протяжении всей истории развития европейской культуры предпринимались многочисленные попытки математического описания и красоты произведений искусства, и гармонии окружающего мира, в том числе и нашими современниками, вносящими посильный вклад в разработку этой тематики. К этой теме обращались Пифагор, Платон, Аристотель, Витрувий, Поликлет, Диоген Лаэртский, Августин, Боэций, Николай Кузанский, Альберти, Л. Пачо-ли, Леонардо да Винчи, А. Дюрер, И. Кеплер, Галилей, Г. Вейль, Е. Вигнер, Д. Пидоу, Х.-О. Патгейн, П. X. Рихтер, Ч. П. Сноу., Г. Е. Тиммердинг, У. Хо-гард, Г. Ф. Хильми, Д. Хэмбидж, Ю. Г. Барабаш, Ю. В. Бромлей, К. П. Бутусов,.

A. В. Волошинов, Н. Н. Воробьев, М. Э. Гика, Г. А. Голицин, А. X. Горфункель,.

B. П. Григорьев, Г. Д. Грим, К. И. Домбровский, И. А. Евин, О. В. Кириченко, Л. В. Константиновская, В. А. Копцик, А. Ф. Лосев, М. А. Марутаев, Т. М. Махмудов, A.A. Осанов, В. М. Петров, Э. М. Панофский, Ф. А. Пятакович, Б. В. Раушенбах, Э. К. Розенов, Б. А. Рыбаков, Л. А. Сабанеев, В. И. Самохвалова, К. С. Симонян, Ю. Н. Соколов, М. Е. Степанов, И. Ф. Стравинский, В. Н. Топоров, Н. И. Тюленева, О. Н. Ульянова, Ю. А. Урманцев, Е. С. Федер, П. А. Флоренский, П. Л. Чебышев, Л. В. Чхаидзе, В. А. Цуккерман, В. А. Шапошников, И. HL Шевелев, И. П. Шмелев, А. В. Шубников, С. М. Эйзенштейн и другие.

Вопросами математического творчества и исследованием роли интуиции и логики в математике в той или иной степени занимались Ж. Адамар, Р. Ари-хейнм, М. Бунге, Г. Вейль, К. Гедель, Д. Гильберт, М. Клайн, Ж. Лакатос, Д. Пойя, М. Полани, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, В. Ф. Асмус, А. И. Белоусов, В. Э. Войцехович, Ю. И. Манин, С. Ю. Маслов, Г. А. Нуждин, А. С. Родин, Л. Б. Султанова, Е. Л. Фейнберг, И. Р. Шафаревич, В. А. Шапошников, И. М. Яглом и другие.

История развития математического знания, философские основания математики представлены в работах Декарта, Лейбница, Канта, Гегеля, Бурбаки, М. Гарднера, Л. Витгенштейна, К. Кантора, М. Клайна, Ф. Клейна, Ope Остина, X. О. Патгейна, Б. Рассела, П. X. Рихтера, А. Реньи, Д. Стройка, А. Уайтхеда, Г. Фреге, И. М. Яглома, А. Д. Александрова, В. И. Арнольда, В. Ф. Асмуса, А. Г. Барабашева, Е. А. Беляева, В. П. Визигина, В. Э. Войцеховича, П. П. Гайденко, Б. В. Гнеденко, А. Дальма, Н. И. Жукова, C.B. Игнатова, А. Н. Колмогорова, А. Н. Кричевца, Н. Ф. Овчинникова, В. Я. Перминова, Г. И. Рузавина, К. Н. Рыбникова, В. А. Стеклова, П. А. Флоренского, А. Я. Хинчина, В. А. Шапошникова.

Для обоснования взаимосвязи красоты математики и научной истины использовались идеи и произведения Платона, Аристотеля, Прокла, Г. Галилея, Ф. Хатченсона, Ю. Вигнера, В. М. Волькенштейна, М. В. Волькенштейна, Л. П. Воронковой, О. А. Габриэлян, В. Гейзенберга, В. В. Глебкина, Д. П. Горского, А. Л. Калантара, Л. Котиной, С. В. Котиной, В. И. Ленина, Ю. И. Мерз-лякова, А. Б. Мигдала, О. П. Мороза, Л. Н. Столовича, С. А. Яновской.

Таким образом, несмотря на давно осознанную и высказанную потребность в раскрытии философско-эстетических аспектов развития математического знания, выявления взаимосвязи между математикой, философией и эстетикой, такая задача до настоящего времени на уровне диссертационных исследований продолжает оставаться актуальной.

Методологическая основа исследования. Теоретическими источниками диссертационной работы послужили результаты, накопленные в естествознании, эстетики, философии математики, психологии, синергетики, культурологии, истории философии и математики, отечественной философской литературе последних лет.

Работа опирается на философско-методологические принципы отражения, объективности, единства исторического и логического в предметно-практической деятельности. Специфика предмета исследования требует комплексного подхода. Принцип объективности, содержащий требования адекватности и конкретности, совместно с системным подходом позволяет рассматривать историю взаимодействия категорий философии, эстетики и математики. В этом плане, принцип историзма позволяет расширить и углубить как представления об эстетическом в математике, о влиянии принципа красоты на развитие математического знания, так и о роли «математической традиции» в философии и эстетике.

Принцип историзма — это мировоззренческий принцип познания, сочетающий в себе научную сторону, ориентированную на объект, с аксиологической стороной, вовлекающей в познание человеческо-ценностный подход и человеческую деятельность. Сравнительно-исторический подход дал возможность расширить горизонт научного исследования и рассмотреть проблему в процессе ее становления и развития, в связи с конкретными историческими условиями. Задачи исследования поставили необходимость сопоставления философских исследований оснований математики, эстетических категорий красоты и гармонии, понятия истины, а также рассмотрения вопросов психологии математического творчества. Принцип единства исторического и логического дает возможность рассуждать о закономерностях развития математического знания без отрыва от реальной истории и современных тенденций в развитии математики.

Объектом диссертационного исследования является процесс исторического развития математического знания.

Предметом исследования являются философско-эстетические аспекты математического знания.

Цель диссертационного исследования состоит в выявлении и исследовании взаимосвязи математического и философско-эстетического знания в контексте исторического развития европейской культуры. Задачи исследования: проанализировать развитие «математической традиции» в философии и эстетикепровести философско-эстетический анализ исторического развития математического знанияисследовать философские аспекты математического творчества как познавательного процессапроанализировать проблему истины в математическом знании в фило-софско-эстетическом контексте.

Научную новизну настоящей работы определяют следующие, исследовательские результаты:

• проведен философско-эстетический анализ исторического развития математического знания, что позволило сделать вывод о существовании цикличности во взаимодействия и взаимовлияния математики, философии и эстетики в истории’европейской культуры;

• проанализированы исторически изменяющиеся представления о гармонии мироздания и показана их тесная связь с математическими понятиями в процессе развития европейской культуры;

• показаны особенности математического знания, математического творчества и математической истины в философско-эстетическом контексте, что привело к постановке новых эвристических задач;

• отражена связь математического знания с философскими дисциплинами на современном этапе развития научного познания.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты анализа взаимодействия и взаимовлияния математики, эстетики и философии в истории европейской культуры. Во времена античности и средневековья вообще нельзя было разделить математику и философию. Примером тому являются Аристотель и Декарт, которым математики обязаны новыми взглядами на логику и на геометрию. В то же время эти ученые создали собственные философские учения, тесно связанные с их исследованиями в области математики. И обратно, их математические результаты базируются на их философских взглядах и в то же время следуют из них.

Затем наблюдается процесс постепенного обособления различных наук: новые идеи возникают в связи с потребностями практики — математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Внушительный вклад в математику был связан с философией эмпиризма. Именно в рамках изучения природных процессов стали разрабатываться методы математического описания движения, изменения, текучести, кривизны, измерения объемов, ставших ключевыми в обосновании дифференциального исчисления. Прагматический характер и эмпирическая правильность результатов часто становился для новой философии решающим аргументом для снятия рациональных запретов в математических исследованиях. Вместе с тем, осторожность и критика со стороны сенсуалистической философии (Беркли) в отношении сомнительных философских «прорывов», послужили началом работы над уточнением и строгим обоснованием оснований новой математики.

В XX в. полностью складывается характер требований, связанных со структурой и строгостью обоснования математических теорий, в формировании которых существенную роль сыграла философия. Математика разрабатывается в рамках узко специализированных отраслей, сложившихся в большинстве к концу XIX в. и постоянно возникающих вновь на границах смежных с математикой областей. Все это порождает необходимость использования философского аппарата, и подтверждает тесную взаимосвязь математики и философии на современном этапе развития научного знания. 2. Результаты исследования влияния философских концепций как отражения мировоззренческих оснований культуры на формирование математических понятий.

Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методе математики, специфики ее понятий. Существует тесная зависимость между математикой и философско-эстетическими устремлениями конкретной социально-культурной эпохи. Так, например, именно философско-мировоззренческие основания, первоначально стимулирующие развитие античного математического знания и поднявшие его на небывалую высоту, не позволили ему в дальнейшем развиваться в направлении, открытом позже европейской математикой.

Между эпохами Пифагора и Платона и эпохой Нового времени — простирается почти два тысячелетия. Философия математики за это время не вышла за рамки пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации. В эпоху Галилея, Декарта, Спинозы, Ньютона и Лейбница математика снова вышла на передовые позиции по своему влиянию на формирование философских идей. Но верно и обратное, математический прогресс был обусловлен глубоким изменением философского представления о пространстве и времени. Главная черта новоевропейской математики — ее числовой характер. Если античная математика созерцает, то новоевропейская — вычисляет.

С середины XIX в. развитие математики приобретает интенсивный характер. Математика приобретает универсальный характер и перестает ассоциироваться с отдельной национальной культурой — она становится мировой. С этого времени не внешние условия обуславливают развитие математики, а она начинает обуславливать общественное развитие: начинается всеобщая математизация культурного мира.

Одной из основных черт XX в. становится слияние науки с техникой и производством. Экономические процессы, процессы управления, общественные структуры складываются под непосредственным влиянием математических моделей. Современный этап взаимодействия математики и философии ставит новые задачи (например, философское обоснование проблемы сложности в математике), решение которых позволит плодотворно развиваться каждой из наук.

3. Особенности и роль эпох «кризиса оснований математики» в формировании и закреплении комплекса современной математической науки. Первый кризис оснований математики (V в. до н. э.) был вызван открытием несоизмеримых отрезков, т. е. существованием иррациональных чисел. Второй причиной, способствующей его возникновению, было обнаружение парадоксов бесконечно малых, открытых в школе элеатов (Зенон). Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний. Преодоление этого кризиса стало возможным в результате создания теории пропорций, изложенной в «Началах» Евклида, и создание Архимедом особого метода исчерпывания (прообраз современных теорий интегрирования).

Второй кризис оснований математики был порожден противоречивыми результатами в исчислении бесконечно малых, в силу неудовлетворительного обоснования исходных понятий и принципов. Выход из кризиса был связан с отказом от представления об актуально бесконечно малой величине, возвратом к идее потенциальной бесконечности. (Теория пределов О. Коши). Третий кризис был спровоцирован чрезмерно свободным оперированием понятием актуальной бесконечности, к которому вернулись с возникновением теории множеств Г. Кантора. Проявлением этого кризиса явилось обнаружение парадоксов (или антиномий) в теории множеств. Что вынудило исследователей обращаться к логическим и семантическим сторонам языка и активизировать внимание на различении понятий «смысл», «значение», «понимание» и т. п.

Каждый из «кризисов оснований математики», кроме того, что имел задачей подвести итог достигнутого и успешно завершить строение комплекса математического знания, затрагивал и философско-эстетические положения на которые оно опиралось.

4. Обоснование тенденции к взаимному сближению математического и фи-лософско-эстетического знания в современных условиях, ведущее в перспективе к обогащению объектов и методов каждой из наук. Взаимосвязь эстетики и математики, достигнув своего наивысшего расцвета в эпоху Возрождения, затем теряет завоеванные позиции. В эстетике развиваются и занимают ведущие позиции новые категории, несвязанные с количественными соотношениями. В эпоху Нового времени, эстетика и математика не оказывают никакого заметного влияния на развитие друг друга. Современная эпоха возродила проблему взаимодействия философско-эстетического и математического познания. Исследование этой проблемы служит не только более глубокому пониманию процессов, происходящих в современном научном познании и тенденций в социально-культурной сфере, но ведет к обогащению объектов и методов каждой из наук, открытию новых граней их соприкосновения и взаимопроникновения.

Изучение математики и ее структур вырабатывает в человеке потребность преодолеть сопротивление между субъективными представлениями и их научным обоснованием. Процесс формирования и развития понятий о математических структурах в основном должен в сжатом виде воспроизводить действительный исторический процесс рождения и становления этих понятий. Тогда при изучении математики происходит воздействие не только на разум человека, но и на его эмоциональную сферу, что способствует лучшему восприятию и более глубокому пониманию самого предмета математики.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

4. Результаты исследования проблемы «красоты математики», отраженные в диссертации, косвенно свидетельствует о том, что в настоящее время происходит переход от понятия «красоты» (пассивного её восприятия) к методологическому «принципу красоты» и исследованию факторов, совокупность которых и создает ощущение красоты. Поэтому одна из причин непреходящей эстетической ценности математики связана с тем, что в организации и функционировании ее структур уже заложена ориентация на выполнение принципа красоты, что подтверждается анализом истории развития математического знания.

Заключение

.

Восходящая к Пифагору идея математического описания Мироздания, получившая новый импульс в труде Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии», достигла ныне своего расцвета. Это связано с процессом взаимного сближения естествознания и гуманитарных наук в XX веке. Не в последнюю очередь возрастание интереса к интуитивно-образной стороне математики связано с исследованиями Ж. Адамара, А. Пуанкаре, В. М. Волькенштейна, В. Э. Войцеховича, В. А. Шапошникова и других.

Высшей целью науки является постижение порядка, управляющего мирозданием и организующего мир в прекрасный Космос, а также постижение гармонии мироздания, определяющей этот порядок. Будучи качественным выражением порядка, гармония играет заглавную роль как в искусстве, так и в науке.

Античность пытается представить и понять мир целостно. Но для того чтобы противостоять напору хаотических стихий вне и внутри человека, необходимо внести в мир идею порядка. Одним из способов онтологической организации мира стало число. Поэтому еще со времен Античности становится очевидным стремление научной мысли связать число с максимально большим количеством проблем, перед которыми останавливался человек на заре философско-научного творчества. Когда же мир уравновешен и его стихии гармонично распределены в пропорционально исчисленных пределах, научное сознание готово к извлечению из него причинно-следственных связей. Идеи, заложенные мыслителями Античности, оказали и продолжают оказывать огромное влияние на развитии культуры и научной мысли человечества.

В истории развития математического знания принято выделять три кризиса оснований математики. Первый кризис оснований математики (V в. до н. э.) был вызван, во-первых, открытием несоизмеримых отрезков, т. е. существованием иррациональных чисел. Во-вторых, обнаружением парадоксов бесконечно малых, открытых в школе элеатов (Зенон). Преодоление этого кризиса стало возможным в результате создания теории пропорций, изложенной в «Началах» Евклида, и создание Архимедом особого метода исчерпывания (прообраз современных теорий интегрирования).

Второй кризис оснований математики был порожден противоречивыми результатами в исчислении бесконечно малых, в силу неудовлетворительного обоснования исходных понятий и принципов. Бесконечно малые стали рассматриваться не как изменяющиеся величины, а как величины актуальные, что привело к тому, что бесконечность выступает не как процесс, а как результат. Выход из кризиса был связан с отказом от представления об актуально бесконечно малой величине, возвратом к идее потенциальной бесконечности.

Третий кризис был спровоцирован чрезмерно свободным оперированием понятием актуальной бесконечности, к которому вернулись с возникновением теории множеств Г. Кантора. Проявлением этого кризиса явилось обнаружение парадоксов (или антиномий) в теории множеств. Что вынудило исследователей обращаться к логическим и семантическим сторонам языка и активизировать внимание на различении понятий «смысл», «значение», «понимание» и т. п.

Каждый из «кризисов оснований математики», кроме того, что имел задачей подвести итог достигнутого и успешно завершить строение комплекса математического знания, затрагивал философско-эстетические положения на которые оно опиралось. Как и в случае с античной математикой, философский спор о строгости (XIX — XX вв.) задал рамки, в которых было возможно дальнейшее развитие математики. Демонстрируя проблемность математики, он инициировал ее внутреннее движение и привлек к ней широкое общественное внимание.

Основные теоретические выводы по теме исследования сводятся к следующим положениям.

1. Щей, заложенные еще мыслителями. Древней Греции, оказали и продолжают оказывать огромное влияние на развитии культуры и научной мысли человечества. Результаты проведенного в исследовании историко-философского анализа являются свидетельством целостного видения античной культуры в ее неразрывных связях с современностью.

2. Тезис о единстве в многообразии красной нитью проходит через всю историю философии и эстетики вплоть до наших дней. Таким образом, следует что, математика, устанавливающая унификацию сущностей в многообразии явлений, обладает огромным эстетическим потенциалом, что дает право говорить о красоте самой математики. Одной из причин непреходящей эстетической ценности математики является то, что в организации и функционировании ее структур уже заложена ориентация на выполнение принципа красоты, что подтверждается всей историей развития математического знания.

3. Между философско-эстетическими категориями красоты и гармонии/ и понятиями математики (число, симметрия, мера, количественные отношения, порядок, хаос) существует тесная взаимосвязь, которая неразрывно проходит через всю историю европейской культуры.

4. Проведенное исследование свидетельствует о существовании цикличности во взаимодействии и взаимовлиянии математики, философии и эстетики в истории европейской культуры, а также тенденции к сближению категорий и методов математики, философии и эстетики в современных условиях, что в перспективе приведет к взаимному обогащению каждой из наук.

5. Важными факторами, обеспечивающими постоянную связь между философией, эстетикой и математикой являются, с одной стороны, наличие внутренних потребностей эстетики в идеях и методах математики, опирающихся на мировоззренческие основания социально-культурной эпохи. Здесь можно выделить несколько направлений поиска математических закономерностей: а) теория перспективы, связанная с возникновением проективной геометрииб) поиск эмпирических законов красоты в работах Леонардо, Дюрера, Эйлера, Клейна и многих других, в том числе в исследованиях золотого сеченияв) использование математических образов в технике, конструировании, дизайне (Жуковский, Эйфель, Корбюзье) — г) экспериментальная эстетика, когнитивная графика и современное компьютерное моделирование объектов.

С другой стороны, в самом математическом знании возникают вопросы, выходящие за рамки математических теорий и имеющих отношение к мировоззренческой и эстетической проблематике. Важным моментом того же порядка можно считать педагогические и методические проблемы математики.

6. Проблемы «красоты математики» и особенностей природы математического знания, математического творчества и математической истины ставят новые исследовательские задачи, которые не представилось возможным раскрыть в данной работе: а) образность математики как одна из граней ее красотыб) развитие математических образов от античности до современности и их влияние на развитие философской культурыв) неадекватность понятий простоты и красоты в математики на современном этапе развития научного знания и другие.