Спектральная ассиметрия и некоммутативный вычет

В ряде вопросов современной алгебры, теории чисел, римановой геометрии, статистической физики и квантовой теории поля возникают инварианты, выражаемые в терминах вычетов, значений, либо производных дзета-функций типа sА) = Тг A" s, <�" где, А — автоморфизм некоторого (чаще всего бесконечномерного) векторного пространства V. В большинстве указанных вопросов Л является эллиптическим псевдодифференциальным оператором (ПДО). Так, например, известно, что дзета-функция Дедекинда произвольного числового поля к является комбинацией конечного набора дзета-функций типа (I), отвечающих специальным ПДО на вещественном компактном торе размерности [k.;

Определение (I) требует, вообще говоря, указания ветви функции ar^ А, по которой строятся комплексные степени A S Если? lm V < °°, то очевидно значения ?(sА) в целых точках (именно они играют основную роль) от выбора ветви не зависят. Ситуация резко меняется, если перейти к бесконечномерному случаю. В случав, когда, А является псевдодифференциальным оператором, для которого определены комплексные степени, (I) обычно имеет смысл лишь в некоторой полуплоскости. Существование аналитического продолжения до мероморфной функции во всей комплексной плоскости не тривиально, и уже составляет задачу. Для операторов на замкнутых многообразиях эта задача решена (см. работу Р. Сили [32]). В частности, известно, что £(0-А) всегда конечно. Но точка s = 0 во всех случаях лежит внеполуплоскости сходимости ряда Дирихле s у .j.

Тт, А = Z, А, поэтому нет, а рт1от1 причин, чтобы.

Л € Spec Л {0} значение в нуле не зависело от выбора ветви аргумента..

В серии из четырех работ fl2]-fl5] М. Ф. Атья, В. К. Патоди и И. М. Зингер, занимаясь спектральной асимметрией самосопряженных эллиптических ПДО доказали следующее утверждение: для произвольного самосопряженного ПДО положительного порядка, А на замкнутом нечетномерном многообразии эта — функция, которая при Res «0 определена сходящимся рядом Дирихле.

-s.

7 (sА) = 2 sl3n 4*1 ,.

Л € Spec, А f oj регулярна в нуле..

Доказательство использует серьезный аналитический аппарат и ряд соображений из теории бордизмов и Ктеории. Само значение в нуле *][0-А) — известное под названием^{-инварианта} ответственно за целый ряд интересных явлений в римановой геометрии (см. [12] - [15], [19], [31]), геометрии модулярных многообразий Гильберта и арифметике тотально вещественных полей (см. [Ю],[П]), а также в квантовой теории поля. Упомянем здесь только, что у-инвариант различает все 28 экзотических семимерных, и 992 одиннадцатимерных сферы (см. 19])..

Имеет место следующая элементарная формула, выражающая эта — функцию в терминах дзета-функций:.

17TSIJTS.

7(s-a) =-111- t i.(s-A). ^ 4 2Islnлs l 2tsmJts t '.

Здесь f (s-A), f (s-А) дзета-функции, определенные по ветвям: t l / 1. и соответственно: — < о. гаЛ < — л.

Отсюда немедленно вытекает, что.

Б = 0.

Таким образом, упомянутая теорема АДЗ утверждает равенство значений в нуле дзета-функций определенных по разным ветвям функции лг^Л, для самосопряженных ПДО на нечбтномерных многообразиях. Четномерный случай, несмотря на усиления, оставался открытымсоответствующее утверждение называется гипотезой Атьи—Патоди-Зингера..

Одной из целей настоящей работы является доказательство следующего, гораздо более сильного, чем гипотеза Атьи-Патоди-Зингера, результата:.

Теорема (см* 1.3). Значение в нуле дзета-функции эллиптического ПДО на произвольном замкнутом многообразии не зависит от выбора ветви аг0 Л ..

Главы 1-Ш диссертации посвящены доказательству этого утвержде ния. Опишем вкратце их содержание. В § I мы вводим класс ЕИ&trade-.. операторов порядка т>0э главный символ которых имеет спектр, лежащий в двух непересекающихся секторах, скажем и Ъ", спектральной плоскости (см. 1.1). Для таких операторов естественно определять комплексные степени с помощью разреза в одной из компонент связности дополнения к и Ъ". Разность значений в нуле соответствующих дзета-функции обозначается через р и задает корректно определенный инвариант ПДО из класса • После этого формулируется основная теорема 1.3 об обращении в нуль инварианта^. Утверждение проверяется для т.н. р, а з л о-ж и м ы х операторов (см. 1.7)• В заключение параграфа привогася пример ПДО, для которого совпадение значений в нуле дзета-функ-№ определенных: по разным разрезам не локально (см. 1.11)..

В § 2 вводится подкласс в ?11™,^ т.н. тополог и-ески разложимых35^ операторов, и доказывается, что обой такой оператор приводится к некоторому разложимому оператору помощью простых операций сохраняющих значение инварианта ^ (точ-[Ю формулировку см. в 2.5). Отсюда вытекает, что ^=0 для шологически разложимых операторов. Топологически разложимые опе-1Торы определяют на ЕЦ&trade-, а соотношение эквивалентности, и.

Ъ ! $ ютветствующве множество классов эквивалентности отождествляется группой К (Б*Х) / тг* К (X), где л-. $*Х—"X расслоение косфер замкнутого многообразия. Следовательно наш ин-1риант факторизуется через К-теорию..

В § 3 рассматривается действие группы диффеоморфизмов на /тг*К (Х) индуцированное сопряжением операторов класса т II. # с помощью диффеоморфизмов. В § 4 мы вводим некоторые Ктео-этические классы, которые, как позже окажется, играют роль «обра-гющих» для инварианта у. Соответствующие редукции к этому слу-ш проведены в §§ 7−8. Многократно используется локальность р..

§ 5 содержит технические построения, связанные с совместными фейтройками ПДО вместе с многообразиями и векторными расслоениями 1 расслоении косфер. Результаты этого параграфа неоднократно ис по льготе я в дальнейшем. В работах [35],[37] они называются топологически тривиальными ораторами, а разложимые — операторами с тривиальной спектральной шмметрией, или, просто, тривиальными операторами..

В § 6 мы доказываем обращение в нуль инварианта j> на обра-?ующих, введенных в § 4- и тем самым завершаем доказательство теоремы !.3. Перечислим существенные моменты в доказательстве: ввиду спектральности (см, 1.6), у постоянно на орбитах присоединенного действия группы диффеоморфизмов многообразия на К ($*Х)/эг*К (х- - производя, если надо, сферические перестройки, нечетномерное ориентируемое многообразие можно наделить диффеоморфизмом обращающим ориентациюобразующие из § 4 ведут себя хорошо при сферических перестройкахj> явйяется локальным инвариантом..

Замечание. Независимое доказательство частного (самосопряженного) ¡-лучая опирающееся на совершенно другую технику дано недавно Джилки см. [22])..

В § 9 функционал, А •->? (о-Л)+Ь (Л)? определённый на.

0 ' о икрытом подмножестве пространства U ellт (X е) «аналит>0 ' ически продолжается11 на операторы любых, близких к вещественным, юрядков. У так продолженного функционала на «дивизоре» операторов юрядка нуль появляется простой полюс. Его вычет наследует обычные ¡-войства значения дзета-функции в нуле, хотя сама дзета-функция в этом случае не существует. В частности, независимость этого вычета >т выбора ветви аргумента равносильна утверждению теоремы 1.3. G Фугой стороны, асимметрия вычета для операторов типа Q = 2P-I •де Р — проектор, переписывается в виде интеграла по многообразию nf-плотности.

3).

I — а. um / J I.

11 = 1 определено яо ветви 0−2-я < < л ¦ L, (Д) •¦= XlmКегА йй нбдвббйббши лшбулаам и и. ОЛО)^. Вшшашод шдаш бба фактаи то, что выражение (3) определяет 1-плотность, и то, что эта плотность является полным дифференциалом. Оказывается, что первый из указанных фактов имеет место для произвольных ПДО. Это мы доказываем в § 10. Интеграл плотности (3) в этом общем случае мы назовём некоммутативным вычетом оператора, по аналогии с одномерным случаем, где это понятие появилось в связи с теорией интегрируемых систем (см., например, [I],[3]4[9],[27])..

Чисто алгебраическую интерпретацию второго из указанных фактов даёт следующая.

Теорема о коммутанте (см. 10.10). Коммутант алгебры псевдодифференциальных операторов целых порядков, действующих в сечениях фиксированного векторного расслоения на замкнутом многообразии, состоит в точности из операторов с нулевым вычетом..

Тем самым доказанная нами раньше независимость значения дзета-функции в нуле от ветви аргумента оказывается эквивалентной следующе му утверждению: порядка 4 0.

Любой идемпотент/алгебры ПДО лежит в коммутанте этой алгебры..

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Алгебра ПДО — это «проквантованная» алгебра эндоморфизмов расслоения. Но в самой алгебре эндоморфизмов никакой ненулевой идемпотент не может лежать в коммутанте!.

Остальная часть работы посвящена доказательству теоремы 10.10 в более сильной, чем приведённая выше, формулировке. Из этой формулировки вытекает, например, что алгебра ПДО квази-совершенна, т. е. её.

Р • (х<$) означает компоненту полного символа оператора Р, порядка однородности, в карте с локальными координатами {хс] коммутант совпадает со своим коммутантом, и что длина любого элемента коммутанта универсально ограничена числом определенным в терминах расслоения и самого многообразия. Таким образом максимальная длина элементов в коммутанте является новым инвариантом векторных расслоений на многообразиях. Было бы очень интересно выяснить природу этого инварианта. Сейчас лишь известна упомянутая выше грубая оценка сверху..

Перечислим вкратце содержание следующих параграфов..

В § II в качестве более простой модели разбирается случай алгебр дифференциальных операторов. Аналогом теоремы о коммутанте служит Теорема 11.1..

В § 12 выясняются необходимые для дальнейшего подробности строения алгебры операторов с гладким ядром. В следующем, 13 параграфе вводится формализм «симплектического» вычета, разработанный автором под влиянием интересной работы В. Гийемина [24-]. Последний, 14 параграф содержит собственно доказательство теоремы о коммутанте. Оно состоит из трёх частей. В первой из них утверждения теоремы доказываются на уровне главных символов. Здесь применяются результаты § 13. Во второй части с помощью итерационной процедуры указанные утверждения доводятся до уровня полных символов..

Чтобы дотянуть до случая настоящих операторов, необходимо: воспользоваться известными результатами Хельтона-Хоу о следах поликоммутаторов (см. [25]), затем доказать существование операторов с гладким ядром и ненулевым следом, которые притом лежат в коммутанте алгебры ПДО (1), и, наконец, применить нужную информацию о строении алгебры операторов с гладким ядром, которая получена в § 12. Это составляет последнюю часть доказательства..

Работа заканчивается тремя, не претендующими на оригинальность риложениями, которые содержат вспомогательный материал..

В заключение несколько слов об обозначениях, принятых согла-ениях, и о явлениях, тесно связанных с изложенными результатами, но оторые выходят за рамки настоящей работы..

В тексте обычно различаем между тривиализуемыми тривиальными, расслоениями. Эти последние всегда пред-олагают выбранную тривиализацию. Каноническое тривиальное векторное асслоение ранга к на пространстве X обозначается •.

Если не указано иначе, то группы когомологий Н*(Х) рассмат-йваются с рациональными коэффициентами, а символом К (Х) обозначатся обычный (комплексный) кфунктор пространства x ..

Символом С! т (X, Е) обозначаются ПДО порядка т, действую-ие в сечениях векторного расслоения е на многообразии x, символом С5т (Х, Б) — полные символы таких операторов. Через сг (х, е) = и сГ (х.е) г свчх. е) = и cs4x. it) тб2 те2 бозначаются соответствующие фильтрированные алгебры Ли. Имеет место ороткая точная последовательность алгебр Ли:.

О -" 1~°°(Х (Е)->а,(Х1Е)^-С5'(Х (Е) — оМ де °°(х, е) — это стандартное обозначение для идеала операторов гладким ядром. Обычно вопрос топологии на упомянутых алгебрах не удет нас интересовать, укажем лишь, что а'(Х, Е) превращается полную локально-выпуклую алгебру Ли, если наделить её т.н. тополо-ией полного символа, которая значительно сильнее стандартной хёрман-еровской топологии. Топология полного символа на индуцирует эбычную локально-выпуклую топологию пространства С00 (X *Х, Е в (Е*а A)^j, а на CS* - естественную индуктивно-проективную топологию пространства полуконечных справа последовательностей со значениями в С°°(5*Х, л*End Е) (здесь л: S*X—>Хестественная проекция расслоения косфер)..

Первое из явлений, окоторых хотим упомянуть связано с эллиптическими нормальными ПДО положительного порядка. Для таких операторов удается расширить обычную дзета-функцию до мероморфной функции со значениями в квазипериодических гиперфункциях на вещественной прямой «направлений» :.

Z (sа) = е" 2я1Ч (М), (e.

Можно показать, что значение в нуле является периодической обобщенной функцией и вообще может рассматриваться, как обобщенная функция на единичной окружности в комплексной плоскости..

Обозначим через ZА с S* =? z | |z|=i) — множество лучей, содержащих собственные значения главного символа оператора >4. Имеет место включение.

Sing stipp С (0 — А) <=? д, и для любого б 4 Т. д? (0- А) совпадает со значением в нуле обычной дзета-функции оператора, А, определенной по разрезу arg, А =.

0+2*ik (keZ)..

Из теоремы 1.3 вытекает, что? (оA) i 1 = const ..

А f.

Но отсюда отнюдь не вытекает, что £(0-А) вообще не зависит от 0 ] Нетрудно предъявить пример, в котором sing supp? (0-А) = U^ - одна точка, и? (0- а) ф const..

Другого рода явление связано с ПДО порядка нуль. Пусть К = Spec ess Q ~ существенный спектр (в смысле алгебры Калкина) таратора Ф порядка нуль. Теорема 1.3 вместе с результатами § 9 даёт зледующее утверждениедифференциальная 1-форма со0 ={ге5( С ..

Значение FfA) совпадает с введённой в § 9 величиной Z (Q) В действительности утверждение (5) остается справедливым, если оо заменить на любую другую точку однако для ограниченных компонент связности в А1(с)К нет канонических первообразных..

Следующее, о чем хотим упомянуть, это существование одномерного зе тривиально го центрального расширения у алгебры полных символов.

CS" (X, Е), которое в одномерном случае связано с расширениями, привлекающими внимание специалистов из нескольких областей математики С напр. теории интегрируемых систем, теории аффинных алгебр Ли, статистической физики, (cM., Hanp.,[S5j, п.5)). В существовании указанного рас лирения можно убедиться, если истолковать теорему о коммутанте (см. [0.10) в терминах группы H2(CS'(X, E)). Спектральная последовательность Хохшильда-Серра расширения (4) с тривиальными коэффициентами порождает точную последовательность когомологий алгебр Лиhvs'.h'u-^^hvcl')-^ н" (cs-f Haccse, Hea—))6) здесь мы для краткости опускаем символы X, Е — X предполагается Зыть замкнутым). в силу теоремы 10.10 Hcs’t h°(l" °°)) h1(cl') (-c-reSj зсли dim. X > 1 и X связно), а из Предложения 12. вытекает, что H'(CS HUl-00)) = с-Т-г • Следовательно следующая последовательность точна-.

Трансгрессия следового функционала на L~°° как раз и даёт наше.

— 12а центральное расширение. Можно показать, что на непрерывных когомолориях стрелка Н* 4 (СБ")->н2 (О.') имеет не более чем одномерное коядро..

Обоснованным кажется предположение, что для некоммутативного вычета адекватным языком являются когомологии (или гом. ологии) алгебр Ли, и, возможно, циклические когомологии А. Конна (см. [18]). На это указывает также гомологический характер обнаруженных недавно б симплектической ситуации «высших» вычетов (см. п. 13.22 настоящей работы). Обсуждение имеющихся на этот счёт проблем и гипотез увело бы нас далеко в сторону, и поэтому здесь не приводится..

— 13.

1.Г., Соколов В. В., Алгебры Ли и уравнения типа Корте-вега-де Фриза, Современные проблемы математики — новейшие достижения (Итоги науки и техники), ВИНИТИ, 24 (1984), 81−180..

2. Каруби М., К-теория. М.: Мир, 1981..

3. Манин Ю. И., Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений, Современные проблемы математики (Итоги науки и техники), ВИНИТИ, П (1978), 5−152..

4. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, т.1, М.: Мир, 1977..

5. Спеньер Э., Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971..

6. Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов. М.: Мир, 1975..

7. Федосов Б. В., Аналитические формулы индекса эллиптических операторов, Труды ММО, т.30 (1974), 159−242..

8. Шубин М. А., Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978..

9. Atiyah M.F., Patodi V.K., Singer I.M., Spectral asymmetry and Riemannian geometry, Bull. London Math.Soс. ?(1973), 229−234..

10. Atiyah M.F., Patodi V.K., Singer I.M., Spectral asymmetry and Riemannian geometry I, Math. Proc.Camb.Philos.Soc., 77 (1975), 43−69)..

11. Avez A., Diaz-Miranda A., Lichnerovricz A., Sur l’algebrt) des au-tomorphismes infinitesimaux d’une variete symplectique, J.Diff. Geometry? (1974), 1−40..

12. Oalabi E., On the group of automorphisms of a symplectic manifold, Problems in analysis, A Symposia in Honoijrof S. Bochner, Princeton Univ. Press, Princeton, 1970, 1−26..

13. Gonnes A., Non-commutative differential geometry. Chapter I. The Chern character in K.-homology, 0ctobee 1982"preprint IHES/M/82/53..

14. Donnelly K., Spectral geometry and invariants from differential topology, Bull. London Math.Soc.7 (1975), 147−150..

15. Duistermaat J.J., Singer I.M., Order preserving isomorphisms between algebras of pseudo-differential operators, Commun. Pure Appl.Math.22 (1976), 39−48..

16. Gilkey P.B., The residue of the local eta-function at the origin, Math.Ann. 240 (1979), 183−189..

17. Gilkey P.B., The residue of the global rrjfunction at the origin, Advances Math. 40 (1981), 290−307..

18. Gilkey P.B., Smooth invariants of a Riemannian manifold, Advances Math. 28 (1978), I-IO..

19. Guillemin V., A nevr proof of Weyl’s formula on the asymptotic distribution of eigenvalues, Adv. Math, (to appear)..

20. Helton J.W., Howe R.E., Traces of commutators of integral operators, Acta Math. I3? (1975), 271−305..

21. Hempel J., 3-manifolds, Annals of Math. Studies 86, Priceton Univ. Press, Princeton, 1976..

22. Lebedev D.R., Radul A.O., Generalized internal long waves equations: Construction, Hamiltonian structure, and Conservation Laws, Comm. Math. Phys. (1933), 543−555..

23. Lichneiowicz A., Sur l’algebre de Lie des champs de veoteurs, Comment.Math. Helv. 51 (1976), 343−368..

24. Mather J.N., Commutators of diffeomorphisms, Comment.Math. Helv. 42 (1974), 512−528..

25. Mather J.N., Commutators of diffeomorphisms. il, Comment.Math. Helv. 50 (1975), 33−40..

26. Millson J.J., Closed geodesies and the^-invariant, Ann.Math. 108 (1978), 1−39..

27. Seeley R.T., Complex povrers of an elliptic operator, Proc. Sym-pos. Pure Math. 10 (1967), 288−307..

28. Shintani T., A remark on zeta functions of algebraic number fields, in «Automorphic forms, Representation theory and Arithmetic», Proc. of Colloquium held in Tata Institute of Fundamental Research Bombay, January 1979, p.255−260..

29. Urwin R.W., Lie algebras which determine a symplectic manifold, preprint..

30. Verdier J.-L., Les representations des algebres de lie affines: applications a quelques problemes de physique (d'apres E. Date, M. Jimbo, M. Kashivrara, T. Mivra), Sem. Bourbaki 1981/82,exp.596..

31. Wodzicki M., Spectral asymmetry and zeta functions, Invent.Math. 66 (1982), 115−135. 37 Wodzicki M., Local invariants of spectral asymmetry, Invent. Math. 75 (1984), 143−177..