Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

" Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП, ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХПОДГРУПП Курсовая работа Исполнитель:

Студентка группы М-53 МОКЕЕВА О. А.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.

Гомель 2009

• ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
• Введение
• 1 Некоторые базисные леммы
• 2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными -подгруппами, индексы которых взаимно просты, наследственно насыщенным формациям
• Заключение
• Список использованных источников

Перечень условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

—- множество всех натуральных чисел;

—- множество всех простых чисел;

—- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

—- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число —- любое число вида .

Буквами обозначаются простые числа.

Пусть —- группа. Тогда:

—- порядок группы ;

—- множество всех простых делителей порядка группы ;

— группа —- группа, для которой ;

— группа —- группа, для которой ;

—- коммутант группы, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

—- подгруппа Фиттинга группы, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

—- наибольшая нормальнаянильпотентная подгруппа группы ;

—- подгруппа Фраттини группы, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

—- наибольшая нормальнаяподгруппа группы ;

—- -холлова подгруппа группы ;

—- силовскаяподгруппа группы ;

—- дополнение к силовскойподгруппе в группе, т. е. -холлова подгруппа группы ;

—- нильпотентная длина группы ;

—- -длина группы ;

—- минимальное число порождающих элементов группы ;

—- цоколь группы, т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;

—- циклическая группа порядка .

Если и —- подгруппы группы, то :

—- является подгруппой группы ;

—- является собственной подгруппой группы ;

—- является нормальной подгруппой группы ;

—- ядро подгруппы в группе, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в ;

—- нормальное замыкание подгруппы в группе, т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами группы ;

—- индекс подгруппы в группе ;

;

—- нормализатор подгруппы в группе ;

—- централизатор подгруппы в группе ;

—- взаимный коммутант подгрупп и ;

—- подгруппа, порожденная подгруппами и .

Минимальная нормальная подгруппа группы —- неединичная нормальная подгруппа группы, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;

—- является максимальной подгруппой группы .

Если и —- подгруппы группы, то:

—- прямое произведение подгрупп и ;

—- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;

—- и изоморфны;

—- регулярное сплетение подгрупп и .

Подгруппы и группы называются перестановочными, если .

Группу называют:

— замкнутой, если силовскаяподгруппа группы нормальна в ;

— нильпотентной, еслихоллова подгруппа группы нормальна в ;

— разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либогруппы, либогруппы;

— сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либогруппой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

разрешимой, если существует номер такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа —- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

— замкнутая группа —- группа, обладающая нормальной холловскойподгруппой.

— специальная группа —- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловскойподгруппой.

— разложимая группа —- группа, являющаяся одновременноспециальной изамкнутой.

Группа Шмидта —- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из, что .

Цепь —- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп —- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого ;

главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Класс групп —- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.

— группа —- группа, принадлежащая классу групп .

Формация —- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если —- класс групп, то:

—- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;

—- множество всех тех простых чисел, для которых ;

—- формация, порожденная классом ;

—- насыщенная формация, порожденная классом ;

—- класс всех групп, представимых в виде где, ;

;

—- класс всех минимальных негрупп, т. е. групп не принадлежащих, но все собственные подгруппы которых принадлежат ;

—- класс всехгрупп из ;

—- класс всех конечных групп;

—- класс всех разрешимых конечных групп;

—- класс всехгрупп;

—- класс всех разрешимыхгрупп;

—- класс всех разрешимыхгрупп;

—- класс всех нильпотентных групп;

—- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .

Если и —- классы групп, то:

.

Если —- класс групп и —- группа, то:

—- пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что ;

—- произведение всех нормальныхподгрупп группы .

Если и —- формации, то:

—- произведение формаций;

—- пересечение всехабнормальных максимальных подгрупп группы .

Если —- насыщенная формация, то:

—- существенная характеристика формации .

— абнормальной называется максимальная подгруппа группы, если

где

—- некоторая непустая формация.

— гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы, если обладает субнормальным рядом таким, что

(1) каждый фактор является главным фактором группы ;

(2) если порядок фактора есть степень простого числа, то .

—- -гиперцентр группы, т. е. произведение всехгиперцентральных подгрупп группы .

Введение

Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим можно сформулировать следующую проблему.

Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации с тем свойством, что любая группа, где и —- -субнормальныеподгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .

Именно изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.

1 Некоторые базисные леммы В данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при доказательстве основного раздела данной главы.

1.1 Лемма [18-A]. Пусть —- насыщенная формация, принадлежит и имеет нормальную силовскуюподгруппу для некоторого простого числа. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) ;

2), где —- любое дополнение к в .

Доказательство. Так как, то, а значит,. Так как и формация насыщенная, то не содержится в. Так как —- элементарная группа, то по теореме 2.2.16, обладаетдопустимым дополнением в. Тогда,. Если, то отлична от и, значит, принадлежит. Но тогда, ввиду равенства, имеем отсюда следует и. Тем самым доказано, что .

Докажем утверждение 2). Очевидно, что являетсякорадикалом и единственной минимальной нормальной подгруппой группы, причем. Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,

Очевидно,

. Если, то

отсюда. Значит,. Лемма доказана.

Пусть и —- произвольные классы групп. Следуя [55], обозначим через —- множество всех групп, у которых всеподгруппы принадлежат .

Если —- локальный экран, то через обозначим локальную функцию, обладающую равенством для любого простого числа .

1.2 Лемма [18-A]. Пусть и —- некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) —- наследственный класс;

2) ;

3) если, то ;

4) если, то —- класс всех групп;

5) если —- формация, а —- насыщенный гомоморф, то —- формация;

6) если, , —- некоторые классы групп и —- наследственный класс, то в том и только в том случае, когда ;

7) если и —- гомоморфы и, то .

Доказательство. Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из определения класса групп .

Пусть, —- нормальная подгруппа группы и —- -подгруппа из. Пусть —- добавление к в. Покажем, что. Предположим противное. Пусть не входит в. Тогда обладает максимальной подгруппой, не содержащей. Поэтому, а значит,, что противоречит определению добавления.

Так как —- насыщенный гомоморф, то. Но тогда и. Значит, класс замкнут относительно гомоморфных образов.

Пусть. Пусть —- -подгруппа из. Тогда, а значит ввиду определения класса, имеем Так как —- формация и, то отсюда получаем, что. Таким образом, .

Докажем утверждение 6). Пусть,. Если не входит в, то получается, что каждаяподгруппа из принадлежит, а значит,. Получили противоречие. Поэтому .

Покажем, что. Предположим, что множество непусто, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда не входит в. Пусть —- собственная подгруппа из. Так как классы и —- наследственные классы, то. Ввиду минимальности имеем. Значит,. Получили противоречие. Поэтому .

Докажем утверждение 7). Пусть и —- -подгруппа из группы. Отсюда следует, что,. А это значит, что. Отсюда нетрудно заметить, что. Следовательно,. Итак,. Лемма доказана.

1.3 Лемма [18-A]. Пусть —- наследственная насыщенная формация, —- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогдакорадикал любой минимальной негруппы является силовской подгруппой, когда:

1) ;

2) формация имеет полный локальный экран такой, что для любого из .

Доказательство. Необходимость. Пусть —- максимальный внутренний локальный экран формации. Пусть —- произвольное простое число из. Так как —- насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2, —- формация.

Пусть —- формация, имеющая локальный экран такой, что для любого из. Покажем, что. Согласно теореме 2.2.13, —- наследственная формация для любого из. Отсюда нетрудно заметить, что для любого из. А это значит, что .

Пусть —- группа минимального порядка из. Так как —- наследственная формация, то очевидно, что —- наследственная формация. А это значит, что и. Покажем, что —- полный локальный экран, т. е. для любого из. Действительно. Пусть —- произвольная группа из. Отсюда. Пусть —- произвольнаягруппа из. Так как, то. Отсюда. Так как —- полный экран, то. А это значит, что. Следовательно,. Отсюда нетрудно заметить, что. Теперь, согласно теореме 2.2.5,, где —- единственная минимальная нормальная подгруппа группы, —- -группа и. Так как и, то. Отсюда. Противоречие. Итак,. Покажем, что для любого из. Пусть и —- -группа. Пусть —- произвольнаяподгруппа из. Тогда. Отсюда. А это значит, что. Противоречие.

Достаточность. Пусть —- произвольная минимальная негруппа. Так как разрешима, то по теореме 2.2.5,

где —- -группа,. Согласно условию, —- -группа. А это значит, что —- -замкнутая группа. Но тогда, —- -замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1, —- силовская подгруппа группы. Лемма доказана.

1.4 Лемма [18-A]. Пусть —- наследственная насыщенная формация, —- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная негруппа бипримарна изамкнута, где, когда:

1) ;

2) формация имеет полный локальный экран такой, что и любая группа из является примарнойгруппой для любого простого из .

Доказательство. Необходимость. Пусть —- произвольная минимальная негруппа. Согласно условию, —- бипримарнаязамкнутая группа, где. По лемме 4.1.1,. Согласно лемме 4.1.3, формация имеет полный локальный экран такой, что и для любого простого из. Покажем, что любая группа из примарна. Предположим противное. Тогда существует группа и. Пусть —- группа наименьшего порядка такая, что. Очевидно, что и. Нетрудно заметить, что и имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18, существует точный неприводимыймодуль, где —- поле из элементов.

Пусть. Покажем, что. Поскольку и, то .

Пусть —- собственная подгруппа из. Покажем, что. Пусть. Если, то. Следовательно,. Пусть. Тогда —- собственная подгруппа из. А это значит, что и. Так как и —- наследственная формация, то. Но тогда и, а значит и .

Пусть теперь. Так как, то и. Отсюда следует, что. Итак,. Cогласно условию, бипримарна, что невозможно, т. к. .

Достаточность. Пусть —- произвольная минимальная негруппа. Согласно условию, разрешима. По теореме 2.2.5,

где —- -группа, .

Согласно условию, —- примарнаягруппа. А это значит, что —- бипримарнаязамкнутая группа. Но тогда —- бипримарнаязамкнутая группа. Лемма доказана.

2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными -подгруппами, индексы которых взаимно просты, наследственно насыщенным формациям

В данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальныхподгрупп, индексы которых взаимно просты.

2.1 Теорема [18-A]. Пусть —- наследственная насыщенная формация, —- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация содержит любую группу, где и —- -субнормальныеподгруппы и индексы, взаимно просты;

2) любая минимальная негруппа либо бипримарнаязамкнутая группа, либо группа простого порядка;

3) формация имеет полный локальный экран такой, что и любая группа из является примарнойгруппой для любого простого из .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть —- произвольная минимальная негруппа. Предположим, что, где —- характеристика формации. Покажем, что —- группа простого порядка. Пусть. Тогда существует простое число,. Так как, то, что невозможно. Итак, —- примарнаягруппа. Так как, то, очевидно, что .

Пусть теперь. Рассмотрим случай, когда .

Покажем, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Предположим противное. Тогда содержит, по крайней мере, две минимальные нормальные подгруппы и. Так как, то в группе найдутся максимальные подгруппы и такие, что,. Так как и принадлежат, ,, то,. Так как —- формация, то. Получили противоречие. Итак,, где —- единственная минимальная нормальнаяподгруппа группы .

Покажем, что —- примарнаягруппа, где. Предположим, что существуют простые числа, где. Тогда в найдутся максимальные подгруппы и такие, что —- -число, —- -число. Рассмотрим подгруппы и. Очевидно, что индексы и взаимно просты. Так как и, то. Согласно лемме 3.1.4, подгруппы исубнормальны в. Так как —- минимальная негруппа, и —- собственные подгруппы группы, то и. Так как, то согласно условию,. Получили противоречие.

Покажем, что —- -группа, где. Предположим, что. Так как, то согласно лемме 3.1.4, —- -субнормальная подгуппа группы. Рассмотрим подгруппу. Так как —- собственная подгруппа и, то. Согласно лемме 3.1.4, —- -субнормальная подгруппа. Очевидно, что —- -субнормальная подгруппа. По лемме 3.1.4, —- -субнормальная подгруппа группы. Так как, то из и условия теоремы следует, что. Получили противоречие. Итак, —- -группа. Тогда —- бипримарнаязамкнутая группа, где .

Пусть. Рассмотрим фактор-группу. Так как, то, как показано выше, —- бипримарнаязамкнутая группа. Отсюда следует, что —- бипримарнаязамкнутая группа.

Из леммы 4.1.4 следует, что утверждение 3) следует из 2).

Покажем, что из 3) следует 1).

Пусть —- группа наименьшего порядка такая, что, где и —- -субнормальныеподгруппы группы взаимно простых индексов, то. Так как —- разрешимая группа и, где, то нетрудно заметить, что, где и —- холловские подгруппы группы, и, , где, —- некоторые элементы группы .

Пусть —- собственная подгруппа группы. Покажем, что. Так как —- разрешимая группа, то согласно теореме Ф. Холла [63],, где, , где, —- некоторые элементы из. Согласно лемме 3.1.4, и —- -субнормальные подгруппы группы. Так как и, а —- наследственная формация, то и —- -субнормальные подгруппы и соответственно. Согласно лемме 3.1.4, нетрудно показать, что и —- -субнормальные подгруппы группы, а значит, согласно лемме 3.1.4 и в. Так как, то по индукции, получаем, что. А это значит, что —- минимальная негруппа.

Если —- группа простого порядка, то ее нельзя представить в виде произведения собственных подгрупп взаимно простых индексов.

Пусть —- бипримарная группа. Тогда согласно лемме 4.1.4,. Согласно лемме 4.1.1,. А это значит, что все подгруппы группы, содержащиеабнормальны, т. е. группа не представима в виде произведения собственныхсубнормальныхподгрупп взаимно простых индексов. Получили противоречие. Теорема доказана.

Напомним, что формация называется 2-кратно насыщенной, если она имеет локальный экран такой, что —- насыщенная формация для любого простого числа из .

Следующая теорема доказана в классе конечных разрешимых групп.

2.2 Теорема [18-A]. Пусть —- наследственная 2-кратно насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация содержит любую группу, где и —- -субнормальныеподгруппы из взаимно простых индексов;

2) —- формация Шеметкова;

3) формация содержит любую группу, где и —- -субнормальныеподгруппы из ;

4) .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть —- произвольная минимальная негруппа. Рассмотрим случай, когда. Как и в теореме 4.2.1 можно показать, что-либо —- группа простого порядка, где, либо, где и из. А также нетрудно показать, что —- единственная минимальная нормальная подгруппа группы. А это значит, что. Пусть —- максимальный внутренний локальный экран формации. Если, то из полноты экрана следует, что. Так как —- внутренний экран, то. А это значит, что. Противоречие. Итак, .

Покажем, что. Предположим, что это не так. Тогда в найдется неединичная собственная подгруппа. Рассмотрим подгруппу. Так как —- минимальная негруппа и —- собственная подгруппа, то. Покажем, что. Если это не так, то в существует неединичная нормальнаяподгруппа. Тогда. Так как, то, что невозможно. Согласно лемме 2.2.12,. Отсюда. Так как, то. А это значит, что. Так как —- насыщенная формация, то. Следовательно,, что невозможно. Итак,, значит, —- группа Шмидта. Итак, —- группа Шмидта. По лемме 3.1.1, —- группа Шмидта.

Тот факт, что из 2) 3) следует из теоремы 2.2.19; 3) 4) следует из теоремы 2.2.10; 4) 1) следует из теоремы 2.2.10. Теорема доказана.

Очевидно, что любая сверхрадикальная формация содержит любую группу, где исубнормальны в и принадлежат и имеют взаимно простые индексы в .

Следующий пример показывает, что существует несверхрадикальная наследственная насыщенная формация, содержащая любую группу, где исубнормальны в и принадлежат и имеют взаимно простые индексы в .

2.3 Пример. Пусть —- формация всех сверхразрешимых групп, а —- формация всехгрупп, где, и —- различные простые числа. Рассмотрим формацию. Так как существуют минимальные негруппы, которые не являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то не является формацией Шеметкова. Так как, то согласно теореме 3.3.9, формация не является сверхрадикальной формацией.

С другой стороны хорошо известно, что любая минимальная несверхразрешимая группазамкнута, где. Очевидно, что любая минимальная негруппа является либо группой простого порядка, либо бипримарнойзамкнутой группой, где. Теперь из теоремы 4.2.1 следует, что содержит любую группу, где, и принадлежат и и —- субнормальны в .

Заключение

В главе 1 доказаны леммы, которые используются для доказательства основных результатов главы 2.

В главе 2 важную роль сыграл метод экстремальных классов, разработанный в работе Картера, Фишера, Хоукса и метод критических групп, разработанный В. Н. Семенчуком в работе. С помощью этих методов в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций, содержащих любую группу, где, и принадлежат и и —- -субнормальны в, теорема 2.1 .

Доказано, что любая разрешимая —- наследственная 2-кратно насыщенная формация, обладающая отмеченным выше свойством, является сверхрадикальной, теорема 2.2 .

Список использованных источников

1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А. Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л. А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1990. — Вып. 5. — С. 39—45.

2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А. Ф. Васильев, С. Ф. Каморников, В. Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н. С. Черников [и др.]. — Киев, 1993. — С. 27—54.

3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарныхсубнормальных подгрупп на строение группы / А. Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л. А. Шеметков [и др.]. — Гомель, 1995. — Вып. 8. — С. 31—39.

4. Васильева, Т.И. О конечных группах сдостижимыми силовскими подгруппами / Т. И. Васильева, А. И. Прокопенко. — Гомель, 2006. — 18 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).

5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В. А. Ведерников // Матем. заметки. — 1989. — Т. 46, № 3. — С. 32—37.

6. Казарин, Л. С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л. С. Казарин // Известия АН СССР. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 288—308.

7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л. С. Казарин // ДАН СССР. — 1983. — Т. 269, № 3. — С. 528—531.

8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С. Ф. Каморников // Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, № 2. — С. 71—77.

9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л. А. Шеметкова / С. Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. — 1994. — Т. 35, № 4. — С. 801—812.

10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. — Новосибирск, 1992. — 172 с.

11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. — Новосибирск, 1999. — 146 с.

12. Легчекова, Е. В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е. В. Легчекова, А. Н. Скиба, О. В. Титов // Доклады НАН Беларуси. — 2007. — Т. 51, № 1. — С. 27—33.

13. Монахов, В. С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В. С. Монахов // Конечные группы. — 1975. — С. 70—100.

14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В. С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л. А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1985. — Вып. 1. — С. 54—57.

15. Мокеева, С. А. Конечные группы с перестановочнымисубнормальными (-достижимыми) подгруппами / С. А. Мокеева. — Гомель, 2003. — 25 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).

16. Прокопенко, А.И. О конечных группах сдостижимыми силовскими подгруппами / А. И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2004. — № 6 (27). — С. 101—103.

17. Семенчук, В.Н. О минимальных негруппах / В. Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1978. — № 7. — С. 596—599.

18. Семенчук, В. Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В. Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1979. — № 1. — С. 11—15.

19. Семенчук, В. Н. Минимальные негруппы / В. Н. Семенчук // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — С. 348—382.

20. Семенчук, В. Н. Конечные группы с системой минимальных неподгрупп / В. Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1981. — С. 138—149.

21. Семенчук, В. Н. Минимальные негруппы / В. Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 170—175.

22. Семенчук, В. Н. Характеризация локальных формаций по заданным свойствам минимальных негрупп / В. Н. Семенчук, А. Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 175—181.

23. Семенчук, В. Н. Описание разрешимых минимальных негрупп для произвольной тотально локальной формации / В. Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1988. — Т. 43, № 4. — С. 251—260.

24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных негруппах / В. Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское, 1987. — Вып. 3. — С. 16—21.

25. Семенчук, В. Н. Роль минимальных негрупп в теории формаций / В. Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1991. — Т. 98, № 1. — С. 110—115.

26. Семенчук, В. Н. Конечные группы сабнормальными илисубнормальными подгруппами / В. Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 6. — С. 111—115.

27. Семенчук, В. Н. Разрешимые тотально локальные формации / В. Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. — 1995. — Т. 36, № 4. — С. 861—872.

28. Семенчук, В. Н. Разрешимыерадикальные формации / В. Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 2. — С. 261—266.

29. Семенчук, В. Н. Об одной проблеме в теории формаций / В. Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. — 1996. — № 3. — С. 25—29.

30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В. Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — 1997. — № 11. — С. 109—115.

31. Семенчук, В.Н., Поляков Л. Я. Характеризация минимальных негрупп / В. Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. — 1998. — № 4 (431). — С. 1—4.

32. Семенчук, В. Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В. Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 1999. — № 1 (15). — С. 153—162.

33. Семенчук, В. Н. Сверхрадикальные формации / В. Н. Семенчук, Л. А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. — 2000. — Т. 44, № 5. — С. 24—26.

34. Семенчук, В. Н. Конечные группы, факторизуемыедостижимыми подгруппами / В. Н. Семенчук, С. А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2002. — № 5 (14). — С. 47—49.

35. Скиба, А. Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А. Н. Скиба // ДАН БССР. — 1990. — Т. 34, № 11. — С. 382—385.

36. Скиба, А. Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.

37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А. И. Старостин // Матем. заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 33—37.

38. Тютянов, В. Н. Факторизациинильпотентными сомножителями / В. Н. Тютянов // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 9. — С. 97—102.

39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С. А. Чунихин // Матем. сб. — 1929. — Т. 36, № 2. — С. 135—137.

40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С. А. Чунихин // Матем. сб. — 1933. — Т. 40, № 1. — С. 39—41.

41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С. А. Чунихин // Матем. сб. — 1938. — Т. 4 (46), № 3. — С. 521—530.

42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С. А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. — ГОНТИ, М.—Л. — 1938. — С. 106—125.

43. Чунихин, С. А. Подгруппы конечных групп / С. А. Чунихин. — Минск: Наука и техника, 1964. — 158 с.

44. Шеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.

45. Шеметков, Л. А. Экраны произведения формаций / Л. А. Шеметков // ДАН БССР. — 1981. — Т. 25, № 8. — С. 677—680.

46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л. А. Шеметков // ДАН БССР. — 1984. — Т. 28, № 2. — С. 101—103.

47. Шеметков, Л. А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба. — М.: Наука, 1989. — 256 с.

48. Шмидт, О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О. Ю. Шмидт // Матем. сб. — 1924. — Т. 31, № 3. — С. 366—372.

49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice ofsubnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1992. — Vol. 148, № 2. — P. 42—52.

50. Ballester-Bolinches, A. Oncritical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1995. — Vol. 174. — P. 948—958.

51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1996. — Vol. 179. — P. 905—917.

52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. — Springer, 2006. — 385 p.

53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. — 1972. — Bd. 127, № 3. — S. 217—233.

54. Carter, R.O. Thenormalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. — 1967. — Vol. 5, № 2. — Р. 175—202.

55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. — 1968. — Vol. 9, № 3. — P. 285—313.

56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. — 1966. — Vol. 91. — P. 198—205.

57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 891 p.

58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. — 1983. — Vol. 80, № 2. — P. 517—536.

59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Vol. 80, № 4. — P. 300—305.

60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. — Dordrecht — Boston — London: Kluwer Academic Publishers, 2000. — 257 p.

61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. — 2007. — Vol. 315. — P. 31—41.

62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3. — P. 98—105.

63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1937. — Vol. 43. — P. 316—323.

64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. — 1970. — Vol. 117. — P. 177—182.

65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. — 1954. — Vol. 60. — P. 409—434.

66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. — 1951. — Vol. 1—2. — P. 1—6.

67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. — 1986. — Vol. 14, № 6. — P. 1001—1066.

68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. — 1961. — Vol. 12, № 2. — P. 90—93.

69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. — 1978. — Bd. 30, № 3. — S. 225—228.

70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. — 1903. — Vol. 4. — P. 398—404.

71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutablesubnormal andaccessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4—9. — 2003. — P. 153—154.

72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968. — Vol. 74. — P. 383—437.

73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1939. — Bd. 45. — S. 209—244.

74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1958. — Bd. 69, № 8. — S. 463—465.

75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. — 1958. — Vol. 2, № 4B. — P. 611—618.