Древесные графы Кейли в исследовании сеточных структур мезодефектов кварцевых стекол

В ряде работ [1 — 6] было доказано, что аморфные пленки ПМ — М, РЗПМ, спиннингованные ленты [7 — 10], кварцевые стекла [11 — 16] содержат принципиально новую структурно — топологическую составляющую упорядочения. По своим пространственным характеристикам система естественных дефектов сеточного типа занимает диапазон от десятков ангстрем до десятков микрон. Разумно этот уровень масштабов отнести к области мезофизики разупорядоченных сред. Основная проблема исследования аморфных твердых тел (АТТ) и стекол состоит в следующем.

1. Предложить тот или иной тип математического представления сеточных, ячеистых структур, в том числе и мозаик, паркетов. Желательно, чтобы выбранный тип представления обладал свойствами универсальности и был предельно прост.

2. Разработать и обосновать те или иные виды структурно — топологических функционалов, которые могут адекватно характеризовать на количественном уровне сетевые структуры, мозаики.

3. Опираясь на реальные тестовые сеточные, ячеистые структуры, предложить и развить системные методики обработки сеточных структур. Вполне естественно ожидать, что и способ представления, и методики обработки сеток будут базироваться на теории вероятности и математической статистике.

4. Однако, системный уровень рассмотрения может потребовать более мощного аппарата исследования сложных сред, каковыми являются АТТ и стекла. По нашему мнению, конкретизацию такой точки зрения можно найти в развитии и приложении информодинамических методов. Стоит сразу подчеркнуть, что, если методы обработки и анализа случайных процессов, полей и потоков отработаны достаточно широко [17, 18], то какого-либо серьезного применения информо-динамической концепции в физике разупорядоченных сред нам не известно. Именно в этом аспекте диссертационную работа соискателя можно считать оригинальной и заслуживающей внимания.

Перед соискателем были поставлены следующие задачи.

1. Разработать представление сеточных структур АТТ и стекол в терминах древесных графов. Причем, правильные деревья типа Бете [19, 20] необходимо обобщить до деревьев Кейли (ДК). Ветви ДК следует трактовать как отношения соседства, смежности, инциденций, координаций между соседними ячейками.

2. Предложить алгоритм построения ДК по сеточным структурам. Разработать соответствующее математическое обеспечение для ПЭВМ для проведения машинных экспериментов. Сформулировать и изучить математические свойства квазислучайных координационных ДК.

3. На перечисляющих полиномах ввести вероятностные меры и, соответственно, энтропийные, дивергентные функционалы на них. Изучить теоретико — вероятностные, статистические свойства квазислучайных ДК, представляющих сеточную структуру АТТ и стекол.

4. Привлекая ряд информодинамических функционалов, на ДК рассмотреть задачу перколяции в направлениях «центр <�—у периферия». Постараться выявить тот или иной закон перколяции информационных функционалов на ДК, что помогло бы высказать конструктивное предложение по генерации самих сеточных структур.

ЛЛАВА I АМОРФНЫЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА И СТЕКЛА.

1.1 Определение аморфных твердых тел и стекол.

Аморфными" называют такие вещества, которые характеризуются сле-[ующими особенностями [21 — 24]: 1) отсутствием зависимости свойств т направления- 2) возникновением при разломе и расколе областей продольной формы, чаще всего раковистого излома- 3) отсутствием кристаллических областей как в компактном, так и в дисперсном состоянии, шорфные вещества, как газы и жидкости, изотропны, при их характеристике прежде всего следует отмечать, что это некристаллические веще-тва.

Отсутствие дальнего порядка во взаимном расположении атомов явля-тся определяющим признаком аморфных тел [25]. Различают топологи-еский и композиционный (или химический) порядок [26,27]. Топологи-еским называется порядок положений, занимаемых образующими тело томами, безотносительно к типам последних. Композиционный порядок — характеристика тела, состоящего из двух и более типов атомов. Атомы акого тела композиционно упорядочены, если существует дальний поря-ок во взаимном расположении атомов каждого типа. Обычно аморфными вердыми телами (АТТ) называют объекты с топологическим разупоря-очением [14].

АТТ является термодинамически неравновесной или метастабильной авновесной системой, стремящейся обрести кристаллическую структуру перейти в стабильное состояние. В метастабильном состоянии флукту-ционно могут возникнуть зародыши — области с определенным упоря-эчением атомов.

Атомная структура АТТ определяется определяется не только харак-зром межатомных сил, но и процессом образования. Существует два riacca аморфных тел, один из которых генетически связан с кристаллами, а другой — с жидкостями. Поликластер — твердое тело, состоящее из локально регулярных кластеров, представляющих собой совокупности атомов, обладающих совершенным локальным порядком [14].

С помощью методов дифракции рентгеновского излучения, нейтронов и электронов можно строго разделить так называемые «рентгеноаморфные» и кристаллические вещества [21]. Чем меньше области с периодическим строением, тем сильнее идет рассеяние на множестве плоскостей кристаллической решетки. Вместо острых дискретных дифракционных максимумов на дифрактограммах наблюдаются только размытые интерференционные кольца, что указывает на нестатический характер распределения величин межатомных расстоянийследовательно, и для аморфного состояния можно говорить о существовании определенной степени порядка.

Путем определения равновесных положений, которые занимают химически связанные атомы, установлено, что расстояния между соответствующими парами атомов в аморфных веществах статистически имеют такую же величину, что и в кристаллических соединениях, причем значения, меньше этой величины, практически, не встречаются. Это доказывает, что аморфные вещества, как и кристаллические, характеризуются наличием ближнего порядка [25, 26, 27]. с увеличением расстояния быстро возрастает многообразие структурных конфигураций из-за изменения длины химических связей, что приводит к изменению взаимной ориентации структурных элементов в результате частичного поворота вокруг осей вдоль химических связей. В связи с этой особенностью, для аморфных веществ отсутствует дальний порядок.

Топологически разупорядоченные кристаллы составляют класс наиболее изученных к настоящему времени АТТ [14]. Если кристаллы содержат случайные сетки дислокаций или являются поликристаллами, состоящими из случайно ориентированных кристаллитов, то парные корреляционные радиусы узлов решеток в них сравнимы со средним расстоянием между дислокациями и размерами кристаллитов. Протяженные дефекты — дислокации и границы зерен — играют в структуре двоякую роль: во-первых они вносят топологический беспорядок, разрушая корреляции в расположениях атомов на расстоянии, и, во-вторых, в ядрах дислокаций и граничных слоях нарушен локальный порядок. Кроме того, вокруг дислокаций существуют медленно убывающие со временем поля упругих деформаций. Для топологически разупорядоченного кристалла теорема Блоха не применима. Если пренебречь топологическим беспорядком, взять в качестве волновых функций электронов в нулевом приближении блохов-ские функции и затем учесть процессы рассеяния на дефектах, можно получить описание электронных свойств разупорядоченного кристалла с хорошей точностью. Таким образом, если игнорировать топологический беспорядок, порождаемый протяженными дефектами, а вносимый ими локальный беспорядок учитывать в рамках теории возмущений, можно получить удовлетворительное описание свойств АТТ. Однако, известны случаи, когда вносимый дислокациями топологический беспорядок существенно влияет на свойства тела.

В большинстве случаев топологический беспорядок несущественно влияет на основные физические свойства АТТ до тех пор, пока корреляционная длина много больше межатомного расстояния. Неравновесность кристалла растет с увеличением плотности дефектов и, чтобы получить высокую плотность последних, необходимо предотвратить структурную релаксацию.

Размеры кристаллитов в поликристаллах могут составлять сотни ангстрем, а предельно допустимая плотность дислокаций составляет 1012 — 1013см~2, корреляционная длина структуры в таких случаях порядка 102 межатомных расстояний. Если протяженность дефектов столь высока, что концентрация атомов, принадлежащих ядрам дислокаций или граничным слоям, становится близкой к единице, то кристалл перестает быть кристаллом и сами определения протяженных дефектов в такой структуре теряют смысл [14].

Жидкость является термодинамически равновесным конденсированным телом при температуре выше точки плавления кристалла Тт. Ее можно перевести в метастабильное состояние, быстро понизив температуру ниже Тт, тогда можно надеяться перевести ее в АТТ с огромным временем кристаллизации. Поскольку при быстром охлаждении атомы не успевают перестроится диффузионным путем и средние межатомные расстояния не претерпевают существенных изменений, локальные топологические изменения атомных конфигураций при этом не будут большими и структуры получающегося твердого тела и исходной жидкости окажутся похожими.

У многих переохлажденных жидкостей обнаруживается характерная температура — так называемая температура стеклования Тд, при достижении которой резко увеличивается вязкость, уменьшаются удельная теплоемкость и плотность. Переохлажденная жидкость при Т < Тд называется стеклом, а Тд считается температурой превращения переохлажденной жидкости в АТТ (фазовый переход жидкость — стекло).

Стекла представляют собой аморфные вещества. Понятие стеклообразное вещество применяют к твердым телам, которые либо получены из расплавов, либо другими методами, причем в последнем случае образуются компактные агрегаты в виде тонких пленок, волокон, характеризующиеся макроскопическими размерами, по крайней мере в одном или двух направлениях, и температурным диапазоном размягчения [21]. Стеклам, как и кристаллам, характерны такие свойства как твердость и способность сохранить форму. В 1971 г. Американским обществом по исследованию материалов было дано следующее определение: «Стекло — неорганический продукт плавления, который в основном затвердевает без кристаллизации». Стоит заметить, что термин «аморфное состояние» несколько шире, чем стеклообразное состояние.

Аморфное и стеклообразное вещество по сравнению с кристаллическим веществом того же состава обладает более высоким запасом энергии. Более высокая свободная энергия расплава, раствора или газовой фазы по крайней мере частично сохраняется и при затвердевании. В этом смысле говорят о процессе замораживания. В то же время и кристаллические тела при подводе к ним энергии могут быть переведены в аморфное (стеклообразное) состояние, минуя жидкую и газовую фазы [21].

Многие стекла, и прежде всего металлические, при нагревании до температуры Тс, несколько превышающей Тд, кристаллизуются. У некоторых из них переход стекло — жидкость не удается обнаружить из-за наступления кристаллизации. Возможно, у них температурный интервал перехода весьма размыт или Тд совпадает с температурой кристаллизации. Несмотря на некоторую условность и неопределенность температуры стеклования и перехода жидкость — стекло, само наличие узкого интервала, в котором происходят существенные изменения термодинамических величин и механических свойств переохлаждаемой жидкости, позволяет указать, в каком состоянии — жидком или твердом — находится быстро охлажденная жидкость.

Пока прямое наблюдение атомной структуры стекол еще не осуществлено, судить о ней можно только по наблюдениям за статистическими характеристиками, такими, например, как функция радиального распределения (ФРР) атомов. Экспериментальные наблюдения свидетельствуют о значительной схожести ФРР жидкостей и стекол, что убеждает в наличии большого сходства структур обоих объектов. Результаты структурных исследований стекол однозначно указывают на наличие в них сильного топологического беспорядка.

Быстрая закалка расплавов и создание разупорядоченных кристаллов не исчерпывают возможностей создания АТТ. Аморфные структуры появляются во всевозможных процессах структурообразования в условиях сильной неравновесности. Стекла могут быть получены путем достаточно быстрого охлаждения расплавов или из растворов путем высушивания гелей. Процессы осаждения из растворов часто ведут к образованию аморфных осадков. Электролитическим осаждением при высоких плотностях тока получают слои, например, аморфного германия. Так впервые были получены металлические стекла (МС). Если исходить из газовой фазы, то стоит назвать различные варианты термического испарения и конденсации в высоком вакууме, а также катодное распыление и осаждение аморфных слоев в тлеющем разряде. В некоторых случаях практическое значение имеет химическое осаждение из газовой фазы, например при образовании кварцевых стекол (КС). Кристаллические твердые тела переходят в аморфное состояние под воздействием ударной волны или под действием интенсивного нейтронного или ионного облучения и т. д. Все эти методы достаточно подробно освещались и освещаются в литературе, поэтому мы не будем на них останавливаться и заострять внимание. Как отмечалось выше, в большинстве перечисленных случаев получаются относительно тонкие пленки. Кинетика структурообразования перечисленными способами существенно отличается от быстрой закалки расплавов, но, скорее всего, существует большое сходство структуры и свойств АТТ одного и того же состава, получаемых разными способами. Чтобы достаточно полно подтвердить или опровергнуть это предположение, необходимо провести многочисленные эксперименты и сравнить полученные результаты.

Основные результаты по оценке потенциальной энергии приведены на рис. 4.4.1. Как можно заметить, и эта характеристика также ведет себя инвариантно при перколяции по уровням ДК. Снова наблюдается на высоком уровне доверия закон сохранения потенциальной энергии. Прямой поток координаций на ДК по крайней мере в 2 раза менее интенсивен по потенциальной энергии по сравнению с обратным потоком. Заметим, что вариабельность прямых и обратных потоков соразмерна. Дважды средние значения потенциальной энергии определены со степенью вариабельности.

Закон сохранения потенциальной энергии по отношению к асимптотически среднему ПП можно интерпретировать как метрику. Тогда, в этих терминах любой г-ый уровень равноудален от асимптотики. С первого взгляда такой вывод кажется нереальным. Однако, как тогда толковать ПП бесконечной асимптотики? По нашему мнению, одинаковость потенциальной энергии на всех уровнях, фактически, можно принять за определение бесконечности. Перед бесконечностью все уровни равноудалены!

Более серьезный вывод напрашивается из гипотезы равенства внутренней и потенциальной энергий ПП на ДК. Этот результат следует читать как: удаленность (потенциальная энергия) г'-го уровня по отношению к бесконечному в точности равна внутренней энергии г-го состояния. Если трактовать найденное свойство как необходимое и достаточное, то тогда: а) справедлив принцип инвариантности (закон сохранения) по уровням ДК для и и Д?- б) как требует вычислительный эксперимент.

17(г) = Ег (г'/оо).

Тогда, из этих положений следует существование бесконечного горизонта или асимптотического ПП.

Наше ДК, а, следовательно, и сеточная мезоструктура КС, оказывается подчинена не просто законам сохранения перколяции тех или иных функционалов на ДК, но значения II, Е — функционалов полностью согласованы в смысле их равенства.

Факт существования некоторого устойчивого распределения (ВПП) на бесконечности совершенно не очевиден. Сеточные мезодефекты КС в древесном представлении, видимо, обладают стационарным асимптотическим вероятностным распределением на периферии. Тем самым марковский сдвиговый оператор перколяции на ДК можно считать эргодическим.

§ 4.5 Дивергенция Бонгарда на деревьях Кейли кварцевых стекол в направлениях «центр периферия» .

Обратимся к более сложной мере, известной в информодинамике как мера Бонгарда [128]. Насколько мы осведомлены, мера Бонгарда в физических аспектах почти не привлекалась. Хотя существует определенная литература по применению идей Бонгарда не только в теории распознавания образов и принятия решений [126, 127, 131, 132].

В теории древесных графов аналогичный функционал вообще не применялся. Согласно § 4.1, меру Бонгарда мы трактуем как один из видов взаимной энтропии, точнее информации. Как всякая информационная мера, например функционал Больцмана (см. Н — теорему) [96], дивергенция Кульбака [125] и ее линеаризации [130], эти характеристики двухзначко-вые. Информационные меры всегда предполагают сравнение, сопоставление двух различных распределений, статистик.

Важным разделом современной теории принятия решений [126, 127] является введение, построение, в том числе и энтропийных, информационных мер как расстояний тех или иных метрик в пространстве фуцкций распределений, статистик. Эту программу мы реализуем на ДК, представляющих сетевые, мозаичные структуры.

За исходные данные, как и в предыдущих параграфах, принимаем ПП или, точнее, ВПП, которые построены для каждого уровня ДК. Теперь поставим задачу оценить марковский (М-) сдвиг между двумя соседними уровнями: г г + 1- Уг < сю ДК. Уровни будут задаваться своими Т{(хк)т, г (хк) и тогда меру Бонгарда Ву[Т{{хк)Т{+1(хк)] можно считать некоторой дивергенцией. Мера Бонгарда является условной, что предполагает наличие выделенной базы сравнения. Именно такая база Тоо (хк) и была использована при оценке потенциальной информационной энергии в § 4.4.

Но в случае межуровневой дивергенции нет смысла выделять какуюлибо систему отсчета. Тогда нужно применить операцию симметризации, которую впервые использовал Больцман при доказательстве Н-теоремы. В работах самого Бонгарда [128] такой аспект не обсуждался, поскольку он рассматривал задачу статистической оценки распределений, что привело к мере неточности.

Второй момент, который не акцентируется в теории принятия решений, теории сложных систем [118, 119], — построение обобщенного лагранжиана, в котором слагаемые, отвечающие за возможности и затраты желательно выбирать согласованно, народном классе функционалов. Для нашего исследования последнее означает запись меры Бонгарда не в логарифмической форме, а в степенной, например также квадратичной. Тогда мы переходим к дивергенции Бонгарда в Vaida — представлении.

Учитывая сказанное, дивергенцию Бонгарда между уровнями ДК запишем как.

Ву[Тг{хк)-Т1+1(хк) = [Ti (xk)Ti+i (xk) + Ti+i (xk)Ti (xk)} - z к i — уровни ДКTi (xk) — коэффициенты ППki — ранги ПП, кг ф 1;

Ti (xk) = [ЕЩхк) — Т{{хк)] V [1 — Ti (xk)] — операция дополнения для ПП к или ВПП соответственно. Обозначения Т{(хк) для ПП и ВПП одни и те же, но необходимо помнить, что, если мы исходим из ПП, то тогда в оценках функционалов возможностей и затрат не следует забывать о внутриуровневои нормировке на к.

И, наконец, прежде, чем переходить к интерпретации полученных результатов, отметим еще один методический момент, он затронут в конце § 4.1.

Обычно энтропии, различные информации трактуются как меры, функционалы. Но, полагая г = г + 1, получим.

Ву&(хк)-Т1+1(хк)} = Ну[Тг (х% т. е. дивергенция г/г — уровня равна собственной, внутренней энтропии.

Дивергенция Бонгарда, как и дивергенция Кульбака, трактуется как расстояние между распределениями на ц г + 1 уровнях ДК.

Обратимся к результатам численного эксперимента по расчету дивергенции Бонгарда на ДК в прямом и обратном направлении. Эти результаты показаны на рис. 4.5.1. И снова, как и в предыдущих подходах дивергенция Бонгарда хорошо определена. Вариации прямого потока леж жат в пределах 5ВУ ~ 2 — 3%, а для обратного потока 8ВУ ~ 2 — 9.5%. И снова, как на других характеристиках, более вариабелен, флуктуационен обратный поток. Налицо, и в этой характеристике, закон сохранения гперколяции на уровнях ДК. Дважды средние значения дивергенции Бонгарда в прямом потоке превосходят аналогичные значения в обратном в 1.314 раза.

Как было показано ранее, при г = г + 1 дивергенция Бонгарда просто превращается в энтропию Вайда. Тем самым эти характеристики можно считать родственными и им можно дать представление в виде векторных диаграмм (рис. 4.5.2П — 3.3.3).

Для удобства обсуждения можно составить усредненные векторные диаграммы по ДК. При этом надо не забыть, что, по крайней мере, энтропийный вектор сохраняется в обоих направлениях (рис. 4.5.2).

Сравним топологию этих векторных диаграмм. Естественно обратиться к метрическим характеристикам этих треугольников, т. е. длинам сторон Ну и Ву. Отличие этих характеристик составляет 2.4% в прямом потоке и 2.1% — в обратном. Таким образом, оба эти треугольника можно считать равносторонними с вариабельностью ~ 2% по метрическим показателям, а следовательно, они будут подобными (рис. 4.5.3). Естественно дать оценку коэффициента подобия. Как всякий коэффициент подобия, он может быть больше — меньше 1 и соответствовать растяжениям — сжатиям. По Ву — стороне коэффициент подобия гев = 1−314, по энтропийной стороне — эе# = 1.3104. Средняя оценка на уровне двух знаков.

0.0 0.4 0.8 Ну 0.0 0.4 0.8 Ц, а) б).

Рис. 4.5.2 Усредненные векторные диаграммы: (а) прямой поток- (б) обратный поток.

В = «.8 069 22 ±0.63%.

Рис. 4.5.3 Подобные Н — В треугольники эе = 1.31. Любопытно, что данное значение коэффициента подобия в ВН-пространстве весьма близко к значению золотого вурфа = 1.309. По крайней мере, отличие наших данных составляет 0.24%. Насколько случайно это совпадение или это некоторая универсалия, которая выполняется на древесных графах сеточных структур, пока однозначно ответить затруднительно.

Возвращаясь к понятию марковского сдвига на ДК, можно дать его характеристику в терминах дивергенции Бонгарда и собственной энтропии Вайда. Древесная перколяция подчиняется следующей закономерности: количество собственных топологических возможностей в смысле ветвистостей эквивалентно межуровневой дивергенции — симметризован-ной мере Бонгарда. Видимо, наряду с законом сохранения собственных характеристик, установленная зависимость для дивергентных мер также указывает на определенную универсальность ДК КС.

§ 4.6 Векторное представление перечисляющих полиномов. Пример на деревьях Фибоначчи.

Цель данного завершающего раздела Главы — построить векторное представление для самих ПП ДК. Уже, пользуясь векторным представлением, выяснить Геометрический смысл энтропийных и дивергентных функционалов. По своей структуре эти информодинамические характеристики выступают как некие произведения в по-координатной росписи от векторов, которые сопоставлены ПП. Кроме того, с целью получения более прозрачных результатов, мы привлечем весьма простой, но фундаментальный пример, который базируется на последовательности Фибоначчи [57, 133].

ПП и ВПП можно дать векторное представление. Выберем Я, к[Тг (хк)] — ортонормированное пространство К — размерности, равной максимальному Г{ - рангу ВПП, где по осям и будут откладываться коэффициенты ВПП. Тогда, в итоге в 11к[Тг (хк)] ВПП изобразится К — мерным вектором. Аналогично, для /г-уровня ДК будет свой вектор, но все {Тг 0^)} подчиняется условию полноты? Тг (хк) = 1. Последнее условие имеет простой к геометрический смысл — это гиперсфера в линейной метрике, с которой не имеют права «сходить» все Т- (ж*).

Очевидно, также в этом же пространстве можно построить и еж {Тг (хк)} — дополнительных векторов ДК. Дополнение можно трактовать как операцию сопряжения, двойственности, дуальности.

Таким образом, любое ДК (как в прямом, так и в обратном направлении) будет характеризоваться парой ежей |[Г? 0е*)];

Тi (ж'0)]!, концы векторов которых будут находиться на 1 — гиперсфере с той или иной вариабельностью. Энергетический функционал.

U[Ti (xk)] = Z’I?(xk) к является длиной ~Ti (хк) в квадратичной (евклидовой) метрике. Энтропия Вайда.

HV[Ti (®*)] =^Тг (хк)Щхк) = (т* (**)• Т{ (**)) является произведением двух сопряженных Т{(хк) из прямого и дополнительного ежей с одним и тем же г — уровнем ДК. Так как Norm Т i (хк) = Norm Тi (хк) = 1, то Hv[Ti (хк)] = cos[" г" — Т¿-] — косинус угла между двумя сопряженными Т i {хк) и Тг- (хк) — векторами. Заметим, что ежи ДК определены только в первом октанте.

Несмотря на очевидную простоту векторного представления, геометризация ПП и ВПП нетривиальна. Отображение ВПП в векторное пространство требует выполнения условия полноты, но тогда, это пространство с абсолютной метрикой. Тг (хк) будет находиться (его конец) на гиперкубе (сфере) с единичной нормой. Попробуем сделать наше разъяснение наглядным. Изберем плоский случай, ~Ti (хк) — ВПП с к < 2. Будем геометризировать энтропийный функционал:

НУ[Тг (хк)]=ЕЧхк)Т{(хк) = к к.

Ti{xk) — Т i (хк).

Последнее стандартное определение скалярного произведения в абсолютной геометрии не сводится к «векторам» ОЕ и ОР. Поскольку это евклидовы образы, а не сами абсолютные векторы:

ОЕ\ = Т (х2) +Т (х1). Это простейшая неевклидова геометрия, справедливая для решеточных систем. Поэтому выражение.

2 |СО| = |0Е| |ОР| С05(Л — ф) = 8Н1Ф.

Т (х').

Рис. 4.6.1 Пример геометризации перечисляющих полиномов.

ЕЩхк)Т{(хк) правильно, но считать Т (хк) =ОЕ или (хк) = Ор к нельзя.

Построим евклидову модель абсолютной геометрии, но с выполнением условия полноты ВПП: = 1, УГ". В абсолютной геометрии (метрик ка города, решетки) ОЕ и ОР не существуют — это образы евклидовы. В абсолютной геометрии выполнение условия полноты приводит к линии АВ — х^ = — х^ + 1 = 1 — которая и является «окружностью» в абсолютной геометрии: Т (х2) + Т (хг) = 1.

Рассмотрим простой, но нетривиальный пример геометризации ВПП для известной последовательности Фибоначчи [57, 133]. На классе двоичных ДК построим дерево Фибоначчи (ДФ), число унарных связей которого будет также определяться сдвинутой последовательностью Фибоначчи. На рис. 4.6.2 приведено дерево Фибоначчи [133]. Ранг ПП равен 2, а значит в ПП будет присутствовать Т{(хк) при к < 2. ПП для ДФ приведены в табл. 4.6.1. На них хорошо видно как коэффициенты Т^х2) =4> Т^^х1) (зацепляющая эстафета ПП). Коэффициенты ПП ДФ являются членами последовательности Фибоначчи.

Попробуем на ДФ получить примененные нами информодинамические.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В процессе выполнения диссертационного исследования были получены следующие результаты.

1. Для исследования сеточных мезодефектов АТТ и стекол, квазикристаллических мозаик в рамках теории графов было построено древес-но — графовое представление. Оно было найдено на древесных графах типа Кейли, ветвистость которых была объявлена случайной величиной. Ветви квазислучайных ДК являются отношениями соседства, координаций между ячейками сеточных дефектов.

2. Разработан алгоритм синтеза квазислучайных ДК для сеточной ме-зоструктуры КС, мозаик Пенроуза и Кавамуры. Древесное представление сеточных структур допускает восстановление самих сеток на соответствующем алфавите «ячейка — отношение». Исследованы математические свойства квазистохастических ДК. Показано, что ДК можно считать симплициальными комплексами, удовлетворяющими принципу масштабной инвариантности. На ДК, можно считать, что определена ультраметрика, а, следовательно, ДК в целом являются ультраметрическими симплициальными комплексами. На ДК заданы условные вероятностные меры, что позволяет считать ДК в гнаправлении марковскими объектами. В t — направлении в приближении входящих кустов ДК являются сильно связными графами — марковские джунгли.

3. Над квазислучайными ДК сеточных структур стекол и мозаик построены энтропийные, энергетические, дивергентные функционалы. Рассмотрена их перколяция в г — направлении, как для разрастающихся, так и для коллапсирующих ДК. Указанные информодинамические функционалы заданы для перечисляющих полиномов ДК, тем самым формализм перечисления приобретает принципиально новый смысл.

4. Численные эксперименты указали на то, что перколяция, например, энтропийных и энергетических функционалов по уровням ДК инвариантна на марковских сдвигах в г — направлении по ДК. Энтропия, энергия перколируют по уровням иерархий в прямом и обратном направлении. подчиняясь законам сохранения. Фактически, это означает, что существует в г — протекании закон неразрывности энтропийной «массы». Таким образом, поток координаций на сеточных дефектах АТТ и стекол характеризуется сохранением топологического потенциала, возможностей, реализуемых древесной топологией отношений. Сопоставление прямого и обратного потоков информационных функционалов на ДК показало их существенное различие при сохранении постоянства.

Введено понятие топологической температуры, представляющей собой отношение функционалов возможностей к энергетическим функционалам. Оказалось, что прямой древесный трафик координаций более нагрет, чем аналогичный трафик, идущий из бесконечности. Таким образом, ДК сеточных мезодефектов АТТ и стекол следует признать необратимыми графами, для которых выполняется II начало термодинамики.

Проведенные исследования по структуре и топологии мезодефектов АТТ и стекол с помощью развитого нами математического аппарата древесных графов Кейли позволил установить неизвестный ранее принцип перколя-ции координаций. Таким принципом как раз и является установленный нами в Главе IV диссертации закон сохранения энтропийных, энергетических функционалов на ДК. Мы надеемся, что найденный принцип будет универсальным и послужит физической основой генерации сеточных.